Một bình hình trụ bán kính đáy 16 cm đang chứa nước cao 32 cm. Thả vào bình một viên bi sắt hình cầu bán kính 12 cm (bi chìm hẳn). Hỏi nước dâng thêm bao nhiêu cm? A. 6,75 B. 27 C. 9 D. 18

Đáp án: C. 9. Nhận dạng: vật chìm hẳn trong bình trụ; nước dâng = thể tích vật : diện tích đáy. Ý tưởng: bi cao 24 ≤ 32 nên chìm hẳn, để nguyên π vì π sẽ giản ước. Bước 1: Thể tích bi = 4/3 × π × 12³ = 2304π; đáy bình = π × 16² = 256π. Bước 2: Nước dâng = 2304π : 256π = 9 (cm). Vậy nước dâng thêm 9 cm.

Sơ đồ có một ô ở giữa và 8 ô ở ngoài, xếp thành 4 đường thẳng cùng đi qua ô giữa; mỗi đường có 3 ô (ô giữa và 2 ô ngoài). Điền các số 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 vào 9 ô, mỗi ô một số, sao cho tổng ba số trên mỗi đường đều bằng nhau. Biết số ở ô giữa là 15. Tổng ba số trên mỗi đường bằng bao nhiêu? A. 21 B. 24 C. 28 D. 36

Đáp án: D. 36. Nhận dạng: điền số vào các đường cùng đi qua ô giữa, tổng mỗi đường bằng nhau. Ý tưởng: cộng tổng của 4 đường: ô giữa được tính 4 lần, mỗi ô ngoài tính đúng 1 lần. Bước 1: Gọi c là số ở ô giữa, S là tổng mỗi đường. Tổng các số: 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 99. Bước 2: Cộng 4 đường: 4 × S = 99 + 3 × c. Hai ô ngoài trên một đường có tổng S − c = (99 − c) : 4, nên (99 − c) chia hết cho 4. Bước 3: Thay c = 15: 4 × S = 99 + 3 × 15 = 144, nên S = 144 : 4 = 36. Bước 4: Thử lại: các cặp ngoài tổng 36 − 15 = 21: (7, 14), (8, 13), (9, 12), (10, 11). Vậy tổng mỗi đường là 36.

Có 196 hình vuông cạnh 1 cm. Ghép tất cả thành một hình chữ nhật (không chồng lên nhau, không thừa). Ghép được bao nhiêu hình chữ nhật có kích thước khác nhau? A. 4 B. 5 C. 6 D. 10

Đáp án: B. 5. Nhận dạng: ghép hết các ô vuông thành hình chữ nhật m × n ô. Ý tưởng: m × n = 196, mỗi cách viết 196 thành tích hai số (không kể thứ tự) cho một hình. Bước 1: Các cặp: 1 × 196, 2 × 98, 4 × 49, 7 × 28, 14 × 14. Bước 2: Đếm được 5 cặp (hình 14 × 14 và 14 × 14 chỉ là một, xoay đi). Vậy ghép được 5 hình chữ nhật.

Tìm số nhỏ nhất có ba chữ số mà chia cho 7 dư 2 và chia cho 11 dư 8. A. 106 B. 107 C. 114 D. 184

Đáp án: B. 107. Nhận dạng: một số chia cho hai số nguyên tố cùng nhau, biết hai số dư. Ý tưởng: thử các số chia 7 dư 2 tới khi gặp số chia 11 dư 8, rồi cộng thêm bội của 7 × 11. Bước 1: Các số chia 7 dư 2 (cộng dần 7): 2, 9, 16, 23, 30. Chia cho 11 lần lượt dư 2, 9, 5, 1, 8. Số 30 thoả mãn. Bước 2: 7 và 11 nguyên tố cùng nhau, BCNN là 7 × 11 = 77, nên mọi số như vậy có dạng 77 × t + 30. Bước 3: n ≥ 100 nên 77 × t ≥ 100 − 30 = 70; 70 : 77 = 0 (dư 70), t nhỏ nhất là 1 (n = 77 × 1 + 30 = 107). Vậy số cần tìm là 107.

Tìm hệ số của x khi khai triển (x² + 3x − 1)². A. 6 B. −6 C. −3 D. 7

Đáp án: B. −6. Nhận dạng: hệ số của một luỹ thừa trong khai triển. Ý tưởng: khai triển là chọn mỗi ngoặc một hạng tử rồi nhân; đếm các cách cho ra đúng x. Bước 1: Tích có x khi một ngoặc chọn 3x, ngoặc kia chọn −1: 2 cách (ngoặc nào chọn 3x). Bước 2: Hệ số = 2 × 3 × (−1) = −6. Vậy hệ số của x là −6.

Có bao nhiêu bộ ba số nguyên tố (p, q, r) với p < q < r, p + q = r và r nhỏ hơn 121? A. 9 B. 10 C. 11 D. 15

Đáp án: B. 10. Nhận dạng: phương trình p + q = r với các số nguyên tố. Ý tưởng: xét chẵn lẻ: r lớn hơn 2 nên r lẻ, vậy p hoặc q phải chẵn. Bước 1: p, q cùng lẻ thì r chẵn và r > 2: không nguyên tố. p < q nên p = 2, r = q + 2. Bước 2: Tìm cặp số nguyên tố (q, q + 2) với q + 2 < 121: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109). Vậy có 10 bộ.

Dãy số 1, −4, −5, −1, 9, 3, −5, 1, −4, … lặp lại theo khối 7 số đó mãi. Tính tổng của 4040 số hạng đầu tiên. A. −1155 B. −1157 C. −1154 D. −1153

Đáp án: D. −1153. Nhận dạng: dãy số lặp theo khối, hỏi tổng của rất nhiều số hạng đầu. Ý tưởng: tìm khối lặp, tổng cả dãy = số khối đủ × tổng một khối + tổng các số thừa ra ở đầu khối. Bước 1: Số thứ 8 bằng số thứ nhất nên dãy lặp theo khối 7 số: 1, −4, −5, −1, 9, 3, −5. Bước 2: Tổng một khối: 1 − 4 − 5 − 1 + 9 + 3 − 5 = −2. Bước 3: Chia: 4040 : 7 = 577 dư 1. 577 khối đủ có tổng 577 × (−2) = −1154. Bước 4: 1 số thừa ra là số đầu của khối: 1. Bước 5: Cộng lại: −1154 + 1 = −1153. Vậy tổng 4040 số hạng đầu là −1153. Mẹo: dư 0 nghĩa là không còn số thừa ra, không cộng thêm.

