Các chữ cái a, b, c, d là chữ số khác 0, mỗi biểu thức dưới đây là một số bốn chữ số viết liền. Cho abcd + dabc + cdab + bcda = 17776. Biết a = 1, b = 3, c = 9. Tìm d. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Đáp án: B. 3. Nhận dạng: tổng các số hoán vị vòng của một số bốn chữ số, tìm tổng chữ số hay một chữ số. Ý tưởng: mỗi chữ số đứng đủ 4 hàng nên tổng bằng 1111 nhân tổng các chữ số. Bước 1: Mỗi chữ số lần lượt đứng ở cả 4 hàng (nghìn, trăm, chục, đơn vị) đúng một lần trong 4 số. Bước 2: Nên tổng bằng (1000 + 100 + 10 + 1) × (a + b + c + d) = 1111 × (a + b + c + d) = 17776. Bước 3: a + b + c + d = 17776 : 1111 = 16. Bước 4: d = 16 − (1 + 3 + 9) = 16 − 13 = 3. Vậy d bằng 3. Mẹo: tổng các chữ số tối đa là 36, dùng để loại nhanh.

Dãy số có a₁ = 5/2, mỗi số hạng sau bằng 1 chia cho (1 trừ số hạng đứng ngay trước nó), tức là a(n+1) = 1/(1 − a(n)). Tìm số hạng thứ 2024 của dãy. A. −1/3 B. 5/2 C. −2/3 D. 3/5

Đáp án: C. −2/3. Nhận dạng: dãy cho bằng công thức truy hồi phân thức, hỏi một số hạng ở vị trí rất xa. Ý tưởng: tính vài số đầu để thấy chu kỳ 3, rồi lấy số thứ tự chia 3 lấy dư (dư 0 là số cuối chu kỳ). Bước 1: Tính các số đầu: số thứ hai = 1/(1 − 5/2) = −2/3; số thứ ba = 1/(1 − (−2/3)) = 3/5; số thứ tư = 1/(1 − 3/5) = 5/2 = số thứ nhất, nên dãy lặp theo chu kỳ 3: 5/2, −2/3, 3/5. Bước 2: Chia: 2024 : 3 = 674 dư 2. Bước 3: Dư 2: số thứ 2024 giống số thứ 2 của chu kỳ, là −2/3. Vậy số hạng thứ 2024 là −2/3.

Nam mua một chiếc áo và một chiếc quần. Nếu giá chiếc áo giảm 50% và giá chiếc quần giảm 20% thì phải trả 301 nghìn đồng. Nếu giá cả hai món cùng giảm 20% thì phải trả 436 nghìn đồng. Hỏi giá gốc của chiếc quần là bao nhiêu nghìn đồng? A. 95 B. 301 C. 450 D. 545

Đáp án: A. 95. Nhận dạng: mua hai món, giá hai món đổi theo phần trăm khác nhau hoặc cùng nhau, cho hai tổng tiền, tìm giá gốc. Ý tưởng: tổng giá gốc suy ra từ lần đổi giá đồng loạt, rồi lập phương trình một ẩn cho lần đổi giá khác nhau. Bước 1: Gọi p là giá gốc chiếc áo, q là giá gốc chiếc quần. Cả hai cùng giảm 20% nên tổng giá mới là (p + q) × 0,8 = 436, suy ra p + q = 436 : 0,8 = 545. Bước 2: Phương án thứ nhất: 0,5 × p + 0,8 × q = 301. Thay q = 545 − p: 0,5 × p + 0,8 × (545 − p) = 301. Bước 3: Khai triển: 0,5 × p + 436 − 0,8 × p = 301, tức 436 − 0,3 × p = 301, nên 0,3 × p = 436 − 301 = 135. Bước 4: p = 135 : 0,3 = 450; q = 545 − 450 = 95. Bước 5: Kiểm: 0,5 × 450 + 0,8 × 95 = 225 + 76 = 301. Vậy giá gốc của chiếc quần là 95 nghìn đồng. Mẹo: đổi giá đồng loạt cho biết ngay tổng giá gốc.

Quanh một hồ nước hình tròn đường kính 196 m, người ta trồng cây cách đều nhau 4,4 m dọc bờ hồ. Lấy π = 22/7. Trồng được bao nhiêu cây? A. 139 B. 140 C. 141 D. 616

Đáp án: B. 140. Nhận dạng: đếm cọc hay cây cách đều quanh hình khép kín. Ý tưởng: tìm độ dài đường, chia cho khoảng cách được số khoảng, rồi đổi sang số cây theo đường kín hay hở. Bước 1: Chu vi hồ: 22/7 × 196 = 616 m. Bước 2: Bờ hồ là đường khép kín nên số cây bằng số khoảng cách giữa các cây: 616 : 4,4 = 140. Vậy trồng được 140 cây. Mẹo: đường khép kín thì số cây bằng số khoảng, đường thẳng hai đầu có cây thì cộng thêm 1.

Một cốc đầy sữa nặng 210 g; khi chỉ còn 2/5 cốc sữa thì nặng 138 g. Phần sữa trong cốc đầy nặng bao nhiêu gam? A. 90 B. 120 C. 138 D. 174

Đáp án: B. 120. Nhận dạng: cân một vật chứa khi đầy và khi còn một phần, hỏi khối lượng vật chứa hoặc chất bên trong. Ý tưởng: hiệu hai lần cân chính là khối lượng phần chất lỏng đã bớt, từ đó suy ra cả phần chất lỏng rồi cốc rỗng. Bước 1: Gọi lượng sữa trong cốc đầy là 1 phần; hai lần cân hơn kém nhau đúng phần sữa đã bỏ đi. Bước 2: Phần bỏ đi là 1 − 2/5 = 3/5 cốc sữa, nặng 210 − 138 = 72 g. Bước 3: Cả cốc sữa đầy nặng: 72 : 3/5 = 120 g. Bước 4: Cốc rỗng: 210 − 120 = 90 g. Vậy phần sữa trong cốc đầy nặng 120 g. Mẹo: đừng lấy hai lần cân chia đôi, phải chia theo phần chất lỏng đã bớt.

Đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm M(−2; 20). Tìm a. A. −5 B. 1/5 C. −10 D. 5

Đáp án: D. 5. Nhận dạng: đồ thị hàm số y = ax² đi qua một điểm cho trước. Ý tưởng: điểm nằm trên đồ thị thì toạ độ thoả mãn công thức; thay vào tìm a, rồi dùng công thức để tính. Bước 1: M thuộc đồ thị nên 20 = a × (−2)² = 4a, do đó a = 20 : 4 = 5. Vậy a = 5.

