Đếm số ước dương của 28875. A. 3 B. 7 C. 10 D. 12 E. 32

Đáp án: E. 32. Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn. Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 28875 : 3 = 9625, : 5 = 1925, : 5 = 385, : 5 = 77, : 7 = 11, : 11 = 1. Vậy 28875 = 3 × 5³ × 7 × 11. Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn; số mũ của 3 chọn từ 0 đến 1: 2 cách; số mũ của 5 chọn từ 0 đến 3: 4 cách; số mũ của 7 chọn từ 0 đến 1: 2 cách; số mũ của 11 chọn từ 0 đến 1: 2 cách. Bước 3: Số ước = (1 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 4 × 2 × 2 = 32. Vậy 28875 có 32 ước. Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.

Các hình xếp chấm thành tam giác có số chấm là 1, 3, 6, 10, 15, … Hình thứ 63 và hình thứ 64 ghép lại có tất cả bao nhiêu chấm? A. 4076 B. 4095 C. 4096 D. 4097 E. 4116

Đáp án: C. 4096. Nhận dạng: dãy hình xếp chấm thành tam giác, hỏi tổng hai hình liền nhau. Ý tưởng: hai tam giác liền nhau ghép lại thành hình vuông, nên tổng bằng bình phương của số thứ tự hình lớn hơn. Bước 1: Hai hình liền nhau ghép thành hình vuông: 3 + 6 = 9 = 3 × 3, 6 + 10 = 16 = 4 × 4. Bước 2: Hình thứ 63 và thứ 64 ghép thành hình vuông 64 × 64: 64 × 64 = 4096. Bước 3: Kiểm: 2016 + 2080 = 4096. Vậy đáp án là 4096.

Trong hộp có 20 chiếc đũa tím, 13 chiếc đũa hồng, 7 chiếc đũa xanh, 10 chiếc đũa cam và 12 chiếc đũa trắng. Một đôi đũa là hai chiếc cùng màu; các đôi không dùng chung chiếc nào. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc chắn có 3 đôi đũa? A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 E. 11

Đáp án: D. 10. Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 3 đôi (cùng màu), màu nào cũng đủ nhiều. Ý tưởng: xấu nhất là mới có 3 − 1 = 2 đôi và mỗi màu còn lẻ đúng 1 chiếc chưa ghép. Bước 1: 2 đôi dùng 2 × 2 = 4 chiếc. Bước 2: Mỗi màu thêm 1 chiếc lẻ: 5 chiếc; tổng 4 + 5 = 9, vẫn chỉ 2 đôi. Bước 3: Chiếc tiếp theo cùng màu với một chiếc lẻ, thành đôi thứ 3: 9 + 1 = 10. Vậy cần lấy ít nhất 10 chiếc đũa.

Đường thẳng d đi qua A(−9; 18) và có hệ số góc −9/5. Tìm hoành độ giao điểm của d với trục Ox. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 5

Đáp án: B. 1. Nhận dạng: biết một điểm và hệ số góc của đường thẳng. Ý tưởng: d có dạng y = ax + b với a là hệ số góc, thay toạ độ A để tìm b. Bước 1: d có dạng y = −9/5 × x + b. Bước 2: Thay A: 18 = −9/5 × (−9) + b = 81/5 + b, nên b = 9/5. Bước 3: Giao với Ox khi y = 0: −9/5 × x = −9/5, x = −9/5 : (−9/5) = 1. Vậy hoành độ giao điểm là 1.

Tam giác ABC vuông tại A có BC = 68 cm, cos B = 8/17. Tính độ dài cạnh AC. A. 32 B. 36 C. 60 D. 64 E. 70

Đáp án: C. 60. Nhận dạng: tam giác vuông biết một cạnh và một tỉ số lượng giác của góc nhọn. Ý tưởng: dùng định nghĩa sin = cạnh đối : cạnh huyền, cos = cạnh kề : cạnh huyền, tan = cạnh đối : cạnh kề để tìm cạnh thứ hai, rồi Pytago. Bước 1: cos B = cạnh kề : cạnh huyền = AB : BC, nên AB = BC × cos B = 68 × 8/17 = 32. Bước 2: Pytago: AC² = BC² − AB² = 68 × 68 − 32 × 32 = 4624 − 1024 = 3600, AC = 60. Vậy AC = 60 cm.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thoả mãn −7 < 8x + 4 ≤ 55? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 16

Đáp án: B. 6. Nhận dạng: bất phương trình kép bậc nhất, đếm nghiệm nguyên có điều kiện. Ý tưởng: biến đổi đồng thời ba vế cho x đứng giữa; nhân / chia số âm thì đổi chiều cả hai dấu. Bước 1: Trừ cả ba vế cho 4: −11 < 8x ≤ 51. Bước 2: Chia cho 8: −11/8 < x ≤ 51/8. Bước 3: Các số nguyên dương thoả mãn: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bước 4: Đếm: 6 số. Vậy có 6 số.

Trong các số tự nhiên từ 1 tới 240, có bao nhiêu số không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7? A. 103 B. 126 C. 137 D. 148 E. 157

Đáp án: C. 137. Nhận dạng: đếm theo hai điều kiện chia hết, dùng bao hàm loại trừ. Ý tưởng: bội chung của hai số bị đếm ở cả hai nhóm; bội chung là bội của BCNN (bội chung nhỏ nhất). Bước 1: Số bội của k từ 1 tới 240 là thương 240 : k (bỏ phần dư). Bội của 3: 80; của 7: 34. Bước 2: BCNN của 3 và 7 là 21; bội của 21: 11. Bước 3: Chia hết cho 3 hoặc 7: 80 + 34 − 11 = 103. Bước 4: Không chia hết cho số nào trong hai số: 240 − 103 = 137. Vậy có 137 số.

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 6 cm và thể tích 156 cm³. Tính chiều cao của hình chóp. A. 12 B. 13 C. 16 D. 39 E. 78

Đáp án: B. 13. Nhận dạng: hình chóp tứ giác đều (đáy là hình vuông, đỉnh S nằm thẳng trên tâm đáy). Ý tưởng: V = 1/3 × a² × h nên h = 3V : a². Bước 1: 3V = 3 × 156 = 468. Bước 2: h = 468 : 36 = 13 (cm). Vậy chiều cao là 13 cm.

Mua kẹo giá 7 nghìn đồng một chiếc và bánh giá 11 nghìn đồng một chiếc, hết đúng 151 nghìn đồng, mỗi loại ít nhất một chiếc. Có bao nhiêu cách mua? A. 1 B. 2 C. 3 D. 12 E. 13

Đáp án: B. 2. Nhận dạng: mua hai loại hàng hết đúng số tiền, số lượng nguyên dương. Ý tưởng: gọi số lượng là x, y; rút y theo x, y nguyên khi x thuộc một dãy cách đều, liệt kê. Bước 1: Gọi x là số kẹo, y là số bánh: 7x + 11y = 151, nên y = (151 − 7x)/11. Bước 2: Cần 151 − 7x chia hết cho 11 và 7x < 151; thử x = 1, 2, …: x = 9 là số nhỏ nhất thoả (151 − 63 = 88 = 11 × 8); x tăng 11 thì 7x tăng 77, vẫn chia hết cho 11, nên x = 9, 20. Bước 3: Các cặp (x, y): (9, 8), (20, 1). Bước 4: Có 2 cách. Vậy có 2 cách.