Tung một con xúc xắc 6 mặt 3 lần liên tiếp. Có bao nhiêu kết quả (tính thứ tự) để tích các số chấm không chia hết cho 3? A. 8 B. 12 C. 64 D. 152

Đáp án: C. 64. Nhận dạng: đếm kết quả gieo xúc xắc có tích các số chấm không chia hết cho 3. Ý tưởng: tích không chia hết cho 3 khi không mặt nào chia hết cho 3. Bước 1: Mỗi xúc xắc có 6 kết quả, nên có 6 × 6 × 6 = 216 kết quả. Bước 2: Mỗi xúc xắc ra 1, 2, 4 hoặc 5 (4 cách): 4 × 4 × 4 = 64. Vậy có 64 kết quả.

Trong các số tự nhiên từ 1 tới 535, có bao nhiêu số chia hết cho đúng một trong hai số 3 và 7? A. 153 B. 204 C. 229 D. 254

Đáp án: B. 204. Nhận dạng: đếm theo hai điều kiện chia hết, dùng bao hàm loại trừ. Ý tưởng: bội chung của hai số bị đếm ở cả hai nhóm; bội chung là bội của BCNN (bội chung nhỏ nhất). Bước 1: Số bội của k từ 1 tới 535 là thương 535 : k (bỏ phần dư). Bội của 3: 178; của 7: 76. Bước 2: BCNN của 3 và 7 là 21; bội của 21: 25. Bước 3: Chỉ chia hết cho 3: 178 − 25 = 153; chỉ chia hết cho 7: 76 − 25 = 51. Bước 4: Chia hết cho đúng một số: 153 + 51 = 204. Vậy có 204 số.

Tổng của 9 bội của 3 liên tiếp bằng 621. Tìm số lớn thứ 3 trong 9 số đó. A. 69 B. 72 C. 75 D. 78

Đáp án: C. 75. Nhận dạng: tổng của dãy bội của 3 liên tiếp, tìm một số trong dãy. Ý tưởng: trung bình cộng của dãy cách đều là số ở giữa, từ đó đếm bước sang số cần tìm. Bước 1: Trung bình cộng của dãy: 621 : 9 = 69. Bước 2: Dãy cách đều có 9 số (lẻ) nên số ở giữa là số thứ 5, bằng trung bình 69. Bước 3: Hai số liền nhau hơn kém 3. Từ số thứ 5 tiến tới số thứ 7 (số lớn thứ 3) là 2 bước. Bước 4: Số lớn thứ 3 là 69 + 2 × 3 = 75. Vậy số lớn thứ 3 là 75. Mẹo: dãy lẻ số hạng thì trung bình chính là số ở giữa.

Biết a + b = 50, b + c = 54, c + a = 50. Tính c. A. 27 B. 28 C. 77 D. 154

Đáp án: A. 27. Nhận dạng: biết tổng từng cặp của ba số. Ý tưởng: cộng ba đẳng thức, mỗi số được tính hai lần; rồi lấy tổng trừ đi tổng của hai số kia. Bước 1: Cộng: 2(a + b + c) = 50 + 54 + 50 = 154. Bước 2: a + b + c = 154 : 2 = 77. Bước 3: c = (a + b + c) − (a + b) = 77 − 50 = 27. Vậy c = 27.

Bảo có 6 tấm thẻ, mỗi thẻ ghi một chữ số: 0, 1, 2, 3, 6, 9. Bảo chọn 3 thẻ xếp thành một hàng để được một số có 3 chữ số (thẻ 0 không đứng đầu). Có bao nhiêu cách xếp được số chia hết cho 2 hoặc cho 5? A. 32 B. 48 C. 52 D. 60

Đáp án: C. 52. Nhận dạng: lập số chia hết cho 2 hoặc cho 5 có các chữ số khác nhau từ các chữ số cho trước. Ý tưởng: chọn chữ số cuối trước, tách hai trường hợp cuối là 0 và cuối khác 0 (vì 0 không đứng đầu). Bước 1: Đề cho 6 chữ số. Số chia hết cho 2 hoặc 5 có chữ số cuối chẵn hoặc bằng 5: 0, 2 hoặc 6. Bước 2 (cuối là 0): hàng trăm: 6 − 1 = 5 cách, hàng chục: 6 − 2 = 4 cách. Có 5 × 4 = 20 số. Bước 3 (cuối là 2 hoặc 6): 2 cách chọn chữ số cuối; hàng trăm khác 0 và khác chữ số cuối: 6 − 2 = 4 cách; hàng chục: 6 − 2 = 4 cách. Có 2 × 4 × 4 = 32 số. Bước 4: Cộng hai trường hợp: 20 + 32 = 52. Vậy có 52 số. Mẹo: tính gộp 3 × 5 × 4 = 60 là sai, vì khi cuối khác 0 thì hàng đầu không được là 0.

Tính √(67 + 16√3) + √(67 − 16√3). A. 2√3 B. 18 C. 16 D. 2√67

Đáp án: C. 16. Nhận dạng: tổng hai căn kép liên hợp √(A + 2√B) + √(A − 2√B). Ý tưởng: rút gọn từng căn bằng hai số có tổng A, tích B; phần √n triệt tiêu. Bước 1: 16√3 = 2 × 8√3 = 2√(8² × 3) = 2√192. Bước 2: Tìm hai số có tổng 67, tích 192: 192 = 1 × 192 = 2 × 96 = 3 × 64; cặp có tổng 67 là 64 và 3. Bước 3: √(67 + 16√3) = √64 + √3; √(67 − 16√3) = |√64 − √3| = √64 − √3 (vì 64 > 3). Bước 4: Tổng = 2√64 = 2 × 8 = 16. Vậy tổng bằng 16.

Khi viết 373! = 1 × 2 × 3 × … × 373 ra, có bao nhiêu chữ số 0 liên tiếp ở cuối? A. 74 B. 89 C. 90 D. 91

Đáp án: C. 90. Nhận dạng: số chữ số 0 tận cùng của giai thừa. Ý tưởng: mỗi thừa số 10 = 2 × 5, trong n! thừa số 2 nhiều hơn thừa số 5, nên chỉ cần đếm thừa số 5. Bước 1: Mỗi bội của 5 góp một thừa số 5, mỗi bội của 25 góp thêm một, bội của 125 thêm một nữa, … Bước 2: 373 : 5 = 74 (dư 3), 373 : 25 = 14 (dư 23), 373 : 125 = 2 (dư 123), cộng 74 + 14 + 2 = 90. Vậy 373! có 90 chữ số 0 tận cùng.

