Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, AC = 12 cm, BD = 9 cm. Tính diện tích tứ giác (cm²). A. 21 B. 54 C. 66 D. 108

Đáp án: B. 54. Nhận dạng: tứ giác có hai đường chéo vuông góc, biết độ dài hai đường chéo. Ý tưởng: đường chéo BD chia tứ giác thành hai tam giác ABD, CBD có chung đáy BD. Bước 1: Gọi P là giao điểm; đường cao của hai tam giác là PA và PC. Bước 2: S = BD × PA : 2 + BD × PC : 2 = BD × AC : 2. Bước 3: S = 9 × 12 : 2 = 54 (cm²). Vậy diện tích là 54 cm².

Đa thức x⁴ + mx³ + 14x² + nx − 12 chia hết cho x² − x − 2. Tính m − n. A. −11 B. −24 C. −25 D. 25

Đáp án: C. −25. Nhận dạng: đa thức chia hết cho một đa thức bậc hai phân tích được thành hai nhân tử bậc nhất. Ý tưởng: chia hết cho (x − r₁)(x − r₂) thì giá trị tại x = r₁ và x = r₂ đều bằng 0: được hệ hai ẩn m, n. Bước 1: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1), nên giá trị tại x = 2 và x = −1 bằng 0. Bước 2: Thay x = 2: 2⁴ + m × 2³ + 14 × 2² + n × 2 − 12 = 16 + 8m + 56 + 2n − 12 = 0; tức là 8m + 2n = −60, chia cho 2: 4m + n = −30 (1). Bước 3: Thay x = −1: (−1)⁴ + m × (−1)³ + 14 × (−1)² + n × (−1) − 12 = 1 − m + 14 − n − 12 = 0; tức là −m − n = −3 (2). Bước 4: Hệ số của n là 1 và −1, đã đối nhau; cộng hai phương trình: 3m = −33, nên m = (−33) : 3 = −11; thế vào (1): 4 × (−11) + n = −30, nên n = −30 − (−44) = 14. Bước 5: m − n = −11 − 14 = −25. Vậy m − n = −25.

Tìm chữ số tận cùng của 7⁹⁹ + 3²⁰²⁴. A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

Đáp án: D. 4. Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa. Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó. Bước 1: 7⁹⁹: chu kỳ 7, 9, 3, 1 (dài 4), 99 chia 4 dư 3 nên lấy số thứ 3: 3. Bước 2: 3²⁰²⁴: chu kỳ 3, 9, 7, 1 (dài 4), 2024 chia hết cho 4 nên lấy số cuối: 1. Bước 3: 3 + 1 = 4, nên tổng tận cùng 4. Vậy chữ số tận cùng là 4.

Biểu đồ quạt tròn biểu diễn tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) theo môn thể thao yêu thích của một nhóm. Có tất cả 140 bạn, trong đó nhóm Bóng đá có 35 bạn. Góc ở tâm của quạt Bóng đá bằng bao nhiêu độ? A. 25 B. 35 C. 90 D. 270

Đáp án: C. 90. Nhận dạng: biểu đồ quạt tròn, góc ở tâm tỉ lệ với tần số tương đối. Ý tưởng: góc ở tâm = tần số tương đối × 360°; tần số tương đối = số lượng nhóm : cỡ mẫu (tổng). Bước 1: Tần số tương đối của nhóm Bóng đá: 35/140 = 1/4 = 25%. Bước 2: Góc ở tâm: 25% × 360° = 90°. Vậy góc ở tâm là 90°.

Số √18 + √29 nằm giữa hai số nguyên liên tiếp nào? A. 9 và 10 B. 8 và 9 C. 10 và 11 D. 11 và 12

Đáp án: A. 9 và 10. Nhận dạng: ước lượng tổng hai căn, kẹp tổng giữa hai số nguyên liên tiếp. Ý tưởng: kẹp mỗi căn giữa n và n + 0,5 (hoặc n + 0,5 và n + 1) bằng cách so bình phương, rồi cộng lại. Bước 1: 4² = 16 < 18 < 20,25 = 4,5², nên 4 < √18 < 4,5. Bước 2: 5² = 25 < 29 < 30,25 = 5,5², nên 5 < √29 < 5,5. Bước 3: Cộng: 9 < √18 + √29 < 4,5 + 5,5 = 10. Vậy √18 + √29 nằm giữa 9 và 10.

