Hai số nguyên dương x, y thoả mãn x² + y² − 16y + 66 = 3. Hỏi x + y bằng bao nhiêu? A. 10 B. 9 C. 16 D. −7

Đáp án: B. 9. Nhận dạng: một phương trình hai ẩn có x², y², ẩn là số nguyên dương. Ý tưởng: gom thành tổng hai bình phương bằng một số nhỏ, rồi dùng điều kiện nguyên dương để chặn. Bước 1: Chuyển vế: x² + y² − 16y + 63 = 0. Gom: x² + (y² − 16y + 64) = 64 − 63, nên x² + (y − 8)² = 1. Bước 2: x nguyên dương nên x ≥ 1, x² ≥ 1. Bước 3: Mà (y − 8)² ≥ 0, tổng bằng 1 nên x² = 1 và (y − 8)² = 0: x = 1, y = 8. Bước 4: x + y = 1 + 8 = 9. Vậy x + y = 9.

Số x là số lẻ có ba chữ số và x chia cho 11 dư 10. Tìm x lớn nhất. A. 967 B. 978 C. 988 D. 989

Đáp án: D. 989. Nhận dạng: tìm số lẻ có ba chữ số chia cho 11 dư 10. Ý tưởng: viết x = 11 × t + 10, tìm t ở đầu khoảng rồi chỉnh tính chẵn lẻ. Bước 1: Gọi x là số cần tìm, x = 11 × t + 10 (t là số tự nhiên). Bước 2: 11 × t + 10 ≤ 999 nên 11 × t ≤ 989; 989 : 11 = 89 (dư 10), t lớn nhất là 89: x = 11 × 89 + 10 = 989. Bước 3: 989 là số lẻ, đúng yêu cầu. Vậy số cần tìm là 989.

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 21 m và BH = 9 m. Tính độ dài cạnh huyền BC. A. 30 B. 49 C. 58 D. 79

Đáp án: C. 58. Nhận dạng: tam giác vuông tại A có đường cao AH xuống cạnh huyền BC. Ý tưởng: hệ thức lượng: AH² = BH × HC, AB² = BH × BC, AC² = HC × BC (BH, HC là hình chiếu của AB, AC trên cạnh huyền BC). Bước 1: AH² = BH × HC, nên HC = AH² : BH = 21 × 21 : 9 = 441 : 9 = 49. Bước 2: BC = BH + HC = 9 + 49 = 58 (m). Vậy BC = 58 m.

Khi xoay trang giấy 180°, các chữ số 0, 1, 8 giữ nguyên, 6 thành 9, 9 thành 6, các chữ số khác không đọc được. Số lớn nhất có 6 chữ số mà sau khi xoay 180° vẫn đọc thành chính số đó là số nào? A. 100001 B. 999666 C. 999668 D. 999999

Đáp án: B. 999666. Nhận dạng: số mà xoay 180° vẫn đọc ra chính nó, đếm hoặc tìm số thoả điều kiện. Ý tưởng: các chữ số đối xứng nhau qua tâm phải khớp từng cặp (1 ↔ 1, 6 ↔ 9, 8 ↔ 8, 9 ↔ 6, 0 ↔ 0); chọn nửa đầu thì nửa sau đã xác định. Bước 1: Chữ số được chọn ở nửa đầu là 9 (lớn nhất trong 0, 1, 6, 8, 9), nên 3 chữ số đầu đều là 9. Bước 2: Các chữ số đối xứng bị quyết định: 9 xoay thành 6, nên 3 chữ số cuối là 666. Bước 3: Ghép lại: 999666. Vậy đáp án là 999666. Mẹo: xét nửa đầu từ trái sang phải, chọn chữ số tốt nhất ở mỗi vị trí.

Hình bên gồm các khối lập phương nhỏ xếp bậc thang. Mặt đáy là lưới 3 × 3 ô; số tầng trên các ô, viết từ hàng sau ra hàng trước (mỗi hàng từ trái sang phải): 2 1 1; 2 1 1; 2 1 1. Cần thêm ít nhất bao nhiêu khối nhỏ để được hình hộp chữ nhật 3 × 3 × 2? A. 6 B. 7 C. 12 D. 18

Đáp án: A. 6. Nhận dạng: bù khối xếp thành hình hộp chữ nhật. Ý tưởng: số khối cần thêm = số khối của hình hộp − số khối đang có. Bước 1: Đang có 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 12 khối. Bước 2: Hình hộp có 3 × 3 × 2 = 18 khối; cần thêm 18 − 12 = 6. Vậy cần thêm ít nhất 6 khối.

Số mũ lớn nhất n sao cho tích 1 × 2 × … × 146 chia hết cho 11ⁿ là bao nhiêu? A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

Đáp án: B. 14. Nhận dạng: số mũ lớn nhất của 11 chia hết một giai thừa. Ý tưởng: số mũ của 11 trong 146! bằng tổng các phần nguyên 146 : 11 + 146 : 121 + …. Bước 1: Đếm thừa số 11: mỗi bội của 11 góp một, mỗi bội của 121 góp thêm một, … Bước 2: 146 : 11 = 13 (dư 3), 146 : 121 = 1 (dư 25), cộng 13 + 1 = 14. Vậy n lớn nhất là 14.

Số báo danh của mỗi thí sinh là một số có 3 chữ số khác nhau, chữ số đầu khác 0, chỉ dùng các chữ số 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9. Có nhiều nhất bao nhiêu số báo danh là số chia hết cho 4? A. 8 B. 15 C. 35 D. 40

Đáp án: C. 35. Nhận dạng: lập số chia hết cho 4, các chữ số khác nhau. Ý tưởng: chọn cặp hai chữ số cuối trước, tách theo cặp đó có chữ số 0 hay không. Bước 1: Số chia hết cho 4 khi số tạo bởi hai chữ số cuối chia hết cho 4. Các cặp (hai chữ số khác nhau, lấy từ đề): 08, 16, 36, 56, 60, 68, 80, 96. Bước 2 (đuôi có chữ số 0: 08, 60, 80): hàng trăm: 7 − 2 = 5 cách. Có 3 × 5 = 15 số. Bước 3 (đuôi không có 0: 16, 36, 56, 68, 96): hàng trăm khác 0 và khác hai chữ số cuối: 7 − 3 = 4 cách. Có 5 × 4 = 20 số. Bước 4: Cộng: 15 + 20 = 35. Vậy có 35 số.

Góc nhọn θ có cos θ = √15/8. Tính 29 + 32 × tan θ × cos θ. A. 1 B. 57 C. 61 D. 65

Đáp án: B. 57. Nhận dạng: biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn θ, tính biểu thức chứa tỉ số khác. Ý tưởng: dùng sin²θ + cos²θ = 1 (với góc nhọn, sin và cos đều dương). Bước 1: sin²θ = 1 − cos²θ = 1 − 15/64 = 49/64, nên sin θ = 7/8. Bước 2: tan θ = sin θ : cos θ, nên tan θ × cos θ = sin θ. Bước 3: 29 + 32 × 7/8 = 29 + 28 = 57. Vậy giá trị biểu thức là 57.

