Số có hai chữ số ab (b ≠ 0) cộng với số viết ngược ba thì được 154. Tìm số ab nhỏ nhất. A. 6 B. 13 C. 56 D. 59 E. 140

Đáp án: D. 59. Nhận dạng: số có hai chữ số cộng số viết ngược. Ý tưởng: ab + ba = (10 × a + b) + (10 × b + a) = 11 × (a + b). Bước 1: 11 × (a + b) = 154, nên a + b = 14. Bước 2: a, b từ 1 đến 9, a + b = 14: các số ab là 59, 68, 77, 86, 95. Vậy số nhỏ nhất là 59.

Biết x > 0 thoả mãn x + 1/x = 10. Hỏi x³ + 1/x³ bằng bao nhiêu? A. 969 B. 970 C. 990 D. 1000 E. 1030

Đáp án: B. 970. Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi x³ + 1/x³. Ý tưởng: lập phương hai vế; hạng tử giữa là 3 × x × 1/x × (x + 1/x), tính được. Bước 1: (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3 × x × 1/x × (x + 1/x) = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x). Bước 2: 10³ = x³ + 1/x³ + 3 × 10, nên x³ + 1/x³ = 1000 − 30 = 970. Vậy x³ + 1/x³ = 970.

Tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A(3; −1) và B(−3; 7). A. 0 B. 5 C. 10 D. 15 E. 20

Đáp án: C. 10. Nhận dạng: khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng toạ độ. Ý tưởng: hiệu hoành độ và hiệu tung độ là hai cạnh góc vuông, AB là cạnh huyền (Pytago). Bước 1: Hiệu hoành độ |−3 − 3| = 6, hiệu tung độ |7 − (−1)| = 8. Bước 2: AB = √(6² + 8²) = √100 = 10. Vậy AB = 10.

Lưới ô vuông có 3 hàng, 3 cột ô. Đi từ A (góc dưới bên trái) tới B (góc trên bên phải) theo cạnh ô, mỗi bước sang phải hoặc lên trên một cạnh, không đi qua điểm P (cách A 2 ô sang phải, 2 ô lên trên). Có bao nhiêu đường đi? A. 4 B. 8 C. 12 D. 18 E. 20

Đáp án: B. 8. Nhận dạng: đếm đường đi sang phải / lên trên trên lưới, có điểm cấm. Ý tưởng: ghi số đường tới từng điểm, mỗi điểm bằng số ở điểm bên trái cộng số ở điểm bên dưới, điểm cấm ghi 0. Bước 1 (mọi điểm chỉ tới từ bên trái): Hàng có A: 1 (A), 1, 1, 1. Bước 2: Ghi tiếp từ dưới lên (hàng 1 ngay trên A), điểm chỉ có một hướng tới thì chép lại số đó. Hàng 1: 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4. Hàng 2: 1, 1 + 2 = 3, 0 (P), 4. Hàng có B: 1, 1 + 3 = 4, 4, 4 + 4 = 8. Vậy có 8 đường đi.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thoả mãn −36 ≤ 7x + 6 ≤ −8? A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

Đáp án: C. 5. Nhận dạng: bất phương trình kép bậc nhất, đếm nghiệm nguyên có điều kiện. Ý tưởng: biến đổi đồng thời ba vế cho x đứng giữa; nhân / chia số âm thì đổi chiều cả hai dấu. Bước 1: Trừ cả ba vế cho 6: −42 ≤ 7x ≤ −14. Bước 2: Chia cho 7: −6 ≤ x ≤ −2. Bước 3: Các số nguyên thoả mãn: −6, −5, −4, −3, −2. Bước 4: Đếm: 5 số. Vậy có 5 số.

Một buổi biểu diễn bán 50 vé gồm vé người lớn giá 120 nghìn đồng và vé trẻ em giá 70 nghìn đồng, thu được 4750 nghìn đồng. Hỏi đã bán bao nhiêu vé trẻ em? A. 24 B. 25 C. 26 D. 30 E. 625

Đáp án: B. 25. Nhận dạng: hai loại có giá trị (điểm, chân, tiền) khác nhau, biết tổng số lượng và tổng giá trị, tìm số lượng từng loại. Ý tưởng: giả sử tất cả cùng một loại, so với tổng thực tế để biết chênh bao nhiêu, mỗi lần đổi một cái sang loại kia thì tổng đổi một lượng cố định. Bước 1: Giả sử cả 50 vé đều là vé trẻ em: tổng là 50 × 70 = 3500 nghìn đồng. Bước 2: Thực tế tổng là 4750, nhiều hơn 4750 − 3500 = 1250 nghìn đồng. Bước 3: Mỗi lần thay một vé trẻ em bằng một vé người lớn thì tổng tăng 120 − 70 = 50 nghìn đồng. Bước 4: Số vé người lớn: 1250 : 50 = 25; số vé trẻ em: 50 − 25 = 25. Bước 5: Kiểm: 25 × 120 + 25 × 70 = 3000 + 1750 = 4750. Vậy có 25 vé trẻ em. Mẹo: kiểm lại bằng cách tính tổng giá trị.

Bác Minh và bác Hà lái ô tô đi ngược chiều từ hai thị trấn cách nhau 280 km và gặp nhau sau 4 giờ. Vận tốc của bác Minh bằng 2/5 vận tốc của bác Hà. Tính quãng đường bác Minh đã đi. A. 20 B. 70 C. 80 D. 100 E. 200

Đáp án: C. 80. Nhận dạng: hai người đi ngược chiều, biết quãng đường, thời gian gặp nhau và quan hệ giữa hai vận tốc. Ý tưởng: ngược chiều thì mỗi giờ lại gần nhau bằng tổng vận tốc; tìm tổng vận tốc rồi chia theo hiệu hoặc tỉ số. Bước 1: Tổng vận tốc: 280 : 4 = 70 km/h. Bước 2: Vận tốc bác Minh : vận tốc bác Hà = 2 : 5, nên tổng 70 km/h chia thành 2 + 5 = 7 phần. Bước 3: Một phần: 70 : 7 = 10 km/h. Bước 4: Quãng đường bác Minh đã đi: 2 × 10 × 4 = 80 km. Vậy đáp án là 80. Mẹo: tổng vận tốc = quãng đường : thời gian, chú ý đổi đơn vị thời gian.

Tổng của 21 bội của 5 liên tiếp bằng 1470. Tìm số nhỏ nhất trong 21 số đó. A. 15 B. 16 C. 20 D. 25 E. 70

Đáp án: C. 20. Nhận dạng: tổng của dãy bội của 5 liên tiếp, tìm một số trong dãy. Ý tưởng: trung bình cộng của dãy cách đều là số ở giữa, từ đó đếm bước sang số cần tìm. Bước 1: Trung bình cộng của dãy: 1470 : 21 = 70. Bước 2: Dãy cách đều có 21 số (lẻ) nên số ở giữa là số thứ 11, bằng trung bình 70. Bước 3: Hai số liền nhau hơn kém 5. Từ số thứ 11 lùi về số thứ 1 (số nhỏ nhất) là 10 bước. Bước 4: Số nhỏ nhất là 70 − 10 × 5 = 20. Vậy số nhỏ nhất là 20. Mẹo: dãy lẻ số hạng thì trung bình chính là số ở giữa.

