Trong các số 1, 2, 3, …, 72, có bao nhiêu số có ƯCLN với 18 bằng 1? A. 24 B. 28 C. 30 D. 36

Đáp án: A. 24. Nhận dạng: đếm số nguyên tố cùng nhau với 18 trong một đoạn dài. Ý tưởng: a và a + 18 có cùng ƯCLN với 18, nên mỗi nhóm 18 số liên tiếp có số lượng như nhau. Bước 1: 18 = 2 × 3²: số nguyên tố cùng nhau với 18 là số không chia hết cho 2 hoặc 3. Bước 2: Từ 1 đến 18 có 6 số: 1, 5, 7, 11, 13, 17. Bước 3: 72 = 18 × 4, có 4 nhóm: 6 × 4 = 24. Vậy có 24 số.

Tìm số chẵn nhỏ nhất có ba chữ số mà chia cho 11 dư 2. A. 101 B. 112 C. 113 D. 134

Đáp án: B. 112. Nhận dạng: tìm số chẵn có ba chữ số chia cho 11 dư 2. Ý tưởng: viết x = 11 × t + 2, tìm t ở đầu khoảng rồi chỉnh tính chẵn lẻ. Bước 1: Gọi x là số cần tìm, x = 11 × t + 2 (t là số tự nhiên). Bước 2: 11 × t + 2 ≥ 100 nên 11 × t ≥ 98; 98 : 11 = 8 (dư 10), t nhỏ nhất là 9: x = 11 × 9 + 2 = 101. Bước 3: 101 là số lẻ; tiến thêm 11 (số lẻ) thì đổi tính chẵn lẻ: 101 + 11 = 112, là số chẵn. Vậy số cần tìm là 112.

Dãy chữ cái HONGKONGHONGKONG… được viết lặp lại mãi. Trong 4036 chữ cái đầu tiên có bao nhiêu chữ O? A. 1008 B. 1009 C. 1010 D. 1011

Đáp án: B. 1009. Nhận dạng: dãy lặp lại theo chu kỳ, hỏi số lần xuất hiện của một phần tử trong rất nhiều phần tử đầu. Ý tưởng: tìm độ dài chu kỳ, chia số phần tử cho chu kỳ, thương là số chu kỳ đủ, dư là phần thừa ra ở đầu chu kỳ. Bước 1: Một chu kỳ là "HONGKONG" có 8 chữ cái, trong đó chữ O xuất hiện 2 lần (ở vị trí 2, 6). Bước 2: Chia số chữ cái cho độ dài chu kỳ: 4036 : 8 = 504 dư 4, tức là 504 chu kỳ đủ và 4 chữ cái thừa ra. Bước 3: 504 chu kỳ đủ có 504 × 2 = 1008 lần. 4 chữ cái thừa ra là đầu chu kỳ (HONG) có 1 lần. Bước 4: Cộng lại: 1008 + 1 = 1009. Vậy có 1009 chữ O trong 4036 chữ cái đầu. Mẹo: phần dư phải đếm riêng trên đúng các vị trí đầu chu kỳ, không đoán theo trung bình.

Hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 (ở giữa có đúng một số tự nhiên) gọi là một cặp số nguyên tố sinh đôi, ví dụ (5, 7). Từ 1 đến 99 có bao nhiêu cặp số nguyên tố sinh đôi? A. 7 B. 8 C. 9 D. 12

Đáp án: B. 8. Nhận dạng: đếm cặp số nguyên tố hơn kém nhau 2. Ý tưởng: viết các số nguyên tố từ 1 đến 99, ghép mỗi số với số lớn hơn nó 2. Bước 1: Các số nguyên tố đến 99: 2, 3, 5, 7, …, 97 (25 số). Bước 2: Các cặp sinh đôi: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73). Số 2 không ghép được vì 2 + 2 = 4 là hợp số. Vậy có 8 cặp.

Cho x > 0 và x = √(6√(6√(6√…))). Tìm x. A. 36 B. 6 C. 12 D. √6

Đáp án: B. 6. Nhận dạng: căn lồng vô hạn, phần nằm dưới dấu căn lặp lại đúng biểu thức ban đầu. Ý tưởng: thay phần lặp bằng x, bình phương hai vế ra phương trình bậc hai, chỉ lấy nghiệm dương. Bước 1: Phần dưới dấu căn đầu tiên là 6√(6√…) = 6x, nên x = √(6x). Bước 2: Bình phương: x² = 6x. Bước 3: x > 0, chia hai vế cho x: x = 6. Vậy x = 6.