Có 31 bạn đứng thành một vòng tròn, mỗi bạn bắt tay mọi bạn không đứng cạnh mình. Có bao nhiêu cái bắt tay? (Mỗi cái bắt tay giống một đường chéo của đa giác 31 cạnh.) A. 420 B. 434 C. 454 D. 465 E. 868

Đáp án: B. 434. Nhận dạng: đếm số đường chéo của đa giác lồi. Ý tưởng: đếm đường chéo đi ra từ mỗi đỉnh rồi chia 2, vì mỗi đường chéo có hai đầu. Bước 1: Từ một đỉnh nối được 31 − 3 = 28 đường chéo (bỏ chính nó và hai đỉnh kề). Bước 2: 31 đỉnh cho 31 × 28 = 868 lần đếm; mỗi đường chéo được đếm hai lần. Bước 3: Số đường chéo: 868 : 2 = 434. Vậy có 434 cái bắt tay.

Đa giác đều thứ hai có nhiều hơn đa giác đều thứ nhất 3 cạnh. Góc trong của đa giác thứ hai lớn hơn góc trong của đa giác thứ nhất 20°. Tính tổng số cạnh của hai đa giác. A. 6 B. 9 C. 11 D. 15 E. 18

Đáp án: D. 15. Nhận dạng: hai đa giác đều, biết quan hệ số cạnh và góc trong hơn kém nhau. Ý tưởng: góc trong lớn hơn bao nhiêu thì góc ngoài nhỏ hơn bấy nhiêu (góc trong + góc ngoài = 180°). Bước 1: Gọi n là số cạnh đa giác thứ nhất; đa giác thứ hai có n + 3 cạnh. Bước 2: Hiệu hai góc ngoài: 360 : n − 360 : (n + 3) = 20. Bước 3: Quy đồng: 360 × (n + 3) − 360 × n = 360 × 3 = 1080, nên 20 × n × (n + 3) = 1080, n × (n + 3) = 1080 : 20 = 54. Bước 4: Hai số tự nhiên hơn kém nhau 3 có tích 54: 6 × 9 = 54, nên n = 6. Vậy tổng số cạnh của hai đa giác là 6 + 9 = 15.

Có 5 hộp quà hồng, 2 hộp quà đỏ và 2 hộp quà đen; các hộp quà cùng màu giống hệt nhau. Có bao nhiêu cách xếp tất cả thành một hàng ngang? A. 36 B. 378 C. 756 D. 757 E. 3024

Đáp án: C. 756. Nhận dạng: xếp hàng các vật, vật cùng màu giống nhau. Ý tưởng: chọn chỗ cho từng màu (màu ít trước), chỗ còn lại cho màu cuối, rồi nhân. Bước 1: Có 5 + 2 + 2 = 9 chỗ trong hàng. Bước 2: Chọn 2 chỗ trong 9 chỗ cho hộp quà đỏ: (9 × 8) : (2 × 1) = 36 cách. Bước 3: Chọn 2 chỗ trong 7 chỗ còn lại cho hộp quà đen: (7 × 6) : (2 × 1) = 21 cách. Bước 4: 5 chỗ còn lại cho hộp quà hồng: 1 cách. Nhân: 36 × 21 = 756. Vậy có 756 cách. Mẹo: cũng bằng 9! : (5! × 2! × 2!), chia cho số cách đổi chỗ các vật cùng màu.

Hai số x, y thoả mãn x² + y² − 6x = −12y − 45. Tìm x² + y². A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 E. 65

Đáp án: C. 45. Nhận dạng: một phương trình mà có hai ẩn, có x², y² — gom thành tổng hai bình phương bằng 0. Ý tưởng: tổng các số không âm bằng 0 thì từng số bằng 0. Bước 1: Chuyển hết sang vế trái: x² − 6x + y² + 12y + 45 = 0. Bước 2: Nửa hệ số của x là 6 : 2 = 3, nửa hệ số của y là 12 : 2 = 6; tách 45 = 3² + 6² = 9 + 36. Gom: (x² − 6x + 9) + (y² + 12y + 36) = 0, tức là (x − 3)² + (y + 6)² = 0. Bước 3: Hai bình phương đều ≥ 0, tổng bằng 0 nên x − 3 = 0 và y + 6 = 0: x = 3, y = −6. Bước 4: x² + y² = 3² + (−6)² = 9 + 36 = 45. Vậy x² + y² = 45.

Số mũ lớn nhất n sao cho tích 1 × 2 × … × 125 chia hết cho 3ⁿ là bao nhiêu? A. 41 B. 58 C. 59 D. 60 E. 61

Đáp án: C. 59. Nhận dạng: số mũ lớn nhất của 3 chia hết một giai thừa. Ý tưởng: số mũ của 3 trong 125! bằng tổng các phần nguyên 125 : 3 + 125 : 9 + …. Bước 1: Đếm thừa số 3: mỗi bội của 3 góp một, mỗi bội của 9 góp thêm một, … Bước 2: 125 : 3 = 41, 125 : 9 = 13, 125 : 27 = 4, 125 : 81 = 1, cộng 41 + 13 + 4 + 1 = 59. Vậy n lớn nhất là 59.

Có bao nhiêu số có bốn chữ số mà có đúng 3 ước dương? A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 E. 18

Đáp án: B. 14. Nhận dạng: số có bốn chữ số có đúng 3 ước. Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), nên viết 3 thành tích để biết dạng số. Bước 1: 3 = 3, nên số đó có dạng p² (p là số nguyên tố). Bước 2: 31² = 961 < 1000 ≤ p² ≤ 9999 < 100² = 10000, nên p từ 32 đến 99: p là 37, 41, 43, 47, …, 97. Bước 3: Các số đó: 1369, 1681, 1849, 2209, …, 9409. Có 14 số. Vậy có 14 số.

Hai người cùng làm một công việc thì 4 giờ xong. Nếu làm riêng, người thứ nhất xong sớm hơn người thứ hai 15 giờ. Hỏi người thứ nhất làm một mình mất bao nhiêu giờ? A. 5 B. 7 C. 8 D. 19 E. 20

Đáp án: A. 5. Nhận dạng: bài làm chung – làm riêng, hai thời gian hơn kém nhau. Ý tưởng: mỗi giờ làm được 1/(thời gian) công việc; cộng phần của hai bên bằng 1/4, ra phương trình bậc hai. Bước 1: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình là x giờ (x > 0), người thứ hai là x + 15 giờ. Bước 2: Mỗi giờ: 1/x + 1/(x + 15) = 1/4. Bước 3: Nhân hai vế với 4x(x + 15): 4(x + 15) + 4x = x(x + 15), tức là 8x + 60 = x² + 15x, hay x² + 7x − 60 = 0. Bước 4: (x − 5)(x + 12) = 0, nên x = 5 hoặc x = −12; x > 0 nên x = 5. Kiểm tra: 1/5 + 1/20 = 1/4. Vậy người thứ nhất làm một mình mất 5 giờ.

Một chiếc máy bay không người lái cất cánh, bay 33 km về hướng Tây Nam, rồi 21 km về hướng Đông Nam, rồi 5 km về hướng Đông Bắc. Lúc đó máy bay cách chỗ xuất phát bao nhiêu ki-lô-mét (theo đường thẳng)? A. 30 B. 32 C. 35 D. 38 E. 40

Đáp án: C. 35. Nhận dạng: đi nhiều đoạn theo các hướng ngược nhau và vuông góc nhau, hỏi khoảng cách thẳng. Ý tưởng: gom các đoạn theo hai hướng vuông góc (Tây Nam – Đông Bắc và Đông Nam – Tây Bắc), rồi dùng Pytago. Bước 1: Hướng Tây Nam ngược hướng Đông Bắc: 33 − 5 = 28 km (về hướng Tây Nam). Bước 2: Về hướng Đông Nam đi 21 km, không có đoạn ngược lại. Bước 3: Hướng Tây Nam vuông góc với hướng Đông Nam, khoảng cách là cạnh huyền d: d × d = 28 × 28 + 21 × 21 = 784 + 441 = 1225. Bước 4: 35 × 35 = 1225, nên d = 35 km. Vậy máy bay cách chỗ xuất phát 35 km.