Cho x > 0. Giá trị nhỏ nhất của B = (x² + 15x + 36)/x là bao nhiêu? A. 12 B. 21 C. 26 D. 27 E. 51

Đáp án: D. 27. Nhận dạng: tam thức chia cho x, với x > 0. Ý tưởng: tách thành x + k/x + hằng số rồi dùng AM-GM: u + v ≥ 2√(uv) với u, v > 0. Bước 1: Chia từng hạng tử cho x: B = x + 15 + 36/x = (x + 36/x) + 15. Bước 2: x × 36/x = 36, nên x + 36/x ≥ 2√36 = 2 × 6 = 12. Bước 3: B ≥ 12 + 15 = 27, dấu bằng khi x = 36/x, tức là x² = 36, x = 6. Vậy giá trị nhỏ nhất là 27.

Một thuyền đi xuôi dòng 24 km hết 2 giờ, đi ngược dòng quãng sông đó hết 4 giờ. Tính vận tốc của thuyền khi nước yên lặng (km/h). A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 E. 19

Đáp án: C. 9. Nhận dạng: thuyền đi xuôi dòng và ngược dòng cùng một quãng, hỏi vận tốc dòng nước hoặc vận tốc thuyền. Ý tưởng: tính vận tốc xuôi và ngược từ quãng : thời gian; tổng hai vận tốc gấp đôi vận tốc thuyền, hiệu gấp đôi vận tốc dòng nước. Bước 1: Gọi vb là vận tốc thuyền khi nước yên lặng, vn là vận tốc dòng nước. Xuôi dòng vận tốc vb + vn, ngược dòng vận tốc vb − vn. Bước 2: Vận tốc xuôi dòng: 24 : 2 = 12 km/h; vận tốc ngược dòng: 24 : 4 = 6 km/h. Bước 3: Cộng hai vận tốc: (vb + vn) + (vb − vn) = 2 × vb, nên vb = (12 + 6) : 2 = 9 km/h. Bước 4: Trừ hai vận tốc: (vb + vn) − (vb − vn) = 2 × vn, nên vn = (12 − 6) : 2 = 3 km/h. Vậy vận tốc thuyền khi nước yên lặng là 9 km/h. Mẹo: thời gian ngược dòng luôn dài hơn xuôi dòng.

Hai hình ■ và ★ là hai số nguyên dương, biết ■ − ★ = 10 và ■ × ★ = 24. Tính ■ + ★. A. 10 B. 13 C. 14 D. 148 E. 196

Đáp án: C. 14. Nhận dạng: hai số cho bằng hình, biết hiệu (hoặc tổng) và tích, tính một biểu thức khác của hai số. Ý tưởng: không cần tìm riêng từng số: dùng hằng đẳng thức nối bình phương tổng, bình phương hiệu và tích. Bước 1: Dùng (A + B) × (A + B) = (A − B) × (A − B) + 4 × A × B với A = ■, B = ★. Bước 2: (■ + ★) × (■ + ★) = 10 × 10 + 4 × 24 = 100 + 96 = 196. Bước 3: ■ + ★ > 0 nên ■ + ★ = √196 = 14. Bước 4: Kiểm: ■ = (14 + 10) : 2 = 12, ★ = 14 − 12 = 2; 12 − 2 = 10, 12 × 2 = 24. Vậy đáp án là 14. Mẹo: nhớ lấy căn dương vì hai số đều dương.

10 năm trước, Trang hơn Minh 16 tuổi. 12 năm nữa, tổng số tuổi của hai người là 100. Hiện nay Minh bao nhiêu tuổi? A. 18 B. 28 C. 30 D. 42 E. 46

Đáp án: C. 30. Nhận dạng: bài toán tuổi cho hiệu tuổi và tổng tuổi ở hai thời điểm khác nhau. Ý tưởng: hiệu tuổi không đổi, đưa tổng tuổi về hiện nay rồi giải theo tổng và hiệu. Bước 1: Hiệu tuổi hai người không đổi theo thời gian: Trang luôn hơn Minh 16 tuổi (cả hiện nay lẫn 12 năm nữa). Bước 2: Mỗi người thêm 12 tuổi nên tổng tuổi hiện nay là 100 − 2 × 12 = 76. Bước 3: Gọi t là tuổi Minh hiện nay, tuổi Trang là t + 16: t + (t + 16) = 76, nên 2 × t = 60, t = 30. Vậy hiện nay Minh 30 tuổi. Mẹo: năm nào cũng được cộng thêm cho cả hai người, tổng tăng gấp đôi số năm.

Tam giác ABC vuông tại A có AC = 12 cm. Điểm H nằm trên cạnh AB; kẻ HK vuông góc với BC (K nằm trên BC). Biết HK = 6 cm, BK = 8 cm. Tính AB. A. 6 B. 14 C. 16 D. 20 E. 24

Đáp án: C. 16. Nhận dạng: hai tam giác vuông BKH và BAC có chung góc nhọn B. Ý tưởng: hai tam giác vuông chung một góc nhọn thì đồng dạng, các cạnh tương ứng tỉ lệ. Bước 1: Pytago trong tam giác BKH: BH = √(8² + 6²) = 10. Bước 2: Tam giác BKH đồng dạng tam giác BAC: HK : AC = BK : BA = BH : BC = 6 : 12 = 1 : 2. Bước 3: BA = 8 × 2 = 16 (cm). Vậy AB = 16 cm.

Lớp có 26 học sinh. Có 15 bạn học Toán, 8 bạn học Văn, 11 bạn học Anh; 4 bạn học cả Toán và Văn, 8 bạn học cả Toán và Anh, 2 bạn học cả Văn và Anh; 5 bạn không học nhóm nào. Có bao nhiêu bạn học cả ba nhóm? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 11

Đáp án: B. 1. Nhận dạng: ba nhóm có phần chung, dùng bao hàm loại trừ (công thức cho ba tập). Ý tưởng: cộng ba nhóm, trừ từng phần chung hai nhóm (bị đếm hai lần), cộng lại phần chung cả ba (bị trừ hết). Bước 1: Số bạn học ít nhất một nhóm: 26 − 5 = 21. Bước 2: Gọi x là số bạn học cả ba: 15 + 8 + 11 − 4 − 8 − 2 + x = 21. Bước 3: 20 + x = 21, nên x = 21 − 20 = 1. Vậy có 1 bạn học cả ba nhóm.

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất lớn hơn 500 sao cho 1997ⁿ có chữ số tận cùng là 7. A. 491 B. 496 C. 501 D. 506 E. 511

Đáp án: C. 501. Nhận dạng: biết chữ số tận cùng của 1997ⁿ, tìm n. Ý tưởng: chữ số tận cùng của luỹ thừa 1997 lặp chu kỳ 4, nên n phải có số dư đúng khi chia cho 4. Bước 1: 1997 tận cùng 7: 7¹ = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7⁴ = 2401: chữ số tận cùng 7, 9, 3, 1 rồi lặp lại (chu kỳ 4). Bước 2: Tận cùng 7 là số thứ 1 của chu kỳ, nên n chia 4 dư 1. Bước 3: 500 : 4 = 125, nên số đầu tiên lớn hơn 500 mà chia 4 dư 1 là 4 × 125 + 1 = 501. Vậy n = 501.