Đường thẳng d đi qua A(−3; −14) và có hệ số góc 7/3. Tìm hoành độ giao điểm của d với trục Ox. A. 2 B. 3 C. 4 D. 11

Đáp án: B. 3. Nhận dạng: biết một điểm và hệ số góc của đường thẳng. Ý tưởng: d có dạng y = ax + b với a là hệ số góc, thay toạ độ A để tìm b. Bước 1: d có dạng y = 7/3 × x + b. Bước 2: Thay A: −14 = 7/3 × (−3) + b = −7 + b, nên b = −7. Bước 3: Giao với Ox khi y = 0: 7/3 × x = 7, x = 7 : 7/3 = 3. Vậy hoành độ giao điểm là 3.

Một hộp có 42 tấm thẻ đen, 49 tấm thẻ xanh, 9 tấm thẻ tím và 9 tấm thẻ hồng. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu tấm thẻ để chắc chắn có 32 tấm thẻ cùng màu? A. 80 B. 81 C. 125 D. 128

Đáp án: B. 81. Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 32 tấm thẻ cùng màu, các màu có số lượng khác nhau. Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy được nhiều nhất mà chưa tới 32; màu có ít hơn 32 thì lấy hết. Bước 1: Màu có ít hơn 32 tấm thẻ: 9 tím và 9 hồng, lấy hết. Bước 2: Màu đen và xanh lấy mỗi màu 32 − 1 = 31. Bước 3: Cộng: 31 + 31 + 9 + 9 = 80; vẫn chưa có 32 tấm thẻ cùng màu. Bước 4: Tấm thẻ tiếp theo thuộc một màu đã có 31: 80 + 1 = 81. Vậy cần lấy ít nhất 81 tấm thẻ. Mẹo: đừng lấy 4 × 31 + 1, vì có màu không đủ 31 tấm thẻ.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x² + 24x + 72. A. 120 B. 24 C. 72 D. −24

Đáp án: B. 24. Nhận dạng: tam thức bậc hai có hệ số của x² là 3 > 0, hỏi giá trị nhỏ nhất. Ý tưởng: viết A = 3(x + 4)² + (hằng số), vì bình phương luôn ≥ 0. Bước 1: Đặt 3 làm thừa số chung của hai hạng tử chứa x: A = 3(x² + 8x) + 72. Bước 2: x² + 8x = (x + 4)² − 16 (nửa hệ số của x là 8 : 2 = 4). Nên A = 3[(x + 4)² − 16] + 72 = 3(x + 4)² − 48 + 72 = 3(x + 4)² + 24. Bước 3: (x + 4)² ≥ 0, bằng 0 khi x + 4 = 0, tức là x = −4. Bước 4: A ≥ 24. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24.

Bác An và bác Dũng đi xe máy từ hai đầu một con đường dài 456 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 4 giờ. Bác An đi nhanh hơn bác Dũng 6 km/h. Tính quãng đường bác An đã đi. A. 60 B. 114 C. 216 D. 240

Đáp án: D. 240. Nhận dạng: hai người đi ngược chiều, biết quãng đường, thời gian gặp nhau và quan hệ giữa hai vận tốc. Ý tưởng: ngược chiều thì mỗi giờ lại gần nhau bằng tổng vận tốc; tìm tổng vận tốc rồi chia theo hiệu hoặc tỉ số. Bước 1: Hai người đi ngược chiều, mỗi giờ lại gần nhau bằng tổng vận tốc: 456 : 4 = 114 km/h. Bước 2: Tổng hai vận tốc là 114, hiệu là 6. Vận tốc người nhanh: (114 + 6) : 2 = 60 km/h; người chậm: (114 − 6) : 2 = 54 km/h. Bước 3: Kiểm: 60 + 54 = 114, 60 − 54 = 6. Bước 4: Bác An đã đi 60 × 4 = 240 km. Vậy đáp án là 240. Mẹo: tổng vận tốc = quãng đường : thời gian, chú ý đổi đơn vị thời gian.