Số 9A3446B (A, B là các chữ số) chia hết cho 22. Tìm số lớn nhất như vậy. A. 9034465 B. 9234467 C. 9434469 D. 9834462

Đáp án: D. 9834462. Nhận dạng: điền chữ số để số chia hết cho 22. Ý tưởng: 22 = 2 × 11, các thừa số nguyên tố cùng nhau, nên số phải chia hết cho từng thừa số. Bước 1: Chia hết cho 2: chữ số tận cùng chẵn, nên B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8. Bước 2: Chia hết cho 11: tổng vị trí lẻ trừ tổng vị trí chẵn (tính từ phải): (B + 4 + 3 + 9) − (6 + 4 + A) = B − A + 6. Vì −3 ≤ B − A + 6 ≤ 15, nên B − A + 6 = 0 hoặc 11. Bước 3: Ghép: A − B = 6: (6, 0), (7, 1), (8, 2), (9, 3), giữ cặp có B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8: (6, 0), (8, 2); B − A = 5: (0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), giữ cặp có B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8: (1, 6), (3, 8). Vậy số lớn nhất là 9834462 (A = 8, B = 2).

Tổng các ước dương của 189 bằng bao nhiêu? A. 8 B. 48 C. 131 D. 320

Đáp án: D. 320. Nhận dạng: tính tổng các ước của một số. Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, nhóm các luỹ thừa của từng thừa số rồi nhân các tổng nhóm. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 189 : 3 = 63, : 3 = 21, : 3 = 7, : 7 = 1. Vậy 189 = 3³ × 7. Bước 2: Mỗi ước là tích của một số trong mỗi nhóm (1, 3, 9, 27), (1, 7), nên tổng các ước bằng tích các tổng nhóm. Bước 3: Tổng = (1 + 3 + 9 + 27) × (1 + 7) = 40 × 8 = 320. Vậy tổng các ước của 189 là 320.

Biết (x − 1) là một nhân tử của 13x²⁰²³ + 9x¹² + a. Tìm a. A. 4 B. 22 C. −20 D. −22

Đáp án: D. −22. Nhận dạng: biết một nhân tử bậc nhất của đa thức, tìm hệ số. Ý tưởng: định lí nhân tử: (x − r) là nhân tử khi và chỉ khi giá trị của đa thức tại x = r bằng 0. Bước 1: Nhân tử (x − 1) ứng với x = 1. Bước 2: 1²⁰²³ = 1, 1¹² = 1. Bước 3: Thay x = 1: 13 × 1 + 9 × 1 + a = 13 + 9 + a = 0, nên a = −22. Vậy a = −22.

Một cốc đầy nước nặng 270 g; khi chỉ còn 2/5 cốc nước thì nặng 198 g. Cốc rỗng nặng bao nhiêu gam? A. 120 B. 150 C. 198 D. 234

Đáp án: B. 150. Nhận dạng: cân một vật chứa khi đầy và khi còn một phần, hỏi khối lượng vật chứa hoặc chất bên trong. Ý tưởng: hiệu hai lần cân chính là khối lượng phần chất lỏng đã bớt, từ đó suy ra cả phần chất lỏng rồi cốc rỗng. Bước 1: Gọi lượng nước trong cốc đầy là 1 phần; hai lần cân hơn kém nhau đúng phần nước đã bỏ đi. Bước 2: Phần bỏ đi là 1 − 2/5 = 3/5 cốc nước, nặng 270 − 198 = 72 g. Bước 3: Cả cốc nước đầy nặng: 72 : 3/5 = 120 g. Bước 4: Cốc rỗng: 270 − 120 = 150 g. Vậy cốc rỗng nặng 150 g. Mẹo: đừng lấy hai lần cân chia đôi, phải chia theo phần chất lỏng đã bớt.

Tính diện tích hình giới hạn bởi trục Oy, đường thẳng x + 3y − 24 = 0 và đường thẳng y = 5. A. 22,5 B. 27 C. 36 D. 13,5

Đáp án: D. 13,5. Nhận dạng: tam giác có hai cạnh nằm trên trục toạ độ (hoặc đường nằm ngang), cạnh còn lại là đường thẳng. Ý tưởng: tìm ba đỉnh: hai đỉnh trên Oy, một đỉnh là giao của hai đường thẳng, tam giác vuông tại đỉnh (0; 5). Bước 1: Giao với Oy (x = 0): 3y = 24, y = 8; điểm (0; 8). Bước 2: Giao với y = 5: x = 24 − 15 = 9, x = 9. Bước 3: Cạnh trên Oy dài |8 − 5| = 3, cạnh nằm ngang dài 9; diện tích = 3 × 9 : 2 = 13,5. Vậy diện tích là 13,5.

Tam giác có ba cạnh 35, 29, 36. Tính diện tích tam giác (viết dạng căn gọn nhất). A. 12√5 B. 210√5 C. 420√5 D. 210√10

Đáp án: B. 210√5. Nhận dạng: biết ba cạnh, không có góc vuông, diện tích ra căn. Ý tưởng: hạ đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông chung đường cao, đặt ẩn cho một đoạn trên đáy rồi dùng Pytago hai lần. Bước 1: Gọi tam giác ABC có BC = 35, AB = 29, CA = 36. Hạ đường cao AH xuống BC, đặt BH = x thì CH = 35 − x. Bước 2: Pytago trong hai tam giác vuông ABH và ACH: AH² = 29² − x² và AH² = 36² − (35 − x)². Bước 3: 841 − x² = 1296 − (1225 − 70x + x²) = 1296 − 1225 + 70x − x². Hai vế cùng có − x², bỏ đi: 70x = 841 + 1225 − 1296 = 770, nên x = 770 : 70 = 11. Bước 4: AH² = 841 − 11² = 841 − 121 = 720 = 144 × 5, nên AH = 12√5. Bước 5: Diện tích S = BC × AH : 2 = 35 × 12√5 : 2 = 210√5. Vậy diện tích là 210√5.

Điền số vào bảng 4 × 4 sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng nhau. Một số ô đã có số (hàng 1: …, 3, 5, 2; hàng 2: …, 1, 3, 14; hàng 3: 7, 8, 3, ■; hàng 4: 2, …, …, …; dấu … là ô trống). Số ở ô tô đậm ■ là bao nhiêu? A. 1 B. 2 C. 18 D. 19

Đáp án: A. 1. Nhận dạng: bảng có tổng mỗi hàng, mỗi cột bằng nhau, tìm một ô trống. Ý tưởng: gọi S là tổng chung; hàng hay cột nào còn đúng một ô trống thì ô đó bằng S trừ các ô kia. Bước 1: Gọi S là tổng mỗi hàng (cũng là tổng mỗi cột). Bước 2: Suy dần từng ô: Hàng 1: ô (hàng 1, cột 1) = S − (3 + 5 + 2) = S − 10. Hàng 2: ô (hàng 2, cột 1) = S − (1 + 3 + 14) = S − 18. Hàng 3: ô (hàng 3, cột 4) = S − (7 + 8 + 3) = S − 18. Cột 1 đã đủ ô: (S − 10) + (S − 18) + 7 + 2 = S, tức 2S − 19 = S, nên S = 19. Bước 3: Ô tô đậm (hàng 3, cột 4) = S − 18 = 19 − 18 = 1. Vậy số ở ô tô đậm là 1.