Bình có 7 tấm thẻ, mỗi thẻ ghi một chữ số: 0, 1, 3, 4, 6, 7, 8. Bình chọn 4 thẻ xếp thành một hàng để được một số có 4 chữ số (thẻ 0 không đứng đầu). Có bao nhiêu cách xếp được số lẻ không chia hết cho 5?

Đáp án: 300. Nhận dạng: lập số lẻ không chia hết cho 5 có các chữ số khác nhau. Ý tưởng: chọn hàng có điều kiện trước: chữ số cuối, rồi hàng đầu (khác 0), rồi các hàng giữa. Bước 1: Đề cho 7 chữ số. Số lẻ không chia hết cho 5 có chữ số cuối là 1, 3, 7 hoặc 9: 1, 3 hoặc 7, có 3 cách chọn chữ số cuối. Bước 2: Hàng nghìn khác 0 và khác chữ số cuối: 7 − 2 = 5 cách. Bước 3: Các hàng giữa chọn trong các chữ số còn lại: hàng trăm: 7 − 2 = 5 cách, hàng chục: 7 − 3 = 4 cách. Bước 4: Nhân: 3 × 5 × 5 × 4 = 300. Vậy có 300 số. Mẹo: chữ số cuối khác 0 nên chữ số 0 chỉ bị cấm ở hàng đầu, không phải tách trường hợp.

Dãy hình ■ ● ● ● ◆ ★ ■ ● ● ● ◆ ★ … được lặp lại mãi. Trong 1999 hình đầu tiên có bao nhiêu hình tròn?

Đáp án: 999. Nhận dạng: dãy lặp lại theo chu kỳ, hỏi số lần xuất hiện của một phần tử trong rất nhiều phần tử đầu. Ý tưởng: tìm độ dài chu kỳ, chia số phần tử cho chu kỳ, thương là số chu kỳ đủ, dư là phần thừa ra ở đầu chu kỳ. Bước 1: Một chu kỳ là ■ ● ● ● ◆ ★ có 6 hình, trong đó hình tròn xuất hiện 3 lần (ở vị trí 2, 3, 4). Bước 2: Chia số hình cho độ dài chu kỳ: 1999 : 6 = 333 dư 1, tức là 333 chu kỳ đủ và 1 hình thừa ra. Bước 3: 333 chu kỳ đủ có 333 × 3 = 999 lần. 1 hình thừa ra là đầu chu kỳ (■) không có hình tròn nào. Vậy có 999 hình tròn trong 1999 hình đầu. Mẹo: phần dư phải đếm riêng trên đúng các vị trí đầu chu kỳ, không đoán theo trung bình.

Biểu đồ quạt tròn cho biết tỉ lệ môn thể thao yêu thích (tổng cộng 160 bạn): Bóng đá 50%, Cầu lông 5%, Bơi 20%, Bóng bàn 10%, phần còn lại là Võ. Nhóm Võ có bao nhiêu bạn?

Đáp án: 24. Nhận dạng: đọc biểu đồ quạt tròn có một phần chưa ghi số. Ý tưởng: các phần cộng lại 100%; số lượng = tỉ lệ × cỡ mẫu; góc ở tâm = tỉ lệ × 360°. Bước 1: Phần Võ: 100% − (50% + 5% + 20% + 10%) = 15%. Bước 2: Số lượng: 15% × 160 = 160 × 15 : 100 = 24. Vậy có 24 bạn.

Trong hộp có 20 chiếc đũa hồng, 13 chiếc đũa vàng, 20 chiếc đũa đỏ, 9 chiếc đũa xanh và 17 chiếc đũa trắng. Một đôi đũa là hai chiếc cùng màu; các đôi không dùng chung chiếc nào. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc chắn có 2 đôi đũa?

Đáp án: 8. Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 2 đôi (cùng màu), màu nào cũng đủ nhiều. Ý tưởng: xấu nhất là mới có 2 − 1 = 1 đôi và mỗi màu còn lẻ đúng 1 chiếc chưa ghép. Bước 1: 1 đôi dùng 2 chiếc. Bước 2: Mỗi màu thêm 1 chiếc lẻ: 5 chiếc; tổng 2 + 5 = 7, vẫn chỉ 1 đôi. Bước 3: Chiếc tiếp theo cùng màu với một chiếc lẻ, thành đôi thứ 2: 7 + 1 = 8. Vậy cần lấy ít nhất 8 chiếc đũa.

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng, vòi A làm đầy bể nhanh hơn vòi B 9 giờ. Hỏi vòi A chảy một mình thì sau bao nhiêu giờ đầy bể?

Đáp án: 9. Nhận dạng: bài làm chung – làm riêng, hai thời gian hơn kém nhau. Ý tưởng: mỗi giờ làm được 1/(thời gian) bể; cộng phần của hai bên bằng 1/6, ra phương trình bậc hai. Bước 1: Gọi thời gian vòi A làm một mình là x giờ (x > 0), vòi B là x + 9 giờ. Bước 2: Mỗi giờ: 1/x + 1/(x + 9) = 1/6. Bước 3: Nhân hai vế với 6x(x + 9): 6(x + 9) + 6x = x(x + 9), tức là 12x + 54 = x² + 9x, hay x² − 3x − 54 = 0. Bước 4: (x − 9)(x + 6) = 0, nên x = 9 hoặc x = −6; x > 0 nên x = 9. Kiểm tra: 1/9 + 1/18 = 1/6. Vậy vòi A làm một mình mất 9 giờ.

Gieo 3 con xúc xắc 6 mặt (các con xúc xắc khác màu nhau). Có bao nhiêu kết quả (tính thứ tự) để tổng các số chấm bằng 6 hoặc 7?

Đáp án: 25. Nhận dạng: đếm kết quả gieo xúc xắc có tổng cho trước. Ý tưởng: tổng nhỏ: đặt vách giữa các đơn vị (mỗi số ≥ 1); tổng lớn: đổi x thành 7 − x để về tổng nhỏ. Bước 1: Có 6 × 6 × 6 = 216 kết quả. Gọi p, q, r là số chấm ba lần. Bước 2: Tổng 6: p + q + r = 6, mỗi số ≥ 1 và nhiều nhất 6 − 2 = 4 nên không vượt 6. Xếp 6 viên thành hàng có 6 − 1 = 5 khe, chọn 2 khe đặt vách: (5 × 4) : (2 × 1) = 10. Bước 3: Tổng 7: p + q + r = 7, mỗi số ≥ 1 và nhiều nhất 7 − 2 = 5 nên không vượt 6. Xếp 7 viên thành hàng có 7 − 1 = 6 khe, chọn 2 khe đặt vách: (6 × 5) : (2 × 1) = 15. Bước 4: Cộng hai trường hợp: 10 + 15 = 25. Vậy có 25 kết quả. Mẹo: tổng s và tổng 7 × n − s có số kết quả bằng nhau (đổi x thành 7 − x).