Đếm các số có ba chữ số chia hết cho cả 10 và 15. A. 10 B. 27 C. 30 D. 33 E. 50

Đáp án: C. 30. Nhận dạng: đếm bội của một số trong một khoảng. Ý tưởng: số chia hết cho cả các số đó là bội của BCNN, tìm bội đầu, bội cuối rồi đếm số cách đều. Bước 1: BCNN(10, 15) = 30 (10 = 2 × 5, 15 = 3 × 5, lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất: 2 × 3 × 5). Bước 2: Bội đầu: 100 : 30 = 3 (dư 10), bội nhỏ nhất là 30 × 4 = 120. Bước 3: Bội cuối: 999 : 30 = 33 (dư 9), bội lớn nhất là 30 × 33 = 990. Bước 4: Số các bội: (990 − 120) : 30 + 1 = 30. Vậy có 30 số.

Ngôi sao năm cánh trong hình có 5 đỉnh ngoài ghi sẵn 9, 5, 1, 2, 8 và 5 điểm bên trong p, q, r, s, t. Năm đường thẳng (mỗi đường 4 ô) là: 9 – p – q – 1; 5 – q – r – 2; 1 – r – s – 8; 2 – s – t – 9; 8 – t – p – 5. Điền các số 15, 16, 17, 18, 19 vào p, q, r, s, t (mỗi ô một số) sao cho tổng bốn số trên mỗi đường đều bằng nhau. Tìm số ở ô s. A. 7 B. 16 C. 17 D. 18 E. 27

Đáp án: C. 17. Nhận dạng: điền số vào ngôi sao năm cánh, tổng mỗi đường bằng nhau. Ý tưởng: mỗi ô nằm trên đúng 2 đường, nên cộng 5 đường được 2 lần tổng mọi số; rồi dùng từng đường để tìm tổng hai ô bên trong. Bước 1: Tổng 5 đỉnh ngoài: 9 + 5 + 1 + 2 + 8 = 25. Tổng 5 số điền: 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85. Bước 2: Gọi S là tổng mỗi đường: 5 × S = 2 × (25 + 85) = 220, nên S = 220 : 5 = 44. Bước 3: Đường 8 – t – p – 5: t + p = 44 − 8 − 5 = 31. Bước 4: Đường 5 – q – r – 2: q + r = 44 − 5 − 2 = 37. Bước 5: s = (p + q + r + s + t) − (t + p) − (q + r) = 85 − 31 − 37 = 17. Vậy ô s là 17.

Tìm chữ số tận cùng của 4²⁰²¹ + 77²⁰²⁶ + 88²⁰²⁴. A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 E. 12

Đáp án: D. 9. Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa. Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó. Bước 1: 4²⁰²¹: chu kỳ 4, 6 (dài 2), 2021 chia 2 dư 1 nên lấy số thứ 1: 4. Bước 2: 77²⁰²⁶ cùng tận cùng với 7²⁰²⁶, chu kỳ 7, 9, 3, 1 (dài 4), 2026 chia 4 dư 2 nên lấy số thứ 2: 9. Bước 3: 88²⁰²⁴ cùng tận cùng với 8²⁰²⁴, chu kỳ 8, 4, 2, 6 (dài 4), 2024 chia hết cho 4 nên lấy số cuối: 6. Bước 4: 4 + 9 + 6 = 19, nên tổng tận cùng 9. Vậy chữ số tận cùng là 9.

Trong phép cộng ABC + DBC = AECG, mỗi chữ cái là một chữ số, hai chữ cái khác nhau là hai chữ số khác nhau, chữ cái đầu mỗi số khác 0. Có bao nhiêu bộ giá trị khác nhau của các chữ cái thoả phép cộng?

Đáp án: 3. Nhận dạng: phép cộng chữ có nhiều nghiệm, hỏi giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của một chữ. Ý tưởng: xét cột đơn vị, chục, trăm với số nhớ, chốt A = 1 và E = 0, rồi chia nhánh theo D và liệt kê mọi nghiệm. Bước 1: Gọi p, q là số nhớ từ cột đơn vị sang cột chục và từ cột chục sang cột trăm. Cột đơn vị: C + C = G + 10 × p. Cột chục: B + B + p = C + 10 × q. Cột trăm: A + D + q = E + 10. Bước 2: Tổng hai số ba chữ số nhỏ hơn 2000 nên chữ đầu A của số bốn chữ số AECG chỉ là số nhớ: A = 1, và cột trăm có 1 + D + q = E + 10. Bước 3: Từ đó D = E + 9 − q. Nếu q = 0 thì D = E + 9, chỉ E = 0, D = 9. Nếu q = 1 thì D = E + 8: E = 0, D = 8 (E = 1 trùng A). Vậy E = 0 và D là 9 (khi q = 0) hoặc 8 (khi q = 1). Bước 4: Nhánh D = 9, q = 0: cột chục 2 × B + p = C. Nếu p = 0: C = 2 × B, G = 2 × C = 4 × B < 10, B ≠ 0, 1 nên B = 2, C = 4, G = 8. Nếu p = 1: C = 2 × B + 1, G = 2 × C − 10; B = 2 cho G = 0 trùng E, B = 3 cho C = 7, G = 4, B = 4 cho C = 9 trùng D. Bước 5: Nhánh D = 8, q = 1: cột chục 2 × B + p = C + 10, nên B ≥ 5. Nếu p = 0: C = 2 × B − 10, G = 2 × C; chỉ B = 6, C = 2, G = 4 hợp lệ (B = 5 cho C = 0 trùng E, B = 7 cho G = 8 trùng D, B = 8 trùng D, B = 9 cho C = 8 trùng D). Nếu p = 1: C = 2 × B − 9 phải ≥ 5 nên B ≥ 7; B = 7 cho C = 5, G = 0 trùng E, B = 8 trùng D, B = 9 cho C = 9 trùng B. Bước 6: Có đúng ba nghiệm: 124 + 924 = 1048, 137 + 937 = 1074, 162 + 862 = 1024. Bước 7: Số nghiệm bằng 3. Vậy có 3 bộ giá trị. Mẹo: chữ đầu của tổng dài hơn hai số hạng chỉ có thể là 1.

Tính diện tích tứ giác ABCD với A(−6; −4), B(6; 7), C(7; 6), D(−5; −9).

Đáp án: 49. Nhận dạng: tứ giác lồi cho bằng toạ độ bốn đỉnh, mỗi đỉnh nằm trên một cạnh của hình chữ nhật bao quanh. Ý tưởng: vẽ hình chữ nhật có cạnh song song hai trục bao quanh hình, rồi trừ các tam giác vuông ở góc (phần thừa). Bước 1: Hình chữ nhật bao quanh: x từ −6 đến 7 (rộng 13), y từ −9 đến 7 (cao 16); diện tích 13 × 16 = 208. Bước 2: Phần thừa là các tam giác vuông dựng trên từng cạnh: cạnh AB: 12 × 11 : 2 = 66, cạnh BC: 1 × 1 : 2 = 0,5, cạnh CD: 12 × 15 : 2 = 90, cạnh DA: 1 × 5 : 2 = 2,5. Bước 3: Diện tích = 208 − (66 + 0,5 + 90 + 2,5) = 208 − 159 = 49. Vậy diện tích là 49.