Tìm số x biết 6 = √(x + √(x + √(x + …))). A. 24 B. 30 C. 36 D. 42

Đáp án: B. 30. Nhận dạng: căn lồng vô hạn biết giá trị, tìm số dưới căn. Ý tưởng: phần lặp √(x + …) chính là giá trị 6 đã cho; thay vào rồi bình phương. Bước 1: Phần dưới dấu căn đầu tiên là x + √(x + …), mà √(x + …) chính là 6. Bước 2: Nên 6 = √(x + 6). Bước 3: Bình phương: 36 = x + 6, nên x = 36 − 6 = 30. Vậy x = 30.

Các số a, b, c, d thoả mãn hệ: 6a + b + c + d = 5; a + 6b + c + d = 50; a + b + 6c + d = 15; a + b + c + 6d = 20. Tìm b. A. 20/3 B. 8 C. 50/9 D. 10

Đáp án: B. 8. Nhận dạng: mỗi phương trình có một ẩn mang hệ số 6, các ẩn còn lại hệ số 1. Ý tưởng: cộng tất cả để ra tổng S của các ẩn; mỗi phương trình là S cộng thêm phần dư của một ẩn. Bước 1: Mỗi ẩn có tổng hệ số 6 + 1 + 1 + 1 = 9; cộng vế: 9(a + b + c + d) = 5 + 50 + 15 + 20 = 90, nên S = a + b + c + d = 90 : 9 = 10. Bước 2: Phương trình có 6b là S + 5b = 50. Bước 3: 5b = 50 − 10 = 40, nên b = 40 : 5 = 8. Vậy b = 8.

Hai số nguyên dương x, y thoả mãn cả ba phương trình x + 5y² = 249; 5y + xy = 63; x + 5y = 39. Tính x − 3y. A. −5 B. −17 C. 25 D. 11

Đáp án: B. −17. Nhận dạng: hệ ba phương trình hai ẩn, hai phương trình cùng có x đứng riêng. Ý tưởng: trừ hai phương trình đó cho mất x, còn phương trình bậc hai của y; lấy nghiệm nguyên dương rồi thử phương trình thứ ba. Bước 1: Lấy (x + 5y² = 249) trừ (x + 5y = 39): 5y² − 5y = 210, chia cho 5: y² − y = 42, tức là y² − y − 42 = 0. Bước 2: 42 = 7 × 6 và 7 − 6 = 1, nên (y − 7)(y + 6) = 0; y nguyên dương nên y = 7. Bước 3: x = 39 − 5 × 7 = 4. Bước 4: Thử (5y + xy = 63): 5 × 7 + 4 × 7 = 35 + 28 = 63, đúng. Bước 5: x − 3y = 4 − 3 × 7 = −17. Vậy x − 3y = −17.

Cho A = √(14 + √(14 + √(14 + √(14 + √14)))). Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn A. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Đáp án: B. 4. Nhận dạng: căn lồng hữu hạn, các tầng cùng một số. Ý tưởng: kẹp từng tầng giữa hai số nguyên liên tiếp, từ trong ra ngoài. Bước 1: 3² = 9 √(14 + 3) = √17, mà 17 > 16 = 4², nên tầng thứ hai lớn hơn 4; các tầng ngoài còn lớn hơn, nên A > 4. Vậy 4 < A < 5, số nguyên lớn nhất nhỏ hơn A là 4.

Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 1323? A. 6 B. 7 C. 11 D. 12

Đáp án: D. 12. Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn. Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 1323 : 3 = 441, : 3 = 147, : 3 = 49, : 7 = 7, : 7 = 1. Vậy 1323 = 3³ × 7². Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn; số mũ của 3 chọn từ 0 đến 3: 4 cách; số mũ của 7 chọn từ 0 đến 2: 3 cách. Bước 3: Số ước = (3 + 1) × (2 + 1) = 4 × 3 = 12. Vậy 1323 có 12 ước. Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.

2021²⁰²⁶ chia cho 6 dư bao nhiêu? A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

Đáp án: A. 1. Nhận dạng: số dư của một luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: số dư của các luỹ thừa khi chia cho 6 lặp lại theo chu kỳ, nên chỉ cần tìm chu kỳ rồi chia số mũ. Bước 1: 2021 chia 6 dư 5, nên 2021²⁰²⁶ chia 6 có cùng số dư với 5²⁰²⁶. Bước 2: Nhân dần với 5 rồi lấy dư khi chia 6: 5, 5 × 5 = 25 dư 1, rồi lặp lại. Chu kỳ số dư: 5, 1 (dài 2). Bước 3: 2026 = 2 × 1013 chia hết cho 2, nên lấy số dư cuối của chu kỳ: 1. Vậy số dư là 1.

Bảo có một số viên kẹo nhiều hơn 400 và ít hơn 600, là một số chẵn. Xếp vào mỗi túi 19 viên kẹo thì còn thừa 3 viên kẹo. Hỏi Bảo có nhiều nhất bao nhiêu viên kẹo? A. 554 B. 592 C. 593 D. 630

Đáp án: B. 592. Nhận dạng: số đồ chia cho 19 dư 3, là số chẵn trong một khoảng. Ý tưởng: gọi N là số viên kẹo, viết N = 19 × t + 3, tìm t ở đầu khoảng rồi chỉnh tính chẵn lẻ. Bước 1: Mỗi túi 19 viên kẹo, thừa 3, nên N = 19 × t + 3 (t là số túi). Bước 2: 400 < N < 600, tức là 401 ≤ N ≤ 599. 19 × t + 3 ≤ 599 nên 19 × t ≤ 596; 596 : 19 = 31 (dư 7), t lớn nhất là 31: N = 19 × 31 + 3 = 592. Bước 3: 592 là số chẵn, đúng yêu cầu. Vậy Bảo có nhiều nhất 592 viên kẹo.

Trong các số 1, 2, 3, …, 4200, có bao nhiêu số có ƯCLN với 42 bằng 1? A. 1200 B. 1212 C. 1300 D. 2100

Đáp án: A. 1200. Nhận dạng: đếm số nguyên tố cùng nhau với 42 trong một đoạn dài. Ý tưởng: a và a + 42 có cùng ƯCLN với 42, nên mỗi nhóm 42 số liên tiếp có số lượng như nhau. Bước 1: 42 = 2 × 3 × 7: số nguyên tố cùng nhau với 42 là số không chia hết cho 2, 3 hoặc 7. Bước 2: Từ 1 đến 42 có 12 số: 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41. Bước 3: 4200 = 42 × 100, có 100 nhóm: 12 × 100 = 1200. Vậy có 1200 số.