Máy tính bắt đầu với số 8. Mỗi bước máy làm như sau: Nếu số đang có là số chính phương thì thay bằng căn bậc hai của nó, nếu không thì cộng thêm 1. Sau 372 bước, máy hiện số nào?

Đáp án: 4. Nhận dạng: máy làm một thao tác theo điều kiện ở mỗi bước, hỏi số sau rất nhiều bước. Ý tưởng: tính vài bước đầu để thấy chu kỳ, rồi dùng số dư khi chia số bước cho độ dài chu kỳ. Bước 1: Tính từng bước (bước 0 là số 8): 8 → 9 → 3 → 4 → 2 → 3. Bước 2: Số 3 xuất hiện lại sau 3 bước, nên từ bước 2 trở đi dãy lặp chu kỳ 3 số: 3, 4, 2 (bước 2 cho 3). Bước 3: Số bước tính từ chu kỳ: 372 − 2 = 370. Chia cho 3: 370 = 3 × 123 + 1, dư 1. Bước 4: Dư 1 nghĩa là sau 2 bước, đi thêm 123 chu kỳ trọn rồi 1 bước nữa, được số thứ 2 của chu kỳ: 4. Vậy sau 372 bước máy hiện số 4. Mẹo: số bước trừ đi số bước trước khi vào chu kỳ rồi mới chia.

Số nguyên tố p thoả mãn p² + 2 và p³ + 10 cũng đều là số nguyên tố. Tính giá trị của p³ + 10.

Đáp án: 37. Nhận dạng: tìm số nguyên tố p để các biểu thức chứa p cũng là số nguyên tố. Ý tưởng: thử p = 2, p = 3, rồi xét p chia 3 dư 1, dư 2. Bước 1: p = 2: 2² + 2 = 6 là số chẵn lớn hơn 2: loại. Bước 2: p = 3: 3² + 2 = 11, 3³ + 10 = 37, đều là số nguyên tố. Bước 3: p lớn hơn 3 thì p chia 3 dư 1 hoặc 2, nên p² chia 3 dư 1 (1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4). Khi đó p² + 2 chia 3 cùng dư với 1 + 2 = 3, tức là chia hết cho 3, mà lớn hơn 3: hợp số. Vậy p = 3 và p³ + 10 = 37.

Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 240 nguyên tố cùng nhau với 60?

Đáp án: 64. Nhận dạng: đếm số nguyên tố cùng nhau với 60 trong một đoạn dài. Ý tưởng: a và a + 60 có cùng ƯCLN với 60, nên mỗi nhóm 60 số liên tiếp có số lượng như nhau. Bước 1: 60 = 2² × 3 × 5: số nguyên tố cùng nhau với 60 là số không chia hết cho 2, 3 hoặc 5. Bước 2: Từ 1 đến 60: 60 : 2 = 30, 30 : 3 × 2 = 20, 20 : 5 × 4 = 16, tức 16 số. Bước 3: 240 = 60 × 4, có 4 nhóm: 16 × 4 = 64. Vậy có 64 số.

Tìm giá trị nhỏ nhất của B = (x − 5)(x − 4)(x − 3)(x − 2) + 554.

Đáp án: 553. Nhận dạng: tích bốn thừa số mà các số cộng thêm cách đều nhau, hỏi giá trị nhỏ nhất. Ý tưởng: ghép thừa số đầu với cuối, hai thừa số giữa với nhau, hai tích chỉ khác nhau một hằng số. Bước 1: −5 + (−2) = −4 + (−3) = −7. (x − 5)(x − 2) = x² − 7x + 10, (x − 4)(x − 3) = x² − 7x + 12. Bước 2: Đặt t = x² − 7x + 10: B = t(t + 2) + 554 = t² + 2t + 1 − 1 + 554 = (t + 1)² + 553. Bước 3: (t + 1)² ≥ 0, bằng 0 khi t = −1, tức là x² − 7x + 11 = 0 (có nghiệm vì (−7)² − 4 × 11 = 5 > 0). Bước 4: B ≥ 553. Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 553.

Đề thi SASMO lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử SASMO lớp 9 (vòng quốc gia) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 15 câu trắc nghiệm × 2 điểm; 10 câu điền đáp án × 4 điểm. Cho sẵn 15 điểm. Trả lời sai bị trừ: trắc nghiệm −1; bỏ trống không trừ. Tối đa 85 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi SASMO.

Phần 1: Trắc nghiệm (15 câu × 2 điểm)

Câu 12 điểm · sai trừ 1

Số có hai chữ số ab (b ≠ 0) cộng với số viết ngược ba thì được 154. Tìm số ab nhỏ nhất.
A two-digit number ab (b ≠ 0) plus its reverse ba equals 154. Find the smallest such ab.
1. A. 6
2. B. 13
3. C. 56
4. D. 59
5. E. 140
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: D. 59

Nhận dạng: số có hai chữ số cộng số viết ngược.
Ý tưởng: ab + ba = (10 × a + b) + (10 × b + a) = 11 × (a + b).
Bước 1: 11 × (a + b) = 154, nên a + b = 14.
Bước 2: a, b từ 1 đến 9, a + b = 14: các số ab là 59, 68, 77, 86, 95.
Vậy số nhỏ nhất là 59.
Câu 22 điểm · sai trừ 1

Biết x > 0 thoả mãn x + 1/x = 10. Hỏi x³ + 1/x³ bằng bao nhiêu?
Given x > 0 and x + 1/x = 10, find x³ + 1/x³.
1. A. 969
2. B. 970
3. C. 990
4. D. 1000
5. E. 1030
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. 970

Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi x³ + 1/x³.
Ý tưởng: lập phương hai vế;
hạng tử giữa là 3 × x × 1/x × (x + 1/x), tính được.
Bước 1: (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3 × x × 1/x × (x + 1/x) = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x).
Bước 2: 10³ = x³ + 1/x³ + 3 × 10, nên x³ + 1/x³ = 1000 − 30 = 970.
Vậy x³ + 1/x³ = 970.
Câu 32 điểm · sai trừ 1

Tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A(3; −1) và B(−3; 7).
Find the length of the segment joining A(3; −1) and B(−3; 7).
1. A. 0
2. B. 5
3. C. 10
4. D. 15
5. E. 20
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 10

Nhận dạng: khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng toạ độ.
Ý tưởng: hiệu hoành độ và hiệu tung độ là hai cạnh góc vuông, AB là cạnh huyền (Pytago).
Bước 1: Hiệu hoành độ |−3 − 3| = 6, hiệu tung độ |7 − (−1)| = 8.
Bước 2: AB = √(6² + 8²) = √100 = 10.
Vậy AB = 10.
Câu 42 điểm · sai trừ 1

Lưới ô vuông có 3 hàng, 3 cột ô. Đi từ A (góc dưới bên trái) tới B (góc trên bên phải) theo cạnh ô, mỗi bước sang phải hoặc lên trên một cạnh, không đi qua điểm P (cách A 2 ô sang phải, 2 ô lên trên). Có bao nhiêu đường đi?
On a grid of 3 rows and 3 columns of squares, go from A (bottom left) to B (top right) along the grid lines, each move one unit right or up, avoiding the point P (2 to the right and 2 up from A). How many paths are there?
1. A. 4
2. B. 8
3. C. 12
4. D. 18
5. E. 20
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 8