Tìm số nguyên dương n lớn nhất để n² + 353 là số chính phương. A. 176 B. 177 C. 178 D. 179

Đáp án: A. 176. Nhận dạng: n² cộng một số là số chính phương. Ý tưởng: đặt số chính phương là x², viết x² − n² thành tích (x − n)(x + n). Bước 1: Gọi x² = n² + 353 (x nguyên dương), nên x² − n² = 353, tức là (x − n)(x + n) = 353. Bước 2: x + n > x − n > 0 và hai thừa số cùng chẵn lẻ (tổng là 2x). Bước 3: Xét các cách viết 353: 1 × 353: x = (1 + 353) : 2 = 177, n = (353 − 1) : 2 = 176. Vậy n lớn nhất là 176.

Có bao nhiêu phân số tối giản lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 có mẫu số bằng 207? A. 128 B. 132 C. 138 D. 264

Đáp án: B. 132. Nhận dạng: đếm phân số tối giản có mẫu cho trước. Ý tưởng: đếm tử a từ 1 đến 206 không chia hết cho ước nguyên tố nào của 207, mỗi lần bỏ các số chia hết cho p thì còn (p − 1) phần p. Bước 1: 207 = 3² × 23, các ước nguyên tố: 3, 23. Bước 2: Lần lượt bỏ các số chia hết cho từng ước nguyên tố: 207 : 3 × 2 = 138, 138 : 23 × 22 = 132. Vậy có 132 phân số.

Tam giác có ba cạnh 19, 35, 36. Tính diện tích tam giác (viết dạng căn gọn nhất). A. 180√13 B. 90√26 C. 90√13 D. 5√13

Đáp án: C. 90√13. Nhận dạng: biết ba cạnh, không có góc vuông, diện tích ra căn. Ý tưởng: hạ đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông chung đường cao, đặt ẩn cho một đoạn trên đáy rồi dùng Pytago hai lần. Bước 1: Gọi tam giác ABC có BC = 36, AB = 19, CA = 35. Hạ đường cao AH xuống BC, đặt BH = x thì CH = 36 − x. Bước 2: Pytago trong hai tam giác vuông ABH và ACH: AH² = 19² − x² và AH² = 35² − (36 − x)². Bước 3: 361 − x² = 1225 − (1296 − 72x + x²) = 1225 − 1296 + 72x − x². Hai vế cùng có − x², bỏ đi: 72x = 361 + 1296 − 1225 = 432, nên x = 432 : 72 = 6. Bước 4: AH² = 361 − 6² = 361 − 36 = 325 = 25 × 13, nên AH = 5√13. Bước 5: Diện tích S = BC × AH : 2 = 36 × 5√13 : 2 = 90√13. Vậy diện tích là 90√13.

Một câu lạc bộ có 9 bạn nam và 4 bạn nữ. Chọn 4 bạn làm ban tổ chức sao cho có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách chọn? A. 588 B. 589 C. 714 D. 715

Đáp án: A. 588. Nhận dạng: chọn nhóm có cả nam và nữ. Ý tưởng: đếm phần bù: tất cả trừ nhóm toàn nam và nhóm toàn nữ. Bước 1: Tất cả: chọn 4 trong 9 + 4 = 13 bạn: (13 × 12 × 11 × 10) : (4 × 3 × 2 × 1) = 715 cách. Bước 2: Toàn nam (chọn 4 trong 9 bạn nam): (9 × 8 × 7 × 6) : (4 × 3 × 2 × 1) = 126 cách; toàn nữ (chọn 4 trong 4 bạn nữ): 1 cách. Bước 3: Trừ: 715 − 126 − 1 = 588. Vậy có 588 cách.

Một đa giác đều có n cạnh và mỗi góc trong bằng (8n − 72) độ. Tìm n. A. 30 B. 32 C. 60 D. 72

Đáp án: A. 30. Nhận dạng: góc trong của đa giác đều viết bằng biểu thức của n. Ý tưởng: tổng góc trong là (n − 2) × 180°, chia đều cho n góc, rồi lập phương trình bậc hai ẩn n. Bước 1: Tổng các góc trong bằng n góc (8n − 72)°: (n − 2) × 180 = n × (8n − 72). Bước 2: Khai triển: 180n − 360 = 8n² − 72n, chuyển vế: 8n² − 252n + 360 = 0. Bước 3: Δ = 252 × 252 − 4 × 8 × 360 = 63504 − 11520 = 51984, √Δ = 228. Bước 4: n = (252 + 228) : 16 = 30 hoặc n = (252 − 228) : 16 = 3/2. Bước 5: Số cạnh là số tự nhiên ≥ 3 nên chỉ nhận n = 30. Vậy n = 30. Mẹo: thử lại bằng góc ngoài: 180° trừ góc trong phải là ước của 360°.

Tính chu vi tam giác ABC với A(7; −1), B(3; 1), C(3; −1). A. 6 + 2√5 B. 11 C. 6 + 3√5 D. 8 + 2√5

Đáp án: A. 6 + 2√5. Nhận dạng: tam giác cho bằng toạ độ, hỏi chu vi. Ý tưởng: tính từng cạnh: hiệu hoành độ và hiệu tung độ là hai cạnh góc vuông, cạnh cần tìm là cạnh huyền. Bước 1: AB = √(4² + 2²) = √20 = 2√5. Bước 2: BC = 2 (cùng hoành độ). Bước 3: CA = 4 (cùng tung độ). Bước 4: Chu vi = 2√5 + 2 + 4 = 6 + 2√5 (không cộng được số nguyên với căn). Vậy chu vi là 6 + 2√5.

Một người trong nhóm Bảo, Lan, An và Trang đã quên khoá cửa lớp. Mỗi bạn nói một câu: Bảo: “Người đã quên khoá cửa lớp là Trang hoặc An.” Lan: “Bảo là người đã quên khoá cửa lớp.” An: “Tôi không phải người đã quên khoá cửa lớp.” Trang: “Tôi là người đã quên khoá cửa lớp.” Biết có đúng 2 người nói thật, những người còn lại nói dối. Ai đã quên khoá cửa lớp? A. Trang B. Lan C. An D. Bảo

Đáp án: D. Bảo. Nhận dạng: nhóm bạn nói về một thủ phạm, biết số lời nói đúng. Ý tưởng: thử từng người làm thủ phạm, đếm số lời đúng và so với dữ kiện. Bước 1: Mỗi lần giả sử một người là thủ phạm, ta xem lời của từng bạn đúng hay sai rồi đếm số lời đúng; cần đúng 2. Bước 2: Nếu Bảo là người đó: lời của Lan, An đúng; lời của Bảo, Trang sai, tức có 2 lời đúng. Bước 3: Nếu Lan là người đó: lời của An đúng; lời của Bảo, Lan, Trang sai, tức có 1 lời đúng. Bước 4: Nếu An là người đó: lời của Bảo đúng; lời của Lan, An, Trang sai, tức có 1 lời đúng. Bước 5: Nếu Trang là người đó: lời của Bảo, An, Trang đúng; lời của Lan sai, tức có 3 lời đúng. Bước 6: Chỉ khi Bảo là người đó thì có đúng 2 lời đúng. Vậy Bảo là người đã quên khoá cửa lớp. Mẹo: mỗi giả thiết chỉ cho một số lời đúng, so sánh với dữ kiện.