Có bao nhiêu số nguyên dương n từ 1 đến 2026 để 2027ⁿ có chữ số tận cùng là 9? A. 506 B. 507 C. 508 D. 509

Đáp án: B. 507. Nhận dạng: biết chữ số tận cùng của 2027ⁿ, tìm n. Ý tưởng: chữ số tận cùng của luỹ thừa 2027 lặp chu kỳ 4, nên n phải có số dư đúng khi chia cho 4. Bước 1: 2027 tận cùng 7: 7¹ = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7⁴ = 2401: chữ số tận cùng 7, 9, 3, 1 rồi lặp lại (chu kỳ 4). Bước 2: Tận cùng 9 là số thứ 2 của chu kỳ, nên n chia 4 dư 2. Bước 3: 2026 : 4 = 506 (dư 2), nên số cuối là 4 × 506 + 2 = 2026. Các số đó là 2, 6, …, 2026: có (2026 − 2) : 4 + 1 = 507 số. Vậy có 507 số.

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm), ∠AMB = 120°. Tính ∠AOB (độ). A. 30 B. 60 C. 120 D. 300

Đáp án: B. 60. Nhận dạng: hai tiếp tuyến cắt nhau tại M, bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm. Ý tưởng: tứ giác OAMB có hai góc vuông ở A và B, tổng bốn góc là 360°. Bước 1: ∠OAM = ∠OBM = 90°, trong tứ giác OAMB: ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 120° = 60°. Vậy ∠AOB = 60°.

Ghép 376 hình vuông cạnh 1 cm thành một hình chữ nhật (dùng hết, không chồng lên nhau). Chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhật là bao nhiêu xăng-ti-mét? A. 55 B. 110 C. 112 D. 196

Đáp án: B. 110. Nhận dạng: ghép hết các ô vuông thành hình chữ nhật, tìm chu vi nhỏ nhất. Ý tưởng: hình chữ nhật gồm m hàng, n cột với m × n = 376, hai số càng gần nhau thì chu vi càng nhỏ. Bước 1: Cặp ước gần nhau nhất: 376 = 8 × 47. Bước 2: Hai cạnh dài 8 cm và 47 cm. Bước 3: Chu vi = 2 × (8 + 47) = 110 (cm). Vậy chu vi nhỏ nhất là 110 cm.

Từ điểm M ngoài đường tròn tâm O bán kính 3 cm kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với ∠AMB = 60°. Tính MO. A. 3 B. 5 C. 6 D. 9

Đáp án: C. 6. Nhận dạng: hai tiếp tuyến, MO là tia phân giác của góc AMB. Ý tưởng: tam giác OAM vuông tại A có ∠AMO = 30°, cạnh đối diện góc 30° bằng nửa cạnh huyền. Bước 1: ∠AMO = 60° : 2 = 30°, OA ⊥ MA. Bước 2: OA = MO : 2 (đối diện góc 30°), nên MO = 2 × 3 = 6 (cm). Vậy MO = 6 cm.

Hình vuông ABCD cạnh 14 cm. Tại mỗi đỉnh vẽ một cung tròn tâm là đỉnh đó, bán kính 7 cm (nằm trong hình vuông). Tính diện tích phần hình vuông nằm ngoài bốn cung tròn (lấy π = 3,14). A. 157,535 B. 153,86 C. 42,14 D. 84,28

Đáp án: C. 42,14. Nhận dạng: bốn phần tư hình tròn bằng nhau ở bốn góc. Ý tưởng: bốn phần tư hình tròn ghép lại thành một hình tròn bán kính bằng nửa cạnh. Bước 1: Bốn phần tư = một hình tròn: 3,14 × 7 × 7 = 153,86. Bước 2: Phần còn lại = 196 − 153,86 = 42,14. Vậy diện tích phần còn lại là 42,14 cm².

Tam giác ABC có AB = 42, AC = 58, BC = 40. Tính tan C. A. 21/29 B. 20/29 C. 20/21 D. 21/20

Đáp án: D. 21/20. Nhận dạng: ba cạnh là một bộ ba Pytago, hỏi tan một góc. Ý tưởng: kiểm tra tổng bình phương hai cạnh nhỏ bằng bình phương cạnh lớn để thấy tam giác vuông. Bước 1: Cạnh lớn nhất AC = 58; 40 × 40 + 42 × 42 = 1600 + 1764 = 3364 = 58 × 58, nên tam giác vuông tại B (Pytago đảo). Bước 2: tan của góc nhọn = cạnh đối : cạnh kề; với góc C, cạnh đối là AB = 42, cạnh kề là BC = 40. Bước 3: tan C = 42 : 40 = 21/20. Vậy tan C = 21/20.

Một hộp có 25 chiếc kẹo cam, 9 chiếc kẹo vàng và 6 chiếc kẹo hồng. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc kẹo để chắc chắn có 13 chiếc kẹo cùng màu? A. 27 B. 28 C. 37 D. 39

Đáp án: B. 28. Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 13 chiếc kẹo cùng màu, các màu có số lượng khác nhau. Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy được nhiều nhất mà chưa tới 13; màu có ít hơn 13 thì lấy hết. Bước 1: Màu có ít hơn 13 chiếc kẹo: 9 vàng và 6 hồng, lấy hết. Bước 2: Màu cam lấy 13 − 1 = 12. Bước 3: Cộng: 12 + 9 + 6 = 27; vẫn chưa có 13 chiếc kẹo cùng màu. Bước 4: Chiếc kẹo tiếp theo thuộc một màu đã có 12: 27 + 1 = 28. Vậy cần lấy ít nhất 28 chiếc kẹo. Mẹo: đừng lấy 3 × 12 + 1, vì có màu không đủ 12 chiếc kẹo.

Số báo danh của mỗi thí sinh là một số có 4 chữ số khác nhau, chữ số đầu khác 0, chỉ dùng các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9. Có nhiều nhất bao nhiêu số báo danh là số chẵn? A. 540 B. 720 C. 750 D. 840

Đáp án: C. 750. Nhận dạng: lập số chẵn có các chữ số khác nhau từ các chữ số cho trước. Ý tưởng: chọn chữ số cuối trước, tách hai trường hợp cuối là 0 và cuối khác 0 (vì 0 không đứng đầu). Bước 1: Đề cho 8 chữ số. Số chẵn có chữ số cuối chẵn: 0, 2, 6 hoặc 8. Bước 2 (cuối là 0): hàng nghìn: 8 − 1 = 7 cách, hàng trăm: 8 − 2 = 6 cách, hàng chục: 8 − 3 = 5 cách. Có 7 × 6 × 5 = 210 số. Bước 3 (cuối là 2, 6 hoặc 8): 3 cách chọn chữ số cuối; hàng nghìn khác 0 và khác chữ số cuối: 8 − 2 = 6 cách; hàng trăm: 8 − 2 = 6 cách, hàng chục: 8 − 3 = 5 cách. Có 3 × 6 × 6 × 5 = 540 số. Bước 4: Cộng hai trường hợp: 210 + 540 = 750. Vậy có 750 số. Mẹo: tính gộp 4 × 7 × 6 × 5 = 840 là sai, vì khi cuối khác 0 thì hàng đầu không được là 0.