An và Bình cùng lúc xuất phát từ A và B, đi ngược chiều nhau, mỗi người đi với vận tốc không đổi. Sau khi gặp nhau, An phải đi thêm 16 giờ nữa mới tới B, còn Bình phải đi thêm 9 giờ nữa mới tới A. Từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau mất bao nhiêu giờ?

Đáp án: 12. Nhận dạng: hai người xuất phát cùng lúc từ hai đầu, sau khi gặp nhau mỗi người cần thêm một thời gian nữa để tới đích của mình. Ý tưởng: so sánh quãng AM và MB tính theo vận tốc của từng người, nhân hai đẳng thức để bỏ vận tốc, được t × t = a × b. Bước 1: Gọi t là thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp (giờ), v₁ và v₂ là vận tốc của An và Bình; M là chỗ gặp nhau. Bước 2: Đoạn AM: An đi trong t giờ, Bình đi trong 9 giờ, nên v₁ × t = v₂ × 9. Đoạn MB: Bình đi trong t giờ, An đi trong 16 giờ, nên v₂ × t = v₁ × 16. Bước 3: Nhân hai đẳng thức: v₁ × v₂ × t × t = v₁ × v₂ × 16 × 9, bỏ v₁ × v₂: t × t = 16 × 9 = 144. Bước 4: t > 0 nên t = 12 giờ. Vậy thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là 12 giờ. Mẹo: thời gian gặp nhau là căn của tích hai thời gian đi tiếp, không phải trung bình cộng.

62 người ngồi quanh một bàn tròn, mỗi người hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. Ai cũng nói: “Hai người ngồi cạnh tôi đều nói dối.” Hỏi có ít nhất bao nhiêu người nói thật?

Đáp án: 21. Nhận dạng: người ngồi quanh bàn tròn cùng nói về hai người ngồi cạnh, hỏi ít nhất hay nhiều nhất người nói thật. Ý tưởng: xét người thật lo được mấy chỗ (hay không ngồi kề nhau), rồi dựng ví dụ chứng tỏ đạt được. Bước 1: Người nói thật có hai người cạnh đều nói dối. Người nói dối thì không phải cả hai người cạnh đều dối, nên có ít nhất một người cạnh nói thật. Bước 2: Mỗi người nói thật “lo” cho 3 chỗ: chính mình và hai người cạnh. Mọi người đều được lo, nên 3 × T ≥ 62, với T là số người nói thật. Bước 3: 62 : 3 = 20 dư 2, T nguyên nên T ≥ 20 + 1 = 21. Bước 4: Dựng ví dụ có T = 21: xếp 19 nhóm “thật, dối, dối” rồi “thật, dối, dối, thật, dối” (người dối nào cũng có người thật ngồi cạnh). Vậy ít nhất có 21 người nói thật. Mẹo: mỗi người thật chỉ bảo đảm được 3 chỗ, nên chia n cho 3 rồi làm tròn lên.

Có 49 số tự nhiên có hai chữ số viết liền nhau theo thứ tự tăng dần (hơn kém 1). Số đầu và số cuối đều là số chính phương. Tìm số cuối.

Đáp án: 64. Nhận dạng: dãy số tự nhiên liên tiếp, số đầu và số cuối là chính phương, số chữ số cho trước. Ý tưởng: hiệu hai số chính phương bằng số số hạng trừ 1, phân tích thành hai thừa số cùng chẵn lẻ. Bước 1: Gọi a × a là số đầu, b × b là số cuối (a, b nguyên dương, b > a). 49 số liên tiếp nên b × b − a × a = 49 − 1 = 48. Bước 2: Phân tích (b − a) × (b + a) = 48; hai thừa số cùng chẵn lẻ. Các cặp: 2 × 24: a = (24 − 2) : 2 = 11, b = (24 + 2) : 2 = 13, hai số 121 và 169 (không đủ chữ số, loại); 4 × 12: a = (12 − 4) : 2 = 4, b = (12 + 4) : 2 = 8, hai số 16 và 64 (hai chữ số, nhận); 6 × 8: a = (8 − 6) : 2 = 1, b = (8 + 6) : 2 = 7, hai số 1 và 49 (không đủ chữ số, loại). Bước 3: Chỉ cặp a = 4, b = 8 thoả: số đầu 16, số cuối 64. Vậy số cuối là 64. Mẹo: hai thừa số b − a và b + a luôn cùng chẵn lẻ.

Đề thi SEAMO lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử SEAMO lớp 9 (paper e) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu trắc nghiệm 3 điểm × 3 điểm; 10 câu trắc nghiệm 4 điểm × 4 điểm; 5 câu điền đáp án 6 điểm × 6 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi SEAMO.

Phần 1: Trắc nghiệm 3 điểm (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

Đếm số ước dương của 28875.
How many positive divisors does 28875 have?
1. A. 3
2. B. 7
3. C. 10
4. D. 12
5. E. 32
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: E. 32

Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn.
Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 28875 : 3 = 9625, : 5 = 1925, : 5 = 385, : 5 = 77, : 7 = 11, : 11 = 1.
Vậy 28875 = 3 × 5³ × 7 × 11.
Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn;
số mũ của 3 chọn từ 0 đến 1: 2 cách;
số mũ của 5 chọn từ 0 đến 3: 4 cách;
số mũ của 7 chọn từ 0 đến 1: 2 cách;
số mũ của 11 chọn từ 0 đến 1: 2 cách.
Bước 3: Số ước = (1 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 4 × 2 × 2 = 32.
Vậy 28875 có 32 ước.
Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.
Câu 23 điểm

Các hình xếp chấm thành tam giác có số chấm là 1, 3, 6, 10, 15, … Hình thứ 63 và hình thứ 64 ghép lại có tất cả bao nhiêu chấm?
Triangles of dots have 1, 3, 6, 10, 15, … dots. Figures 63 and 64 together have how many dots?
1. A. 4076
2. B. 4095
3. C. 4096
4. D. 4097
5. E. 4116
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. 4096

Nhận dạng: dãy hình xếp chấm thành tam giác, hỏi tổng hai hình liền nhau.
Ý tưởng: hai tam giác liền nhau ghép lại thành hình vuông, nên tổng bằng bình phương của số thứ tự hình lớn hơn.
Bước 1: Hai hình liền nhau ghép thành hình vuông: 3 + 6 = 9 = 3 × 3, 6 + 10 = 16 = 4 × 4.
Bước 2: Hình thứ 63 và thứ 64 ghép thành hình vuông 64 × 64: 64 × 64 = 4096.
Bước 3: Kiểm: 2016 + 2080 = 4096.
Vậy đáp án là 4096.
Câu 33 điểm

Trong hộp có 20 chiếc đũa tím, 13 chiếc đũa hồng, 7 chiếc đũa xanh, 10 chiếc đũa cam và 12 chiếc đũa trắng. Một đôi đũa là hai chiếc cùng màu; các đôi không dùng chung chiếc nào. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc chắn có 3 đôi đũa?
A box holds 20 purple chopsticks, 13 pink chopsticks, 7 blue chopsticks, 10 orange chopsticks and 12 white chopsticks. A pair means two chopsticks of the same colour, and no item is used in two pairs. Blindfolded, what is the least number to take out to be sure of 3 pairs?
1. A. 6
2. B. 7
3. C. 9
4. D. 10
5. E. 11
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: D. 10

Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 3 đôi (cùng màu), màu nào cũng đủ nhiều.
Ý tưởng: xấu nhất là mới có 3 − 1 = 2 đôi và mỗi màu còn lẻ đúng 1 chiếc chưa ghép.
Bước 1: 2 đôi dùng 2 × 2 = 4 chiếc.
Bước 2: Mỗi màu thêm 1 chiếc lẻ: 5 chiếc;
tổng 4 + 5 = 9, vẫn chỉ 2 đôi.
Bước 3: Chiếc tiếp theo cùng màu với một chiếc lẻ, thành đôi thứ 3: 9 + 1 = 10.
Vậy cần lấy ít nhất 10 chiếc đũa.
Câu 43 điểm

Đường thẳng d đi qua A(−9; 18) và có hệ số góc −9/5. Tìm hoành độ giao điểm của d với trục Ox.
Line d passes through A(−9; 18) and has slope −9/5. Find the x-coordinate of its intersection with the x-axis.
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 2
4. D. 3
5. E. 5
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 1

Nhận dạng: biết một điểm và hệ số góc của đường thẳng.
Ý tưởng: d có dạng y = ax + b với a là hệ số góc, thay toạ độ A để tìm b.
Bước 1: d có dạng y = −9/5 × x + b.
Bước 2: Thay A: 18 = −9/5 × (−9) + b = 81/5 + b, nên b = 9/5.
Bước 3: Giao với Ox khi y = 0: −9/5 × x = −9/5, x = −9/5 : (−9/5) = 1.
Vậy hoành độ giao điểm là 1.
Câu 53 điểm

Tam giác ABC vuông tại A có BC = 68 cm, cos B = 8/17. Tính độ dài cạnh AC.
Triangle ABC is right-angled at A with BC = 68 cm and cos B = 8/17. Find the length of AC.
1. A. 32
2. B. 36
3. C. 60
4. D. 64
5. E. 70
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: C. 60

Nhận dạng: tam giác vuông biết một cạnh và một tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Ý tưởng: dùng định nghĩa sin = cạnh đối : cạnh huyền, cos = cạnh kề : cạnh huyền, tan = cạnh đối : cạnh kề để tìm cạnh thứ hai, rồi Pytago.
Bước 1: cos B = cạnh kề : cạnh huyền = AB : BC, nên AB = BC × cos B = 68 × 8/17 = 32.
Bước 2: Pytago: AC² = BC² − AB² = 68 × 68 − 32 × 32 = 4624 − 1024 = 3600, AC = 60.
Vậy AC = 60 cm.
Câu 63 điểm

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thoả mãn −7 < 8x + 4 ≤ 55?
How many positive integer values of x satisfy −7 < 8x + 4 ≤ 55?
1. A. 5
2. B. 6
3. C. 7
4. D. 8
5. E. 16
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 6

Nhận dạng: bất phương trình kép bậc nhất, đếm nghiệm nguyên có điều kiện.
Ý tưởng: biến đổi đồng thời ba vế cho x đứng giữa;
nhân / chia số âm thì đổi chiều cả hai dấu.
Bước 1: Trừ cả ba vế cho 4: −11 < 8x ≤ 51.
Bước 2: Chia cho 8: −11/8 < x ≤ 51/8.
Bước 3: Các số nguyên dương thoả mãn: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bước 4: Đếm: 6 số.
Vậy có 6 số.
Câu 73 điểm

Trong các số tự nhiên từ 1 tới 240, có bao nhiêu số không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7?
Among the whole numbers from 1 to 240, how many are divisible by neither 3 nor 7?
1. A. 103
2. B. 126
3. C. 137
4. D. 148
5. E. 157
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 137

Nhận dạng: đếm theo hai điều kiện chia hết, dùng bao hàm loại trừ.
Ý tưởng: bội chung của hai số bị đếm ở cả hai nhóm;
bội chung là bội của BCNN (bội chung nhỏ nhất).
Bước 1: Số bội của k từ 1 tới 240 là thương 240 : k (bỏ phần dư).
Bội của 3: 80;
của 7: 34.
Bước 2: BCNN của 3 và 7 là 21;
bội của 21: 11.
Bước 3: Chia hết cho 3 hoặc 7: 80 + 34 − 11 = 103.
Bước 4: Không chia hết cho số nào trong hai số: 240 − 103 = 137.
Vậy có 137 số.
Câu 83 điểm

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 6 cm và thể tích 156 cm³. Tính chiều cao của hình chóp.
Regular square pyramid S.ABCD has base edge 6 cm and volume 156 cm³. Find its height.
1. A. 12
2. B. 13
3. C. 16
4. D. 39
5. E. 78
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: B. 13

Nhận dạng: hình chóp tứ giác đều (đáy là hình vuông, đỉnh S nằm thẳng trên tâm đáy).
Ý tưởng: V = 1/3 × a² × h nên h = 3V : a².
Bước 1: 3V = 3 × 156 = 468.
Bước 2: h = 468 : 36 = 13 (cm).
Vậy chiều cao là 13 cm.
Câu 93 điểm

Mua kẹo giá 7 nghìn đồng một chiếc và bánh giá 11 nghìn đồng một chiếc, hết đúng 151 nghìn đồng, mỗi loại ít nhất một chiếc. Có bao nhiêu cách mua?
Candies cost 7 thousand dong each and cakes cost 11 thousand dong each. Exactly 151 thousand dong is spent, with at least one of each. How many ways are there to buy?
1. A. 1
2. B. 2
3. C. 3
4. D. 12
5. E. 13
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 2

Nhận dạng: mua hai loại hàng hết đúng số tiền, số lượng nguyên dương.
Ý tưởng: gọi số lượng là x, y;
rút y theo x, y nguyên khi x thuộc một dãy cách đều, liệt kê.
Bước 1: Gọi x là số kẹo, y là số bánh: 7x + 11y = 151, nên y = (151 − 7x)/11.
Bước 2: Cần 151 − 7x chia hết cho 11 và 7x < 151;
thử x = 1, 2, …: x = 9 là số nhỏ nhất thoả (151 − 63 = 88 = 11 × 8);
x tăng 11 thì 7x tăng 77, vẫn chia hết cho 11, nên x = 9, 20.
Bước 3: Các cặp (x, y): (9, 8), (20, 1).
Bước 4: Có 2 cách.
Vậy có 2 cách.
Câu 103 điểm

Có 31 bạn đứng thành một vòng tròn, mỗi bạn bắt tay mọi bạn không đứng cạnh mình. Có bao nhiêu cái bắt tay? (Mỗi cái bắt tay giống một đường chéo của đa giác 31 cạnh.)
31 students stand in a circle and each shakes hands with every student who is not next to them. How many handshakes are there? (Each handshake is like a diagonal of a 31-sided polygon.)
1. A. 420
2. B. 434
3. C. 454
4. D. 465
5. E. 868
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: B. 434

Nhận dạng: đếm số đường chéo của đa giác lồi.
Ý tưởng: đếm đường chéo đi ra từ mỗi đỉnh rồi chia 2, vì mỗi đường chéo có hai đầu.
Bước 1: Từ một đỉnh nối được 31 − 3 = 28 đường chéo (bỏ chính nó và hai đỉnh kề).
Bước 2: 31 đỉnh cho 31 × 28 = 868 lần đếm;
mỗi đường chéo được đếm hai lần.
Bước 3: Số đường chéo: 868 : 2 = 434.
Vậy có 434 cái bắt tay.