Tính √(80 + 2√1519) + √(80 − 2√1519). A. 2√80 B. 16 C. 14 D. 2√31

Đáp án: C. 14. Nhận dạng: tổng hai căn kép liên hợp √(A + 2√B) + √(A − 2√B). Ý tưởng: rút gọn từng căn bằng hai số có tổng A, tích B; phần √n triệt tiêu. Bước 1: Số hạng chứa căn có dạng 2√1519. Bước 2: Tìm hai số có tổng 80, tích 1519: 1519 = 1 × 1519 = 7 × 217 = 31 × 49; cặp có tổng 80 là 49 và 31. Bước 3: √(80 + 2√1519) = √49 + √31; √(80 − 2√1519) = |√49 − √31| = √49 − √31 (vì 49 > 31). Bước 4: Tổng = 2√49 = 2 × 7 = 14. Vậy tổng bằng 14.

Với x là số thực, giá trị lớn nhất của 78/√(x² − 22x + 157) là bao nhiêu? A. 13 B. 14 C. 26 D. 78

Đáp án: A. 13. Nhận dạng: phân số có tử là hằng số dương, mẫu chứa căn của một tam thức. Ý tưởng: phân số dương lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất; hoàn thành bình phương dưới căn. Bước 1: x² − 22x + 157 = (x − 11)² + 36 = (x − 11)² + 6² (nửa hệ số của x là 22 : 2 = 11, 157 − 121 = 36). Bước 2: (x − 11)² ≥ 0 nên (x − 11)² + 36 ≥ 36, √(x² − 22x + 157) ≥ √36 = 6, dấu bằng khi x = 11. Bước 3: Mẫu nhỏ nhất bằng 6 nên biểu thức lớn nhất bằng 78 : 6 = 13. Vậy giá trị lớn nhất là 13.

Hai số nguyên dương có ƯCLN là 9 và BCNN là 378. Tổng hai số nhỏ nhất có thể là bao nhiêu? A. 117 B. 153 C. 207 D. 387

Đáp án: A. 117. Nhận dạng: biết ƯCLN và BCNN của hai số. Ý tưởng: viết hai số là ƯCLN nhân với hai số nguyên tố cùng nhau. Bước 1: Gọi hai số là 9 × m và 9 × n (m ≤ n, m và n nguyên tố cùng nhau). BCNN của chúng là 9 × m × n = 378, nên m × n = 378 : 9 = 42. Bước 2: Các cặp (m, n) nguyên tố cùng nhau có tích 42: (1, 42), (2, 21), (3, 14), (6, 7). Bước 3: Tổng hai số: 9 × (1 + 42) = 387, 9 × (2 + 21) = 207, 9 × (3 + 14) = 153, 9 × (6 + 7) = 117. Vậy tổng nhỏ nhất là 117 (hai số 54 và 63).

Từ một đỉnh của một đa giác lồi kẻ được đúng 7 đường chéo. Hỏi cả đa giác có bao nhiêu đường chéo? A. 31 B. 35 C. 45 D. 70

Đáp án: B. 35. Nhận dạng: đếm số đường chéo của đa giác lồi. Ý tưởng: đếm đường chéo đi ra từ mỗi đỉnh rồi chia 2, vì mỗi đường chéo có hai đầu. Bước 1: Từ một đỉnh kẻ được n − 3 đường chéo (n là số cạnh), nên n = 7 + 3 = 10. Bước 2: 10 đỉnh cho 10 × 7 = 70 lần đếm; mỗi đường chéo được đếm hai lần. Bước 3: Số đường chéo: 70 : 2 = 35. Vậy có 35 đường chéo.

Có bao nhiêu ước của 20000 là bội của 4? A. 10 B. 20 C. 21 D. 30

Đáp án: B. 20. Nhận dạng: đếm ước chia hết cho 4. Ý tưởng: ước chia hết cho 4 = 2² phải chứa đủ các thừa số của 4. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 20000 : 2 = 10000, : 2 = 5000, : 2 = 2500, : 2 = 1250, : 2 = 625, : 5 = 125, : 5 = 25, : 5 = 5, : 5 = 1. Vậy 20000 = 2⁵ × 5⁴. Bước 2: Số mũ của 2 từ 2 đến 5: 4 cách; số mũ của 5 từ 0 đến 4: 5 cách. Bước 3: Số ước = 4 × 5 = 20. Vậy có 20 ước chia hết cho 4. Mẹo: số ước chia hết cho 4 bằng số ước của 20000 : 4 = 5000.

Một đội có 8 bạn nam và 9 bạn nữ. Chọn 3 bạn đi thi. Có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có nhiều nhất 2 bạn nam?

Đáp án: 624. Nhận dạng: chọn nhóm có nhiều nhất 2 bạn nam. Ý tưởng: tách theo số bạn nam trong nhóm, mỗi trường hợp dùng quy tắc nhân, rồi cộng. Bước 1: Nhóm 3 bạn có nhiều nhất 2 bạn nam: số bạn nam là 0, 1 hoặc 2. Bước 2 (0 bạn nam, 3 bạn nữ): (9 × 8 × 7) : (3 × 2 × 1) = 84 cách. Bước 3 (1 bạn nam, 2 bạn nữ): 8 cách chọn bạn nam; (9 × 8) : (2 × 1) = 36 cách chọn bạn nữ; nhân: 8 × 36 = 288. Bước 4 (2 bạn nam, 1 bạn nữ): (8 × 7) : (2 × 1) = 28 cách chọn bạn nam; 9 cách chọn bạn nữ; nhân: 28 × 9 = 252. Bước 5: Cộng: 84 + 288 + 252 = 624. Vậy có 624 cách.

Một khối lập phương lớn được sơn kín mặt ngoài rồi cắt thành các khối lập phương nhỏ cạnh 1 cm. Có 64 khối nhỏ không có mặt nào được sơn. Có bao nhiêu khối nhỏ đúng hai mặt được sơn?

Đáp án: 48. Nhận dạng: khối lập phương sơn mặt ngoài rồi cắt nhỏ, cho một số đếm, hỏi số đếm khác. Ý tưởng: từ số đếm đã cho tìm cạnh n, rồi đếm khối nhỏ theo vị trí: góc, cạnh, mặt, ruột. Bước 1: Gọi n là số khối nhỏ trên một cạnh của khối lập phương lớn, tổng có n × n × n khối. Bước 2: Các khối không sơn tạo thành khối lập phương cạnh n − 2: (n − 2) × (n − 2) × (n − 2) = 64. Bước 3: 64 = 4 × 4 × 4, nên n − 2 = 4 (căn bậc ba của 64), n = 6. Bước 4: 12 cạnh (mỗi cạnh có 6 − 2 = 4 khối đúng hai mặt sơn): 12 × 4 = 48. Vậy có 48 khối nhỏ. Mẹo: khối ba mặt ở 8 góc, hai mặt ở 12 cạnh, một mặt ở 6 mặt, không sơn ở ruột.

Tìm tích nhỏ nhất của ba số nguyên tố có tổng bằng 54.