Biểu đồ quạt tròn biểu diễn tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) theo câu lạc bộ của một nhóm. Quạt Cờ vua có góc ở tâm 108° và ứng với 30 bạn. Tổng cộng có bao nhiêu bạn? A. 100 B. 200 C. 330 D. 900

Đáp án: A. 100. Nhận dạng: biểu đồ quạt tròn, góc ở tâm tỉ lệ với tần số tương đối. Ý tưởng: góc ở tâm = tần số tương đối × 360°; tần số tương đối = số lượng nhóm : cỡ mẫu (tổng). Bước 1: 108° ứng với tần số tương đối 108/360 = 3/10 = 30%. Bước 2: Cỡ mẫu: 30 : 30% = 30 × 100 : 30 = 100. Vậy có tất cả 100 bạn.

Gieo hai con xúc xắc 6 mặt: con thứ nhất ra b, con thứ hai ra c. Tính xác suất để phương trình x² − bx + c = 0 nhận x = 1 làm nghiệm. A. 31/36 B. 1/6 C. 5/18 D. 5/36

Đáp án: D. 5/36. Nhận dạng: hai xúc xắc cho hệ số, phương trình có nghiệm cho trước. Ý tưởng: thay x = 1 vào phương trình để có quan hệ giữa b và c. Bước 1: Có 6 × 6 = 36 kết quả (b, c). Bước 2: Thay x = 1: 1 − b + c = 0, nên c = b − 1. Bước 3: Giữ các cặp có c từ 1 tới 6: b = 2 cho c = 1, b = 3 cho c = 2, b = 4 cho c = 3, b = 5 cho c = 4, b = 6 cho c = 5; có 5 cặp. Bước 4: Xác suất bằng số kết quả thuận lợi chia số kết quả: 5/36. Vậy xác suất là 5/36.

Đếm các số có 4 chữ số thoả mãn: tổng các chữ số bằng 5. Có bao nhiêu số như vậy? A. 20 B. 21 C. 35 D. 56

Đáp án: C. 35. Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số mà tổng các chữ số bằng 5. Ý tưởng: hạ hàng đầu đi 1 để mọi chữ số đều ≥ 0, rồi coi như chia bi: xếp bi và vách ngăn thành hàng. Bước 1: Gọi các chữ số là a, b, c, d (a ≥ 1): a + b + c + d = 5. Đặt a = 1 + f (f ≥ 0): f + b + c + d = 5 − 1 = 4. Bước 2: Mỗi bộ số ứng với một cách xếp 4 viên bi và 3 vách thành hàng 4 + 3 = 7 chỗ (số bi giữa hai vách là một chữ số). Mọi chữ số đều không quá 5 < 10 nên bộ nào cũng hợp lệ. Bước 3: Chọn 3 chỗ đặt vách trong 7 chỗ: (7 × 6 × 5) : (3 × 2 × 1) = 35. Vậy có 35 số.

Đề thi TIMO lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Q: Đề thi TIMO lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề vòng loại TIMO lớp 9 có 25 câu, làm trong 60 phút, tối đa 100 điểm.

Q: Làm đề thi thử TIMO lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề TIMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.

Đề thi thử TIMO lớp 9 (vòng loại) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 5 câu tư duy logic × 4 điểm; 5 câu số học & đại số × 4 điểm; 5 câu lý thuyết số × 4 điểm; 5 câu hình học × 4 điểm; 5 câu tổ hợp × 4 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi TIMO.

Phần 1: Tư duy logic (5 câu × 4 điểm)

Câu 14 điểm

Các chữ cái a, b, c, d là chữ số khác 0, mỗi biểu thức dưới đây là một số bốn chữ số viết liền. Cho abcd + dabc + cdab + bcda = 17776. Biết a = 1, b = 3, c = 9. Tìm d.
The letters a, b, c, d are non-zero digits and each expression below is a four-digit number written by its digits. Given abcd + dabc + cdab + bcda = 17776. Given a = 1, b = 3, c = 9. Find d.
1. A. 2
2. B. 3
3. C. 4
4. D. 5
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 3

Nhận dạng: tổng các số hoán vị vòng của một số bốn chữ số, tìm tổng chữ số hay một chữ số.
Ý tưởng: mỗi chữ số đứng đủ 4 hàng nên tổng bằng 1111 nhân tổng các chữ số.
Bước 1: Mỗi chữ số lần lượt đứng ở cả 4 hàng (nghìn, trăm, chục, đơn vị) đúng một lần trong 4 số.
Bước 2: Nên tổng bằng (1000 + 100 + 10 + 1) × (a + b + c + d) = 1111 × (a + b + c + d) = 17776.
Bước 3: a + b + c + d = 17776 : 1111 = 16.
Bước 4: d = 16 − (1 + 3 + 9) = 16 − 13 = 3.
Vậy d bằng 3.
Mẹo: tổng các chữ số tối đa là 36, dùng để loại nhanh.
Câu 24 điểm

Dãy số có a₁ = 5/2, mỗi số hạng sau bằng 1 chia cho (1 trừ số hạng đứng ngay trước nó), tức là a(n+1) = 1/(1 − a(n)). Tìm số hạng thứ 2024 của dãy.
A sequence has a₁ = 5/2, and each next term is 1 divided by (1 minus the previous term), that is a(n+1) = 1/(1 − a(n)). Find the 2024th term of the sequence.
1. A. −1/3
2. B. 5/2
3. C. −2/3
4. D. 3/5
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. −2/3

Nhận dạng: dãy cho bằng công thức truy hồi phân thức, hỏi một số hạng ở vị trí rất xa.
Ý tưởng: tính vài số đầu để thấy chu kỳ 3, rồi lấy số thứ tự chia 3 lấy dư (dư 0 là số cuối chu kỳ).
Bước 1: Tính các số đầu: số thứ hai = 1/(1 − 5/2) = −2/3;
số thứ ba = 1/(1 − (−2/3)) = 3/5;
số thứ tư = 1/(1 − 3/5) = 5/2 = số thứ nhất, nên dãy lặp theo chu kỳ 3: 5/2, −2/3, 3/5.
Bước 2: Chia: 2024 : 3 = 674 dư 2.
Bước 3: Dư 2: số thứ 2024 giống số thứ 2 của chu kỳ, là −2/3.
Vậy số hạng thứ 2024 là −2/3.
Câu 34 điểm