Tìm số lớn nhất có ba chữ số mà chia cho 8 và 15 lần lượt dư 6 và 13. A. 718 B. 838 C. 958 D. 962

Đáp án: C. 958. Nhận dạng: số chia cho nhiều số có số dư cùng kém số chia. Ý tưởng: gọi N là số cần tìm, thì N + 2 là bội chung, tức là bội của BCNN. Bước 1: Mỗi số dư kém số chia 2 đơn vị (8 − 6 = 2, 15 − 13 = 2), nên N + 2 chia hết cho cả 8 và 15. Bước 2: BCNN(8, 15) = 8 × 15 = 120 (các số nguyên tố cùng nhau), nên N = 120 × t − 2 (t là số tự nhiên). Bước 3: 120 × t ≤ 999 + 2 = 1001; 1001 : 120 = 8 (dư 41), t lớn nhất là 8: N = 120 × 8 − 2 = 958. Vậy số cần tìm là 958.

Đề thi CREST (CMO) lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử CREST (CMO) lớp 9 (vòng quốc gia) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 50 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh (có chú thích tiếng việt cho từ khoá). Trang này hiện 10 câu đầu; mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 40 câu practical mathematics × 1 điểm; 10 câu achievers' section × 2 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 60 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi CREST (CMO).

Phần 1: Practical Mathematics (40 câu × 1 điểm)

Câu 11 điểm

How many integers from 1 to 72 are coprime to 18?
Trong các số 1, 2, 3, …, 72, có bao nhiêu số có ƯCLN với 18 bằng 1?
1. A. 24
2. B. 28
3. C. 30
4. D. 36
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: A. 24

Nhận dạng: đếm số nguyên tố cùng nhau với 18 trong một đoạn dài.
Ý tưởng: a và a + 18 có cùng ƯCLN với 18, nên mỗi nhóm 18 số liên tiếp có số lượng như nhau.
Bước 1: 18 = 2 × 3²: số nguyên tố cùng nhau với 18 là số không chia hết cho 2 hoặc 3.
Bước 2: Từ 1 đến 18 có 6 số: 1, 5, 7, 11, 13, 17.
Bước 3: 72 = 18 × 4, có 4 nhóm: 6 × 4 = 24.
Vậy có 24 số.
Câu 21 điểm

Find the smallest even three-digit number that leaves remainder (số dư) 2 when divided by 11.
Tìm số chẵn nhỏ nhất có ba chữ số mà chia cho 11 dư 2.
1. A. 101
2. B. 112
3. C. 113
4. D. 134
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. 112

Nhận dạng: tìm số chẵn có ba chữ số chia cho 11 dư 2.
Ý tưởng: viết x = 11 × t + 2, tìm t ở đầu khoảng rồi chỉnh tính chẵn lẻ.
Bước 1: Gọi x là số cần tìm, x = 11 × t + 2 (t là số tự nhiên).
Bước 2: 11 × t + 2 ≥ 100 nên 11 × t ≥ 98;
98 : 11 = 8 (dư 10), t nhỏ nhất là 9: x = 11 × 9 + 2 = 101.
Bước 3: 101 là số lẻ;
tiến thêm 11 (số lẻ) thì đổi tính chẵn lẻ: 101 + 11 = 112, là số chẵn.
Vậy số cần tìm là 112.
Câu 31 điểm

The word HONGKONG is written over and over: HONGKONGHONGKONG…. How many times does the letter O appear among the first 4036 letters?
Dãy chữ cái HONGKONGHONGKONG… được viết lặp lại mãi. Trong 4036 chữ cái đầu tiên có bao nhiêu chữ O?
1. A. 1008
2. B. 1009
3. C. 1010
4. D. 1011
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: B. 1009

Nhận dạng: dãy lặp lại theo chu kỳ, hỏi số lần xuất hiện của một phần tử trong rất nhiều phần tử đầu.
Ý tưởng: tìm độ dài chu kỳ, chia số phần tử cho chu kỳ, thương là số chu kỳ đủ, dư là phần thừa ra ở đầu chu kỳ.
Bước 1: Một chu kỳ là "HONGKONG" có 8 chữ cái, trong đó chữ O xuất hiện 2 lần (ở vị trí 2, 6).
Bước 2: Chia số chữ cái cho độ dài chu kỳ: 4036 : 8 = 504 dư 4, tức là 504 chu kỳ đủ và 4 chữ cái thừa ra.
Bước 3: 504 chu kỳ đủ có 504 × 2 = 1008 lần.
4 chữ cái thừa ra là đầu chu kỳ (HONG) có 1 lần.
Bước 4: Cộng lại: 1008 + 1 = 1009.
Vậy có 1009 chữ O trong 4036 chữ cái đầu.
Mẹo: phần dư phải đếm riêng trên đúng các vị trí đầu chu kỳ, không đoán theo trung bình.
Câu 41 điểm