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 10 ước dương. A. 48 B. 96 C. 162 D. 512

Đáp án: A. 48. Nhận dạng: tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 10 ước. Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), nên viết 10 thành tích, mỗi cách cho một dạng số. Bước 1: Các cách viết 10: 10 = 5 × 2. Bước 2: Dạng số tương ứng (p, q là các số nguyên tố khác nhau): p⁹; p⁴ × q. Bước 3: Số nhỏ nhất mỗi dạng (số mũ lớn đặt cho số nguyên tố nhỏ): 2⁹ = 512; 2⁴ × 3 = 48. Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 10 ước là 48. Mẹo: phải so mọi dạng, dạng một luỹ thừa thường rất lớn.

Tính giá trị của x = √(32 + 4√(32 + 4√(32 + …))). A. 4 B. 8 C. 12 D. 32

Đáp án: B. 8. Nhận dạng: căn lồng vô hạn, phần nằm dưới dấu căn lặp lại đúng biểu thức ban đầu. Ý tưởng: thay phần lặp bằng x, bình phương hai vế ra phương trình bậc hai, chỉ lấy nghiệm dương. Bước 1: Phần dưới dấu căn đầu tiên là 32 + 4x, nên x = √(32 + 4x) với x > 0. Bước 2: Bình phương: x² = 32 + 4x, tức là x² − 4x − 32 = 0. Bước 3: Phân tích: 32 = 8 × 4 và 8 − 4 = 4, nên (x − 8)(x + 4) = 0. Bước 4: x = 8 hoặc x = −4; x > 0 nên x = 8. Vậy x = 8.

Chọn ít nhất bao nhiêu số trong các số 1, 3, 5, …, 27 để chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia? A. 9 B. 10 C. 11 D. 14

Đáp án: B. 10. Nhận dạng: chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia. Ý tưởng: chia các số thành xích, trong mỗi xích hai số bất kì có số này là bội số kia; mỗi xích là một chuồng. Bước 1: Xích dạng x, 3x, 9x, … (x lẻ, không chia hết cho 3), ví dụ 1, 3, 9, 27. Bước 2: Mỗi xích bắt đầu bằng một số lẻ không chia hết cho 3 (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25); có 9 số như vậy nên có 9 xích. Bước 3: Chọn 9 + 1 = 10 số thì có hai số cùng xích, tức có cặp bội. Bước 4: Chọn 9 số vẫn có thể không có cặp bội, ví dụ các số lẻ từ 11 tới 27 (9 số): gấp 3 số nhỏ nhất là 33 > 27. Vậy cần chọn ít nhất 10 số.

Viết các số 1, 2, …, n lên bảng rồi xoá đi một số. Trung bình cộng của các số còn lại là 35 40/69. Số bị xoá là số nào?

Đáp án: 30. Nhận dạng: các số liên tiếp từ 1 đến n bị xoá một số, cho trung bình các số còn lại, tìm số bị xoá. Ý tưởng: chặn n bằng hai trường hợp xoá số lớn nhất và nhỏ nhất, dùng mẫu số của trung bình để chọn n, rồi lấy tổng trừ đi. Bước 1: Xoá số k thì còn n − 1 số có trung bình 35 40/69 = 2455/69. Xoá n thì trung bình nhỏ nhất là n : 2; xoá 1 thì lớn nhất là (n + 2) : 2. Bước 2: Nên n : 2 ≤ 2455/69 ≤ (n + 2) : 2, tức 4772/69 ≤ n ≤ 4910/69, n là một trong 70, 71. Bước 3: Trung bình có mẫu số 69 (đã tối giản) nên n − 1 chia hết cho 69: 70 − 1 = 69 (chia hết), 71 − 1 = 70 (không). Vậy n = 70. Bước 4: Tổng còn lại: 2455/69 × 69 = 2455; tổng cả dãy 1 + … + 70 = 70 × 71 : 2 = 2485. Bước 5: Số bị xoá: 2485 − 2455 = 30. Vậy số bị xoá là 30. Mẹo: tổng 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2.

Cho 16 điểm cách đều nhau trên một đường tròn (các đỉnh của đa giác đều 16 cạnh). Có bao nhiêu tam giác nhọn có ba đỉnh là ba trong các điểm này?

Đáp án: 112. Nhận dạng: đếm hình có đỉnh là các điểm cách đều trên đường tròn. Ý tưởng: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, chắn cung lớn hơn nửa đường tròn là góc tù. Bước 1: Số tam giác: (16 × 15 × 14) : (3 × 2 × 1) = 560. Bước 2: Tam giác vuông khi có một cạnh là đường kính: có 16 : 2 = 8 đường kính, mỗi đường kính ghép với 16 − 2 = 14 điểm còn lại: 8 × 14 = 112. Bước 3: Tam giác tù khi ba đỉnh nằm trong nửa đường tròn (không chứa hai đầu một đường kính). Gọi đỉnh đầu tiên theo chiều kim đồng hồ là P; hai đỉnh kia nằm trong 7 điểm kế tiếp P (chưa tới nửa vòng): 16 × (7 × 6) : (2 × 1) = 16 × 21 = 336. Bước 4: Tam giác nhọn: 560 − 112 − 336 = 112. Vậy có 112 tam giác nhọn.

Năm nay tuổi chú gấp 5 lần tuổi cháu. 4 năm trước, tích số tuổi của hai người là 144. Hỏi hiện nay cháu bao nhiêu tuổi?

Đáp án: 8. Nhận dạng: bài toán tuổi có tích số tuổi ở thời điểm trước, đưa về phương trình bậc hai. Ý tưởng: gọi tuổi con, viết tích hai tuổi trước đây, giải phương trình bậc hai và loại nghiệm không hợp lý. Bước 1: Gọi c là tuổi cháu hiện nay (c > 4), tuổi chú là 5 × c. 4 năm trước tuổi hai người là 5 × c − 4 và c − 4. Bước 2: (5 × c − 4) × (c − 4) = 144. Khai triển: 5 × c² − 24 × c + 16 = 144, tức 5 × c² − 24 × c − 128 = 0. Bước 3: Biệt thức: 24 × 24 − 4 × 5 × (−128) = 3136, căn bằng 56. Bước 4: c = (24 + 56) : 10 = 8 hoặc c = (24 − 56) : 10 = −16/5. Bước 5: Cháu phải hơn 4 tuổi (đã có 4 năm trước) nên loại c = −16/5. Do đó c = 8, kiểm: (40 − 4) × (8 − 4) = 144. Vậy hiện nay cháu 8 tuổi. Mẹo: tuổi trước đây phải dương nên tuổi hiện nay lớn hơn số năm đã lùi.