Phần 2: Trắc nghiệm 4 điểm (10 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

Đa giác đều thứ hai có nhiều hơn đa giác đều thứ nhất 3 cạnh. Góc trong của đa giác thứ hai lớn hơn góc trong của đa giác thứ nhất 20°. Tính tổng số cạnh của hai đa giác.
The second regular polygon has 3 more sides than the first one. Its interior angle is 20° larger than the interior angle of the first one. Find the total number of sides of the two polygons.
1. A. 6
2. B. 9
3. C. 11
4. D. 15
5. E. 18
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: D. 15

Nhận dạng: hai đa giác đều, biết quan hệ số cạnh và góc trong hơn kém nhau.
Ý tưởng: góc trong lớn hơn bao nhiêu thì góc ngoài nhỏ hơn bấy nhiêu (góc trong + góc ngoài = 180°).
Bước 1: Gọi n là số cạnh đa giác thứ nhất;
đa giác thứ hai có n + 3 cạnh.
Bước 2: Hiệu hai góc ngoài: 360 : n − 360 : (n + 3) = 20.
Bước 3: Quy đồng: 360 × (n + 3) − 360 × n = 360 × 3 = 1080, nên 20 × n × (n + 3) = 1080, n × (n + 3) = 1080 : 20 = 54.
Bước 4: Hai số tự nhiên hơn kém nhau 3 có tích 54: 6 × 9 = 54, nên n = 6.
Vậy tổng số cạnh của hai đa giác là 6 + 9 = 15.
Câu 124 điểm

Có 5 hộp quà hồng, 2 hộp quà đỏ và 2 hộp quà đen; các hộp quà cùng màu giống hệt nhau. Có bao nhiêu cách xếp tất cả thành một hàng ngang?
There are 5 pink gift boxes, 2 red gift boxes and 2 black gift boxes; items of the same colour are identical. In how many ways can all of them be put in a row?
1. A. 36
2. B. 378
3. C. 756
4. D. 757
5. E. 3024
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 756

Nhận dạng: xếp hàng các vật, vật cùng màu giống nhau.
Ý tưởng: chọn chỗ cho từng màu (màu ít trước), chỗ còn lại cho màu cuối, rồi nhân.
Bước 1: Có 5 + 2 + 2 = 9 chỗ trong hàng.
Bước 2: Chọn 2 chỗ trong 9 chỗ cho hộp quà đỏ: (9 × 8) : (2 × 1) = 36 cách.
Bước 3: Chọn 2 chỗ trong 7 chỗ còn lại cho hộp quà đen: (7 × 6) : (2 × 1) = 21 cách.
Bước 4: 5 chỗ còn lại cho hộp quà hồng: 1 cách.
Nhân: 36 × 21 = 756.
Vậy có 756 cách.
Mẹo: cũng bằng 9! : (5! × 2! × 2!), chia cho số cách đổi chỗ các vật cùng màu.
Câu 134 điểm

Hai số x, y thoả mãn x² + y² − 6x = −12y − 45. Tìm x² + y².
Given x² + y² − 6x = −12y − 45, what is the value of x² + y²?
1. A. 25
2. B. 35
3. C. 45
4. D. 55
5. E. 65
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 45

Nhận dạng: một phương trình mà có hai ẩn, có x², y² — gom thành tổng hai bình phương bằng 0.
Ý tưởng: tổng các số không âm bằng 0 thì từng số bằng 0.
Bước 1: Chuyển hết sang vế trái: x² − 6x + y² + 12y + 45 = 0.
Bước 2: Nửa hệ số của x là 6 : 2 = 3, nửa hệ số của y là 12 : 2 = 6;
tách 45 = 3² + 6² = 9 + 36.
Gom: (x² − 6x + 9) + (y² + 12y + 36) = 0, tức là (x − 3)² + (y + 6)² = 0.
Bước 3: Hai bình phương đều ≥ 0, tổng bằng 0 nên x − 3 = 0 và y + 6 = 0: x = 3, y = −6.
Bước 4: x² + y² = 3² + (−6)² = 9 + 36 = 45.
Vậy x² + y² = 45.
Câu 144 điểm

Số mũ lớn nhất n sao cho tích 1 × 2 × … × 125 chia hết cho 3ⁿ là bao nhiêu?
Find the largest natural number n such that 125! = 1 × 2 × … × 125 is divisible by 3ⁿ.
1. A. 41
2. B. 58
3. C. 59
4. D. 60
5. E. 61
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: C. 59

Nhận dạng: số mũ lớn nhất của 3 chia hết một giai thừa.
Ý tưởng: số mũ của 3 trong 125! bằng tổng các phần nguyên 125 : 3 + 125 : 9 + ….
Bước 1: Đếm thừa số 3: mỗi bội của 3 góp một, mỗi bội của 9 góp thêm một, …
Bước 2: 125 : 3 = 41, 125 : 9 = 13, 125 : 27 = 4, 125 : 81 = 1, cộng 41 + 13 + 4 + 1 = 59.
Vậy n lớn nhất là 59.
Câu 154 điểm

Có bao nhiêu số có bốn chữ số mà có đúng 3 ước dương?
How many four-digit numbers have exactly 3 positive divisors?
1. A. 13
2. B. 14
3. C. 15
4. D. 16
5. E. 18
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: B. 14

Nhận dạng: số có bốn chữ số có đúng 3 ước.
Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), nên viết 3 thành tích để biết dạng số.
Bước 1: 3 = 3, nên số đó có dạng p² (p là số nguyên tố).
Bước 2: 31² = 961 < 1000 ≤ p² ≤ 9999 < 100² = 10000, nên p từ 32 đến 99: p là 37, 41, 43, 47, …, 97.
Bước 3: Các số đó: 1369, 1681, 1849, 2209, …, 9409.
Có 14 số.
Vậy có 14 số.
Câu 164 điểm

Hai người cùng làm một công việc thì 4 giờ xong. Nếu làm riêng, người thứ nhất xong sớm hơn người thứ hai 15 giờ. Hỏi người thứ nhất làm một mình mất bao nhiêu giờ?
Two workers finish a job together in 4 hours. Alone, the first finishes 15 hours sooner than the second. How many hours does the first worker alone take?
1. A. 5
2. B. 7
3. C. 8
4. D. 19
5. E. 20
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: A. 5

Nhận dạng: bài làm chung – làm riêng, hai thời gian hơn kém nhau.
Ý tưởng: mỗi giờ làm được 1/(thời gian) công việc;
cộng phần của hai bên bằng 1/4, ra phương trình bậc hai.
Bước 1: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình là x giờ (x > 0), người thứ hai là x + 15 giờ.
Bước 2: Mỗi giờ: 1/x + 1/(x + 15) = 1/4.
Bước 3: Nhân hai vế với 4x(x + 15): 4(x + 15) + 4x = x(x + 15), tức là 8x + 60 = x² + 15x, hay x² + 7x − 60 = 0.
Bước 4: (x − 5)(x + 12) = 0, nên x = 5 hoặc x = −12;
x > 0 nên x = 5.
Kiểm tra: 1/5 + 1/20 = 1/4.
Vậy người thứ nhất làm một mình mất 5 giờ.
Câu 174 điểm

Một chiếc máy bay không người lái cất cánh, bay 33 km về hướng Tây Nam, rồi 21 km về hướng Đông Nam, rồi 5 km về hướng Đông Bắc. Lúc đó máy bay cách chỗ xuất phát bao nhiêu ki-lô-mét (theo đường thẳng)?
A drone takes off and flies 33 km south-west, then 21 km south-east, then 5 km north-east. How far is the drone from the starting point now, in a straight line, in km?
1. A. 30
2. B. 32
3. C. 35
4. D. 38
5. E. 40
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: C. 35