Nhận dạng: đếm đường đi sang phải / lên trên trên lưới, có điểm cấm.
Ý tưởng: ghi số đường tới từng điểm, mỗi điểm bằng số ở điểm bên trái cộng số ở điểm bên dưới, điểm cấm ghi 0.
Bước 1 (mọi điểm chỉ tới từ bên trái): Hàng có A: 1 (A), 1, 1, 1.
Bước 2: Ghi tiếp từ dưới lên (hàng 1 ngay trên A), điểm chỉ có một hướng tới thì chép lại số đó.
Hàng 1: 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4.
Hàng 2: 1, 1 + 2 = 3, 0 (P), 4.
Hàng có B: 1, 1 + 3 = 4, 4, 4 + 4 = 8.
Vậy có 8 đường đi.
Câu 52 điểm · sai trừ 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thoả mãn −36 ≤ 7x + 6 ≤ −8?
How many integer values of x satisfy −36 ≤ 7x + 6 ≤ −8?
1. A. 0
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 6
5. E. 7
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: C. 5

Nhận dạng: bất phương trình kép bậc nhất, đếm nghiệm nguyên có điều kiện.
Ý tưởng: biến đổi đồng thời ba vế cho x đứng giữa;
nhân / chia số âm thì đổi chiều cả hai dấu.
Bước 1: Trừ cả ba vế cho 6: −42 ≤ 7x ≤ −14.
Bước 2: Chia cho 7: −6 ≤ x ≤ −2.
Bước 3: Các số nguyên thoả mãn: −6, −5, −4, −3, −2.
Bước 4: Đếm: 5 số.
Vậy có 5 số.
Câu 62 điểm · sai trừ 1

Một buổi biểu diễn bán 50 vé gồm vé người lớn giá 120 nghìn đồng và vé trẻ em giá 70 nghìn đồng, thu được 4750 nghìn đồng. Hỏi đã bán bao nhiêu vé trẻ em?
A show sold 50 tickets: adult tickets at 120 thousand dong and child tickets at 70 thousand dong, bringing in 4750 thousand dong. How many child tickets were sold?
1. A. 24
2. B. 25
3. C. 26
4. D. 30
5. E. 625
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 25

Nhận dạng: hai loại có giá trị (điểm, chân, tiền) khác nhau, biết tổng số lượng và tổng giá trị, tìm số lượng từng loại.
Ý tưởng: giả sử tất cả cùng một loại, so với tổng thực tế để biết chênh bao nhiêu, mỗi lần đổi một cái sang loại kia thì tổng đổi một lượng cố định.
Bước 1: Giả sử cả 50 vé đều là vé trẻ em: tổng là 50 × 70 = 3500 nghìn đồng.
Bước 2: Thực tế tổng là 4750, nhiều hơn 4750 − 3500 = 1250 nghìn đồng.
Bước 3: Mỗi lần thay một vé trẻ em bằng một vé người lớn thì tổng tăng 120 − 70 = 50 nghìn đồng.
Bước 4: Số vé người lớn: 1250 : 50 = 25;
số vé trẻ em: 50 − 25 = 25.
Bước 5: Kiểm: 25 × 120 + 25 × 70 = 3000 + 1750 = 4750.
Vậy có 25 vé trẻ em.
Mẹo: kiểm lại bằng cách tính tổng giá trị.
Câu 72 điểm · sai trừ 1

Bác Minh và bác Hà lái ô tô đi ngược chiều từ hai thị trấn cách nhau 280 km và gặp nhau sau 4 giờ. Vận tốc của bác Minh bằng 2/5 vận tốc của bác Hà. Tính quãng đường bác Minh đã đi.
Minh and Ha drive towards each other from two towns 280 km apart and meet after 4 hours. Minh's speed is 2/5 of Ha's speed. How far has Minh travelled?
1. A. 20
2. B. 70
3. C. 80
4. D. 100
5. E. 200
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 80

Nhận dạng: hai người đi ngược chiều, biết quãng đường, thời gian gặp nhau và quan hệ giữa hai vận tốc.
Ý tưởng: ngược chiều thì mỗi giờ lại gần nhau bằng tổng vận tốc;
tìm tổng vận tốc rồi chia theo hiệu hoặc tỉ số.
Bước 1: Tổng vận tốc: 280 : 4 = 70 km/h.
Bước 2: Vận tốc bác Minh : vận tốc bác Hà = 2 : 5, nên tổng 70 km/h chia thành 2 + 5 = 7 phần.
Bước 3: Một phần: 70 : 7 = 10 km/h.
Bước 4: Quãng đường bác Minh đã đi: 2 × 10 × 4 = 80 km.
Vậy đáp án là 80.
Mẹo: tổng vận tốc = quãng đường : thời gian, chú ý đổi đơn vị thời gian.
Câu 82 điểm · sai trừ 1

Tổng của 21 bội của 5 liên tiếp bằng 1470. Tìm số nhỏ nhất trong 21 số đó.
The sum of 21 consecutive multiples of 5 is 1470. Find the smallest of these 21 numbers.
1. A. 15
2. B. 16
3. C. 20
4. D. 25
5. E. 70
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: C. 20

Nhận dạng: tổng của dãy bội của 5 liên tiếp, tìm một số trong dãy.
Ý tưởng: trung bình cộng của dãy cách đều là số ở giữa, từ đó đếm bước sang số cần tìm.
Bước 1: Trung bình cộng của dãy: 1470 : 21 = 70.
Bước 2: Dãy cách đều có 21 số (lẻ) nên số ở giữa là số thứ 11, bằng trung bình 70.
Bước 3: Hai số liền nhau hơn kém 5.
Từ số thứ 11 lùi về số thứ 1 (số nhỏ nhất) là 10 bước.
Bước 4: Số nhỏ nhất là 70 − 10 × 5 = 20.
Vậy số nhỏ nhất là 20.
Mẹo: dãy lẻ số hạng thì trung bình chính là số ở giữa.
Câu 92 điểm · sai trừ 1

Cho x > 0. Giá trị nhỏ nhất của B = (x² + 15x + 36)/x là bao nhiêu?
For x > 0, find the minimum value of B = (x² + 15x + 36)/x.
1. A. 12
2. B. 21
3. C. 26
4. D. 27
5. E. 51
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: D. 27

Nhận dạng: tam thức chia cho x, với x > 0.
Ý tưởng: tách thành x + k/x + hằng số rồi dùng AM-GM: u + v ≥ 2√(uv) với u, v > 0.
Bước 1: Chia từng hạng tử cho x: B = x + 15 + 36/x = (x + 36/x) + 15.
Bước 2: x × 36/x = 36, nên x + 36/x ≥ 2√36 = 2 × 6 = 12.
Bước 3: B ≥ 12 + 15 = 27, dấu bằng khi x = 36/x, tức là x² = 36, x = 6.
Vậy giá trị nhỏ nhất là 27.
Câu 102 điểm · sai trừ 1

