Lớp có 32 học sinh. Có 10 bạn học bóng đá, 10 bạn học cờ vua, 20 bạn học bơi; 4 bạn học cả bóng đá và cờ vua, 7 bạn học cả bóng đá và bơi, 7 bạn học cả cờ vua và bơi; 3 bạn học cả ba nhóm. Có bao nhiêu bạn không học nhóm nào? A. 2 B. 4 C. 7 D. 10 E. 12

Đáp án: C. 7. Nhận dạng: ba nhóm có phần chung, dùng bao hàm loại trừ (công thức cho ba tập). Ý tưởng: cộng ba nhóm, trừ từng phần chung hai nhóm (bị đếm hai lần), cộng lại phần chung cả ba (bị trừ hết). Bước 1: Học ít nhất một nhóm: 10 + 10 + 20 − 4 − 7 − 7 + 3 = 25. Bước 2: Không học nhóm nào: 32 − 25 = 7. Vậy có 7 bạn.

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có ∠BAC = 42°. Tính ∠BOC (độ). A. 21 B. 84 C. 86 D. 96 E. 138

Đáp án: B. 84. Nhận dạng: góc nội tiếp ∠BAC và góc ở tâm ∠BOC cùng chắn cung BC. Ý tưởng: góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung. Bước 1: ∠BOC = 2 × ∠BAC. Bước 2: ∠BOC = 2 × 42° = 84°. Vậy ∠BOC = 84°.

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Điểm M nằm trên AC với MC = 4 cm; điểm N nằm trên AB sao cho MN song song với BC. Tính AN. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

Đáp án: A. 3. Nhận dạng: đoạn thẳng song song với một cạnh của tam giác (định lí Ta-lét). Ý tưởng: MN ∥ BC nên tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB: AM : AC = AN : AB = MN : BC. Bước 1: Pytago: AC = √(10² − 6²) = 8; AM = 8 − 4 = 4. Bước 2: Tỉ số AM : AC = 4 : 8. Bước 3: AN = 6 × 4 : 8 = 3 (cm). Vậy AN = 3 cm.

Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 114! chia hết cho 10ⁿ (114! = 1 × 2 × … × 114). A. 22 B. 25 C. 26 D. 27 E. 28

Đáp án: C. 26. Nhận dạng: số mũ lớn nhất của 10 chia hết của giai thừa. Ý tưởng: mỗi thừa số 10 = 2 × 5, trong n! thừa số 2 nhiều hơn thừa số 5, nên chỉ cần đếm thừa số 5. Bước 1: Mỗi bội của 5 góp một thừa số 5, mỗi bội của 25 góp thêm một, bội của 125 thêm một nữa, … Bước 2: 114 : 5 = 22 (dư 4), 114 : 25 = 4 (dư 14), cộng 22 + 4 = 26. Vậy n lớn nhất là 26.

Các chữ số a, b, c khác nhau và khác 0, biết abc + bca + cab = 2331. Tìm số abc nhỏ nhất. A. 488 B. 489 C. 490 D. 498 E. 984

Đáp án: B. 489. Nhận dạng: tổng các số có ba chữ số tạo bởi hoán vị vòng a, b, c. Ý tưởng: mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng đúng một lần, nên tổng = 111 × (a + b + c). Bước 1: 111 × (a + b + c) = 2331, nên a + b + c = 21. Bước 2: abc nhỏ nhất khi a nhỏ nhất. b + c ≤ 9 + 8 = 17 nên a ≥ 21 − 17 = 4, còn b + c = 17. Bước 3: Tiếp theo b nhỏ nhất. c ≤ 9 nên b ≥ 17 − 9 = 8, b khác a và khác c: b = 8, c = 9. Vậy số abc nhỏ nhất là 489.

Có bao nhiêu bộ ba số nguyên tố (không kể thứ tự) có tổng bằng 106? A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 E. 15

Đáp án: B. 5. Nhận dạng: ba số nguyên tố có tổng là số chẵn. Ý tưởng: xét chẵn lẻ: ba số lẻ có tổng lẻ, nên trong ba số phải có số chẵn 2. Bước 1: 106 chẵn. Không có số 2 thì tổng lẻ; có đúng hai số 2 thì tổng cũng lẻ. Vậy có đúng một số bằng 2. Bước 2: Hai số còn lại có tổng 106 − 2 = 104. Các cách: 3 + 101, 7 + 97, 31 + 73, 37 + 67, 43 + 61. Bước 3: Mỗi cách viết 104 cho một bộ (2, p, q): có 5 bộ. Vậy có 5 bộ.

Tung một con xúc xắc 6 mặt 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng các số chấm bằng 4. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b. A. 25 B. 37 C. 72 D. 73 E. 113

Đáp án: D. 73. Nhận dạng: đếm kết quả gieo xúc xắc có tổng cho trước. Ý tưởng: tổng nhỏ: đặt vách giữa các đơn vị (mỗi số ≥ 1); tổng lớn: đổi x thành 7 − x để về tổng nhỏ. Bước 1: Có 6 × 6 × 6 = 216 kết quả. Gọi p, q, r là số chấm ba lần. Bước 2: Tổng 4: p + q + r = 4, mỗi số ≥ 1 và nhiều nhất 4 − 2 = 2 nên không vượt 6. Xếp 4 viên thành hàng có 4 − 1 = 3 khe, chọn 2 khe đặt vách: 3 (chọn 2 trong 3 cũng là chọn 1 phần không lấy). Bước 3: Xác suất bằng số kết quả thuận lợi chia số kết quả: 3/216 = 1/72. Bước 4: Xác suất là 1/72, nên a = 1, b = 72, a + b = 1 + 72 = 73. Vậy a + b = 73. Mẹo: tổng s và tổng 7 × n − s có số kết quả bằng nhau (đổi x thành 7 − x).

Tìm số dư khi chia 1049¹¹¹ cho 15. A. 4 B. 10 C. 14 D. 18 E. 24

Đáp án: C. 14. Nhận dạng: cơ số chia cho số chia dư lớn nhất có thể (kém một bội của số chia 1 đơn vị). Ý tưởng: 1049 + 1 chia hết cho 15, nên 1049² chia 15 dư 1, ghép số mũ thành từng cặp. Bước 1: 1049 + 1 = 1050 = 15 × 70 chia hết cho 15. Bước 2: 1049² − 1 = (1049 − 1) × (1049 + 1) chia hết cho 15, nên 1049² chia 15 dư 1. Bước 3: 111 lẻ: 1049¹¹¹ = 1049 × (1049²)⁵⁵, có cùng số dư với 1049, tức 14. Vậy số dư là 14.