Nam mua một chiếc áo và một chiếc quần. Nếu giá chiếc áo giảm 50% và giá chiếc quần giảm 20% thì phải trả 301 nghìn đồng. Nếu giá cả hai món cùng giảm 20% thì phải trả 436 nghìn đồng. Hỏi giá gốc của chiếc quần là bao nhiêu nghìn đồng?
Nam buys a shirt and a pair of trousers. If the price of a shirt is reduced by 50% and the price of a pair of trousers by 20%, he pays 301 thousand dong. If both prices are reduced by 20%, he pays 436 thousand dong. What is the original price of a pair of trousers (in thousand dong)?
1. A. 95
2. B. 301
3. C. 450
4. D. 545
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: A. 95

Nhận dạng: mua hai món, giá hai món đổi theo phần trăm khác nhau hoặc cùng nhau, cho hai tổng tiền, tìm giá gốc.
Ý tưởng: tổng giá gốc suy ra từ lần đổi giá đồng loạt, rồi lập phương trình một ẩn cho lần đổi giá khác nhau.
Bước 1: Gọi p là giá gốc chiếc áo, q là giá gốc chiếc quần.
Cả hai cùng giảm 20% nên tổng giá mới là (p + q) × 0,8 = 436, suy ra p + q = 436 : 0,8 = 545.
Bước 2: Phương án thứ nhất: 0,5 × p + 0,8 × q = 301.
Thay q = 545 − p: 0,5 × p + 0,8 × (545 − p) = 301.
Bước 3: Khai triển: 0,5 × p + 436 − 0,8 × p = 301, tức 436 − 0,3 × p = 301, nên 0,3 × p = 436 − 301 = 135.
Bước 4: p = 135 : 0,3 = 450;
q = 545 − 450 = 95.
Bước 5: Kiểm: 0,5 × 450 + 0,8 × 95 = 225 + 76 = 301.
Vậy giá gốc của chiếc quần là 95 nghìn đồng.
Mẹo: đổi giá đồng loạt cho biết ngay tổng giá gốc.
Câu 44 điểm

Quanh một hồ nước hình tròn đường kính 196 m, người ta trồng cây cách đều nhau 4,4 m dọc bờ hồ. Lấy π = 22/7. Trồng được bao nhiêu cây?
Trees are planted evenly spaced 4,4 m apart along the edge of a circular pond of diameter 196 m. Take π = 22/7. How many trees can be planted?
1. A. 139
2. B. 140
3. C. 141
4. D. 616
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 140

Nhận dạng: đếm cọc hay cây cách đều quanh hình khép kín.
Ý tưởng: tìm độ dài đường, chia cho khoảng cách được số khoảng, rồi đổi sang số cây theo đường kín hay hở.
Bước 1: Chu vi hồ: 22/7 × 196 = 616 m.
Bước 2: Bờ hồ là đường khép kín nên số cây bằng số khoảng cách giữa các cây: 616 : 4,4 = 140.
Vậy trồng được 140 cây.
Mẹo: đường khép kín thì số cây bằng số khoảng, đường thẳng hai đầu có cây thì cộng thêm 1.
Câu 54 điểm

Một cốc đầy sữa nặng 210 g; khi chỉ còn 2/5 cốc sữa thì nặng 138 g. Phần sữa trong cốc đầy nặng bao nhiêu gam?
A glass full of milk weighs 210 g; when it holds only 2/5 of the milk it weighs 138 g. How many grams does the milk in a full glass weigh?
1. A. 90
2. B. 120
3. C. 138
4. D. 174
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. 120

Nhận dạng: cân một vật chứa khi đầy và khi còn một phần, hỏi khối lượng vật chứa hoặc chất bên trong.
Ý tưởng: hiệu hai lần cân chính là khối lượng phần chất lỏng đã bớt, từ đó suy ra cả phần chất lỏng rồi cốc rỗng.
Bước 1: Gọi lượng sữa trong cốc đầy là 1 phần;
hai lần cân hơn kém nhau đúng phần sữa đã bỏ đi.
Bước 2: Phần bỏ đi là 1 − 2/5 = 3/5 cốc sữa, nặng 210 − 138 = 72 g.
Bước 3: Cả cốc sữa đầy nặng: 72 : 3/5 = 120 g.
Bước 4: Cốc rỗng: 210 − 120 = 90 g.
Vậy phần sữa trong cốc đầy nặng 120 g.
Mẹo: đừng lấy hai lần cân chia đôi, phải chia theo phần chất lỏng đã bớt.

Phần 2: Số học & Đại số (5 câu × 4 điểm)

Câu 64 điểm

Đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm M(−2; 20). Tìm a.
The graph of y = ax² passes through M(−2; 20). Find a.
1. A. −5
2. B. 1/5
3. C. −10
4. D. 5
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: D. 5

Nhận dạng: đồ thị hàm số y = ax² đi qua một điểm cho trước.
Ý tưởng: điểm nằm trên đồ thị thì toạ độ thoả mãn công thức;
thay vào tìm a, rồi dùng công thức để tính.
Bước 1: M thuộc đồ thị nên 20 = a × (−2)² = 4a, do đó a = 20 : 4 = 5.
Vậy a = 5.
Câu 74 điểm

Tìm số x biết 6 = √(x + √(x + √(x + …))).
Find x given that 6 = √(x + √(x + √(x + …))).
1. A. 24
2. B. 30
3. C. 36
4. D. 42
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: B. 30

Nhận dạng: căn lồng vô hạn biết giá trị, tìm số dưới căn.
Ý tưởng: phần lặp √(x + …) chính là giá trị 6 đã cho;
thay vào rồi bình phương.
Bước 1: Phần dưới dấu căn đầu tiên là x + √(x + …), mà √(x + …) chính là 6.
Bước 2: Nên 6 = √(x + 6).
Bước 3: Bình phương: 36 = x + 6, nên x = 36 − 6 = 30.
Vậy x = 30.
Câu 84 điểm

Các số a, b, c, d thoả mãn hệ: 6a + b + c + d = 5; a + 6b + c + d = 50; a + b + 6c + d = 15; a + b + c + 6d = 20. Tìm b.
The numbers a, b, c, d satisfy the system: 6a + b + c + d = 5; a + 6b + c + d = 50; a + b + 6c + d = 15; a + b + c + 6d = 20. Find b.
1. A. 20/3
2. B. 8
3. C. 50/9
4. D. 10
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: B. 8