Dãy số 2, 7, 9, 16, 25, 41, … có 2 số đầu là 2, 7, từ số thứ 3 trở đi mỗi số bằng tổng hai số liền trước. Trong 1412 số hạng đầu tiên có bao nhiêu số chẵn? A. 470 B. 471 C. 472 D. 706

Đáp án: B. 471. Nhận dạng: dãy truy hồi, đếm số chẵn; không cần tính các số, chỉ cần xét tính chẵn lẻ. Ý tưởng: tính chẵn lẻ của mỗi số chỉ phụ thuộc tính chẵn lẻ của 2 số trước, nên lặp lại theo chu kì. Bước 1: Xét lần lượt (C là chẵn, L là lẻ): C, L, L, C, L. Bước 2: 2 số cuối (số thứ 4 tới 5) trùng 2 số đầu, nên lặp với chu kì 3; mỗi chu kì có 1 số chẵn. Bước 3: 1412 = 3 × 470 + 2: 470 chu kì đủ cho 470 số chẵn. Bước 4: 2 số còn lại giống 2 số đầu chu kì, có 1 số chẵn; tổng 470 + 1 = 471. Vậy có 471 số chẵn.

Tam giác ABC có góc A = 30°, góc B = 105° và BC = 3√2 cm. Tính độ dài cạnh AB. A. 6 B. 7 C. 9 D. 12

Đáp án: A. 6. Nhận dạng: biết hai góc và một cạnh của tam giác, cần một cạnh khác. Ý tưởng: hạ đường cao BH xuống AC để có hai tam giác vuông chung cạnh BH, rồi dùng sin của góc nhọn. Bước 1: Góc C = 180° − 30° − 105° = 45°. Bước 2: Góc A, góc C nhọn nên H nằm giữa A và C. Tam giác vuông BHC: BH = BC × sin C = 3√2 × √2/2 = 3 (sin 45° = √2/2). Bước 3: Tam giác vuông BHA: BH = AB × sin A, nên AB = BH : sin A = 3 : 1/2 = 6 (cm) (sin 30° = 1/2). Vậy AB = 6 cm.

Các số a, b, c, d, e thoả mãn hệ: 4a + b + c + d + e = 45; a + 4b + c + d + e = 27; a + b + 4c + d + e = 18; a + b + c + 4d + e = 48; a + b + c + d + 4e = 30. Tìm c. A. 2,25 B. 21 C. −0,75 D. −1

Đáp án: D. −1. Nhận dạng: mỗi phương trình có một ẩn mang hệ số 4, các ẩn còn lại hệ số 1. Ý tưởng: cộng tất cả để ra tổng S của các ẩn; mỗi phương trình là S cộng thêm phần dư của một ẩn. Bước 1: Mỗi ẩn có tổng hệ số 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8; cộng vế: 8(a + b + c + d + e) = 45 + 27 + 18 + 48 + 30 = 168, nên S = a + b + c + d + e = 168 : 8 = 21. Bước 2: Phương trình có 4c là S + 3c = 18. Bước 3: 3c = 18 − 21 = −3, nên c = −3 : 3 = −1. Vậy c = −1.

Tìm số nguyên dương n sao cho n + 14 và n − 57 đều là số chính phương. A. 71 B. 1225 C. 1282 D. 1296

Đáp án: C. 1282. Nhận dạng: hai biểu thức của n cùng là số chính phương. Ý tưởng: trừ hai số chính phương cho nhau để mất n, rồi viết hiệu hai bình phương thành tích. Bước 1: Gọi n + 14 = k², n − 57 = j² (k, j là số tự nhiên). Trừ vế: k² − j² = 14 + 57 = 71. Bước 2: (k − j)(k + j) = 71, với k + j > k − j và hai thừa số cùng chẵn lẻ (tổng là 2k). Bước 3: 1 × 71: k = (1 + 71) : 2 = 36, j = (71 − 1) : 2 = 35, n = 35² + 57 = 1282. Vậy n = 1282 (thử lại: 1282 + 14 = 1296 = 36², 1282 − 57 = 1225 = 35²).