Two primes (số nguyên tố) that differ by 2 (with exactly one whole number between them) are twin primes, e.g. (5, 7). How many pairs of twin primes are there from 1 to 99?
Hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 (ở giữa có đúng một số tự nhiên) gọi là một cặp số nguyên tố sinh đôi, ví dụ (5, 7). Từ 1 đến 99 có bao nhiêu cặp số nguyên tố sinh đôi?
1. A. 7
2. B. 8
3. C. 9
4. D. 12
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 8

Nhận dạng: đếm cặp số nguyên tố hơn kém nhau 2.
Ý tưởng: viết các số nguyên tố từ 1 đến 99, ghép mỗi số với số lớn hơn nó 2.
Bước 1: Các số nguyên tố đến 99: 2, 3, 5, 7, …, 97 (25 số).
Bước 2: Các cặp sinh đôi: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).
Số 2 không ghép được vì 2 + 2 = 4 là hợp số.
Vậy có 8 cặp.
Câu 51 điểm

Given x > 0 and x = √(6√(6√(6√…))), find x.
Cho x > 0 và x = √(6√(6√(6√…))). Tìm x.
1. A. 36
2. B. 6
3. C. 12
4. D. √6
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. 6

Nhận dạng: căn lồng vô hạn, phần nằm dưới dấu căn lặp lại đúng biểu thức ban đầu.
Ý tưởng: thay phần lặp bằng x, bình phương hai vế ra phương trình bậc hai, chỉ lấy nghiệm dương.
Bước 1: Phần dưới dấu căn đầu tiên là 6√(6√…) = 6x, nên x = √(6x).
Bước 2: Bình phương: x² = 6x.
Bước 3: x > 0, chia hai vế cho x: x = 6.
Vậy x = 6.
Câu 61 điểm

Line d passes through A(−3; −14) and has slope (hệ số góc) 7/3. Find the x-coordinate of its intersection with the x-axis.
Đường thẳng d đi qua A(−3; −14) và có hệ số góc 7/3. Tìm hoành độ giao điểm của d với trục Ox.
1. A. 2
2. B. 3
3. C. 4
4. D. 11
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 3

Nhận dạng: biết một điểm và hệ số góc của đường thẳng.
Ý tưởng: d có dạng y = ax + b với a là hệ số góc, thay toạ độ A để tìm b.
Bước 1: d có dạng y = 7/3 × x + b.
Bước 2: Thay A: −14 = 7/3 × (−3) + b = −7 + b, nên b = −7.
Bước 3: Giao với Ox khi y = 0: 7/3 × x = 7, x = 7 : 7/3 = 3.
Vậy hoành độ giao điểm là 3.
Câu 71 điểm

A box contains 42 black cards, 49 blue cards, 9 purple cards and 9 pink cards. Blindfolded, what is the least number of cards to take out to be sure of having 32 of the same colour?
Một hộp có 42 tấm thẻ đen, 49 tấm thẻ xanh, 9 tấm thẻ tím và 9 tấm thẻ hồng. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu tấm thẻ để chắc chắn có 32 tấm thẻ cùng màu?
1. A. 80
2. B. 81
3. C. 125
4. D. 128
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: B. 81

Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 32 tấm thẻ cùng màu, các màu có số lượng khác nhau.
Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy được nhiều nhất mà chưa tới 32;
màu có ít hơn 32 thì lấy hết.
Bước 1: Màu có ít hơn 32 tấm thẻ: 9 tím và 9 hồng, lấy hết.
Bước 2: Màu đen và xanh lấy mỗi màu 32 − 1 = 31.
Bước 3: Cộng: 31 + 31 + 9 + 9 = 80;
vẫn chưa có 32 tấm thẻ cùng màu.
Bước 4: Tấm thẻ tiếp theo thuộc một màu đã có 31: 80 + 1 = 81.
Vậy cần lấy ít nhất 81 tấm thẻ.
Mẹo: đừng lấy 4 × 31 + 1, vì có màu không đủ 31 tấm thẻ.
Câu 81 điểm

Find the minimum value of A = 3x² + 24x + 72.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x² + 24x + 72.
1. A. 120
2. B. 24
3. C. 72
4. D. −24
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: B. 24