Đáp án: 470. Nhận dạng: ba số nguyên tố có tổng là số chẵn. Ý tưởng: xét chẵn lẻ: ba số lẻ có tổng lẻ, nên trong ba số phải có số chẵn 2. Bước 1: 54 chẵn. Không có số 2 thì tổng lẻ; có đúng hai số 2 thì tổng cũng lẻ. Vậy có đúng một số bằng 2. Bước 2: Hai số còn lại có tổng 54 − 2 = 52. Các cách: 5 + 47, 11 + 41, 23 + 29. Bước 3: Tích: 2 × 5 × 47 = 470, 2 × 11 × 41 = 902, 2 × 23 × 29 = 1334. Vậy tích nhỏ nhất là 470 (ba số 2, 5, 47). Mẹo: tổng không đổi thì hai số càng chênh nhau, tích càng nhỏ.

Trong một nhóm 8 người, mỗi người hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. Bảo nói: “Trong nhóm có đúng 6 kẻ nói dối.” Trang nói: “Trong nhóm có đúng 5 kẻ nói dối.” Mai nói: “Trong nhóm có đúng 7 kẻ nói dối.” Lan nói: “Trong nhóm có đúng 5 kẻ nói dối.” Chi nói: “Trong nhóm có đúng 2 kẻ nói dối.” Phúc nói: “Trong nhóm có đúng 3 kẻ nói dối.” Dũng nói: “Trong nhóm có đúng 1 kẻ nói dối.” Nam nói: “Trong nhóm có đúng 8 kẻ nói dối.” Hỏi có bao nhiêu người nói thật?

Đáp án: 1. Nhận dạng: mỗi người nói về số kẻ nói dối trong nhóm, hỏi số người nói thật. Ý tưởng: đặt L là số kẻ nói dối, lời nói đúng khi k bằng L, thử từng L được nhắc tới. Bước 1: Gọi L là số kẻ nói dối. Lời “có đúng k kẻ nói dối” chỉ đúng khi k = L, nên số người nói thật bằng số người nói k = L. Bước 2: L = 1: Dũng nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 1: mâu thuẫn. Bước 3: L = 2: Chi nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 2: mâu thuẫn. Bước 4: L = 3: Phúc nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 3: mâu thuẫn. Bước 5: L = 5: Trang và Lan nói thật (2 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 2 = 6, khác 5: mâu thuẫn. Bước 6: L = 6: Bảo nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 6: mâu thuẫn. Bước 7: L = 7: Mai nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, đúng bằng 7: hợp lý. Bước 8: L = 8: Nam nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 8: mâu thuẫn. Bước 9: L là số khác (không ai nhắc tới, kể cả 0): không ai nói thật nên L = 8, mâu thuẫn. Bước 10: Chỉ L = 7 hợp lý, vậy số người nói thật là 8 − 7 = 1. Vậy có 1 người nói thật. Mẹo: những lời giống nhau cùng đúng hoặc cùng sai.

Máy tính bắt đầu với số 625. Mỗi bước máy làm như sau: Nếu số đang có là số chính phương thì thay bằng căn bậc hai của nó, nếu không thì cộng thêm 1. Sau 246 bước, máy hiện số nào?

Đáp án: 2. Nhận dạng: máy làm một thao tác theo điều kiện ở mỗi bước, hỏi số sau rất nhiều bước. Ý tưởng: tính vài bước đầu để thấy chu kỳ, rồi dùng số dư khi chia số bước cho độ dài chu kỳ. Bước 1: Tính từng bước (bước 0 là số 625): 625 → 25 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 3 → 4 → 2 → 3. Bước 2: Số 3 xuất hiện lại sau 3 bước, nên từ bước 7 trở đi dãy lặp chu kỳ 3 số: 3, 4, 2 (bước 7 cho 3). Bước 3: Số bước tính từ chu kỳ: 246 − 7 = 239. Chia cho 3: 239 = 3 × 79 + 2, dư 2. Bước 4: Dư 2 nghĩa là sau 7 bước, đi thêm 79 chu kỳ trọn rồi 2 bước nữa, được số thứ 3 của chu kỳ: 2. Vậy sau 246 bước máy hiện số 2. Mẹo: số bước trừ đi số bước trước khi vào chu kỳ rồi mới chia.

Đề thi ASMO lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử ASMO lớp 9 (vòng khu vực) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 120 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu 1–10 × 3 điểm; 10 câu 11–20 × 4 điểm; 5 câu 21–25 × 6 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi ASMO.

Phần 1: Câu 1–10 (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

Hai số nguyên dương x, y thoả mãn x² + y² − 16y + 66 = 3. Hỏi x + y bằng bao nhiêu?
Positive integers x, y satisfy x² + y² − 16y + 66 = 3. Find x + y.
1. A. 10
2. B. 9
3. C. 16
4. D. −7
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 9

Nhận dạng: một phương trình hai ẩn có x², y², ẩn là số nguyên dương.
Ý tưởng: gom thành tổng hai bình phương bằng một số nhỏ, rồi dùng điều kiện nguyên dương để chặn.
Bước 1: Chuyển vế: x² + y² − 16y + 63 = 0.
Gom: x² + (y² − 16y + 64) = 64 − 63, nên x² + (y − 8)² = 1.
Bước 2: x nguyên dương nên x ≥ 1, x² ≥ 1.
Bước 3: Mà (y − 8)² ≥ 0, tổng bằng 1 nên x² = 1 và (y − 8)² = 0: x = 1, y = 8.
Bước 4: x + y = 1 + 8 = 9.
Vậy x + y = 9.
Câu 23 điểm

Số x là số lẻ có ba chữ số và x chia cho 11 dư 10. Tìm x lớn nhất.
Find the largest odd three-digit number that leaves remainder 10 when divided by 11.
1. A. 967
2. B. 978
3. C. 988
4. D. 989
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: D. 989

Nhận dạng: tìm số lẻ có ba chữ số chia cho 11 dư 10.
Ý tưởng: viết x = 11 × t + 10, tìm t ở đầu khoảng rồi chỉnh tính chẵn lẻ.
Bước 1: Gọi x là số cần tìm, x = 11 × t + 10 (t là số tự nhiên).
Bước 2: 11 × t + 10 ≤ 999 nên 11 × t ≤ 989;
989 : 11 = 89 (dư 10), t lớn nhất là 89: x = 11 × 89 + 10 = 989.
Bước 3: 989 là số lẻ, đúng yêu cầu.
Vậy số cần tìm là 989.
Câu 33 điểm

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 21 m và BH = 9 m. Tính độ dài cạnh huyền BC.
Right triangle ABC (right angle at A) has altitude AH = 21 m and BH = 9 m. Find the hypotenuse BC.
1. A. 30
2. B. 49
3. C. 58
4. D. 79
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 58

Nhận dạng: tam giác vuông tại A có đường cao AH xuống cạnh huyền BC.
Ý tưởng: hệ thức lượng: AH² = BH × HC, AB² = BH × BC, AC² = HC × BC (BH, HC là hình chiếu của AB, AC trên cạnh huyền BC).
Bước 1: AH² = BH × HC, nên HC = AH² : BH = 21 × 21 : 9 = 441 : 9 = 49.
Bước 2: BC = BH + HC = 9 + 49 = 58 (m).
Vậy BC = 58 m.
Câu 43 điểm