Một thuyền đi xuôi dòng 24 km hết 2 giờ, đi ngược dòng quãng sông đó hết 4 giờ. Tính vận tốc của thuyền khi nước yên lặng (km/h).
A boat goes 24 km downstream in 2 hours and the same stretch upstream in 4 hours. Find the speed of the boat in still water (km/h).
1. A. 3
2. B. 6
3. C. 9
4. D. 18
5. E. 19
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 9

Nhận dạng: thuyền đi xuôi dòng và ngược dòng cùng một quãng, hỏi vận tốc dòng nước hoặc vận tốc thuyền.
Ý tưởng: tính vận tốc xuôi và ngược từ quãng : thời gian;
tổng hai vận tốc gấp đôi vận tốc thuyền, hiệu gấp đôi vận tốc dòng nước.
Bước 1: Gọi vb là vận tốc thuyền khi nước yên lặng, vn là vận tốc dòng nước.
Xuôi dòng vận tốc vb + vn, ngược dòng vận tốc vb − vn.
Bước 2: Vận tốc xuôi dòng: 24 : 2 = 12 km/h;
vận tốc ngược dòng: 24 : 4 = 6 km/h.
Bước 3: Cộng hai vận tốc: (vb + vn) + (vb − vn) = 2 × vb, nên vb = (12 + 6) : 2 = 9 km/h.
Bước 4: Trừ hai vận tốc: (vb + vn) − (vb − vn) = 2 × vn, nên vn = (12 − 6) : 2 = 3 km/h.
Vậy vận tốc thuyền khi nước yên lặng là 9 km/h.
Mẹo: thời gian ngược dòng luôn dài hơn xuôi dòng.
Câu 112 điểm · sai trừ 1

Hai hình ■ và ★ là hai số nguyên dương, biết ■ − ★ = 10 và ■ × ★ = 24. Tính ■ + ★.
The shapes ■ and ★ stand for two positive integers with ■ − ★ = 10 and ■ × ★ = 24. Find ■ + ★.
1. A. 10
2. B. 13
3. C. 14
4. D. 148
5. E. 196
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: C. 14

Nhận dạng: hai số cho bằng hình, biết hiệu (hoặc tổng) và tích, tính một biểu thức khác của hai số.
Ý tưởng: không cần tìm riêng từng số: dùng hằng đẳng thức nối bình phương tổng, bình phương hiệu và tích.
Bước 1: Dùng (A + B) × (A + B) = (A − B) × (A − B) + 4 × A × B với A = ■, B = ★.
Bước 2: (■ + ★) × (■ + ★) = 10 × 10 + 4 × 24 = 100 + 96 = 196.
Bước 3: ■ + ★ > 0 nên ■ + ★ = √196 = 14.
Bước 4: Kiểm: ■ = (14 + 10) : 2 = 12, ★ = 14 − 12 = 2;
12 − 2 = 10, 12 × 2 = 24.
Vậy đáp án là 14.
Mẹo: nhớ lấy căn dương vì hai số đều dương.
Câu 122 điểm · sai trừ 1

10 năm trước, Trang hơn Minh 16 tuổi. 12 năm nữa, tổng số tuổi của hai người là 100. Hiện nay Minh bao nhiêu tuổi?
10 years ago, Trang was 16 years older than Minh. In 12 years, the sum of their ages will be 100. How old is Minh now?
1. A. 18
2. B. 28
3. C. 30
4. D. 42
5. E. 46
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 30

Nhận dạng: bài toán tuổi cho hiệu tuổi và tổng tuổi ở hai thời điểm khác nhau.
Ý tưởng: hiệu tuổi không đổi, đưa tổng tuổi về hiện nay rồi giải theo tổng và hiệu.
Bước 1: Hiệu tuổi hai người không đổi theo thời gian: Trang luôn hơn Minh 16 tuổi (cả hiện nay lẫn 12 năm nữa).
Bước 2: Mỗi người thêm 12 tuổi nên tổng tuổi hiện nay là 100 − 2 × 12 = 76.
Bước 3: Gọi t là tuổi Minh hiện nay, tuổi Trang là t + 16: t + (t + 16) = 76, nên 2 × t = 60, t = 30.
Vậy hiện nay Minh 30 tuổi.
Mẹo: năm nào cũng được cộng thêm cho cả hai người, tổng tăng gấp đôi số năm.
Câu 132 điểm · sai trừ 1

Tam giác ABC vuông tại A có AC = 12 cm. Điểm H nằm trên cạnh AB; kẻ HK vuông góc với BC (K nằm trên BC). Biết HK = 6 cm, BK = 8 cm. Tính AB.
Right triangle ABC (right angle at A) has AC = 12 cm. Point H is on AB; HK is perpendicular to BC (K on BC). Given HK = 6 cm, BK = 8 cm, find AB.
1. A. 6
2. B. 14
3. C. 16
4. D. 20
5. E. 24
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 16

Nhận dạng: hai tam giác vuông BKH và BAC có chung góc nhọn B.
Ý tưởng: hai tam giác vuông chung một góc nhọn thì đồng dạng, các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Bước 1: Pytago trong tam giác BKH: BH = √(8² + 6²) = 10.
Bước 2: Tam giác BKH đồng dạng tam giác BAC: HK : AC = BK : BA = BH : BC = 6 : 12 = 1 : 2.
Bước 3: BA = 8 × 2 = 16 (cm).
Vậy AB = 16 cm.
Câu 142 điểm · sai trừ 1

Lớp có 26 học sinh. Có 15 bạn học Toán, 8 bạn học Văn, 11 bạn học Anh; 4 bạn học cả Toán và Văn, 8 bạn học cả Toán và Anh, 2 bạn học cả Văn và Anh; 5 bạn không học nhóm nào. Có bao nhiêu bạn học cả ba nhóm?
A class has 26 students. 15 take Maths, 8 take Literature, 11 take English; 4 take both Maths and Literature, 8 take both Maths and English, 2 take both Literature and English; 5 take none of them. How many students take all three?
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 2
4. D. 3
5. E. 11
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: B. 1

Nhận dạng: ba nhóm có phần chung, dùng bao hàm loại trừ (công thức cho ba tập).
Ý tưởng: cộng ba nhóm, trừ từng phần chung hai nhóm (bị đếm hai lần), cộng lại phần chung cả ba (bị trừ hết).
Bước 1: Số bạn học ít nhất một nhóm: 26 − 5 = 21.
Bước 2: Gọi x là số bạn học cả ba: 15 + 8 + 11 − 4 − 8 − 2 + x = 21.
Bước 3: 20 + x = 21, nên x = 21 − 20 = 1.
Vậy có 1 bạn học cả ba nhóm.
Câu 152 điểm · sai trừ 1

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất lớn hơn 500 sao cho 1997ⁿ có chữ số tận cùng là 7.
Find the smallest positive integer n greater than 500 such that the last digit of 1997ⁿ is 7.
1. A. 491
2. B. 496
3. C. 501
4. D. 506
5. E. 511
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: C. 501

Nhận dạng: biết chữ số tận cùng của 1997ⁿ, tìm n.
Ý tưởng: chữ số tận cùng của luỹ thừa 1997 lặp chu kỳ 4, nên n phải có số dư đúng khi chia cho 4.
Bước 1: 1997 tận cùng 7: 7¹ = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7⁴ = 2401: chữ số tận cùng 7, 9, 3, 1 rồi lặp lại (chu kỳ 4).
Bước 2: Tận cùng 7 là số thứ 1 của chu kỳ, nên n chia 4 dư 1.
Bước 3: 500 : 4 = 125, nên số đầu tiên lớn hơn 500 mà chia 4 dư 1 là 4 × 125 + 1 = 501.
Vậy n = 501.