Ba chữ số khác nhau, khác 0 lập được 6 số có ba chữ số khác nhau (mỗi số dùng cả ba chữ số). Tổng của 6 số đó là 2442. Hai trong ba chữ số là 4 và 1. Tìm chữ số còn lại. A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 E. 22

Đáp án: B. 6. Nhận dạng: tổng mọi số lập từ ba chữ số khác nhau, tìm tổng chữ số hay chữ số còn lại. Ý tưởng: mỗi chữ số đứng mỗi hàng đúng 2 lần nên tổng bằng 222 nhân tổng ba chữ số. Bước 1: Gọi ba chữ số là x, y, z. Mỗi chữ số đứng ở hàng trăm 2 lần, hàng chục 2 lần, hàng đơn vị 2 lần trong 6 số. Bước 2: Nên tổng bằng 2 × (100 + 10 + 1) × (x + y + z) = 222 × (x + y + z) = 2442. Bước 3: x + y + z = 2442 : 222 = 11. Bước 4: Chữ số còn lại: 11 − 4 − 1 = 6. Vậy chữ số còn lại là 6. Mẹo: ba chữ số khác nhau, khác 0 có tổng từ 6 đến 24.

Một tờ giấy hình tròn bán kính 6 cm được gập đôi hai lần theo hai đường kính vuông góc, thành một hình quạt 90°. Tại tâm (đỉnh hình quạt), người ta cắt bỏ một tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông dài 5 cm, nằm dọc hai mép gập. Mở tờ giấy ra, tổng diện tích phần giấy bị cắt bỏ là bao nhiêu? A. 25 B. 50 C. 55 D. 70 E. 100

Đáp án: B. 50. Nhận dạng: tờ giấy tròn gập hai lần rồi cắt bỏ một hình ở tâm, tính diện tích phần bị cắt. Ý tưởng: mở ra, bốn tam giác ghép lại thành một hình vuông, tính theo đường chéo. Bước 1: Mở ra, bốn tam giác vuông cân ghép thành một hình vuông có hai đường chéo cùng dài 2 × 5 = 10 cm. Bước 2: Diện tích hình vuông có hai đường chéo bằng nhau: 10 × 10 : 2 = 50 cm². Vậy diện tích bị cắt bỏ là 50 cm². Mẹo: gập đôi hai lần nên mỗi phần cắt xuất hiện 4 lần khi mở ra.

Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 1500 nguyên tố cùng nhau với 15? A. 798 B. 800 C. 808 D. 900 E. 1000

Đáp án: B. 800. Nhận dạng: đếm số nguyên tố cùng nhau với 15 trong một đoạn dài. Ý tưởng: a và a + 15 có cùng ƯCLN với 15, nên mỗi nhóm 15 số liên tiếp có số lượng như nhau. Bước 1: 15 = 3 × 5: số nguyên tố cùng nhau với 15 là số không chia hết cho 3 hoặc 5. Bước 2: Từ 1 đến 15 có 8 số: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Bước 3: 1500 = 15 × 100, có 100 nhóm: 8 × 100 = 800. Vậy có 800 số.

Có bao nhiêu số nguyên x để x − 5 và 5x + 15 đều là số có 3 chữ số? A. 91 B. 92 C. 112 D. 180 E. 900

Đáp án: B. 92. Nhận dạng: hai biểu thức cùng phải có k chữ số. Ý tưởng: số có ba chữ số nằm từ 100 đến 999; mỗi biểu thức cho một khoảng của x, lấy phần chung. Bước 1: 100 ≤ x − 5 ≤ 999, nên 105 ≤ x ≤ 1004. Bước 2: 100 ≤ 5x + 15 ≤ 999, nên 85 ≤ 5x ≤ 984, 17 ≤ x ≤ 196,8; x nguyên nên 17 ≤ x ≤ 196. Bước 3: Phần chung: 105 ≤ x ≤ 196. Bước 4: Số giá trị: 196 − 105 + 1 = 92. Vậy có 92 số.

Hai dây AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại điểm P nằm trong đường tròn. Biết PA = 2 cm, PB = 4 cm, PC = 8 cm. Tính PD. A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 E. 11

Đáp án: A. 1. Nhận dạng: hai dây cắt nhau bên trong đường tròn. Ý tưởng: tam giác PAC đồng dạng tam giác PDB (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung), nên PA × PB = PC × PD. Bước 1: PA × PB = 2 × 4 = 8. Bước 2: PD = 8 : 8 = 1 (cm). Vậy PD = 1 cm.

Các hình xếp chấm thành tam giác có số chấm là 1, 3, 6, 10, 15, … (hình thứ n có thêm một hàng n chấm so với hình trước). Hình thứ 59 có bao nhiêu chấm? A. 1711 B. 1740 C. 1770 D. 1790 E. 3540

Đáp án: C. 1770. Nhận dạng: dãy hình xếp chấm thành tam giác, số chấm tăng thêm một hàng ở mỗi hình. Ý tưởng: ghép hai hình giống nhau thành hình chữ nhật n × (n + 1) rồi chia đôi. Bước 1: Số chấm hình n = 1 + 2 + … + n; hai hình ghép lại thành hình chữ nhật n × (n + 1) nên số chấm bằng n × (n + 1) : 2. Bước 2: Hình thứ 59: 59 × 60 : 2 = 3540 : 2 = 1770. Vậy đáp án là 1770. Mẹo: hai số tam giác liền nhau có tổng bằng bình phương, ví dụ 6 + 10 = 4 × 4.

Chọn ít nhất bao nhiêu số trong các số 1, 2, …, 20 để chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia? A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 E. 20

Đáp án: C. 11. Nhận dạng: chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia. Ý tưởng: chia các số thành xích, trong mỗi xích hai số bất kì có số này là bội số kia; mỗi xích là một chuồng. Bước 1: Xích dạng x, 2x, 4x, 8x, … (x là số lẻ), ví dụ 3, 6, 12. Bước 2: Mỗi xích bắt đầu bằng một số lẻ từ 1 tới 19; có 10 số như vậy nên có 10 xích. Bước 3: Chọn 10 + 1 = 11 số thì có hai số cùng xích, tức có cặp bội. Bước 4: Chọn 10 số vẫn có thể không có cặp bội, ví dụ các số từ 11 tới 20 (10 số): gấp đôi số nhỏ nhất là 22 > 20. Vậy cần chọn ít nhất 11 số.

Hiệu giữa một góc trong và một góc ngoài của một đa giác đều là 170°. Đa giác có bao nhiêu cạnh?

Đáp án: 72. Nhận dạng: đa giác đều biết hiệu góc trong và góc ngoài. Ý tưởng: góc trong và góc ngoài kề bù (tổng 180°), biết thêm hiệu: bài toán tổng – hiệu. Bước 1: Góc trong + góc ngoài = 180°, góc trong − góc ngoài = 170°. Bước 2: Góc ngoài = (180° − 170°) : 2 = 5°. Bước 3: Số cạnh = 360 : 5 = 72. Vậy đa giác có 72 cạnh. Mẹo: lỗi hay sai là lấy 360 : 170, phải tìm góc ngoài trước.