Khi xoay trang giấy 180°, các chữ số 0, 1, 8 giữ nguyên, 6 thành 9, 9 thành 6, các chữ số khác không đọc được. Số lớn nhất có 6 chữ số mà sau khi xoay 180° vẫn đọc thành chính số đó là số nào?
When a sheet of paper is rotated by 180°, the digits 0, 1, 8 stay the same, 6 becomes 9, 9 becomes 6, and other digits cannot be read. What is the largest 6-digit number that reads as the same number after the rotation?
1. A. 100001
2. B. 999666
3. C. 999668
4. D. 999999
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 999666

Nhận dạng: số mà xoay 180° vẫn đọc ra chính nó, đếm hoặc tìm số thoả điều kiện.
Ý tưởng: các chữ số đối xứng nhau qua tâm phải khớp từng cặp (1 ↔ 1, 6 ↔ 9, 8 ↔ 8, 9 ↔ 6, 0 ↔ 0);
chọn nửa đầu thì nửa sau đã xác định.
Bước 1: Chữ số được chọn ở nửa đầu là 9 (lớn nhất trong 0, 1, 6, 8, 9), nên 3 chữ số đầu đều là 9.
Bước 2: Các chữ số đối xứng bị quyết định: 9 xoay thành 6, nên 3 chữ số cuối là 666.
Bước 3: Ghép lại: 999666.
Vậy đáp án là 999666.
Mẹo: xét nửa đầu từ trái sang phải, chọn chữ số tốt nhất ở mỗi vị trí.
Câu 53 điểm

Hình bên gồm các khối lập phương nhỏ xếp bậc thang. Mặt đáy là lưới 3 × 3 ô; số tầng trên các ô, viết từ hàng sau ra hàng trước (mỗi hàng từ trái sang phải): 2 1 1; 2 1 1; 2 1 1. Cần thêm ít nhất bao nhiêu khối nhỏ để được hình hộp chữ nhật 3 × 3 × 2?
The figure is made of small cubes stacked like stairs. The base is a 3 × 3 grid; column heights from back row to front row (left to right): 2 1 1; 2 1 1; 2 1 1. At least how many more cubes are needed to make a 3 × 3 × 2 box?
1. A. 6
2. B. 7
3. C. 12
4. D. 18
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: A. 6

Nhận dạng: bù khối xếp thành hình hộp chữ nhật.
Ý tưởng: số khối cần thêm = số khối của hình hộp − số khối đang có.
Bước 1: Đang có 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 12 khối.
Bước 2: Hình hộp có 3 × 3 × 2 = 18 khối;
cần thêm 18 − 12 = 6.
Vậy cần thêm ít nhất 6 khối.
Câu 63 điểm

Số mũ lớn nhất n sao cho tích 1 × 2 × … × 146 chia hết cho 11ⁿ là bao nhiêu?
Find the largest natural number n such that 146! = 1 × 2 × … × 146 is divisible by 11ⁿ.
1. A. 13
2. B. 14
3. C. 15
4. D. 16
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 14

Nhận dạng: số mũ lớn nhất của 11 chia hết một giai thừa.
Ý tưởng: số mũ của 11 trong 146! bằng tổng các phần nguyên 146 : 11 + 146 : 121 + ….
Bước 1: Đếm thừa số 11: mỗi bội của 11 góp một, mỗi bội của 121 góp thêm một, …
Bước 2: 146 : 11 = 13 (dư 3), 146 : 121 = 1 (dư 25), cộng 13 + 1 = 14.
Vậy n lớn nhất là 14.
Câu 73 điểm

Số báo danh của mỗi thí sinh là một số có 3 chữ số khác nhau, chữ số đầu khác 0, chỉ dùng các chữ số 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9. Có nhiều nhất bao nhiêu số báo danh là số chia hết cho 4?
Each candidate number is a 3-digit number with different digits, not starting with 0, using only the digits 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9. At most how many candidate numbers can be divisible by 4?
1. A. 8
2. B. 15
3. C. 35
4. D. 40
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 35

Nhận dạng: lập số chia hết cho 4, các chữ số khác nhau.
Ý tưởng: chọn cặp hai chữ số cuối trước, tách theo cặp đó có chữ số 0 hay không.
Bước 1: Số chia hết cho 4 khi số tạo bởi hai chữ số cuối chia hết cho 4.
Các cặp (hai chữ số khác nhau, lấy từ đề): 08, 16, 36, 56, 60, 68, 80, 96.
Bước 2 (đuôi có chữ số 0: 08, 60, 80): hàng trăm: 7 − 2 = 5 cách.
Có 3 × 5 = 15 số.
Bước 3 (đuôi không có 0: 16, 36, 56, 68, 96): hàng trăm khác 0 và khác hai chữ số cuối: 7 − 3 = 4 cách.
Có 5 × 4 = 20 số.
Bước 4: Cộng: 15 + 20 = 35.
Vậy có 35 số.
Câu 83 điểm

Góc nhọn θ có cos θ = √15/8. Tính 29 + 32 × tan θ × cos θ.
Acute angle θ has cos θ = √15/8. Find 29 + 32 × tan θ × cos θ.
1. A. 1
2. B. 57
3. C. 61
4. D. 65
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: B. 57

Nhận dạng: biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn θ, tính biểu thức chứa tỉ số khác.
Ý tưởng: dùng sin²θ + cos²θ = 1 (với góc nhọn, sin và cos đều dương).
Bước 1: sin²θ = 1 − cos²θ = 1 − 15/64 = 49/64, nên sin θ = 7/8.
Bước 2: tan θ = sin θ : cos θ, nên tan θ × cos θ = sin θ.
Bước 3: 29 + 32 × 7/8 = 29 + 28 = 57.
Vậy giá trị biểu thức là 57.
Câu 93 điểm

Số 9A3446B (A, B là các chữ số) chia hết cho 22. Tìm số lớn nhất như vậy.
The number 9A3446B (A and B are digits) is divisible by 22. Find the largest such number.
1. A. 9034465
2. B. 9234467
3. C. 9434469
4. D. 9834462
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: D. 9834462

Nhận dạng: điền chữ số để số chia hết cho 22.
Ý tưởng: 22 = 2 × 11, các thừa số nguyên tố cùng nhau, nên số phải chia hết cho từng thừa số.
Bước 1: Chia hết cho 2: chữ số tận cùng chẵn, nên B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8.
Bước 2: Chia hết cho 11: tổng vị trí lẻ trừ tổng vị trí chẵn (tính từ phải): (B + 4 + 3 + 9) − (6 + 4 + A) = B − A + 6.
Vì −3 ≤ B − A + 6 ≤ 15, nên B − A + 6 = 0 hoặc 11.
Bước 3: Ghép: A − B = 6: (6, 0), (7, 1), (8, 2), (9, 3), giữ cặp có B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8: (6, 0), (8, 2);
B − A = 5: (0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), giữ cặp có B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8: (1, 6), (3, 8).
Vậy số lớn nhất là 9834462 (A = 8, B = 2).
Câu 103 điểm

Tổng các ước dương của 189 bằng bao nhiêu?
Find the sum of all positive divisors of 189.
1. A. 8
2. B. 48
3. C. 131
4. D. 320
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: D. 320

Nhận dạng: tính tổng các ước của một số.
Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, nhóm các luỹ thừa của từng thừa số rồi nhân các tổng nhóm.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 189 : 3 = 63, : 3 = 21, : 3 = 7, : 7 = 1.
Vậy 189 = 3³ × 7.
Bước 2: Mỗi ước là tích của một số trong mỗi nhóm (1, 3, 9, 27), (1, 7), nên tổng các ước bằng tích các tổng nhóm.
Bước 3: Tổng = (1 + 3 + 9 + 27) × (1 + 7) = 40 × 8 = 320.
Vậy tổng các ước của 189 là 320.