Tính S = 1/(3 + √10) + 1/(√10 + √11) + … + 1/(√48 + 7). A. 4 B. 5 C. 7 D. 10

Đáp án: A. 4. Nhận dạng: tổng các phân số có mẫu là tổng hai căn hơn kém nhau cùng một số dưới căn. Ý tưởng: trục căn ở mẫu bằng nhân liên hợp, mỗi số hạng thành hiệu hai căn, cộng lại triệt tiêu. Bước 1: 1/(√k + √(k + 1)) = (√(k + 1) − √k)/((k + 1) − k) = √(k + 1) − √k. Bước 2: S = √10 − √9 + √11 − √10 + … + √49 − √48. Bước 3: Còn lại: S = √49 − √9 = 7 − 3 = 4. Vậy S = 4.

Đề thi PIMSO lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử PIMSO lớp 9 (vòng quốc gia (toán)) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 30 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh (có chú thích tiếng việt cho từ khoá). Trang này hiện 10 câu đầu; mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu 1–10 × 5 điểm; 10 câu 11–20 × 5 điểm; 10 câu 21–30 × 5 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 150 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi PIMSO.

Phần 1: Câu 1–10 (10 câu × 5 điểm)

Câu 15 điểm

Quadrilateral ABCD has perpendicular (vuông góc) diagonals (đường chéo) AC = 12 cm and BD = 9 cm. Find its area (cm²).
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, AC = 12 cm, BD = 9 cm. Tính diện tích tứ giác (cm²).
1. A. 21
2. B. 54
3. C. 66
4. D. 108
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 54

Nhận dạng: tứ giác có hai đường chéo vuông góc, biết độ dài hai đường chéo.
Ý tưởng: đường chéo BD chia tứ giác thành hai tam giác ABD, CBD có chung đáy BD.
Bước 1: Gọi P là giao điểm;
đường cao của hai tam giác là PA và PC.
Bước 2: S = BD × PA : 2 + BD × PC : 2 = BD × AC : 2.
Bước 3: S = 9 × 12 : 2 = 54 (cm²).
Vậy diện tích là 54 cm².
Câu 25 điểm

The polynomial x⁴ + mx³ + 14x² + nx − 12 is divisible (chia hết) by x² − x − 2. Find m − n.
Đa thức x⁴ + mx³ + 14x² + nx − 12 chia hết cho x² − x − 2. Tính m − n.
1. A. −11
2. B. −24
3. C. −25
4. D. 25
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. −25

Nhận dạng: đa thức chia hết cho một đa thức bậc hai phân tích được thành hai nhân tử bậc nhất.
Ý tưởng: chia hết cho (x − r₁)(x − r₂) thì giá trị tại x = r₁ và x = r₂ đều bằng 0: được hệ hai ẩn m, n.
Bước 1: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1), nên giá trị tại x = 2 và x = −1 bằng 0.
Bước 2: Thay x = 2: 2⁴ + m × 2³ + 14 × 2² + n × 2 − 12 = 16 + 8m + 56 + 2n − 12 = 0;
tức là 8m + 2n = −60, chia cho 2: 4m + n = −30 (1).
Bước 3: Thay x = −1: (−1)⁴ + m × (−1)³ + 14 × (−1)² + n × (−1) − 12 = 1 − m + 14 − n − 12 = 0;
tức là −m − n = −3 (2).
Bước 4: Hệ số của n là 1 và −1, đã đối nhau;
cộng hai phương trình: 3m = −33, nên m = (−33) : 3 = −11;
thế vào (1): 4 × (−11) + n = −30, nên n = −30 − (−44) = 14.
Bước 5: m − n = −11 − 14 = −25.
Vậy m − n = −25.
Câu 35 điểm

Find the last digit (chữ số hàng đơn vị) of 7⁹⁹ + 3²⁰²⁴.
Tìm chữ số tận cùng của 7⁹⁹ + 3²⁰²⁴.
1. A. 0
2. B. 2
3. C. 3
4. D. 4
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: D. 4

Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa.
Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó.
Bước 1: 7⁹⁹: chu kỳ 7, 9, 3, 1 (dài 4), 99 chia 4 dư 3 nên lấy số thứ 3: 3.
Bước 2: 3²⁰²⁴: chu kỳ 3, 9, 7, 1 (dài 4), 2024 chia hết cho 4 nên lấy số cuối: 1.
Bước 3: 3 + 1 = 4, nên tổng tận cùng 4.
Vậy chữ số tận cùng là 4.
Câu 45 điểm