Parabol y = x² cắt đường thẳng y = 4 tại hai điểm A, B. O là gốc toạ độ. Tính diện tích tam giác OAB.

Đáp án: 8. Nhận dạng: giao của parabol và đường thẳng. Ý tưởng: hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax² = mx + n; đường thẳng cắt trục tung tại C(0; n), chia tam giác OAB thành hai tam giác chung đáy OC. Bước 1: x² = 4, tức là x² − 4 = 0. Bước 2: x² − 4 = (x − 2)(x + 2) = 0, nên x = 2 hoặc x = −2 (thử lại: 2² = 4 = 4); A(2; 4), B(−2; 4). Bước 3: Đường thẳng cắt trục tung tại C(0; 4), OC = 4. Bước 4: S(OAB) = S(OAC) + S(OBC) = 4 × 2 : 2 + 4 × 2 : 2 = 8. Vậy diện tích tam giác OAB là 8.

Một hộp có 32 quả bóng hồng, 14 quả bóng cam và 31 quả bóng tím. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu quả bóng để chắc chắn có 22 quả bóng cùng màu?

Đáp án: 57. Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 22 quả bóng cùng màu, các màu có số lượng khác nhau. Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy được nhiều nhất mà chưa tới 22; màu có ít hơn 22 thì lấy hết. Bước 1: Màu có ít hơn 22 quả bóng: 14 cam, lấy hết. Bước 2: Màu hồng và tím lấy mỗi màu 22 − 1 = 21. Bước 3: Cộng: 21 + 14 + 21 = 56; vẫn chưa có 22 quả bóng cùng màu. Bước 4: Quả bóng tiếp theo thuộc một màu đã có 21: 56 + 1 = 57. Vậy cần lấy ít nhất 57 quả bóng. Mẹo: đừng lấy 3 × 21 + 1, vì có màu không đủ 21 quả bóng.

Có 12 ô xếp thành một hàng, đánh số 1 đến 12 từ trái sang phải. Con kiến đang ở ô số 1, mỗi lần nhảy sang phải 1 hoặc 2 ô. Con kiến muốn tới ô số 12 mà không đứng trên ô số 3. Có bao nhiêu cách?

Đáp án: 34. Nhận dạng: đếm cách đi, mỗi bước 1 hoặc 2 ô, có ô bị cấm. Ý tưởng: lập bảng cộng dồn: lần cuối tới i là từ i − 1 hoặc từ i − 2, nên số cách tới i bằng tổng hai số trước. Bước 1: Gọi f(i) là số cách tới ô số i: f(1) = 1 (đang đứng sẵn), f(2) = 1 (chỉ nhảy 1 ô từ ô số 1), ô cấm có f = 0. Bước 2: f(i) = f(i − 1) + f(i − 2); ô bị cấm có f = 0 nên không cộng. Bước 3: Tính lần lượt: f(3) = 0 (bị cấm), f(4) = f(2) = 1 (vì f(3) = 0), f(5) = f(4) = 1 (vì f(3) = 0). f(6) = f(5) + f(4) = 1 + 1 = 2, f(7) = f(6) + f(5) = 2 + 1 = 3, f(8) = f(7) + f(6) = 3 + 2 = 5. f(9) = f(8) + f(7) = 5 + 3 = 8, f(10) = f(9) + f(8) = 8 + 5 = 13, f(11) = f(10) + f(9) = 13 + 8 = 21. f(12) = f(11) + f(10) = 21 + 13 = 34. Vậy có 34 cách.

Từ 1 đến 2071 có bao nhiêu số chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 8?

Đáp án: 259. Nhận dạng: đếm số chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 8. Ý tưởng: lấy số các bội của 6, bớt đi các số chia hết cho cả 6 và 8 (bội của BCNN). Bước 1: Bội của 6: 2071 : 6 = 345 (dư 1), có 345 số. Bước 2: BCNN(6, 8) = 24 (6 = 2 × 3, 8 = 2³, lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất: 2³ × 3). Bội của 24: 2071 : 24 = 86 (dư 7), có 86 số. Bước 3: 345 − 86 = 259. Vậy có 259 số.

169 bạn đứng thành vòng tròn, đánh số từ 1 đến 169 theo chiều kim đồng hồ. Bắt đầu từ số 1: giữ lại bạn số 1, mời bạn số 2 ra, giữ bạn số 3, mời bạn số 4 ra, … cứ thế đi vòng quanh cho tới khi chỉ còn một bạn. Đó là bạn số mấy?

Đáp án: 83. Nhận dạng: vòng tròn mời lần lượt cách một bạn ra khỏi vòng, hỏi bạn còn lại cuối cùng. Ý tưởng: viết n = 2^m + r, mời r bạn trước để còn số bạn là luỹ thừa của 2, rồi biết vị trí còn lại. Bước 1: Nếu số bạn là luỹ thừa của 2 thì bạn số 1 còn lại (mỗi vòng giữ lại các bạn đứng vị trí lẻ, bạn số 1 luôn là người đầu). Bước 2: Viết 169 = 128 + 41, với 128 là luỹ thừa của 2. Cần mời 41 bạn ra để còn 128 bạn. Bước 3: 41 lần mời đầu là các bạn số 2, 4, …, 82. Khi đó còn 128 bạn, và lượt kế tiếp bắt đầu từ bạn số 83. Bước 4: Lúc này 128 bạn là luỹ thừa của 2 và bạn bắt đầu được giữ lại: bạn số 83 là người còn lại. Vậy người còn lại là số 83. Mẹo: n = luỹ thừa của 2 cộng r thì đáp số là 2 × r + 1 (hoặc 2 × r khi mời bạn số 1 trước).

An và Bình cùng lúc xuất phát từ A và B, đi ngược chiều nhau, mỗi người đi với vận tốc không đổi. Sau khi gặp nhau, An phải đi thêm 2 giờ nữa mới tới B, còn Bình phải đi thêm 18 giờ nữa mới tới A. Tính thời gian An đi hết cả quãng đường AB (giờ).