Phần 2: Câu 11–20 (10 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

Biết (x − 1) là một nhân tử của 13x²⁰²³ + 9x¹² + a. Tìm a.
Given that (x − 1) is a factor of 13x²⁰²³ + 9x¹² + a, find a.
1. A. 4
2. B. 22
3. C. −20
4. D. −22
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: D. −22

Nhận dạng: biết một nhân tử bậc nhất của đa thức, tìm hệ số.
Ý tưởng: định lí nhân tử: (x − r) là nhân tử khi và chỉ khi giá trị của đa thức tại x = r bằng 0.
Bước 1: Nhân tử (x − 1) ứng với x = 1.
Bước 2: 1²⁰²³ = 1, 1¹² = 1.
Bước 3: Thay x = 1: 13 × 1 + 9 × 1 + a = 13 + 9 + a = 0, nên a = −22.
Vậy a = −22.
Câu 124 điểm

Một cốc đầy nước nặng 270 g; khi chỉ còn 2/5 cốc nước thì nặng 198 g. Cốc rỗng nặng bao nhiêu gam?
A glass full of water weighs 270 g; when it holds only 2/5 of the water it weighs 198 g. How many grams does the empty glass weigh?
1. A. 120
2. B. 150
3. C. 198
4. D. 234
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: B. 150

Nhận dạng: cân một vật chứa khi đầy và khi còn một phần, hỏi khối lượng vật chứa hoặc chất bên trong.
Ý tưởng: hiệu hai lần cân chính là khối lượng phần chất lỏng đã bớt, từ đó suy ra cả phần chất lỏng rồi cốc rỗng.
Bước 1: Gọi lượng nước trong cốc đầy là 1 phần;
hai lần cân hơn kém nhau đúng phần nước đã bỏ đi.
Bước 2: Phần bỏ đi là 1 − 2/5 = 3/5 cốc nước, nặng 270 − 198 = 72 g.
Bước 3: Cả cốc nước đầy nặng: 72 : 3/5 = 120 g.
Bước 4: Cốc rỗng: 270 − 120 = 150 g.
Vậy cốc rỗng nặng 150 g.
Mẹo: đừng lấy hai lần cân chia đôi, phải chia theo phần chất lỏng đã bớt.
Câu 134 điểm

Tính diện tích hình giới hạn bởi trục Oy, đường thẳng x + 3y − 24 = 0 và đường thẳng y = 5.
Find the area of the region bounded by the y-axis, the line x + 3y − 24 = 0 and the line y = 5.
1. A. 22,5
2. B. 27
3. C. 36
4. D. 13,5
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: D. 13,5

Nhận dạng: tam giác có hai cạnh nằm trên trục toạ độ (hoặc đường nằm ngang), cạnh còn lại là đường thẳng.
Ý tưởng: tìm ba đỉnh: hai đỉnh trên Oy, một đỉnh là giao của hai đường thẳng, tam giác vuông tại đỉnh (0; 5).
Bước 1: Giao với Oy (x = 0): 3y = 24, y = 8;
điểm (0; 8).
Bước 2: Giao với y = 5: x = 24 − 15 = 9, x = 9.
Bước 3: Cạnh trên Oy dài |8 − 5| = 3, cạnh nằm ngang dài 9;
diện tích = 3 × 9 : 2 = 13,5.
Vậy diện tích là 13,5.
Câu 144 điểm

Tam giác có ba cạnh 35, 29, 36. Tính diện tích tam giác (viết dạng căn gọn nhất).
A triangle has sides 35, 29, 36. Find its area (simplest radical form).
1. A. 12√5
2. B. 210√5
3. C. 420√5
4. D. 210√10
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: B. 210√5

Nhận dạng: biết ba cạnh, không có góc vuông, diện tích ra căn.
Ý tưởng: hạ đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông chung đường cao, đặt ẩn cho một đoạn trên đáy rồi dùng Pytago hai lần.
Bước 1: Gọi tam giác ABC có BC = 35, AB = 29, CA = 36.
Hạ đường cao AH xuống BC, đặt BH = x thì CH = 35 − x.
Bước 2: Pytago trong hai tam giác vuông ABH và ACH: AH² = 29² − x² và AH² = 36² − (35 − x)².
Bước 3: 841 − x² = 1296 − (1225 − 70x + x²) = 1296 − 1225 + 70x − x².
Hai vế cùng có − x², bỏ đi: 70x = 841 + 1225 − 1296 = 770, nên x = 770 : 70 = 11.
Bước 4: AH² = 841 − 11² = 841 − 121 = 720 = 144 × 5, nên AH = 12√5.
Bước 5: Diện tích S = BC × AH : 2 = 35 × 12√5 : 2 = 210√5.
Vậy diện tích là 210√5.
Câu 154 điểm

Điền số vào bảng 4 × 4 sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng nhau. Một số ô đã có số (hàng 1: …, 3, 5, 2; hàng 2: …, 1, 3, 14; hàng 3: 7, 8, 3, ■; hàng 4: 2, …, …, …; dấu … là ô trống). Số ở ô tô đậm ■ là bao nhiêu?
Numbers are written in a 4 × 4 table so that every row and every column has the same sum. Some cells are filled (row 1: …, 3, 5, 2; row 2: …, 1, 3, 14; row 3: 7, 8, 3, ■; row 4: 2, …, …, …; … means empty). What number goes in the shaded cell ■?
1. A. 1
2. B. 2
3. C. 18
4. D. 19
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: A. 1

Nhận dạng: bảng có tổng mỗi hàng, mỗi cột bằng nhau, tìm một ô trống.
Ý tưởng: gọi S là tổng chung;
hàng hay cột nào còn đúng một ô trống thì ô đó bằng S trừ các ô kia.
Bước 1: Gọi S là tổng mỗi hàng (cũng là tổng mỗi cột).
Bước 2: Suy dần từng ô: Hàng 1: ô (hàng 1, cột 1) = S − (3 + 5 + 2) = S − 10.
Hàng 2: ô (hàng 2, cột 1) = S − (1 + 3 + 14) = S − 18.
Hàng 3: ô (hàng 3, cột 4) = S − (7 + 8 + 3) = S − 18.
Cột 1 đã đủ ô: (S − 10) + (S − 18) + 7 + 2 = S, tức 2S − 19 = S, nên S = 19.
Bước 3: Ô tô đậm (hàng 3, cột 4) = S − 18 = 19 − 18 = 1.
Vậy số ở ô tô đậm là 1.
Câu 164 điểm