Nhận dạng: đi nhiều đoạn theo các hướng ngược nhau và vuông góc nhau, hỏi khoảng cách thẳng.
Ý tưởng: gom các đoạn theo hai hướng vuông góc (Tây Nam – Đông Bắc và Đông Nam – Tây Bắc), rồi dùng Pytago.
Bước 1: Hướng Tây Nam ngược hướng Đông Bắc: 33 − 5 = 28 km (về hướng Tây Nam).
Bước 2: Về hướng Đông Nam đi 21 km, không có đoạn ngược lại.
Bước 3: Hướng Tây Nam vuông góc với hướng Đông Nam, khoảng cách là cạnh huyền d: d × d = 28 × 28 + 21 × 21 = 784 + 441 = 1225.
Bước 4: 35 × 35 = 1225, nên d = 35 km.
Vậy máy bay cách chỗ xuất phát 35 km.
Câu 184 điểm

Đếm các số có ba chữ số chia hết cho cả 10 và 15.
How many three-digit numbers are divisible by both 10 and 15?
1. A. 10
2. B. 27
3. C. 30
4. D. 33
5. E. 50
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: C. 30

Nhận dạng: đếm bội của một số trong một khoảng.
Ý tưởng: số chia hết cho cả các số đó là bội của BCNN, tìm bội đầu, bội cuối rồi đếm số cách đều.
Bước 1: BCNN(10, 15) = 30 (10 = 2 × 5, 15 = 3 × 5, lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất: 2 × 3 × 5).
Bước 2: Bội đầu: 100 : 30 = 3 (dư 10), bội nhỏ nhất là 30 × 4 = 120.
Bước 3: Bội cuối: 999 : 30 = 33 (dư 9), bội lớn nhất là 30 × 33 = 990.
Bước 4: Số các bội: (990 − 120) : 30 + 1 = 30.
Vậy có 30 số.
Câu 194 điểm

Ngôi sao năm cánh trong hình có 5 đỉnh ngoài ghi sẵn 9, 5, 1, 2, 8 và 5 điểm bên trong p, q, r, s, t. Năm đường thẳng (mỗi đường 4 ô) là: 9 – p – q – 1; 5 – q – r – 2; 1 – r – s – 8; 2 – s – t – 9; 8 – t – p – 5. Điền các số 15, 16, 17, 18, 19 vào p, q, r, s, t (mỗi ô một số) sao cho tổng bốn số trên mỗi đường đều bằng nhau. Tìm số ở ô s.
The five-pointed star in the picture has its 5 outer points labelled 9, 5, 1, 2, 8 and 5 inner points p, q, r, s, t. The five lines (4 cells each) are: 9 – p – q – 1; 5 – q – r – 2; 1 – r – s – 8; 2 – s – t – 9; 8 – t – p – 5. The numbers 15, 16, 17, 18, 19 are placed in p, q, r, s, t (one each) so that every line has the same sum. Find the number in cell s.
1. A. 7
2. B. 16
3. C. 17
4. D. 18
5. E. 27
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: C. 17

Nhận dạng: điền số vào ngôi sao năm cánh, tổng mỗi đường bằng nhau.
Ý tưởng: mỗi ô nằm trên đúng 2 đường, nên cộng 5 đường được 2 lần tổng mọi số;
rồi dùng từng đường để tìm tổng hai ô bên trong.
Bước 1: Tổng 5 đỉnh ngoài: 9 + 5 + 1 + 2 + 8 = 25.
Tổng 5 số điền: 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85.
Bước 2: Gọi S là tổng mỗi đường: 5 × S = 2 × (25 + 85) = 220, nên S = 220 : 5 = 44.
Bước 3: Đường 8 – t – p – 5: t + p = 44 − 8 − 5 = 31.
Bước 4: Đường 5 – q – r – 2: q + r = 44 − 5 − 2 = 37.
Bước 5: s = (p + q + r + s + t) − (t + p) − (q + r) = 85 − 31 − 37 = 17.
Vậy ô s là 17.
Câu 204 điểm

Tìm chữ số tận cùng của 4²⁰²¹ + 77²⁰²⁶ + 88²⁰²⁴.
Find the last digit of 4²⁰²¹ + 77²⁰²⁶ + 88²⁰²⁴.
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 9
5. E. 12
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: D. 9

Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa.
Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó.
Bước 1: 4²⁰²¹: chu kỳ 4, 6 (dài 2), 2021 chia 2 dư 1 nên lấy số thứ 1: 4.
Bước 2: 77²⁰²⁶ cùng tận cùng với 7²⁰²⁶, chu kỳ 7, 9, 3, 1 (dài 4), 2026 chia 4 dư 2 nên lấy số thứ 2: 9.
Bước 3: 88²⁰²⁴ cùng tận cùng với 8²⁰²⁴, chu kỳ 8, 4, 2, 6 (dài 4), 2024 chia hết cho 4 nên lấy số cuối: 6.
Bước 4: 4 + 9 + 6 = 19, nên tổng tận cùng 9.
Vậy chữ số tận cùng là 9.

Phần 3: Điền đáp án 6 điểm (5 câu × 6 điểm)

Câu 216 điểm

Trong phép cộng ABC + DBC = AECG, mỗi chữ cái là một chữ số, hai chữ cái khác nhau là hai chữ số khác nhau, chữ cái đầu mỗi số khác 0. Có bao nhiêu bộ giá trị khác nhau của các chữ cái thoả phép cộng?
In the addition ABC + DBC = AECG each letter is a digit, different letters are different digits, and the first letter of each number is not 0. How many different assignments of digits satisfy the addition?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 3

Nhận dạng: phép cộng chữ có nhiều nghiệm, hỏi giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của một chữ.
Ý tưởng: xét cột đơn vị, chục, trăm với số nhớ, chốt A = 1 và E = 0, rồi chia nhánh theo D và liệt kê mọi nghiệm.
Bước 1: Gọi p, q là số nhớ từ cột đơn vị sang cột chục và từ cột chục sang cột trăm.
Cột đơn vị: C + C = G + 10 × p.
Cột chục: B + B + p = C + 10 × q.
Cột trăm: A + D + q = E + 10.
Bước 2: Tổng hai số ba chữ số nhỏ hơn 2000 nên chữ đầu A của số bốn chữ số AECG chỉ là số nhớ: A = 1, và cột trăm có 1 + D + q = E + 10.
Bước 3: Từ đó D = E + 9 − q.
Nếu q = 0 thì D = E + 9, chỉ E = 0, D = 9.
Nếu q = 1 thì D = E + 8: E = 0, D = 8 (E = 1 trùng A).
Vậy E = 0 và D là 9 (khi q = 0) hoặc 8 (khi q = 1).
Bước 4: Nhánh D = 9, q = 0: cột chục 2 × B + p = C.
Nếu p = 0: C = 2 × B, G = 2 × C = 4 × B < 10, B ≠ 0, 1 nên B = 2, C = 4, G = 8.
Nếu p = 1: C = 2 × B + 1, G = 2 × C − 10;
B = 2 cho G = 0 trùng E, B = 3 cho C = 7, G = 4, B = 4 cho C = 9 trùng D.
Bước 5: Nhánh D = 8, q = 1: cột chục 2 × B + p = C + 10, nên B ≥ 5.
Nếu p = 0: C = 2 × B − 10, G = 2 × C;
chỉ B = 6, C = 2, G = 4 hợp lệ (B = 5 cho C = 0 trùng E, B = 7 cho G = 8 trùng D, B = 8 trùng D, B = 9 cho C = 8 trùng D).
Nếu p = 1: C = 2 × B − 9 phải ≥ 5 nên B ≥ 7;
B = 7 cho C = 5, G = 0 trùng E, B = 8 trùng D, B = 9 cho C = 9 trùng B.
Bước 6: Có đúng ba nghiệm: 124 + 924 = 1048, 137 + 937 = 1074, 162 + 862 = 1024.
Bước 7: Số nghiệm bằng 3.
Vậy có 3 bộ giá trị.
Mẹo: chữ đầu của tổng dài hơn hai số hạng chỉ có thể là 1.
Câu 226 điểm