Đáp án: 8. Nhận dạng: hai người xuất phát cùng lúc từ hai đầu, sau khi gặp nhau mỗi người cần thêm một thời gian nữa để tới đích của mình. Ý tưởng: so sánh quãng AM và MB tính theo vận tốc của từng người, nhân hai đẳng thức để bỏ vận tốc, được t × t = a × b. Bước 1: Gọi t là thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp (giờ), v₁ và v₂ là vận tốc của An và Bình; M là chỗ gặp nhau. Bước 2: Đoạn AM: An đi trong t giờ, Bình đi trong 18 giờ, nên v₁ × t = v₂ × 18. Đoạn MB: Bình đi trong t giờ, An đi trong 2 giờ, nên v₂ × t = v₁ × 2. Bước 3: Nhân hai đẳng thức: v₁ × v₂ × t × t = v₁ × v₂ × 2 × 18, bỏ v₁ × v₂: t × t = 2 × 18 = 36. Bước 4: t > 0 nên t = 6 giờ. Bước 5: An đi hết AM trong 6 giờ và MB trong 2 giờ: 6 + 2 = 8 giờ. Vậy An đi hết cả quãng AB trong 6 + 2 = 8 giờ. Mẹo: thời gian gặp nhau là căn của tích hai thời gian đi tiếp, không phải trung bình cộng.

Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. 11 năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi?

Đáp án: 11. Nhận dạng: bài toán tuổi cho tỉ số tuổi ở hai thời điểm. Ý tưởng: hiệu tuổi không đổi: viết hiệu theo tỉ số ở hai thời điểm rồi giải phương trình. Bước 1: Gọi c là tuổi con hiện nay, tuổi mẹ là 3 × c. Hiệu tuổi hiện nay là 3 × c − c = 2 × c và không đổi theo thời gian. Bước 2: 11 năm nữa, tuổi con là c + 11, tuổi mẹ gấp 2 lần nên hiệu tuổi là c + 11. Bước 3: Hai hiệu bằng nhau: 2 × c = c + 11. Bước 4: (2 − 1) × c = 11, nên c = 11. Bước 5: Kiểm: mẹ hiện nay 33 tuổi, 11 năm nữa 44 = 2 × 22. Vậy hiện nay con 11 tuổi. Mẹo: tỉ số tuổi giảm dần về 1 khi thời gian trôi, hiệu tuổi mới là đại lượng cố định.

Cho x > 0 và x² − 5x + 1 = 0. Tính x⁵ + 1/x⁵.

Đáp án: 2525. Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi x⁵ + 1/x⁵. Ý tưởng: lập phương hai vế; hạng tử giữa là 3 × x × 1/x × (x + 1/x), tính được. Bước 1: x ≠ 0 (thay x = 0 không thoả), chia hai vế cho x: x − 5 + 1/x = 0, tức là x + 1/x = 5. Bước 2: (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3 × x × 1/x × (x + 1/x) = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x). Bước 3: 5³ = x³ + 1/x³ + 3 × 5, nên x³ + 1/x³ = 125 − 15 = 110. Bước 4: x² + 1/x² = 5² − 2 = 23; (x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) = x⁵ + 1/x⁵ + x + 1/x, nên x⁵ + 1/x⁵ = 23 × 110 − 5 = 2525. Vậy x⁵ + 1/x⁵ = 2525.

Hình bên gồm 19 khối lập phương cạnh 1 cm xếp bậc thang. Mặt đáy là lưới 3 × 4 ô; số tầng trên các ô, viết từ hàng sau ra hàng trước (mỗi hàng từ trái sang phải): 4 1 1 1; 3 1 1 1; 3 1 1 1. Tính diện tích toàn phần (mặt ngoài) của hình.

Đáp án: 58. Nhận dạng: khối xếp bậc thang, không có chỗ lõm bị che. Ý tưởng: mặt ngoài nhìn từ trước bằng nhìn từ sau, từ trên bằng từ dưới, từ trái bằng từ phải, diện tích = 2 × (trước + trên + bên). Bước 1: Nhìn từ trên thấy 12 ô; nhìn từ trước thấy 7 ô; nhìn từ bên thấy 10 ô. Bước 2: Diện tích = 2 × (7 + 12 + 10) = 58 (cm²). Vậy diện tích toàn phần là 58 cm².

Đề thi AMO lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử AMO lớp 9 (vòng quốc gia) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 15 câu phần a — trắc nghiệm × 3 điểm; 5 câu phần b — điền đáp án × 5 điểm; 5 câu phần c — điền đáp án × 6 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi AMO.

Phần 1: Phần A — trắc nghiệm (15 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

A class has 32 students. 10 take football, 10 take chess, 20 take swimming; 4 take both football and chess, 7 take both football and swimming, 7 take both chess and swimming; 3 take all three. How many students take none of them?
Lớp có 32 học sinh. Có 10 bạn học bóng đá, 10 bạn học cờ vua, 20 bạn học bơi; 4 bạn học cả bóng đá và cờ vua, 7 bạn học cả bóng đá và bơi, 7 bạn học cả cờ vua và bơi; 3 bạn học cả ba nhóm. Có bao nhiêu bạn không học nhóm nào?
1. A. 2
2. B. 4
3. C. 7
4. D. 10
5. E. 12
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: C. 7

Nhận dạng: ba nhóm có phần chung, dùng bao hàm loại trừ (công thức cho ba tập).
Ý tưởng: cộng ba nhóm, trừ từng phần chung hai nhóm (bị đếm hai lần), cộng lại phần chung cả ba (bị trừ hết).
Bước 1: Học ít nhất một nhóm: 10 + 10 + 20 − 4 − 7 − 7 + 3 = 25.
Bước 2: Không học nhóm nào: 32 − 25 = 7.
Vậy có 7 bạn.
Câu 23 điểm

Triangle ABC is inscribed in circle O with ∠BAC = 42°. Find ∠BOC (degrees).
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có ∠BAC = 42°. Tính ∠BOC (độ).
1. A. 21
2. B. 84
3. C. 86
4. D. 96
5. E. 138
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. 84

Nhận dạng: góc nội tiếp ∠BAC và góc ở tâm ∠BOC cùng chắn cung BC.
Ý tưởng: góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
Bước 1: ∠BOC = 2 × ∠BAC.
Bước 2: ∠BOC = 2 × 42° = 84°.
Vậy ∠BOC = 84°.
Câu 33 điểm

Right triangle ABC (right angle at A) has AB = 6 cm, BC = 10 cm. M is on AC with MC = 4 cm; N is on AB with MN parallel to BC. Find AN.
Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Điểm M nằm trên AC với MC = 4 cm; điểm N nằm trên AB sao cho MN song song với BC. Tính AN.
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 6
5. E. 7
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: A. 3

Nhận dạng: đoạn thẳng song song với một cạnh của tam giác (định lí Ta-lét).
Ý tưởng: MN ∥ BC nên tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB: AM : AC = AN : AB = MN : BC.
Bước 1: Pytago: AC = √(10² − 6²) = 8;
AM = 8 − 4 = 4.
Bước 2: Tỉ số AM : AC = 4 : 8.
Bước 3: AN = 6 × 4 : 8 = 3 (cm).
Vậy AN = 3 cm.
Câu 43 điểm