Nhận dạng: mỗi phương trình có một ẩn mang hệ số 6, các ẩn còn lại hệ số 1.
Ý tưởng: cộng tất cả để ra tổng S của các ẩn;
mỗi phương trình là S cộng thêm phần dư của một ẩn.
Bước 1: Mỗi ẩn có tổng hệ số 6 + 1 + 1 + 1 = 9;
cộng vế: 9(a + b + c + d) = 5 + 50 + 15 + 20 = 90, nên S = a + b + c + d = 90 : 9 = 10.
Bước 2: Phương trình có 6b là S + 5b = 50.
Bước 3: 5b = 50 − 10 = 40, nên b = 40 : 5 = 8.
Vậy b = 8.
Câu 94 điểm

Hai số nguyên dương x, y thoả mãn cả ba phương trình x + 5y² = 249; 5y + xy = 63; x + 5y = 39. Tính x − 3y.
Positive integers x, y satisfy all three equations x + 5y² = 249; 5y + xy = 63; x + 5y = 39. Find x − 3y.
1. A. −5
2. B. −17
3. C. 25
4. D. 11
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. −17

Nhận dạng: hệ ba phương trình hai ẩn, hai phương trình cùng có x đứng riêng.
Ý tưởng: trừ hai phương trình đó cho mất x, còn phương trình bậc hai của y;
lấy nghiệm nguyên dương rồi thử phương trình thứ ba.
Bước 1: Lấy (x + 5y² = 249) trừ (x + 5y = 39): 5y² − 5y = 210, chia cho 5: y² − y = 42, tức là y² − y − 42 = 0.
Bước 2: 42 = 7 × 6 và 7 − 6 = 1, nên (y − 7)(y + 6) = 0;
y nguyên dương nên y = 7.
Bước 3: x = 39 − 5 × 7 = 4.
Bước 4: Thử (5y + xy = 63): 5 × 7 + 4 × 7 = 35 + 28 = 63, đúng.
Bước 5: x − 3y = 4 − 3 × 7 = −17.
Vậy x − 3y = −17.
Câu 104 điểm

Cho A = √(14 + √(14 + √(14 + √(14 + √14)))). Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn A.
Find the greatest integer less than A = √(14 + √(14 + √(14 + √(14 + √14)))).
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 6
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: B. 4

Nhận dạng: căn lồng hữu hạn, các tầng cùng một số.
Ý tưởng: kẹp từng tầng giữa hai số nguyên liên tiếp, từ trong ra ngoài.
Bước 1: 3² = 9 < 14 < 16 = 4², nên 3 < √14 < 4.
Bước 2: Chặn trên: 14 + 5 = 19 < 25 = 5², nên mỗi tầng √(14 + số nhỏ hơn 5) < 5;
vậy A < 5.
Bước 3: Chặn dưới: tầng thứ hai √(14 + √14) > √(14 + 3) = √17, mà 17 > 16 = 4², nên tầng thứ hai lớn hơn 4;
các tầng ngoài còn lớn hơn, nên A > 4.
Vậy 4 < A < 5, số nguyên lớn nhất nhỏ hơn A là 4.

Phần 3: Lý thuyết số (5 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 1323?
How many positive divisors does 1323 have?
1. A. 6
2. B. 7
3. C. 11
4. D. 12
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: D. 12

Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn.
Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 1323 : 3 = 441, : 3 = 147, : 3 = 49, : 7 = 7, : 7 = 1.
Vậy 1323 = 3³ × 7².
Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn;
số mũ của 3 chọn từ 0 đến 3: 4 cách;
số mũ của 7 chọn từ 0 đến 2: 3 cách.
Bước 3: Số ước = (3 + 1) × (2 + 1) = 4 × 3 = 12.
Vậy 1323 có 12 ước.
Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.
Câu 124 điểm

2021²⁰²⁶ chia cho 6 dư bao nhiêu?
Find the remainder when 2021²⁰²⁶ is divided by 6.
1. A. 1
2. B. 2
3. C. 3
4. D. 5
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: A. 1

Nhận dạng: số dư của một luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: số dư của các luỹ thừa khi chia cho 6 lặp lại theo chu kỳ, nên chỉ cần tìm chu kỳ rồi chia số mũ.
Bước 1: 2021 chia 6 dư 5, nên 2021²⁰²⁶ chia 6 có cùng số dư với 5²⁰²⁶.
Bước 2: Nhân dần với 5 rồi lấy dư khi chia 6: 5, 5 × 5 = 25 dư 1, rồi lặp lại.
Chu kỳ số dư: 5, 1 (dài 2).
Bước 3: 2026 = 2 × 1013 chia hết cho 2, nên lấy số dư cuối của chu kỳ: 1.
Vậy số dư là 1.
Câu 134 điểm

Bảo có một số viên kẹo nhiều hơn 400 và ít hơn 600, là một số chẵn. Xếp vào mỗi túi 19 viên kẹo thì còn thừa 3 viên kẹo. Hỏi Bảo có nhiều nhất bao nhiêu viên kẹo?
Bao has more than 400 and fewer than 600 candies, an even number. Putting 19 candies in each of the bags leaves 3 candies over. What is the largest possible number of candies?
1. A. 554
2. B. 592
3. C. 593
4. D. 630
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: B. 592

Nhận dạng: số đồ chia cho 19 dư 3, là số chẵn trong một khoảng.
Ý tưởng: gọi N là số viên kẹo, viết N = 19 × t + 3, tìm t ở đầu khoảng rồi chỉnh tính chẵn lẻ.
Bước 1: Mỗi túi 19 viên kẹo, thừa 3, nên N = 19 × t + 3 (t là số túi).
Bước 2: 400 < N < 600, tức là 401 ≤ N ≤ 599.
19 × t + 3 ≤ 599 nên 19 × t ≤ 596;
596 : 19 = 31 (dư 7), t lớn nhất là 31: N = 19 × 31 + 3 = 592.
Bước 3: 592 là số chẵn, đúng yêu cầu.
Vậy Bảo có nhiều nhất 592 viên kẹo.
Câu 144 điểm

Trong các số 1, 2, 3, …, 4200, có bao nhiêu số có ƯCLN với 42 bằng 1?
How many integers from 1 to 4200 are coprime to 42?
1. A. 1200
2. B. 1212
3. C. 1300
4. D. 2100
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: A. 1200