Nhận dạng: tam thức bậc hai có hệ số của x² là 3 > 0, hỏi giá trị nhỏ nhất.
Ý tưởng: viết A = 3(x + 4)² + (hằng số), vì bình phương luôn ≥ 0.
Bước 1: Đặt 3 làm thừa số chung của hai hạng tử chứa x: A = 3(x² + 8x) + 72.
Bước 2: x² + 8x = (x + 4)² − 16 (nửa hệ số của x là 8 : 2 = 4).
Nên A = 3[(x + 4)² − 16] + 72 = 3(x + 4)² − 48 + 72 = 3(x + 4)² + 24.
Bước 3: (x + 4)² ≥ 0, bằng 0 khi x + 4 = 0, tức là x = −4.
Bước 4: A ≥ 24.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24.
Câu 91 điểm

An and Dung ride motorbikes from the two ends of a 456 km road towards each other and meet after 4 hours. An is 6 km/h faster than Dung. How far has An travelled?
Bác An và bác Dũng đi xe máy từ hai đầu một con đường dài 456 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 4 giờ. Bác An đi nhanh hơn bác Dũng 6 km/h. Tính quãng đường bác An đã đi.
1. A. 60
2. B. 114
3. C. 216
4. D. 240
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: D. 240

Nhận dạng: hai người đi ngược chiều, biết quãng đường, thời gian gặp nhau và quan hệ giữa hai vận tốc.
Ý tưởng: ngược chiều thì mỗi giờ lại gần nhau bằng tổng vận tốc;
tìm tổng vận tốc rồi chia theo hiệu hoặc tỉ số.
Bước 1: Hai người đi ngược chiều, mỗi giờ lại gần nhau bằng tổng vận tốc: 456 : 4 = 114 km/h.
Bước 2: Tổng hai vận tốc là 114, hiệu là 6.
Vận tốc người nhanh: (114 + 6) : 2 = 60 km/h;
người chậm: (114 − 6) : 2 = 54 km/h.
Bước 3: Kiểm: 60 + 54 = 114, 60 − 54 = 6.
Bước 4: Bác An đã đi 60 × 4 = 240 km.
Vậy đáp án là 240.
Mẹo: tổng vận tốc = quãng đường : thời gian, chú ý đổi đơn vị thời gian.
Câu 101 điểm

Find the largest three-digit number N such that N leaves remainders (số dư) 6 and 13 when divided by 8 and 15 respectively.
Tìm số lớn nhất có ba chữ số mà chia cho 8 và 15 lần lượt dư 6 và 13.
1. A. 718
2. B. 838
3. C. 958
4. D. 962
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 958

Nhận dạng: số chia cho nhiều số có số dư cùng kém số chia.
Ý tưởng: gọi N là số cần tìm, thì N + 2 là bội chung, tức là bội của BCNN.
Bước 1: Mỗi số dư kém số chia 2 đơn vị (8 − 6 = 2, 15 − 13 = 2), nên N + 2 chia hết cho cả 8 và 15.
Bước 2: BCNN(8, 15) = 8 × 15 = 120 (các số nguyên tố cùng nhau), nên N = 120 × t − 2 (t là số tự nhiên).
Bước 3: 120 × t ≤ 999 + 2 = 1001;
1001 : 120 = 8 (dư 41), t lớn nhất là 8: N = 120 × 8 − 2 = 958.
Vậy số cần tìm là 958.

Câu 11–40 (30 câu) có trong đề thi thử trên app.

Phần 2: Achievers' Section (10 câu × 2 điểm)

Câu 41–50 (10 câu) có trong đề thi thử trên app.

Đáp án đề thi CREST (CMO) lớp 9 (10 câu đầu)

Câu	Đáp án
Câu 1	A. 24
Câu 2	B. 112
Câu 3	B. 1009
Câu 4	B. 8
Câu 5	B. 6
Câu 6	B. 3
Câu 7	B. 81
Câu 8	B. 24
Câu 9	D. 240
Câu 10	C. 958

Đề thi khác

Đề CREST (CMO) khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức CREST (CMO).

Câu hỏi thường gặp

Đề thi CREST (CMO) lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia CREST (CMO) lớp 9 có 50 câu, làm trong 60 phút, tối đa 60 điểm.

Làm đề thi thử CREST (CMO) lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề CREST (CMO) mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.