Biết x > 0 thoả mãn x + 1/x = 6. Hỏi (x² − 1/x²)² bằng bao nhiêu?

Đáp án: 1152. Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi bình phương của x² − 1/x². Ý tưởng: x² − 1/x² là tích của tổng và hiệu, thiếu x − 1/x thì tính bình phương của nó. Bước 1: x² − 1/x² = (x − 1/x)(x + 1/x) (hiệu hai bình phương), nên (x² − 1/x²)² = (x − 1/x)² × (x + 1/x)². Bước 2: (x − 1/x)² = (x + 1/x)² − 4 × x × 1/x = 6² − 4 = 32. Bước 3: (x² − 1/x²)² = 6² × 32 = 36 × 32 = 1152. Vậy (x² − 1/x²)² = 1152.

Giá trị nhỏ nhất của B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 408 là bao nhiêu?

Đáp án: 407. Nhận dạng: tích bốn thừa số mà các số cộng thêm cách đều nhau, hỏi giá trị nhỏ nhất. Ý tưởng: ghép thừa số đầu với cuối, hai thừa số giữa với nhau, hai tích chỉ khác nhau một hằng số. Bước 1: 1 + 4 = 2 + 3 = 5. (x + 1)(x + 4) = x² + 5x + 4, (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6. Bước 2: Đặt t = x² + 5x + 4: B = t(t + 2) + 408 = t² + 2t + 1 − 1 + 408 = (t + 1)² + 407. Bước 3: (t + 1)² ≥ 0, bằng 0 khi t = −1, tức là x² + 5x + 5 = 0 (có nghiệm vì 5² − 4 × 5 = 5 > 0). Bước 4: B ≥ 407. Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 407.

Cho dãy số 4, 5, 21, 46, 487, … Tìm số tiếp theo của dãy.

Đáp án: 2603. Nhận dạng: dãy số tăng rất nhanh, mỗi số từ số thứ ba có vẻ do hai số đứng ngay trước tạo ra. Ý tưởng: thử xem mỗi số tạo từ hai số liền trước (cộng, nhân, bình phương…) thế nào, đoán một quy luật rồi kiểm ở mọi số. Bước 1: Thử bình phương số trước nữa cộng số liền trước: 4 × 4 + 5 = 21, đúng bằng số thứ ba. Bước 2: Kiểm các số khác: 5 × 5 + 21 = 46; 21 × 21 + 46 = 487, đều đúng. Quy luật: số sau nữa = (số trước nữa)² + số liền trước. Bước 3: Số tiếp theo: 46 × 46 + 487 = 2603. Vậy số cần tìm là 2603. Mẹo: nếu hiệu hai số liền nhau không đều, không tỉ lệ thì thử ngay tích hai số liền trước.

Đề thi ITMC lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử ITMC lớp 9 (vòng 1 tại việt nam) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 30 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh (có chú thích tiếng việt cho từ khoá). Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 12 câu phần 1 — trắc nghiệm × 4 điểm; 12 câu phần 2 — trắc nghiệm × 6 điểm; 5 câu phần 3 — điền đáp án × 7 điểm; 1 câu thưởng × 20 điểm. Bỏ trống vẫn được điểm: phần 1 — trắc nghiệm +1; phần 2 — trắc nghiệm +1,5. Trả lời sai bị trừ: câu thưởng −7; bỏ trống không trừ. Tối đa 175 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi ITMC.

Phần 1: Phần 1 — trắc nghiệm (12 câu × 4 điểm)

Câu 14 điểm · bỏ trống được 1

A cylindrical jar of base radius (bán kính) 16 cm holds water 32 cm deep. An iron ball of radius 12 cm is dropped in and sinks completely. By how many cm does the water rise?
Một bình hình trụ bán kính đáy 16 cm đang chứa nước cao 32 cm. Thả vào bình một viên bi sắt hình cầu bán kính 12 cm (bi chìm hẳn). Hỏi nước dâng thêm bao nhiêu cm?
1. A. 6,75
2. B. 27
3. C. 9
4. D. 18
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: C. 9

Nhận dạng: vật chìm hẳn trong bình trụ;
nước dâng = thể tích vật : diện tích đáy.
Ý tưởng: bi cao 24 ≤ 32 nên chìm hẳn, để nguyên π vì π sẽ giản ước.
Bước 1: Thể tích bi = 4/3 × π × 12³ = 2304π;
đáy bình = π × 16² = 256π.
Bước 2: Nước dâng = 2304π : 256π = 9 (cm).
Vậy nước dâng thêm 9 cm.
Câu 24 điểm · bỏ trống được 1

A diagram has one centre cell and 8 outer cells forming 4 straight lines through the centre; each line has 3 cells (the centre and 2 outer cells). The numbers 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 are placed in the 9 cells, one per cell, so that the three numbers on every line have the same sum (tổng). The centre cell contains 15. What is the sum on each line?
Sơ đồ có một ô ở giữa và 8 ô ở ngoài, xếp thành 4 đường thẳng cùng đi qua ô giữa; mỗi đường có 3 ô (ô giữa và 2 ô ngoài). Điền các số 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 vào 9 ô, mỗi ô một số, sao cho tổng ba số trên mỗi đường đều bằng nhau. Biết số ở ô giữa là 15. Tổng ba số trên mỗi đường bằng bao nhiêu?
1. A. 21
2. B. 24
3. C. 28
4. D. 36
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: D. 36

Nhận dạng: điền số vào các đường cùng đi qua ô giữa, tổng mỗi đường bằng nhau.
Ý tưởng: cộng tổng của 4 đường: ô giữa được tính 4 lần, mỗi ô ngoài tính đúng 1 lần.
Bước 1: Gọi c là số ở ô giữa, S là tổng mỗi đường.
Tổng các số: 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 99.
Bước 2: Cộng 4 đường: 4 × S = 99 + 3 × c.
Hai ô ngoài trên một đường có tổng S − c = (99 − c) : 4, nên (99 − c) chia hết cho 4.
Bước 3: Thay c = 15: 4 × S = 99 + 3 × 15 = 144, nên S = 144 : 4 = 36.
Bước 4: Thử lại: các cặp ngoài tổng 36 − 15 = 21: (7, 14), (8, 13), (9, 12), (10, 11).
Vậy tổng mỗi đường là 36.
Câu 34 điểm · bỏ trống được 1