Tính diện tích tứ giác ABCD với A(−6; −4), B(6; 7), C(7; 6), D(−5; −9).
Find the area of quadrilateral ABCD with A(−6; −4), B(6; 7), C(7; 6), D(−5; −9).
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 49

Nhận dạng: tứ giác lồi cho bằng toạ độ bốn đỉnh, mỗi đỉnh nằm trên một cạnh của hình chữ nhật bao quanh.
Ý tưởng: vẽ hình chữ nhật có cạnh song song hai trục bao quanh hình, rồi trừ các tam giác vuông ở góc (phần thừa).
Bước 1: Hình chữ nhật bao quanh: x từ −6 đến 7 (rộng 13), y từ −9 đến 7 (cao 16);
diện tích 13 × 16 = 208.
Bước 2: Phần thừa là các tam giác vuông dựng trên từng cạnh: cạnh AB: 12 × 11 : 2 = 66, cạnh BC: 1 × 1 : 2 = 0,5, cạnh CD: 12 × 15 : 2 = 90, cạnh DA: 1 × 5 : 2 = 2,5.
Bước 3: Diện tích = 208 − (66 + 0,5 + 90 + 2,5) = 208 − 159 = 49.
Vậy diện tích là 49.
Câu 236 điểm

An và Bình cùng lúc xuất phát từ A và B, đi ngược chiều nhau, mỗi người đi với vận tốc không đổi. Sau khi gặp nhau, An phải đi thêm 16 giờ nữa mới tới B, còn Bình phải đi thêm 9 giờ nữa mới tới A. Từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau mất bao nhiêu giờ?
An and Binh leave A and B at the same time, walking towards each other, each at a constant speed. After they meet, An needs 16 more hours to reach B, and Binh needs 9 more hours to reach A. How many hours pass from the start until they meet?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 12

Nhận dạng: hai người xuất phát cùng lúc từ hai đầu, sau khi gặp nhau mỗi người cần thêm một thời gian nữa để tới đích của mình.
Ý tưởng: so sánh quãng AM và MB tính theo vận tốc của từng người, nhân hai đẳng thức để bỏ vận tốc, được t × t = a × b.
Bước 1: Gọi t là thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp (giờ), v₁ và v₂ là vận tốc của An và Bình;
M là chỗ gặp nhau.
Bước 2: Đoạn AM: An đi trong t giờ, Bình đi trong 9 giờ, nên v₁ × t = v₂ × 9.
Đoạn MB: Bình đi trong t giờ, An đi trong 16 giờ, nên v₂ × t = v₁ × 16.
Bước 3: Nhân hai đẳng thức: v₁ × v₂ × t × t = v₁ × v₂ × 16 × 9, bỏ v₁ × v₂: t × t = 16 × 9 = 144.
Bước 4: t > 0 nên t = 12 giờ.
Vậy thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là 12 giờ.
Mẹo: thời gian gặp nhau là căn của tích hai thời gian đi tiếp, không phải trung bình cộng.
Câu 246 điểm

62 người ngồi quanh một bàn tròn, mỗi người hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. Ai cũng nói: “Hai người ngồi cạnh tôi đều nói dối.” Hỏi có ít nhất bao nhiêu người nói thật?
62 people sit around a round table; each one always tells the truth or always lies. Everyone says: “Both people sitting next to me are liars.” What is the smallest possible number of truth-tellers?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 21

Nhận dạng: người ngồi quanh bàn tròn cùng nói về hai người ngồi cạnh, hỏi ít nhất hay nhiều nhất người nói thật.
Ý tưởng: xét người thật lo được mấy chỗ (hay không ngồi kề nhau), rồi dựng ví dụ chứng tỏ đạt được.
Bước 1: Người nói thật có hai người cạnh đều nói dối.
Người nói dối thì không phải cả hai người cạnh đều dối, nên có ít nhất một người cạnh nói thật.
Bước 2: Mỗi người nói thật “lo” cho 3 chỗ: chính mình và hai người cạnh.
Mọi người đều được lo, nên 3 × T ≥ 62, với T là số người nói thật.
Bước 3: 62 : 3 = 20 dư 2, T nguyên nên T ≥ 20 + 1 = 21.
Bước 4: Dựng ví dụ có T = 21: xếp 19 nhóm “thật, dối, dối” rồi “thật, dối, dối, thật, dối” (người dối nào cũng có người thật ngồi cạnh).
Vậy ít nhất có 21 người nói thật.
Mẹo: mỗi người thật chỉ bảo đảm được 3 chỗ, nên chia n cho 3 rồi làm tròn lên.
Câu 256 điểm

Có 49 số tự nhiên có hai chữ số viết liền nhau theo thứ tự tăng dần (hơn kém 1). Số đầu và số cuối đều là số chính phương. Tìm số cuối.
There are 49 two-digit natural numbers in a row, increasing by 1. The first and the last are perfect squares. Find the last number.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 64

Nhận dạng: dãy số tự nhiên liên tiếp, số đầu và số cuối là chính phương, số chữ số cho trước.
Ý tưởng: hiệu hai số chính phương bằng số số hạng trừ 1, phân tích thành hai thừa số cùng chẵn lẻ.
Bước 1: Gọi a × a là số đầu, b × b là số cuối (a, b nguyên dương, b > a).
49 số liên tiếp nên b × b − a × a = 49 − 1 = 48.
Bước 2: Phân tích (b − a) × (b + a) = 48;
hai thừa số cùng chẵn lẻ.
Các cặp: 2 × 24: a = (24 − 2) : 2 = 11, b = (24 + 2) : 2 = 13, hai số 121 và 169 (không đủ chữ số, loại);
4 × 12: a = (12 − 4) : 2 = 4, b = (12 + 4) : 2 = 8, hai số 16 và 64 (hai chữ số, nhận);
6 × 8: a = (8 − 6) : 2 = 1, b = (8 + 6) : 2 = 7, hai số 1 và 49 (không đủ chữ số, loại).
Bước 3: Chỉ cặp a = 4, b = 8 thoả: số đầu 16, số cuối 64.
Vậy số cuối là 64.
Mẹo: hai thừa số b − a và b + a luôn cùng chẵn lẻ.

Đáp án đề thi SEAMO lớp 9

Câu	Đáp án
Câu 1	E. 32
Câu 2	C. 4096
Câu 3	D. 10
Câu 4	B. 1
Câu 5	C. 60
Câu 6	B. 6
Câu 7	C. 137
Câu 8	B. 13
Câu 9	B. 2
Câu 10	B. 434
Câu 11	D. 15
Câu 12	C. 756
Câu 13	C. 45
Câu 14	C. 59
Câu 15	B. 14
Câu 16	A. 5
Câu 17	C. 35
Câu 18	C. 30
Câu 19	C. 17
Câu 20	D. 9
Câu 21	3
Câu 22	49
Câu 23	12
Câu 24	21
Câu 25	64

Đề thi khác

Đề SEAMO khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức SEAMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi SEAMO lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề paper e SEAMO lớp 9 có 25 câu, làm trong 90 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử SEAMO lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề SEAMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.