A pie chart (biểu đồ hình quạt) shows the relative frequencies (percentages) by favourite sport. There are 140 students in total, 35 of them in the Football group. What is the central angle (góc) of the Football sector?
Biểu đồ quạt tròn biểu diễn tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) theo môn thể thao yêu thích của một nhóm. Có tất cả 140 bạn, trong đó nhóm Bóng đá có 35 bạn. Góc ở tâm của quạt Bóng đá bằng bao nhiêu độ?
1. A. 25
2. B. 35
3. C. 90
4. D. 270
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: C. 90

Nhận dạng: biểu đồ quạt tròn, góc ở tâm tỉ lệ với tần số tương đối.
Ý tưởng: góc ở tâm = tần số tương đối × 360°;
tần số tương đối = số lượng nhóm : cỡ mẫu (tổng).
Bước 1: Tần số tương đối của nhóm Bóng đá: 35/140 = 1/4 = 25%.
Bước 2: Góc ở tâm: 25% × 360° = 90°.
Vậy góc ở tâm là 90°.
Câu 55 điểm

Between which two consecutive (liên tiếp) integers does √18 + √29 lie?
Số √18 + √29 nằm giữa hai số nguyên liên tiếp nào?
1. A. 9 và 10
2. B. 8 và 9
3. C. 10 và 11
4. D. 11 và 12
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: A. 9 và 10

Nhận dạng: ước lượng tổng hai căn, kẹp tổng giữa hai số nguyên liên tiếp.
Ý tưởng: kẹp mỗi căn giữa n và n + 0,5 (hoặc n + 0,5 và n + 1) bằng cách so bình phương, rồi cộng lại.
Bước 1: 4² = 16 < 18 < 20,25 = 4,5², nên 4 < √18 < 4,5.
Bước 2: 5² = 25 < 29 < 30,25 = 5,5², nên 5 < √29 < 5,5.
Bước 3: Cộng: 9 < √18 + √29 < 4,5 + 5,5 = 10.
Vậy √18 + √29 nằm giữa 9 và 10.
Câu 65 điểm

The sequence (dãy số) 2, 7, 9, 16, 25, 41, … starts with 2, 7, and from term 3 on each term (số hạng) is the sum (tổng) of the two previous terms. How many even numbers (số chẵn) are among the first 1412 terms?
Dãy số 2, 7, 9, 16, 25, 41, … có 2 số đầu là 2, 7, từ số thứ 3 trở đi mỗi số bằng tổng hai số liền trước. Trong 1412 số hạng đầu tiên có bao nhiêu số chẵn?
1. A. 470
2. B. 471
3. C. 472
4. D. 706
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 471

Nhận dạng: dãy truy hồi, đếm số chẵn;
không cần tính các số, chỉ cần xét tính chẵn lẻ.
Ý tưởng: tính chẵn lẻ của mỗi số chỉ phụ thuộc tính chẵn lẻ của 2 số trước, nên lặp lại theo chu kì.
Bước 1: Xét lần lượt (C là chẵn, L là lẻ): C, L, L, C, L.
Bước 2: 2 số cuối (số thứ 4 tới 5) trùng 2 số đầu, nên lặp với chu kì 3;
mỗi chu kì có 1 số chẵn.
Bước 3: 1412 = 3 × 470 + 2: 470 chu kì đủ cho 470 số chẵn.
Bước 4: 2 số còn lại giống 2 số đầu chu kì, có 1 số chẵn;
tổng 470 + 1 = 471.
Vậy có 471 số chẵn.
Câu 75 điểm

Triangle (hình tam giác) ABC has angle (góc) A = 30°, angle B = 105° and BC = 3√2 cm. Find the length (chiều dài) of AB.
Tam giác ABC có góc A = 30°, góc B = 105° và BC = 3√2 cm. Tính độ dài cạnh AB.
1. A. 6
2. B. 7
3. C. 9
4. D. 12
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: A. 6

Nhận dạng: biết hai góc và một cạnh của tam giác, cần một cạnh khác.
Ý tưởng: hạ đường cao BH xuống AC để có hai tam giác vuông chung cạnh BH, rồi dùng sin của góc nhọn.
Bước 1: Góc C = 180° − 30° − 105° = 45°.
Bước 2: Góc A, góc C nhọn nên H nằm giữa A và C.
Tam giác vuông BHC: BH = BC × sin C = 3√2 × √2/2 = 3 (sin 45° = √2/2).
Bước 3: Tam giác vuông BHA: BH = AB × sin A, nên AB = BH : sin A = 3 : 1/2 = 6 (cm) (sin 30° = 1/2).
Vậy AB = 6 cm.
Câu 85 điểm