Phần 2: Điền đáp án (10 câu × 4 điểm)

Câu 164 điểm

Bình có 7 tấm thẻ, mỗi thẻ ghi một chữ số: 0, 1, 3, 4, 6, 7, 8. Bình chọn 4 thẻ xếp thành một hàng để được một số có 4 chữ số (thẻ 0 không đứng đầu). Có bao nhiêu cách xếp được số lẻ không chia hết cho 5?
Binh has 7 cards showing the digits 0, 1, 3, 4, 6, 7, 8. Binh puts 4 of them in a row to form a 4-digit number (the card 0 cannot be first). How many odd numbers not divisible by 5 can Binh form this way?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: 300

Nhận dạng: lập số lẻ không chia hết cho 5 có các chữ số khác nhau.
Ý tưởng: chọn hàng có điều kiện trước: chữ số cuối, rồi hàng đầu (khác 0), rồi các hàng giữa.
Bước 1: Đề cho 7 chữ số.
Số lẻ không chia hết cho 5 có chữ số cuối là 1, 3, 7 hoặc 9: 1, 3 hoặc 7, có 3 cách chọn chữ số cuối.
Bước 2: Hàng nghìn khác 0 và khác chữ số cuối: 7 − 2 = 5 cách.
Bước 3: Các hàng giữa chọn trong các chữ số còn lại: hàng trăm: 7 − 2 = 5 cách, hàng chục: 7 − 3 = 4 cách.
Bước 4: Nhân: 3 × 5 × 5 × 4 = 300.
Vậy có 300 số.
Mẹo: chữ số cuối khác 0 nên chữ số 0 chỉ bị cấm ở hàng đầu, không phải tách trường hợp.
Câu 174 điểm

Dãy hình ■ ● ● ● ◆ ★ ■ ● ● ● ◆ ★ … được lặp lại mãi. Trong 1999 hình đầu tiên có bao nhiêu hình tròn?
The shapes ■ ● ● ● ◆ ★ ■ ● ● ● ◆ ★ … repeat forever. How many circles are there among the first 1999 shapes?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: 999

Nhận dạng: dãy lặp lại theo chu kỳ, hỏi số lần xuất hiện của một phần tử trong rất nhiều phần tử đầu.
Ý tưởng: tìm độ dài chu kỳ, chia số phần tử cho chu kỳ, thương là số chu kỳ đủ, dư là phần thừa ra ở đầu chu kỳ.
Bước 1: Một chu kỳ là ■ ● ● ● ◆ ★ có 6 hình, trong đó hình tròn xuất hiện 3 lần (ở vị trí 2, 3, 4).
Bước 2: Chia số hình cho độ dài chu kỳ: 1999 : 6 = 333 dư 1, tức là 333 chu kỳ đủ và 1 hình thừa ra.
Bước 3: 333 chu kỳ đủ có 333 × 3 = 999 lần.
1 hình thừa ra là đầu chu kỳ (■) không có hình tròn nào.
Vậy có 999 hình tròn trong 1999 hình đầu.
Mẹo: phần dư phải đếm riêng trên đúng các vị trí đầu chu kỳ, không đoán theo trung bình.
Câu 184 điểm

Biểu đồ quạt tròn cho biết tỉ lệ môn thể thao yêu thích (tổng cộng 160 bạn): Bóng đá 50%, Cầu lông 5%, Bơi 20%, Bóng bàn 10%, phần còn lại là Võ. Nhóm Võ có bao nhiêu bạn?
A pie chart shows the favourite sport of 160 students: Football 50%, Badminton 5%, Swimming 20%, Table tennis 10%, and the rest is Martial arts. How many students are in the Martial arts group?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: 24

Nhận dạng: đọc biểu đồ quạt tròn có một phần chưa ghi số.
Ý tưởng: các phần cộng lại 100%;
số lượng = tỉ lệ × cỡ mẫu;
góc ở tâm = tỉ lệ × 360°.
Bước 1: Phần Võ: 100% − (50% + 5% + 20% + 10%) = 15%.
Bước 2: Số lượng: 15% × 160 = 160 × 15 : 100 = 24.
Vậy có 24 bạn.
Câu 194 điểm

Trong hộp có 20 chiếc đũa hồng, 13 chiếc đũa vàng, 20 chiếc đũa đỏ, 9 chiếc đũa xanh và 17 chiếc đũa trắng. Một đôi đũa là hai chiếc cùng màu; các đôi không dùng chung chiếc nào. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc chắn có 2 đôi đũa?
A box holds 20 pink chopsticks, 13 yellow chopsticks, 20 red chopsticks, 9 blue chopsticks and 17 white chopsticks. A pair means two chopsticks of the same colour, and no item is used in two pairs. Blindfolded, what is the least number to take out to be sure of 2 pairs?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: 8

Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 2 đôi (cùng màu), màu nào cũng đủ nhiều.
Ý tưởng: xấu nhất là mới có 2 − 1 = 1 đôi và mỗi màu còn lẻ đúng 1 chiếc chưa ghép.
Bước 1: 1 đôi dùng 2 chiếc.
Bước 2: Mỗi màu thêm 1 chiếc lẻ: 5 chiếc;
tổng 2 + 5 = 7, vẫn chỉ 1 đôi.
Bước 3: Chiếc tiếp theo cùng màu với một chiếc lẻ, thành đôi thứ 2: 7 + 1 = 8.
Vậy cần lấy ít nhất 8 chiếc đũa.
Câu 204 điểm

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng, vòi A làm đầy bể nhanh hơn vòi B 9 giờ. Hỏi vòi A chảy một mình thì sau bao nhiêu giờ đầy bể?
Two taps together fill an empty tank in 6 hours. Alone, tap A fills it 9 hours faster than tap B. How many hours does tap A alone take?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: 9

Nhận dạng: bài làm chung – làm riêng, hai thời gian hơn kém nhau.
Ý tưởng: mỗi giờ làm được 1/(thời gian) bể;
cộng phần của hai bên bằng 1/6, ra phương trình bậc hai.
Bước 1: Gọi thời gian vòi A làm một mình là x giờ (x > 0), vòi B là x + 9 giờ.
Bước 2: Mỗi giờ: 1/x + 1/(x + 9) = 1/6.
Bước 3: Nhân hai vế với 6x(x + 9): 6(x + 9) + 6x = x(x + 9), tức là 12x + 54 = x² + 9x, hay x² − 3x − 54 = 0.
Bước 4: (x − 9)(x + 6) = 0, nên x = 9 hoặc x = −6;
x > 0 nên x = 9.
Kiểm tra: 1/9 + 1/18 = 1/6.
Vậy vòi A làm một mình mất 9 giờ.
Câu 214 điểm