Find the largest natural number n such that 114! is divisible by 10ⁿ (114! = 1 × 2 × … × 114).
Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 114! chia hết cho 10ⁿ (114! = 1 × 2 × … × 114).
1. A. 22
2. B. 25
3. C. 26
4. D. 27
5. E. 28
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: C. 26

Nhận dạng: số mũ lớn nhất của 10 chia hết của giai thừa.
Ý tưởng: mỗi thừa số 10 = 2 × 5, trong n! thừa số 2 nhiều hơn thừa số 5, nên chỉ cần đếm thừa số 5.
Bước 1: Mỗi bội của 5 góp một thừa số 5, mỗi bội của 25 góp thêm một, bội của 125 thêm một nữa, …
Bước 2: 114 : 5 = 22 (dư 4), 114 : 25 = 4 (dư 14), cộng 22 + 4 = 26.
Vậy n lớn nhất là 26.
Câu 53 điểm

Digits a, b, c are distinct and nonzero, and abc + bca + cab = 2331. Find the smallest possible abc.
Các chữ số a, b, c khác nhau và khác 0, biết abc + bca + cab = 2331. Tìm số abc nhỏ nhất.
1. A. 488
2. B. 489
3. C. 490
4. D. 498
5. E. 984
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. 489

Nhận dạng: tổng các số có ba chữ số tạo bởi hoán vị vòng a, b, c.
Ý tưởng: mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng đúng một lần, nên tổng = 111 × (a + b + c).
Bước 1: 111 × (a + b + c) = 2331, nên a + b + c = 21.
Bước 2: abc nhỏ nhất khi a nhỏ nhất.
b + c ≤ 9 + 8 = 17 nên a ≥ 21 − 17 = 4, còn b + c = 17.
Bước 3: Tiếp theo b nhỏ nhất.
c ≤ 9 nên b ≥ 17 − 9 = 8, b khác a và khác c: b = 8, c = 9.
Vậy số abc nhỏ nhất là 489.
Câu 63 điểm

In how many ways can 106 be written as a sum of three primes (order does not matter)?
Có bao nhiêu bộ ba số nguyên tố (không kể thứ tự) có tổng bằng 106?
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 10
5. E. 15
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 5

Nhận dạng: ba số nguyên tố có tổng là số chẵn.
Ý tưởng: xét chẵn lẻ: ba số lẻ có tổng lẻ, nên trong ba số phải có số chẵn 2.
Bước 1: 106 chẵn.
Không có số 2 thì tổng lẻ;
có đúng hai số 2 thì tổng cũng lẻ.
Vậy có đúng một số bằng 2.
Bước 2: Hai số còn lại có tổng 106 − 2 = 104.
Các cách: 3 + 101, 7 + 97, 31 + 73, 37 + 67, 43 + 61.
Bước 3: Mỗi cách viết 104 cho một bộ (2, p, q): có 5 bộ.
Vậy có 5 bộ.
Câu 73 điểm

Roll a six-sided die 3 times in a row. Find the probability that the sum of the numbers is 4. Write this probability as a fraction a/b in lowest terms. Find a + b.
Tung một con xúc xắc 6 mặt 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng các số chấm bằng 4. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.
1. A. 25
2. B. 37
3. C. 72
4. D. 73
5. E. 113
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: D. 73

Nhận dạng: đếm kết quả gieo xúc xắc có tổng cho trước.
Ý tưởng: tổng nhỏ: đặt vách giữa các đơn vị (mỗi số ≥ 1);
tổng lớn: đổi x thành 7 − x để về tổng nhỏ.
Bước 1: Có 6 × 6 × 6 = 216 kết quả.
Gọi p, q, r là số chấm ba lần.
Bước 2: Tổng 4: p + q + r = 4, mỗi số ≥ 1 và nhiều nhất 4 − 2 = 2 nên không vượt 6.
Xếp 4 viên thành hàng có 4 − 1 = 3 khe, chọn 2 khe đặt vách: 3 (chọn 2 trong 3 cũng là chọn 1 phần không lấy).
Bước 3: Xác suất bằng số kết quả thuận lợi chia số kết quả: 3/216 = 1/72.
Bước 4: Xác suất là 1/72, nên a = 1, b = 72, a + b = 1 + 72 = 73.
Vậy a + b = 73.
Mẹo: tổng s và tổng 7 × n − s có số kết quả bằng nhau (đổi x thành 7 − x).
Câu 83 điểm

Find the remainder when 1049¹¹¹ is divided by 15.
Tìm số dư khi chia 1049¹¹¹ cho 15.
1. A. 4
2. B. 10
3. C. 14
4. D. 18
5. E. 24
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: C. 14

Nhận dạng: cơ số chia cho số chia dư lớn nhất có thể (kém một bội của số chia 1 đơn vị).
Ý tưởng: 1049 + 1 chia hết cho 15, nên 1049² chia 15 dư 1, ghép số mũ thành từng cặp.
Bước 1: 1049 + 1 = 1050 = 15 × 70 chia hết cho 15.
Bước 2: 1049² − 1 = (1049 − 1) × (1049 + 1) chia hết cho 15, nên 1049² chia 15 dư 1.
Bước 3: 111 lẻ: 1049¹¹¹ = 1049 × (1049²)⁵⁵, có cùng số dư với 1049, tức 14.
Vậy số dư là 14.
Câu 93 điểm

Three different non-zero digits form 6 different three-digit numbers (each uses all three digits). The sum of these 6 numbers is 2442. Two of the digits are 4 and 1. Find the third digit.
Ba chữ số khác nhau, khác 0 lập được 6 số có ba chữ số khác nhau (mỗi số dùng cả ba chữ số). Tổng của 6 số đó là 2442. Hai trong ba chữ số là 4 và 1. Tìm chữ số còn lại.
1. A. 5
2. B. 6
3. C. 7
4. D. 9
5. E. 22
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 6

Nhận dạng: tổng mọi số lập từ ba chữ số khác nhau, tìm tổng chữ số hay chữ số còn lại.
Ý tưởng: mỗi chữ số đứng mỗi hàng đúng 2 lần nên tổng bằng 222 nhân tổng ba chữ số.
Bước 1: Gọi ba chữ số là x, y, z.
Mỗi chữ số đứng ở hàng trăm 2 lần, hàng chục 2 lần, hàng đơn vị 2 lần trong 6 số.
Bước 2: Nên tổng bằng 2 × (100 + 10 + 1) × (x + y + z) = 222 × (x + y + z) = 2442.
Bước 3: x + y + z = 2442 : 222 = 11.
Bước 4: Chữ số còn lại: 11 − 4 − 1 = 6.
Vậy chữ số còn lại là 6.
Mẹo: ba chữ số khác nhau, khác 0 có tổng từ 6 đến 24.
Câu 103 điểm