Tính √(80 + 2√1519) + √(80 − 2√1519).
Evaluate √(80 + 2√1519) + √(80 − 2√1519).
1. A. 2√80
2. B. 16
3. C. 14
4. D. 2√31
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: C. 14

Nhận dạng: tổng hai căn kép liên hợp √(A + 2√B) + √(A − 2√B).
Ý tưởng: rút gọn từng căn bằng hai số có tổng A, tích B;
phần √n triệt tiêu.
Bước 1: Số hạng chứa căn có dạng 2√1519.
Bước 2: Tìm hai số có tổng 80, tích 1519: 1519 = 1 × 1519 = 7 × 217 = 31 × 49;
cặp có tổng 80 là 49 và 31.
Bước 3: √(80 + 2√1519) = √49 + √31;
√(80 − 2√1519) = |√49 − √31| = √49 − √31 (vì 49 > 31).
Bước 4: Tổng = 2√49 = 2 × 7 = 14.
Vậy tổng bằng 14.
Câu 174 điểm

Với x là số thực, giá trị lớn nhất của 78/√(x² − 22x + 157) là bao nhiêu?
For real x, find the maximum value of 78/√(x² − 22x + 157).
1. A. 13
2. B. 14
3. C. 26
4. D. 78
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: A. 13

Nhận dạng: phân số có tử là hằng số dương, mẫu chứa căn của một tam thức.
Ý tưởng: phân số dương lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất;
hoàn thành bình phương dưới căn.
Bước 1: x² − 22x + 157 = (x − 11)² + 36 = (x − 11)² + 6² (nửa hệ số của x là 22 : 2 = 11, 157 − 121 = 36).
Bước 2: (x − 11)² ≥ 0 nên (x − 11)² + 36 ≥ 36, √(x² − 22x + 157) ≥ √36 = 6, dấu bằng khi x = 11.
Bước 3: Mẫu nhỏ nhất bằng 6 nên biểu thức lớn nhất bằng 78 : 6 = 13.
Vậy giá trị lớn nhất là 13.
Câu 184 điểm

Hai số nguyên dương có ƯCLN là 9 và BCNN là 378. Tổng hai số nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
Two positive integers have GCD 9 and LCM 378. What is the smallest possible sum?
1. A. 117
2. B. 153
3. C. 207
4. D. 387
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: A. 117

Nhận dạng: biết ƯCLN và BCNN của hai số.
Ý tưởng: viết hai số là ƯCLN nhân với hai số nguyên tố cùng nhau.
Bước 1: Gọi hai số là 9 × m và 9 × n (m ≤ n, m và n nguyên tố cùng nhau).
BCNN của chúng là 9 × m × n = 378, nên m × n = 378 : 9 = 42.
Bước 2: Các cặp (m, n) nguyên tố cùng nhau có tích 42: (1, 42), (2, 21), (3, 14), (6, 7).
Bước 3: Tổng hai số: 9 × (1 + 42) = 387, 9 × (2 + 21) = 207, 9 × (3 + 14) = 153, 9 × (6 + 7) = 117.
Vậy tổng nhỏ nhất là 117 (hai số 54 và 63).
Câu 194 điểm

Từ một đỉnh của một đa giác lồi kẻ được đúng 7 đường chéo. Hỏi cả đa giác có bao nhiêu đường chéo?
Exactly 7 diagonals can be drawn from one vertex of a convex polygon. How many diagonals does the polygon have in total?
1. A. 31
2. B. 35
3. C. 45
4. D. 70
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: B. 35

Nhận dạng: đếm số đường chéo của đa giác lồi.
Ý tưởng: đếm đường chéo đi ra từ mỗi đỉnh rồi chia 2, vì mỗi đường chéo có hai đầu.
Bước 1: Từ một đỉnh kẻ được n − 3 đường chéo (n là số cạnh), nên n = 7 + 3 = 10.
Bước 2: 10 đỉnh cho 10 × 7 = 70 lần đếm;
mỗi đường chéo được đếm hai lần.
Bước 3: Số đường chéo: 70 : 2 = 35.
Vậy có 35 đường chéo.
Câu 204 điểm

Có bao nhiêu ước của 20000 là bội của 4?
How many divisors of 20000 are divisible by 4?
1. A. 10
2. B. 20
3. C. 21
4. D. 30
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: B. 20

Nhận dạng: đếm ước chia hết cho 4.
Ý tưởng: ước chia hết cho 4 = 2² phải chứa đủ các thừa số của 4.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 20000 : 2 = 10000, : 2 = 5000, : 2 = 2500, : 2 = 1250, : 2 = 625, : 5 = 125, : 5 = 25, : 5 = 5, : 5 = 1.
Vậy 20000 = 2⁵ × 5⁴.
Bước 2: Số mũ của 2 từ 2 đến 5: 4 cách;
số mũ của 5 từ 0 đến 4: 5 cách.
Bước 3: Số ước = 4 × 5 = 20.
Vậy có 20 ước chia hết cho 4.
Mẹo: số ước chia hết cho 4 bằng số ước của 20000 : 4 = 5000.

Phần 3: Câu 21–25 (5 câu × 6 điểm)

Câu 216 điểm

Một đội có 8 bạn nam và 9 bạn nữ. Chọn 3 bạn đi thi. Có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có nhiều nhất 2 bạn nam?
A team has 8 boys and 9 girls. 3 students are chosen for a contest. In how many ways can the selection contain at most 2 boys?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 624

Nhận dạng: chọn nhóm có nhiều nhất 2 bạn nam.
Ý tưởng: tách theo số bạn nam trong nhóm, mỗi trường hợp dùng quy tắc nhân, rồi cộng.
Bước 1: Nhóm 3 bạn có nhiều nhất 2 bạn nam: số bạn nam là 0, 1 hoặc 2.
Bước 2 (0 bạn nam, 3 bạn nữ): (9 × 8 × 7) : (3 × 2 × 1) = 84 cách.
Bước 3 (1 bạn nam, 2 bạn nữ): 8 cách chọn bạn nam;
(9 × 8) : (2 × 1) = 36 cách chọn bạn nữ;
nhân: 8 × 36 = 288.
Bước 4 (2 bạn nam, 1 bạn nữ): (8 × 7) : (2 × 1) = 28 cách chọn bạn nam;
9 cách chọn bạn nữ;
nhân: 28 × 9 = 252.
Bước 5: Cộng: 84 + 288 + 252 = 624.
Vậy có 624 cách.
Câu 226 điểm

Một khối lập phương lớn được sơn kín mặt ngoài rồi cắt thành các khối lập phương nhỏ cạnh 1 cm. Có 64 khối nhỏ không có mặt nào được sơn. Có bao nhiêu khối nhỏ đúng hai mặt được sơn?
A large cube is painted on all outside faces and then cut into small cubes of side 1 cm. There are 64 small cubes with no painted face. How many small cubes have exactly two painted faces?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 48