Gieo 3 con xúc xắc 6 mặt (các con xúc xắc khác màu nhau). Có bao nhiêu kết quả (tính thứ tự) để tổng các số chấm bằng 6 hoặc 7?
Roll 3 six-sided dice (the dice have different colours). How many ordered outcomes are there in which the sum of the numbers is 6 or 7?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 25

Nhận dạng: đếm kết quả gieo xúc xắc có tổng cho trước.
Ý tưởng: tổng nhỏ: đặt vách giữa các đơn vị (mỗi số ≥ 1);
tổng lớn: đổi x thành 7 − x để về tổng nhỏ.
Bước 1: Có 6 × 6 × 6 = 216 kết quả.
Gọi p, q, r là số chấm ba lần.
Bước 2: Tổng 6: p + q + r = 6, mỗi số ≥ 1 và nhiều nhất 6 − 2 = 4 nên không vượt 6.
Xếp 6 viên thành hàng có 6 − 1 = 5 khe, chọn 2 khe đặt vách: (5 × 4) : (2 × 1) = 10.
Bước 3: Tổng 7: p + q + r = 7, mỗi số ≥ 1 và nhiều nhất 7 − 2 = 5 nên không vượt 6.
Xếp 7 viên thành hàng có 7 − 1 = 6 khe, chọn 2 khe đặt vách: (6 × 5) : (2 × 1) = 15.
Bước 4: Cộng hai trường hợp: 10 + 15 = 25.
Vậy có 25 kết quả.
Mẹo: tổng s và tổng 7 × n − s có số kết quả bằng nhau (đổi x thành 7 − x).
Câu 224 điểm

Máy tính bắt đầu với số 8. Mỗi bước máy làm như sau: Nếu số đang có là số chính phương thì thay bằng căn bậc hai của nó, nếu không thì cộng thêm 1. Sau 372 bước, máy hiện số nào?
A machine starts with the number 8. At each step it does the following: If the current number is a perfect square, replace it by its square root; otherwise add 1. After 372 steps, which number does it show?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 4

Nhận dạng: máy làm một thao tác theo điều kiện ở mỗi bước, hỏi số sau rất nhiều bước.
Ý tưởng: tính vài bước đầu để thấy chu kỳ, rồi dùng số dư khi chia số bước cho độ dài chu kỳ.
Bước 1: Tính từng bước (bước 0 là số 8): 8 → 9 → 3 → 4 → 2 → 3.
Bước 2: Số 3 xuất hiện lại sau 3 bước, nên từ bước 2 trở đi dãy lặp chu kỳ 3 số: 3, 4, 2 (bước 2 cho 3).
Bước 3: Số bước tính từ chu kỳ: 372 − 2 = 370.
Chia cho 3: 370 = 3 × 123 + 1, dư 1.
Bước 4: Dư 1 nghĩa là sau 2 bước, đi thêm 123 chu kỳ trọn rồi 1 bước nữa, được số thứ 2 của chu kỳ: 4.
Vậy sau 372 bước máy hiện số 4.
Mẹo: số bước trừ đi số bước trước khi vào chu kỳ rồi mới chia.
Câu 234 điểm

Số nguyên tố p thoả mãn p² + 2 và p³ + 10 cũng đều là số nguyên tố. Tính giá trị của p³ + 10.
p is a prime such that p² + 2 and p³ + 10 are also primes. Find the value of p³ + 10.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 37

Nhận dạng: tìm số nguyên tố p để các biểu thức chứa p cũng là số nguyên tố.
Ý tưởng: thử p = 2, p = 3, rồi xét p chia 3 dư 1, dư 2.
Bước 1: p = 2: 2² + 2 = 6 là số chẵn lớn hơn 2: loại.
Bước 2: p = 3: 3² + 2 = 11, 3³ + 10 = 37, đều là số nguyên tố.
Bước 3: p lớn hơn 3 thì p chia 3 dư 1 hoặc 2, nên p² chia 3 dư 1 (1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4).
Khi đó p² + 2 chia 3 cùng dư với 1 + 2 = 3, tức là chia hết cho 3, mà lớn hơn 3: hợp số.
Vậy p = 3 và p³ + 10 = 37.
Câu 244 điểm

Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 240 nguyên tố cùng nhau với 60?
How many integers from 1 to 240 are coprime to 60?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 64

Nhận dạng: đếm số nguyên tố cùng nhau với 60 trong một đoạn dài.
Ý tưởng: a và a + 60 có cùng ƯCLN với 60, nên mỗi nhóm 60 số liên tiếp có số lượng như nhau.
Bước 1: 60 = 2² × 3 × 5: số nguyên tố cùng nhau với 60 là số không chia hết cho 2, 3 hoặc 5.
Bước 2: Từ 1 đến 60: 60 : 2 = 30, 30 : 3 × 2 = 20, 20 : 5 × 4 = 16, tức 16 số.
Bước 3: 240 = 60 × 4, có 4 nhóm: 16 × 4 = 64.
Vậy có 64 số.
Câu 254 điểm

Tìm giá trị nhỏ nhất của B = (x − 5)(x − 4)(x − 3)(x − 2) + 554.
Find the minimum value of B = (x − 5)(x − 4)(x − 3)(x − 2) + 554.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 553

Nhận dạng: tích bốn thừa số mà các số cộng thêm cách đều nhau, hỏi giá trị nhỏ nhất.
Ý tưởng: ghép thừa số đầu với cuối, hai thừa số giữa với nhau, hai tích chỉ khác nhau một hằng số.
Bước 1: −5 + (−2) = −4 + (−3) = −7.
(x − 5)(x − 2) = x² − 7x + 10, (x − 4)(x − 3) = x² − 7x + 12.
Bước 2: Đặt t = x² − 7x + 10: B = t(t + 2) + 554 = t² + 2t + 1 − 1 + 554 = (t + 1)² + 553.
Bước 3: (t + 1)² ≥ 0, bằng 0 khi t = −1, tức là x² − 7x + 11 = 0 (có nghiệm vì (−7)² − 4 × 11 = 5 > 0).
Bước 4: B ≥ 553.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 553.

Đáp án đề thi SASMO lớp 9

Câu	Đáp án
Câu 1	D. 59
Câu 2	B. 970
Câu 3	C. 10
Câu 4	B. 8
Câu 5	C. 5
Câu 6	B. 25
Câu 7	C. 80
Câu 8	C. 20
Câu 9	D. 27
Câu 10	C. 9
Câu 11	C. 14
Câu 12	C. 30
Câu 13	C. 16
Câu 14	B. 1
Câu 15	C. 501
Câu 16	300
Câu 17	999
Câu 18	24
Câu 19	8
Câu 20	9
Câu 21	25
Câu 22	4
Câu 23	37
Câu 24	64
Câu 25	553

Đề thi khác

Đề SASMO khối khác: Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức SASMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi SASMO lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia SASMO lớp 9 có 25 câu, làm trong 90 phút, tối đa 85 điểm.

Làm đề thi thử SASMO lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề SASMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.