A circular sheet of paper of radius 6 cm is folded in half twice along two perpendicular diameters, forming a 90° sector. At the centre (the vertex of the sector), an isosceles right triangle with legs of 5 cm lying along the two folded edges is cut away. After unfolding, what is the total area of the paper that was cut away?
Một tờ giấy hình tròn bán kính 6 cm được gập đôi hai lần theo hai đường kính vuông góc, thành một hình quạt 90°. Tại tâm (đỉnh hình quạt), người ta cắt bỏ một tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông dài 5 cm, nằm dọc hai mép gập. Mở tờ giấy ra, tổng diện tích phần giấy bị cắt bỏ là bao nhiêu?
1. A. 25
2. B. 50
3. C. 55
4. D. 70
5. E. 100
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: B. 50

Nhận dạng: tờ giấy tròn gập hai lần rồi cắt bỏ một hình ở tâm, tính diện tích phần bị cắt.
Ý tưởng: mở ra, bốn tam giác ghép lại thành một hình vuông, tính theo đường chéo.
Bước 1: Mở ra, bốn tam giác vuông cân ghép thành một hình vuông có hai đường chéo cùng dài 2 × 5 = 10 cm.
Bước 2: Diện tích hình vuông có hai đường chéo bằng nhau: 10 × 10 : 2 = 50 cm².
Vậy diện tích bị cắt bỏ là 50 cm².
Mẹo: gập đôi hai lần nên mỗi phần cắt xuất hiện 4 lần khi mở ra.
Câu 113 điểm

How many integers from 1 to 1500 are coprime to 15?
Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 1500 nguyên tố cùng nhau với 15?
1. A. 798
2. B. 800
3. C. 808
4. D. 900
5. E. 1000
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: B. 800

Nhận dạng: đếm số nguyên tố cùng nhau với 15 trong một đoạn dài.
Ý tưởng: a và a + 15 có cùng ƯCLN với 15, nên mỗi nhóm 15 số liên tiếp có số lượng như nhau.
Bước 1: 15 = 3 × 5: số nguyên tố cùng nhau với 15 là số không chia hết cho 3 hoặc 5.
Bước 2: Từ 1 đến 15 có 8 số: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.
Bước 3: 1500 = 15 × 100, có 100 nhóm: 8 × 100 = 800.
Vậy có 800 số.
Câu 123 điểm

For how many integers x do x − 5 and 5x + 15 both have exactly three digits?
Có bao nhiêu số nguyên x để x − 5 và 5x + 15 đều là số có 3 chữ số?
1. A. 91
2. B. 92
3. C. 112
4. D. 180
5. E. 900
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: B. 92

Nhận dạng: hai biểu thức cùng phải có k chữ số.
Ý tưởng: số có ba chữ số nằm từ 100 đến 999;
mỗi biểu thức cho một khoảng của x, lấy phần chung.
Bước 1: 100 ≤ x − 5 ≤ 999, nên 105 ≤ x ≤ 1004.
Bước 2: 100 ≤ 5x + 15 ≤ 999, nên 85 ≤ 5x ≤ 984, 17 ≤ x ≤ 196,8;
x nguyên nên 17 ≤ x ≤ 196.
Bước 3: Phần chung: 105 ≤ x ≤ 196.
Bước 4: Số giá trị: 196 − 105 + 1 = 92.
Vậy có 92 số.
Câu 133 điểm

Chords AB and CD of a circle meet at a point P inside the circle. Given PA = 2 cm, PB = 4 cm, PC = 8 cm, find PD.
Hai dây AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại điểm P nằm trong đường tròn. Biết PA = 2 cm, PB = 4 cm, PC = 8 cm. Tính PD.
1. A. 1
2. B. 3
3. C. 4
4. D. 6
5. E. 11
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: A. 1

Nhận dạng: hai dây cắt nhau bên trong đường tròn.
Ý tưởng: tam giác PAC đồng dạng tam giác PDB (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung), nên PA × PB = PC × PD.
Bước 1: PA × PB = 2 × 4 = 8.
Bước 2: PD = 8 : 8 = 1 (cm).
Vậy PD = 1 cm.
Câu 143 điểm

Dots are arranged in triangles with 1, 3, 6, 10, 15, … dots (figure n has a new row of n dots added to the previous figure). How many dots are in figure 59?
Các hình xếp chấm thành tam giác có số chấm là 1, 3, 6, 10, 15, … (hình thứ n có thêm một hàng n chấm so với hình trước). Hình thứ 59 có bao nhiêu chấm?
1. A. 1711
2. B. 1740
3. C. 1770
4. D. 1790
5. E. 3540
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: C. 1770

Nhận dạng: dãy hình xếp chấm thành tam giác, số chấm tăng thêm một hàng ở mỗi hình.
Ý tưởng: ghép hai hình giống nhau thành hình chữ nhật n × (n + 1) rồi chia đôi.
Bước 1: Số chấm hình n = 1 + 2 + … + n;
hai hình ghép lại thành hình chữ nhật n × (n + 1) nên số chấm bằng n × (n + 1) : 2.
Bước 2: Hình thứ 59: 59 × 60 : 2 = 3540 : 2 = 1770.
Vậy đáp án là 1770.
Mẹo: hai số tam giác liền nhau có tổng bằng bình phương, ví dụ 6 + 10 = 4 × 4.
Câu 153 điểm

What is the least number of numbers chosen from 1, 2, …, 20 to be sure that one of two chosen numbers is a multiple of the other?
Chọn ít nhất bao nhiêu số trong các số 1, 2, …, 20 để chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia?
1. A. 7
2. B. 10
3. C. 11
4. D. 12
5. E. 20
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: C. 11

Nhận dạng: chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia.
Ý tưởng: chia các số thành xích, trong mỗi xích hai số bất kì có số này là bội số kia;
mỗi xích là một chuồng.
Bước 1: Xích dạng x, 2x, 4x, 8x, … (x là số lẻ), ví dụ 3, 6, 12.
Bước 2: Mỗi xích bắt đầu bằng một số lẻ từ 1 tới 19;
có 10 số như vậy nên có 10 xích.
Bước 3: Chọn 10 + 1 = 11 số thì có hai số cùng xích, tức có cặp bội.
Bước 4: Chọn 10 số vẫn có thể không có cặp bội, ví dụ các số từ 11 tới 20 (10 số): gấp đôi số nhỏ nhất là 22 > 20.
Vậy cần chọn ít nhất 11 số.