Nhận dạng: đếm số nguyên tố cùng nhau với 42 trong một đoạn dài.
Ý tưởng: a và a + 42 có cùng ƯCLN với 42, nên mỗi nhóm 42 số liên tiếp có số lượng như nhau.
Bước 1: 42 = 2 × 3 × 7: số nguyên tố cùng nhau với 42 là số không chia hết cho 2, 3 hoặc 7.
Bước 2: Từ 1 đến 42 có 12 số: 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.
Bước 3: 4200 = 42 × 100, có 100 nhóm: 12 × 100 = 1200.
Vậy có 1200 số.
Câu 154 điểm

Có bao nhiêu số nguyên dương n từ 1 đến 2026 để 2027ⁿ có chữ số tận cùng là 9?
How many positive integers n from 1 to 2026 make the last digit of 2027ⁿ equal to 9?
1. A. 506
2. B. 507
3. C. 508
4. D. 509
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: B. 507

Nhận dạng: biết chữ số tận cùng của 2027ⁿ, tìm n.
Ý tưởng: chữ số tận cùng của luỹ thừa 2027 lặp chu kỳ 4, nên n phải có số dư đúng khi chia cho 4.
Bước 1: 2027 tận cùng 7: 7¹ = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7⁴ = 2401: chữ số tận cùng 7, 9, 3, 1 rồi lặp lại (chu kỳ 4).
Bước 2: Tận cùng 9 là số thứ 2 của chu kỳ, nên n chia 4 dư 2.
Bước 3: 2026 : 4 = 506 (dư 2), nên số cuối là 4 × 506 + 2 = 2026.
Các số đó là 2, 6, …, 2026: có (2026 − 2) : 4 + 1 = 507 số.
Vậy có 507 số.

Phần 4: Hình học (5 câu × 4 điểm)

Câu 164 điểm

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm), ∠AMB = 120°. Tính ∠AOB (độ).
From a point M outside circle O, tangents MA, MB are drawn (A, B the points of tangency), ∠AMB = 120°. Find ∠AOB (degrees).
1. A. 30
2. B. 60
3. C. 120
4. D. 300
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: B. 60

Nhận dạng: hai tiếp tuyến cắt nhau tại M, bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm.
Ý tưởng: tứ giác OAMB có hai góc vuông ở A và B, tổng bốn góc là 360°.
Bước 1: ∠OAM = ∠OBM = 90°, trong tứ giác OAMB: ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 120° = 60°.
Vậy ∠AOB = 60°.
Câu 174 điểm

Ghép 376 hình vuông cạnh 1 cm thành một hình chữ nhật (dùng hết, không chồng lên nhau). Chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhật là bao nhiêu xăng-ti-mét?
376 squares of side 1 cm are put together into one rectangle (all used, no overlap). What is the smallest possible perimeter (cm)?
1. A. 55
2. B. 110
3. C. 112
4. D. 196
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: B. 110

Nhận dạng: ghép hết các ô vuông thành hình chữ nhật, tìm chu vi nhỏ nhất.
Ý tưởng: hình chữ nhật gồm m hàng, n cột với m × n = 376, hai số càng gần nhau thì chu vi càng nhỏ.
Bước 1: Cặp ước gần nhau nhất: 376 = 8 × 47.
Bước 2: Hai cạnh dài 8 cm và 47 cm.
Bước 3: Chu vi = 2 × (8 + 47) = 110 (cm).
Vậy chu vi nhỏ nhất là 110 cm.
Câu 184 điểm

Từ điểm M ngoài đường tròn tâm O bán kính 3 cm kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với ∠AMB = 60°. Tính MO.
From M outside circle O (radius 3 cm), tangents MA, MB are drawn with ∠AMB = 60°. Find MO.
1. A. 3
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 9
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: C. 6

Nhận dạng: hai tiếp tuyến, MO là tia phân giác của góc AMB.
Ý tưởng: tam giác OAM vuông tại A có ∠AMO = 30°, cạnh đối diện góc 30° bằng nửa cạnh huyền.
Bước 1: ∠AMO = 60° : 2 = 30°, OA ⊥ MA.
Bước 2: OA = MO : 2 (đối diện góc 30°), nên MO = 2 × 3 = 6 (cm).
Vậy MO = 6 cm.
Câu 194 điểm

Hình vuông ABCD cạnh 14 cm. Tại mỗi đỉnh vẽ một cung tròn tâm là đỉnh đó, bán kính 7 cm (nằm trong hình vuông). Tính diện tích phần hình vuông nằm ngoài bốn cung tròn (lấy π = 3,14).
Square ABCD has side 14 cm. At each vertex an arc centred there with radius 7 cm is drawn inside the square. Find the area of the part of the square outside the four arcs (use π = 3.14).
1. A. 157,535
2. B. 153,86
3. C. 42,14
4. D. 84,28
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: C. 42,14

Nhận dạng: bốn phần tư hình tròn bằng nhau ở bốn góc.
Ý tưởng: bốn phần tư hình tròn ghép lại thành một hình tròn bán kính bằng nửa cạnh.
Bước 1: Bốn phần tư = một hình tròn: 3,14 × 7 × 7 = 153,86.
Bước 2: Phần còn lại = 196 − 153,86 = 42,14.
Vậy diện tích phần còn lại là 42,14 cm².
Câu 204 điểm

Tam giác ABC có AB = 42, AC = 58, BC = 40. Tính tan C.
Triangle ABC has AB = 42, AC = 58, BC = 40. Find tan C.
1. A. 21/29
2. B. 20/29
3. C. 20/21
4. D. 21/20
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: D. 21/20

Nhận dạng: ba cạnh là một bộ ba Pytago, hỏi tan một góc.
Ý tưởng: kiểm tra tổng bình phương hai cạnh nhỏ bằng bình phương cạnh lớn để thấy tam giác vuông.
Bước 1: Cạnh lớn nhất AC = 58;
40 × 40 + 42 × 42 = 1600 + 1764 = 3364 = 58 × 58, nên tam giác vuông tại B (Pytago đảo).
Bước 2: tan của góc nhọn = cạnh đối : cạnh kề;
với góc C, cạnh đối là AB = 42, cạnh kề là BC = 40.
Bước 3: tan C = 42 : 40 = 21/20.
Vậy tan C = 21/20.