There are 196 squares (hình vuông) of side 1 cm. All of them are put together into one rectangle (no overlap, none left). How many rectangles (hình chữ nhật) of different sizes can be made?
Có 196 hình vuông cạnh 1 cm. Ghép tất cả thành một hình chữ nhật (không chồng lên nhau, không thừa). Ghép được bao nhiêu hình chữ nhật có kích thước khác nhau?
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 10
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: B. 5

Nhận dạng: ghép hết các ô vuông thành hình chữ nhật m × n ô.
Ý tưởng: m × n = 196, mỗi cách viết 196 thành tích hai số (không kể thứ tự) cho một hình.
Bước 1: Các cặp: 1 × 196, 2 × 98, 4 × 49, 7 × 28, 14 × 14.
Bước 2: Đếm được 5 cặp (hình 14 × 14 và 14 × 14 chỉ là một, xoay đi).
Vậy ghép được 5 hình chữ nhật.
Câu 44 điểm · bỏ trống được 1

Find the smallest three-digit number that leaves remainder (số dư) 2 when divided by 7 and remainder 8 when divided by 11.
Tìm số nhỏ nhất có ba chữ số mà chia cho 7 dư 2 và chia cho 11 dư 8.
1. A. 106
2. B. 107
3. C. 114
4. D. 184
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 107

Nhận dạng: một số chia cho hai số nguyên tố cùng nhau, biết hai số dư.
Ý tưởng: thử các số chia 7 dư 2 tới khi gặp số chia 11 dư 8, rồi cộng thêm bội của 7 × 11.
Bước 1: Các số chia 7 dư 2 (cộng dần 7): 2, 9, 16, 23, 30.
Chia cho 11 lần lượt dư 2, 9, 5, 1, 8.
Số 30 thoả mãn.
Bước 2: 7 và 11 nguyên tố cùng nhau, BCNN là 7 × 11 = 77, nên mọi số như vậy có dạng 77 × t + 30.
Bước 3: n ≥ 100 nên 77 × t ≥ 100 − 30 = 70;
70 : 77 = 0 (dư 70), t nhỏ nhất là 1 (n = 77 × 1 + 30 = 107).
Vậy số cần tìm là 107.
Câu 54 điểm · bỏ trống được 1

Find the coefficient of x in the expansion of (x² + 3x − 1)².
Tìm hệ số của x khi khai triển (x² + 3x − 1)².
1. A. 6
2. B. −6
3. C. −3
4. D. 7
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. −6

Nhận dạng: hệ số của một luỹ thừa trong khai triển.
Ý tưởng: khai triển là chọn mỗi ngoặc một hạng tử rồi nhân;
đếm các cách cho ra đúng x.
Bước 1: Tích có x khi một ngoặc chọn 3x, ngoặc kia chọn −1: 2 cách (ngoặc nào chọn 3x).
Bước 2: Hệ số = 2 × 3 × (−1) = −6.
Vậy hệ số của x là −6.
Câu 64 điểm · bỏ trống được 1

How many triples of primes (p, q, r) satisfy p < q < r, p + q = r and r < 121?
Có bao nhiêu bộ ba số nguyên tố (p, q, r) với p < q < r, p + q = r và r nhỏ hơn 121?
1. A. 9
2. B. 10
3. C. 11
4. D. 15
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 10

Nhận dạng: phương trình p + q = r với các số nguyên tố.
Ý tưởng: xét chẵn lẻ: r lớn hơn 2 nên r lẻ, vậy p hoặc q phải chẵn.
Bước 1: p, q cùng lẻ thì r chẵn và r > 2: không nguyên tố.
p < q nên p = 2, r = q + 2.
Bước 2: Tìm cặp số nguyên tố (q, q + 2) với q + 2 < 121: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109).
Vậy có 10 bộ.
Câu 74 điểm · bỏ trống được 1

The sequence (dãy số) 1, −4, −5, −1, 9, 3, −5, 1, −4, … repeats the block of 7 numbers forever. Find the sum (tổng) of the first 4040 terms.
Dãy số 1, −4, −5, −1, 9, 3, −5, 1, −4, … lặp lại theo khối 7 số đó mãi. Tính tổng của 4040 số hạng đầu tiên.
1. A. −1155
2. B. −1157
3. C. −1154
4. D. −1153
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: D. −1153

Nhận dạng: dãy số lặp theo khối, hỏi tổng của rất nhiều số hạng đầu.
Ý tưởng: tìm khối lặp, tổng cả dãy = số khối đủ × tổng một khối + tổng các số thừa ra ở đầu khối.
Bước 1: Số thứ 8 bằng số thứ nhất nên dãy lặp theo khối 7 số: 1, −4, −5, −1, 9, 3, −5.
Bước 2: Tổng một khối: 1 − 4 − 5 − 1 + 9 + 3 − 5 = −2.
Bước 3: Chia: 4040 : 7 = 577 dư 1.
577 khối đủ có tổng 577 × (−2) = −1154.
Bước 4: 1 số thừa ra là số đầu của khối: 1.
Bước 5: Cộng lại: −1154 + 1 = −1153.
Vậy tổng 4040 số hạng đầu là −1153.
Mẹo: dư 0 nghĩa là không còn số thừa ra, không cộng thêm.
Câu 84 điểm · bỏ trống được 1

Roll a six-sided die 3 times in a row. How many ordered outcomes are there in which the product (tích) of the numbers is not divisible (chia hết) by 3?
Tung một con xúc xắc 6 mặt 3 lần liên tiếp. Có bao nhiêu kết quả (tính thứ tự) để tích các số chấm không chia hết cho 3?
1. A. 8
2. B. 12
3. C. 64
4. D. 152
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: C. 64

Nhận dạng: đếm kết quả gieo xúc xắc có tích các số chấm không chia hết cho 3.
Ý tưởng: tích không chia hết cho 3 khi không mặt nào chia hết cho 3.
Bước 1: Mỗi xúc xắc có 6 kết quả, nên có 6 × 6 × 6 = 216 kết quả.
Bước 2: Mỗi xúc xắc ra 1, 2, 4 hoặc 5 (4 cách): 4 × 4 × 4 = 64.
Vậy có 64 kết quả.
Câu 94 điểm · bỏ trống được 1

Among the whole numbers (số tự nhiên) from 1 to 535, how many are divisible (chia hết) by exactly one of 3 and 7?
Trong các số tự nhiên từ 1 tới 535, có bao nhiêu số chia hết cho đúng một trong hai số 3 và 7?
1. A. 153
2. B. 204
3. C. 229
4. D. 254
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 204