Phần 2: Phần B — điền đáp án (5 câu × 5 điểm)

Câu 165 điểm

The difference between an interior angle and an exterior angle of a regular polygon is 170°. How many sides does it have?
Hiệu giữa một góc trong và một góc ngoài của một đa giác đều là 170°. Đa giác có bao nhiêu cạnh?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: 72

Nhận dạng: đa giác đều biết hiệu góc trong và góc ngoài.
Ý tưởng: góc trong và góc ngoài kề bù (tổng 180°), biết thêm hiệu: bài toán tổng – hiệu.
Bước 1: Góc trong + góc ngoài = 180°, góc trong − góc ngoài = 170°.
Bước 2: Góc ngoài = (180° − 170°) : 2 = 5°.
Bước 3: Số cạnh = 360 : 5 = 72.
Vậy đa giác có 72 cạnh.
Mẹo: lỗi hay sai là lấy 360 : 170, phải tìm góc ngoài trước.
Câu 175 điểm

The parabola y = x² meets the line y = 4 at A and B. O is the origin. Find the area of triangle OAB.
Parabol y = x² cắt đường thẳng y = 4 tại hai điểm A, B. O là gốc toạ độ. Tính diện tích tam giác OAB.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: 8

Nhận dạng: giao của parabol và đường thẳng.
Ý tưởng: hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax² = mx + n;
đường thẳng cắt trục tung tại C(0; n), chia tam giác OAB thành hai tam giác chung đáy OC.
Bước 1: x² = 4, tức là x² − 4 = 0.
Bước 2: x² − 4 = (x − 2)(x + 2) = 0, nên x = 2 hoặc x = −2 (thử lại: 2² = 4 = 4);
A(2; 4), B(−2; 4).
Bước 3: Đường thẳng cắt trục tung tại C(0; 4), OC = 4.
Bước 4: S(OAB) = S(OAC) + S(OBC) = 4 × 2 : 2 + 4 × 2 : 2 = 8.
Vậy diện tích tam giác OAB là 8.
Câu 185 điểm

A box contains 32 pink balls, 14 orange balls and 31 purple balls. Blindfolded, what is the least number of balls to take out to be sure of having 22 of the same colour?
Một hộp có 32 quả bóng hồng, 14 quả bóng cam và 31 quả bóng tím. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu quả bóng để chắc chắn có 22 quả bóng cùng màu?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: 57

Nhận dạng: lấy để chắc chắn có 22 quả bóng cùng màu, các màu có số lượng khác nhau.
Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy được nhiều nhất mà chưa tới 22;
màu có ít hơn 22 thì lấy hết.
Bước 1: Màu có ít hơn 22 quả bóng: 14 cam, lấy hết.
Bước 2: Màu hồng và tím lấy mỗi màu 22 − 1 = 21.
Bước 3: Cộng: 21 + 14 + 21 = 56;
vẫn chưa có 22 quả bóng cùng màu.
Bước 4: Quả bóng tiếp theo thuộc một màu đã có 21: 56 + 1 = 57.
Vậy cần lấy ít nhất 57 quả bóng.
Mẹo: đừng lấy 3 × 21 + 1, vì có màu không đủ 21 quả bóng.
Câu 195 điểm

12 squares are in a row, numbered 1 to 12 from left to right. An ant is on square 1 and each jump moves it 1 or 2 squares to the right. It wants to reach square 12 without landing on square 3. In how many ways can it do this?
Có 12 ô xếp thành một hàng, đánh số 1 đến 12 từ trái sang phải. Con kiến đang ở ô số 1, mỗi lần nhảy sang phải 1 hoặc 2 ô. Con kiến muốn tới ô số 12 mà không đứng trên ô số 3. Có bao nhiêu cách?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: 34

Nhận dạng: đếm cách đi, mỗi bước 1 hoặc 2 ô, có ô bị cấm.
Ý tưởng: lập bảng cộng dồn: lần cuối tới i là từ i − 1 hoặc từ i − 2, nên số cách tới i bằng tổng hai số trước.
Bước 1: Gọi f(i) là số cách tới ô số i: f(1) = 1 (đang đứng sẵn), f(2) = 1 (chỉ nhảy 1 ô từ ô số 1), ô cấm có f = 0.
Bước 2: f(i) = f(i − 1) + f(i − 2);
ô bị cấm có f = 0 nên không cộng.
Bước 3: Tính lần lượt: f(3) = 0 (bị cấm), f(4) = f(2) = 1 (vì f(3) = 0), f(5) = f(4) = 1 (vì f(3) = 0).
f(6) = f(5) + f(4) = 1 + 1 = 2, f(7) = f(6) + f(5) = 2 + 1 = 3, f(8) = f(7) + f(6) = 3 + 2 = 5.
f(9) = f(8) + f(7) = 5 + 3 = 8, f(10) = f(9) + f(8) = 8 + 5 = 13, f(11) = f(10) + f(9) = 13 + 8 = 21.
f(12) = f(11) + f(10) = 21 + 13 = 34.
Vậy có 34 cách.
Câu 205 điểm

How many integers from 1 to 2071 are divisible by 6 but not by 8?
Từ 1 đến 2071 có bao nhiêu số chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 8?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: 259

Nhận dạng: đếm số chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 8.
Ý tưởng: lấy số các bội của 6, bớt đi các số chia hết cho cả 6 và 8 (bội của BCNN).
Bước 1: Bội của 6: 2071 : 6 = 345 (dư 1), có 345 số.
Bước 2: BCNN(6, 8) = 24 (6 = 2 × 3, 8 = 2³, lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất: 2³ × 3).
Bội của 24: 2071 : 24 = 86 (dư 7), có 86 số.
Bước 3: 345 − 86 = 259.
Vậy có 259 số.

Phần 3: Phần C — điền đáp án (5 câu × 6 điểm)

Câu 216 điểm

169 children stand in a circle, numbered 1 to 169 clockwise. Start at number 1: keep number 1, remove number 2, keep number 3, remove number 4, … and so on around the circle until only one child is left. Which number is that child?
169 bạn đứng thành vòng tròn, đánh số từ 1 đến 169 theo chiều kim đồng hồ. Bắt đầu từ số 1: giữ lại bạn số 1, mời bạn số 2 ra, giữ bạn số 3, mời bạn số 4 ra, … cứ thế đi vòng quanh cho tới khi chỉ còn một bạn. Đó là bạn số mấy?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 83

Nhận dạng: vòng tròn mời lần lượt cách một bạn ra khỏi vòng, hỏi bạn còn lại cuối cùng.
Ý tưởng: viết n = 2^m + r, mời r bạn trước để còn số bạn là luỹ thừa của 2, rồi biết vị trí còn lại.
Bước 1: Nếu số bạn là luỹ thừa của 2 thì bạn số 1 còn lại (mỗi vòng giữ lại các bạn đứng vị trí lẻ, bạn số 1 luôn là người đầu).
Bước 2: Viết 169 = 128 + 41, với 128 là luỹ thừa của 2.
Cần mời 41 bạn ra để còn 128 bạn.
Bước 3: 41 lần mời đầu là các bạn số 2, 4, …, 82.
Khi đó còn 128 bạn, và lượt kế tiếp bắt đầu từ bạn số 83.
Bước 4: Lúc này 128 bạn là luỹ thừa của 2 và bạn bắt đầu được giữ lại: bạn số 83 là người còn lại.
Vậy người còn lại là số 83.
Mẹo: n = luỹ thừa của 2 cộng r thì đáp số là 2 × r + 1 (hoặc 2 × r khi mời bạn số 1 trước).
Câu 226 điểm