The numbers a, b, c, d, e satisfy the system: 4a + b + c + d + e = 45; a + 4b + c + d + e = 27; a + b + 4c + d + e = 18; a + b + c + 4d + e = 48; a + b + c + d + 4e = 30. Find c.
Các số a, b, c, d, e thoả mãn hệ: 4a + b + c + d + e = 45; a + 4b + c + d + e = 27; a + b + 4c + d + e = 18; a + b + c + 4d + e = 48; a + b + c + d + 4e = 30. Tìm c.
1. A. 2,25
2. B. 21
3. C. −0,75
4. D. −1
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: D. −1

Nhận dạng: mỗi phương trình có một ẩn mang hệ số 4, các ẩn còn lại hệ số 1.
Ý tưởng: cộng tất cả để ra tổng S của các ẩn;
mỗi phương trình là S cộng thêm phần dư của một ẩn.
Bước 1: Mỗi ẩn có tổng hệ số 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8;
cộng vế: 8(a + b + c + d + e) = 45 + 27 + 18 + 48 + 30 = 168, nên S = a + b + c + d + e = 168 : 8 = 21.
Bước 2: Phương trình có 4c là S + 3c = 18.
Bước 3: 3c = 18 − 21 = −3, nên c = −3 : 3 = −1.
Vậy c = −1.
Câu 95 điểm

Find the positive integer n such that n + 14 and n − 57 are both perfect squares.
Tìm số nguyên dương n sao cho n + 14 và n − 57 đều là số chính phương.
1. A. 71
2. B. 1225
3. C. 1282
4. D. 1296
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: C. 1282

Nhận dạng: hai biểu thức của n cùng là số chính phương.
Ý tưởng: trừ hai số chính phương cho nhau để mất n, rồi viết hiệu hai bình phương thành tích.
Bước 1: Gọi n + 14 = k², n − 57 = j² (k, j là số tự nhiên).
Trừ vế: k² − j² = 14 + 57 = 71.
Bước 2: (k − j)(k + j) = 71, với k + j > k − j và hai thừa số cùng chẵn lẻ (tổng là 2k).
Bước 3: 1 × 71: k = (1 + 71) : 2 = 36, j = (71 − 1) : 2 = 35, n = 35² + 57 = 1282.
Vậy n = 1282 (thử lại: 1282 + 14 = 1296 = 36², 1282 − 57 = 1225 = 35²).
Câu 105 điểm

Evaluate S = 1/(3 + √10) + 1/(√10 + √11) + … + 1/(√48 + 7).
Tính S = 1/(3 + √10) + 1/(√10 + √11) + … + 1/(√48 + 7).
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 7
4. D. 10
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: A. 4

Nhận dạng: tổng các phân số có mẫu là tổng hai căn hơn kém nhau cùng một số dưới căn.
Ý tưởng: trục căn ở mẫu bằng nhân liên hợp, mỗi số hạng thành hiệu hai căn, cộng lại triệt tiêu.
Bước 1: 1/(√k + √(k + 1)) = (√(k + 1) − √k)/((k + 1) − k) = √(k + 1) − √k.
Bước 2: S = √10 − √9 + √11 − √10 + … + √49 − √48.
Bước 3: Còn lại: S = √49 − √9 = 7 − 3 = 4.
Vậy S = 4.

Phần 2: Câu 11–20 (10 câu × 5 điểm)

Câu 11–20 (10 câu) có trong đề thi thử trên app.

Phần 3: Câu 21–30 (10 câu × 5 điểm)

Câu 21–30 (10 câu) có trong đề thi thử trên app.

Đáp án đề thi PIMSO lớp 9 (10 câu đầu)

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 54
Câu 2	C. −25
Câu 3	D. 4
Câu 4	C. 90
Câu 5	A. 9 và 10
Câu 6	B. 471
Câu 7	A. 6
Câu 8	D. −1
Câu 9	C. 1282
Câu 10	A. 4

Đề thi khác

Đề PIMSO khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức PIMSO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi PIMSO lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia (toán) PIMSO lớp 9 có 30 câu, làm trong 90 phút, tối đa 150 điểm.

Làm đề thi thử PIMSO lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề PIMSO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.