Nhận dạng: đếm theo hai điều kiện chia hết, dùng bao hàm loại trừ.
Ý tưởng: bội chung của hai số bị đếm ở cả hai nhóm;
bội chung là bội của BCNN (bội chung nhỏ nhất).
Bước 1: Số bội của k từ 1 tới 535 là thương 535 : k (bỏ phần dư).
Bội của 3: 178;
của 7: 76.
Bước 2: BCNN của 3 và 7 là 21;
bội của 21: 25.
Bước 3: Chỉ chia hết cho 3: 178 − 25 = 153;
chỉ chia hết cho 7: 76 − 25 = 51.
Bước 4: Chia hết cho đúng một số: 153 + 51 = 204.
Vậy có 204 số.
Câu 104 điểm · bỏ trống được 1

The sum (tổng) of 9 consecutive (liên tiếp) multiples (bội số) of 3 is 621. Find the 3rd largest of these 9 numbers.
Tổng của 9 bội của 3 liên tiếp bằng 621. Tìm số lớn thứ 3 trong 9 số đó.
1. A. 69
2. B. 72
3. C. 75
4. D. 78
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 75

Nhận dạng: tổng của dãy bội của 3 liên tiếp, tìm một số trong dãy.
Ý tưởng: trung bình cộng của dãy cách đều là số ở giữa, từ đó đếm bước sang số cần tìm.
Bước 1: Trung bình cộng của dãy: 621 : 9 = 69.
Bước 2: Dãy cách đều có 9 số (lẻ) nên số ở giữa là số thứ 5, bằng trung bình 69.
Bước 3: Hai số liền nhau hơn kém 3.
Từ số thứ 5 tiến tới số thứ 7 (số lớn thứ 3) là 2 bước.
Bước 4: Số lớn thứ 3 là 69 + 2 × 3 = 75.
Vậy số lớn thứ 3 là 75.
Mẹo: dãy lẻ số hạng thì trung bình chính là số ở giữa.
Câu 114 điểm · bỏ trống được 1

Given a + b = 50, b + c = 54, c + a = 50, find c.
Biết a + b = 50, b + c = 54, c + a = 50. Tính c.
1. A. 27
2. B. 28
3. C. 77
4. D. 154
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: A. 27

Nhận dạng: biết tổng từng cặp của ba số.
Ý tưởng: cộng ba đẳng thức, mỗi số được tính hai lần;
rồi lấy tổng trừ đi tổng của hai số kia.
Bước 1: Cộng: 2(a + b + c) = 50 + 54 + 50 = 154.
Bước 2: a + b + c = 154 : 2 = 77.
Bước 3: c = (a + b + c) − (a + b) = 77 − 50 = 27.
Vậy c = 27.
Câu 124 điểm · bỏ trống được 1

Bao has 6 cards showing the digits (chữ số) 0, 1, 2, 3, 6, 9. Bao puts 3 of them in a row to form a 3-digit number (the card 0 cannot be first). How many numbers divisible (chia hết) by 2 or by 5 can Bao form this way?
Bảo có 6 tấm thẻ, mỗi thẻ ghi một chữ số: 0, 1, 2, 3, 6, 9. Bảo chọn 3 thẻ xếp thành một hàng để được một số có 3 chữ số (thẻ 0 không đứng đầu). Có bao nhiêu cách xếp được số chia hết cho 2 hoặc cho 5?
1. A. 32
2. B. 48
3. C. 52
4. D. 60
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 52

Nhận dạng: lập số chia hết cho 2 hoặc cho 5 có các chữ số khác nhau từ các chữ số cho trước.
Ý tưởng: chọn chữ số cuối trước, tách hai trường hợp cuối là 0 và cuối khác 0 (vì 0 không đứng đầu).
Bước 1: Đề cho 6 chữ số.
Số chia hết cho 2 hoặc 5 có chữ số cuối chẵn hoặc bằng 5: 0, 2 hoặc 6.
Bước 2 (cuối là 0): hàng trăm: 6 − 1 = 5 cách, hàng chục: 6 − 2 = 4 cách.
Có 5 × 4 = 20 số.
Bước 3 (cuối là 2 hoặc 6): 2 cách chọn chữ số cuối;
hàng trăm khác 0 và khác chữ số cuối: 6 − 2 = 4 cách;
hàng chục: 6 − 2 = 4 cách.
Có 2 × 4 × 4 = 32 số.
Bước 4: Cộng hai trường hợp: 20 + 32 = 52.
Vậy có 52 số.
Mẹo: tính gộp 3 × 5 × 4 = 60 là sai, vì khi cuối khác 0 thì hàng đầu không được là 0.

Phần 2: Phần 2 — trắc nghiệm (12 câu × 6 điểm)

Câu 136 điểm · bỏ trống được 1,5

Evaluate √(67 + 16√3) + √(67 − 16√3).
Tính √(67 + 16√3) + √(67 − 16√3).
1. A. 2√3
2. B. 18
3. C. 16
4. D. 2√67
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 16

Nhận dạng: tổng hai căn kép liên hợp √(A + 2√B) + √(A − 2√B).
Ý tưởng: rút gọn từng căn bằng hai số có tổng A, tích B;
phần √n triệt tiêu.
Bước 1: 16√3 = 2 × 8√3 = 2√(8² × 3) = 2√192.
Bước 2: Tìm hai số có tổng 67, tích 192: 192 = 1 × 192 = 2 × 96 = 3 × 64;
cặp có tổng 67 là 64 và 3.
Bước 3: √(67 + 16√3) = √64 + √3;
√(67 − 16√3) = |√64 − √3| = √64 − √3 (vì 64 > 3).
Bước 4: Tổng = 2√64 = 2 × 8 = 16.
Vậy tổng bằng 16.
Câu 146 điểm · bỏ trống được 1,5

How many trailing zeros does 373! = 1 × 2 × … × 373 have?
Khi viết 373! = 1 × 2 × 3 × … × 373 ra, có bao nhiêu chữ số 0 liên tiếp ở cuối?
1. A. 74
2. B. 89
3. C. 90
4. D. 91
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: C. 90

Nhận dạng: số chữ số 0 tận cùng của giai thừa.
Ý tưởng: mỗi thừa số 10 = 2 × 5, trong n! thừa số 2 nhiều hơn thừa số 5, nên chỉ cần đếm thừa số 5.
Bước 1: Mỗi bội của 5 góp một thừa số 5, mỗi bội của 25 góp thêm một, bội của 125 thêm một nữa, …
Bước 2: 373 : 5 = 74 (dư 3), 373 : 25 = 14 (dư 23), 373 : 125 = 2 (dư 123), cộng 74 + 14 + 2 = 90.
Vậy 373! có 90 chữ số 0 tận cùng.
Câu 156 điểm · bỏ trống được 1,5