Nhận dạng: khối lập phương sơn mặt ngoài rồi cắt nhỏ, cho một số đếm, hỏi số đếm khác.
Ý tưởng: từ số đếm đã cho tìm cạnh n, rồi đếm khối nhỏ theo vị trí: góc, cạnh, mặt, ruột.
Bước 1: Gọi n là số khối nhỏ trên một cạnh của khối lập phương lớn, tổng có n × n × n khối.
Bước 2: Các khối không sơn tạo thành khối lập phương cạnh n − 2: (n − 2) × (n − 2) × (n − 2) = 64.
Bước 3: 64 = 4 × 4 × 4, nên n − 2 = 4 (căn bậc ba của 64), n = 6.
Bước 4: 12 cạnh (mỗi cạnh có 6 − 2 = 4 khối đúng hai mặt sơn): 12 × 4 = 48.
Vậy có 48 khối nhỏ.
Mẹo: khối ba mặt ở 8 góc, hai mặt ở 12 cạnh, một mặt ở 6 mặt, không sơn ở ruột.
Câu 236 điểm

Tìm tích nhỏ nhất của ba số nguyên tố có tổng bằng 54.
Three primes have a sum of 54. What is the smallest possible product of the three primes?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 470

Nhận dạng: ba số nguyên tố có tổng là số chẵn.
Ý tưởng: xét chẵn lẻ: ba số lẻ có tổng lẻ, nên trong ba số phải có số chẵn 2.
Bước 1: 54 chẵn.
Không có số 2 thì tổng lẻ;
có đúng hai số 2 thì tổng cũng lẻ.
Vậy có đúng một số bằng 2.
Bước 2: Hai số còn lại có tổng 54 − 2 = 52.
Các cách: 5 + 47, 11 + 41, 23 + 29.
Bước 3: Tích: 2 × 5 × 47 = 470, 2 × 11 × 41 = 902, 2 × 23 × 29 = 1334.
Vậy tích nhỏ nhất là 470 (ba số 2, 5, 47).
Mẹo: tổng không đổi thì hai số càng chênh nhau, tích càng nhỏ.
Câu 246 điểm

Trong một nhóm 8 người, mỗi người hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. Bảo nói: “Trong nhóm có đúng 6 kẻ nói dối.” Trang nói: “Trong nhóm có đúng 5 kẻ nói dối.” Mai nói: “Trong nhóm có đúng 7 kẻ nói dối.” Lan nói: “Trong nhóm có đúng 5 kẻ nói dối.” Chi nói: “Trong nhóm có đúng 2 kẻ nói dối.” Phúc nói: “Trong nhóm có đúng 3 kẻ nói dối.” Dũng nói: “Trong nhóm có đúng 1 kẻ nói dối.” Nam nói: “Trong nhóm có đúng 8 kẻ nói dối.” Hỏi có bao nhiêu người nói thật?
In a group of 8 people each person always tells the truth or always lies. Bao says: “There are exactly 6 liars in the group.” Trang says: “There are exactly 5 liars in the group.” Mai says: “There are exactly 7 liars in the group.” Lan says: “There are exactly 5 liars in the group.” Chi says: “There are exactly 2 liars in the group.” Phuc says: “There are exactly 3 liars in the group.” Dung says: “There is exactly 1 liar in the group.” Nam says: “There are exactly 8 liars in the group.” How many of them tell the truth?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 1

Nhận dạng: mỗi người nói về số kẻ nói dối trong nhóm, hỏi số người nói thật.
Ý tưởng: đặt L là số kẻ nói dối, lời nói đúng khi k bằng L, thử từng L được nhắc tới.
Bước 1: Gọi L là số kẻ nói dối.
Lời “có đúng k kẻ nói dối” chỉ đúng khi k = L, nên số người nói thật bằng số người nói k = L.
Bước 2: L = 1: Dũng nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 1: mâu thuẫn.
Bước 3: L = 2: Chi nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 2: mâu thuẫn.
Bước 4: L = 3: Phúc nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 3: mâu thuẫn.
Bước 5: L = 5: Trang và Lan nói thật (2 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 2 = 6, khác 5: mâu thuẫn.
Bước 6: L = 6: Bảo nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 6: mâu thuẫn.
Bước 7: L = 7: Mai nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, đúng bằng 7: hợp lý.
Bước 8: L = 8: Nam nói thật (1 người), nên số kẻ nói dối là 8 − 1 = 7, khác 8: mâu thuẫn.
Bước 9: L là số khác (không ai nhắc tới, kể cả 0): không ai nói thật nên L = 8, mâu thuẫn.
Bước 10: Chỉ L = 7 hợp lý, vậy số người nói thật là 8 − 7 = 1.
Vậy có 1 người nói thật.
Mẹo: những lời giống nhau cùng đúng hoặc cùng sai.
Câu 256 điểm

Máy tính bắt đầu với số 625. Mỗi bước máy làm như sau: Nếu số đang có là số chính phương thì thay bằng căn bậc hai của nó, nếu không thì cộng thêm 1. Sau 246 bước, máy hiện số nào?
A machine starts with the number 625. At each step it does the following: If the current number is a perfect square, replace it by its square root; otherwise add 1. After 246 steps, which number does it show?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 2

Nhận dạng: máy làm một thao tác theo điều kiện ở mỗi bước, hỏi số sau rất nhiều bước.
Ý tưởng: tính vài bước đầu để thấy chu kỳ, rồi dùng số dư khi chia số bước cho độ dài chu kỳ.
Bước 1: Tính từng bước (bước 0 là số 625): 625 → 25 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 3 → 4 → 2 → 3.
Bước 2: Số 3 xuất hiện lại sau 3 bước, nên từ bước 7 trở đi dãy lặp chu kỳ 3 số: 3, 4, 2 (bước 7 cho 3).
Bước 3: Số bước tính từ chu kỳ: 246 − 7 = 239.
Chia cho 3: 239 = 3 × 79 + 2, dư 2.
Bước 4: Dư 2 nghĩa là sau 7 bước, đi thêm 79 chu kỳ trọn rồi 2 bước nữa, được số thứ 3 của chu kỳ: 2.
Vậy sau 246 bước máy hiện số 2.
Mẹo: số bước trừ đi số bước trước khi vào chu kỳ rồi mới chia.

Đáp án đề thi ASMO lớp 9

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 9
Câu 2	D. 989
Câu 3	C. 58
Câu 4	B. 999666
Câu 5	A. 6
Câu 6	B. 14
Câu 7	C. 35
Câu 8	B. 57
Câu 9	D. 9834462
Câu 10	D. 320
Câu 11	D. −22
Câu 12	B. 150
Câu 13	D. 13,5
Câu 14	B. 210√5
Câu 15	A. 1
Câu 16	C. 14
Câu 17	A. 13
Câu 18	A. 117
Câu 19	B. 35
Câu 20	B. 20
Câu 21	624
Câu 22	48
Câu 23	470
Câu 24	1
Câu 25	2

Đề thi khác

Đề ASMO khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức ASMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi ASMO lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề vòng khu vực ASMO lớp 9 có 25 câu, làm trong 120 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử ASMO lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề ASMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.