Phần 5: Tổ hợp (5 câu × 4 điểm)

Câu 214 điểm

Một hộp có 25 chiếc kẹo cam, 9 chiếc kẹo vàng và 6 chiếc kẹo hồng. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc kẹo để chắc chắn có 13 chiếc kẹo cùng màu?
A box contains 25 orange sweets, 9 yellow sweets and 6 pink sweets. Blindfolded, what is the least number of sweets to take out to be sure of having 13 of the same colour?
1. A. 27
2. B. 28
3. C. 37
4. D. 39
Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: B. 28

Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 13 chiếc kẹo cùng màu, các màu có số lượng khác nhau.
Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy được nhiều nhất mà chưa tới 13;
màu có ít hơn 13 thì lấy hết.
Bước 1: Màu có ít hơn 13 chiếc kẹo: 9 vàng và 6 hồng, lấy hết.
Bước 2: Màu cam lấy 13 − 1 = 12.
Bước 3: Cộng: 12 + 9 + 6 = 27;
vẫn chưa có 13 chiếc kẹo cùng màu.
Bước 4: Chiếc kẹo tiếp theo thuộc một màu đã có 12: 27 + 1 = 28.
Vậy cần lấy ít nhất 28 chiếc kẹo.
Mẹo: đừng lấy 3 × 12 + 1, vì có màu không đủ 12 chiếc kẹo.
Câu 224 điểm

Số báo danh của mỗi thí sinh là một số có 4 chữ số khác nhau, chữ số đầu khác 0, chỉ dùng các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9. Có nhiều nhất bao nhiêu số báo danh là số chẵn?
Each candidate number is a 4-digit number with different digits, not starting with 0, using only the digits 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9. At most how many candidate numbers can be even?
1. A. 540
2. B. 720
3. C. 750
4. D. 840
Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: C. 750

Nhận dạng: lập số chẵn có các chữ số khác nhau từ các chữ số cho trước.
Ý tưởng: chọn chữ số cuối trước, tách hai trường hợp cuối là 0 và cuối khác 0 (vì 0 không đứng đầu).
Bước 1: Đề cho 8 chữ số.
Số chẵn có chữ số cuối chẵn: 0, 2, 6 hoặc 8.
Bước 2 (cuối là 0): hàng nghìn: 8 − 1 = 7 cách, hàng trăm: 8 − 2 = 6 cách, hàng chục: 8 − 3 = 5 cách.
Có 7 × 6 × 5 = 210 số.
Bước 3 (cuối là 2, 6 hoặc 8): 3 cách chọn chữ số cuối;
hàng nghìn khác 0 và khác chữ số cuối: 8 − 2 = 6 cách;
hàng trăm: 8 − 2 = 6 cách, hàng chục: 8 − 3 = 5 cách.
Có 3 × 6 × 6 × 5 = 540 số.
Bước 4: Cộng hai trường hợp: 210 + 540 = 750.
Vậy có 750 số.
Mẹo: tính gộp 4 × 7 × 6 × 5 = 840 là sai, vì khi cuối khác 0 thì hàng đầu không được là 0.
Câu 234 điểm

Biểu đồ quạt tròn biểu diễn tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) theo câu lạc bộ của một nhóm. Quạt Cờ vua có góc ở tâm 108° và ứng với 30 bạn. Tổng cộng có bao nhiêu bạn?
A pie chart shows the relative frequencies (percentages) by club. The Chess sector has a central angle of 108° and stands for 30 students. How many students are there in total?
1. A. 100
2. B. 200
3. C. 330
4. D. 900
Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: A. 100

Nhận dạng: biểu đồ quạt tròn, góc ở tâm tỉ lệ với tần số tương đối.
Ý tưởng: góc ở tâm = tần số tương đối × 360°;
tần số tương đối = số lượng nhóm : cỡ mẫu (tổng).
Bước 1: 108° ứng với tần số tương đối 108/360 = 3/10 = 30%.
Bước 2: Cỡ mẫu: 30 : 30% = 30 × 100 : 30 = 100.
Vậy có tất cả 100 bạn.
Câu 244 điểm

Gieo hai con xúc xắc 6 mặt: con thứ nhất ra b, con thứ hai ra c. Tính xác suất để phương trình x² − bx + c = 0 nhận x = 1 làm nghiệm.
Roll two six-sided dice: the first shows b and the second shows c. Find the probability that x = 1 is a root of the equation x² − bx + c = 0.
1. A. 31/36
2. B. 1/6
3. C. 5/18
4. D. 5/36
Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: D. 5/36

Nhận dạng: hai xúc xắc cho hệ số, phương trình có nghiệm cho trước.
Ý tưởng: thay x = 1 vào phương trình để có quan hệ giữa b và c.
Bước 1: Có 6 × 6 = 36 kết quả (b, c).
Bước 2: Thay x = 1: 1 − b + c = 0, nên c = b − 1.
Bước 3: Giữ các cặp có c từ 1 tới 6: b = 2 cho c = 1, b = 3 cho c = 2, b = 4 cho c = 3, b = 5 cho c = 4, b = 6 cho c = 5;
có 5 cặp.
Bước 4: Xác suất bằng số kết quả thuận lợi chia số kết quả: 5/36.
Vậy xác suất là 5/36.
Câu 254 điểm

Đếm các số có 4 chữ số thoả mãn: tổng các chữ số bằng 5. Có bao nhiêu số như vậy?
Count the 4-digit numbers that have digit sum 5. How many are there?
1. A. 20
2. B. 21
3. C. 35
4. D. 56
Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: C. 35

Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số mà tổng các chữ số bằng 5.
Ý tưởng: hạ hàng đầu đi 1 để mọi chữ số đều ≥ 0, rồi coi như chia bi: xếp bi và vách ngăn thành hàng.
Bước 1: Gọi các chữ số là a, b, c, d (a ≥ 1): a + b + c + d = 5.
Đặt a = 1 + f (f ≥ 0): f + b + c + d = 5 − 1 = 4.
Bước 2: Mỗi bộ số ứng với một cách xếp 4 viên bi và 3 vách thành hàng 4 + 3 = 7 chỗ (số bi giữa hai vách là một chữ số).
Mọi chữ số đều không quá 5 < 10 nên bộ nào cũng hợp lệ.
Bước 3: Chọn 3 chỗ đặt vách trong 7 chỗ: (7 × 6 × 5) : (3 × 2 × 1) = 35.
Vậy có 35 số.

Đáp án đề thi TIMO lớp 9

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 3
Câu 2	C. −2/3
Câu 3	A. 95
Câu 4	B. 140
Câu 5	B. 120
Câu 6	D. 5
Câu 7	B. 30
Câu 8	B. 8
Câu 9	B. −17
Câu 10	B. 4
Câu 11	D. 12
Câu 12	A. 1
Câu 13	B. 592
Câu 14	A. 1200
Câu 15	B. 507
Câu 16	B. 60
Câu 17	B. 110
Câu 18	C. 6
Câu 19	C. 42,14
Câu 20	D. 21/20
Câu 21	B. 28
Câu 22	C. 750
Câu 23	A. 100
Câu 24	D. 5/36
Câu 25	C. 35

Đề thi khác

Đề TIMO khối khác: Mầm non · Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức TIMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi TIMO lớp 9 có bao nhiêu câu?