An and Binh leave A and B at the same time, walking towards each other, each at a constant speed. After they meet, An needs 2 more hours to reach B, and Binh needs 18 more hours to reach A. How many hours does An take to walk the whole way from A to B?
An và Bình cùng lúc xuất phát từ A và B, đi ngược chiều nhau, mỗi người đi với vận tốc không đổi. Sau khi gặp nhau, An phải đi thêm 2 giờ nữa mới tới B, còn Bình phải đi thêm 18 giờ nữa mới tới A. Tính thời gian An đi hết cả quãng đường AB (giờ).
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 8

Nhận dạng: hai người xuất phát cùng lúc từ hai đầu, sau khi gặp nhau mỗi người cần thêm một thời gian nữa để tới đích của mình.
Ý tưởng: so sánh quãng AM và MB tính theo vận tốc của từng người, nhân hai đẳng thức để bỏ vận tốc, được t × t = a × b.
Bước 1: Gọi t là thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp (giờ), v₁ và v₂ là vận tốc của An và Bình;
M là chỗ gặp nhau.
Bước 2: Đoạn AM: An đi trong t giờ, Bình đi trong 18 giờ, nên v₁ × t = v₂ × 18.
Đoạn MB: Bình đi trong t giờ, An đi trong 2 giờ, nên v₂ × t = v₁ × 2.
Bước 3: Nhân hai đẳng thức: v₁ × v₂ × t × t = v₁ × v₂ × 2 × 18, bỏ v₁ × v₂: t × t = 2 × 18 = 36.
Bước 4: t > 0 nên t = 6 giờ.
Bước 5: An đi hết AM trong 6 giờ và MB trong 2 giờ: 6 + 2 = 8 giờ.
Vậy An đi hết cả quãng AB trong 6 + 2 = 8 giờ.
Mẹo: thời gian gặp nhau là căn của tích hai thời gian đi tiếp, không phải trung bình cộng.
Câu 236 điểm

This year the mother's age is 3 times the child's age. In 11 years, the mother's age will be 2 times the child's age. How old is the child now?
Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. 11 năm nữa, tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 11

Nhận dạng: bài toán tuổi cho tỉ số tuổi ở hai thời điểm.
Ý tưởng: hiệu tuổi không đổi: viết hiệu theo tỉ số ở hai thời điểm rồi giải phương trình.
Bước 1: Gọi c là tuổi con hiện nay, tuổi mẹ là 3 × c.
Hiệu tuổi hiện nay là 3 × c − c = 2 × c và không đổi theo thời gian.
Bước 2: 11 năm nữa, tuổi con là c + 11, tuổi mẹ gấp 2 lần nên hiệu tuổi là c + 11.
Bước 3: Hai hiệu bằng nhau: 2 × c = c + 11.
Bước 4: (2 − 1) × c = 11, nên c = 11.
Bước 5: Kiểm: mẹ hiện nay 33 tuổi, 11 năm nữa 44 = 2 × 22.
Vậy hiện nay con 11 tuổi.
Mẹo: tỉ số tuổi giảm dần về 1 khi thời gian trôi, hiệu tuổi mới là đại lượng cố định.
Câu 246 điểm

Given x > 0 and x² − 5x + 1 = 0, find x⁵ + 1/x⁵.
Cho x > 0 và x² − 5x + 1 = 0. Tính x⁵ + 1/x⁵.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 2525

Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi x⁵ + 1/x⁵.
Ý tưởng: lập phương hai vế;
hạng tử giữa là 3 × x × 1/x × (x + 1/x), tính được.
Bước 1: x ≠ 0 (thay x = 0 không thoả), chia hai vế cho x: x − 5 + 1/x = 0, tức là x + 1/x = 5.
Bước 2: (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3 × x × 1/x × (x + 1/x) = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x).
Bước 3: 5³ = x³ + 1/x³ + 3 × 5, nên x³ + 1/x³ = 125 − 15 = 110.
Bước 4: x² + 1/x² = 5² − 2 = 23;
(x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) = x⁵ + 1/x⁵ + x + 1/x, nên x⁵ + 1/x⁵ = 23 × 110 − 5 = 2525.
Vậy x⁵ + 1/x⁵ = 2525.
Câu 256 điểm

The figure is made of 19 cubes of edge 1 cm stacked like stairs. The base is a 3 × 4 grid; column heights from back row to front row (left to right): 4 1 1 1; 3 1 1 1; 3 1 1 1. Find its total surface area.
Hình bên gồm 19 khối lập phương cạnh 1 cm xếp bậc thang. Mặt đáy là lưới 3 × 4 ô; số tầng trên các ô, viết từ hàng sau ra hàng trước (mỗi hàng từ trái sang phải): 4 1 1 1; 3 1 1 1; 3 1 1 1. Tính diện tích toàn phần (mặt ngoài) của hình.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 58

Nhận dạng: khối xếp bậc thang, không có chỗ lõm bị che.
Ý tưởng: mặt ngoài nhìn từ trước bằng nhìn từ sau, từ trên bằng từ dưới, từ trái bằng từ phải, diện tích = 2 × (trước + trên + bên).
Bước 1: Nhìn từ trên thấy 12 ô;
nhìn từ trước thấy 7 ô;
nhìn từ bên thấy 10 ô.
Bước 2: Diện tích = 2 × (7 + 12 + 10) = 58 (cm²).
Vậy diện tích toàn phần là 58 cm².

Đáp án đề thi AMO lớp 9

Câu	Đáp án
Câu 1	C. 7
Câu 2	B. 84
Câu 3	A. 3
Câu 4	C. 26
Câu 5	B. 489
Câu 6	B. 5
Câu 7	D. 73
Câu 8	C. 14
Câu 9	B. 6
Câu 10	B. 50
Câu 11	B. 800
Câu 12	B. 92
Câu 13	A. 1
Câu 14	C. 1770
Câu 15	C. 11
Câu 16	72
Câu 17	8
Câu 18	57
Câu 19	34
Câu 20	259
Câu 21	83
Câu 22	8
Câu 23	11
Câu 24	2525
Câu 25	58

Đề thi khác

Đề AMO khối khác: Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức AMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi AMO lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia AMO lớp 9 có 25 câu, làm trong 90 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử AMO lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề AMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.