Find the largest positive integer n such that n² + 353 is a perfect square.
Tìm số nguyên dương n lớn nhất để n² + 353 là số chính phương.
1. A. 176
2. B. 177
3. C. 178
4. D. 179
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: A. 176

Nhận dạng: n² cộng một số là số chính phương.
Ý tưởng: đặt số chính phương là x², viết x² − n² thành tích (x − n)(x + n).
Bước 1: Gọi x² = n² + 353 (x nguyên dương), nên x² − n² = 353, tức là (x − n)(x + n) = 353.
Bước 2: x + n > x − n > 0 và hai thừa số cùng chẵn lẻ (tổng là 2x).
Bước 3: Xét các cách viết 353: 1 × 353: x = (1 + 353) : 2 = 177, n = (353 − 1) : 2 = 176.
Vậy n lớn nhất là 176.
Câu 166 điểm · bỏ trống được 1,5

How many irreducible fractions (phân số) greater than 0 and less than 1 have denominator (mẫu số) 207?
Có bao nhiêu phân số tối giản lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 có mẫu số bằng 207?
1. A. 128
2. B. 132
3. C. 138
4. D. 264
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: B. 132

Nhận dạng: đếm phân số tối giản có mẫu cho trước.
Ý tưởng: đếm tử a từ 1 đến 206 không chia hết cho ước nguyên tố nào của 207, mỗi lần bỏ các số chia hết cho p thì còn (p − 1) phần p.
Bước 1: 207 = 3² × 23, các ước nguyên tố: 3, 23.
Bước 2: Lần lượt bỏ các số chia hết cho từng ước nguyên tố: 207 : 3 × 2 = 138, 138 : 23 × 22 = 132.
Vậy có 132 phân số.
Câu 176 điểm · bỏ trống được 1,5

A triangle (hình tam giác) has sides 19, 35, 36. Find its area (simplest radical form).
Tam giác có ba cạnh 19, 35, 36. Tính diện tích tam giác (viết dạng căn gọn nhất).
1. A. 180√13
2. B. 90√26
3. C. 90√13
4. D. 5√13
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: C. 90√13

Nhận dạng: biết ba cạnh, không có góc vuông, diện tích ra căn.
Ý tưởng: hạ đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông chung đường cao, đặt ẩn cho một đoạn trên đáy rồi dùng Pytago hai lần.
Bước 1: Gọi tam giác ABC có BC = 36, AB = 19, CA = 35.
Hạ đường cao AH xuống BC, đặt BH = x thì CH = 36 − x.
Bước 2: Pytago trong hai tam giác vuông ABH và ACH: AH² = 19² − x² và AH² = 35² − (36 − x)².
Bước 3: 361 − x² = 1225 − (1296 − 72x + x²) = 1225 − 1296 + 72x − x².
Hai vế cùng có − x², bỏ đi: 72x = 361 + 1296 − 1225 = 432, nên x = 432 : 72 = 6.
Bước 4: AH² = 361 − 6² = 361 − 36 = 325 = 25 × 13, nên AH = 5√13.
Bước 5: Diện tích S = BC × AH : 2 = 36 × 5√13 : 2 = 90√13.
Vậy diện tích là 90√13.
Câu 186 điểm · bỏ trống được 1,5

A club has 9 boys and 4 girls. 4 members are chosen for the organising team so that there is at least one boy and at least one girl. How many ways are there?
Một câu lạc bộ có 9 bạn nam và 4 bạn nữ. Chọn 4 bạn làm ban tổ chức sao cho có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách chọn?
1. A. 588
2. B. 589
3. C. 714
4. D. 715
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: A. 588

Nhận dạng: chọn nhóm có cả nam và nữ.
Ý tưởng: đếm phần bù: tất cả trừ nhóm toàn nam và nhóm toàn nữ.
Bước 1: Tất cả: chọn 4 trong 9 + 4 = 13 bạn: (13 × 12 × 11 × 10) : (4 × 3 × 2 × 1) = 715 cách.
Bước 2: Toàn nam (chọn 4 trong 9 bạn nam): (9 × 8 × 7 × 6) : (4 × 3 × 2 × 1) = 126 cách;
toàn nữ (chọn 4 trong 4 bạn nữ): 1 cách.
Bước 3: Trừ: 715 − 126 − 1 = 588.
Vậy có 588 cách.
Câu 196 điểm · bỏ trống được 1,5

A regular polygon (đa giác) has n sides and each interior angle (góc) is (8n − 72) degrees. Find n.
Một đa giác đều có n cạnh và mỗi góc trong bằng (8n − 72) độ. Tìm n.
1. A. 30
2. B. 32
3. C. 60
4. D. 72
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: A. 30

Nhận dạng: góc trong của đa giác đều viết bằng biểu thức của n.
Ý tưởng: tổng góc trong là (n − 2) × 180°, chia đều cho n góc, rồi lập phương trình bậc hai ẩn n.
Bước 1: Tổng các góc trong bằng n góc (8n − 72)°: (n − 2) × 180 = n × (8n − 72).
Bước 2: Khai triển: 180n − 360 = 8n² − 72n, chuyển vế: 8n² − 252n + 360 = 0.
Bước 3: Δ = 252 × 252 − 4 × 8 × 360 = 63504 − 11520 = 51984, √Δ = 228.
Bước 4: n = (252 + 228) : 16 = 30 hoặc n = (252 − 228) : 16 = 3/2.
Bước 5: Số cạnh là số tự nhiên ≥ 3 nên chỉ nhận n = 30.
Vậy n = 30.
Mẹo: thử lại bằng góc ngoài: 180° trừ góc trong phải là ước của 360°.
Câu 206 điểm · bỏ trống được 1,5

Find the perimeter (chu vi) of triangle (hình tam giác) ABC with A(7; −1), B(3; 1), C(3; −1).
Tính chu vi tam giác ABC với A(7; −1), B(3; 1), C(3; −1).
1. A. 6 + 2√5
2. B. 11
3. C. 6 + 3√5
4. D. 8 + 2√5
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: A. 6 + 2√5

Nhận dạng: tam giác cho bằng toạ độ, hỏi chu vi.
Ý tưởng: tính từng cạnh: hiệu hoành độ và hiệu tung độ là hai cạnh góc vuông, cạnh cần tìm là cạnh huyền.
Bước 1: AB = √(4² + 2²) = √20 = 2√5.
Bước 2: BC = 2 (cùng hoành độ).
Bước 3: CA = 4 (cùng tung độ).
Bước 4: Chu vi = 2√5 + 2 + 4 = 6 + 2√5 (không cộng được số nguyên với căn).
Vậy chu vi là 6 + 2√5.
Câu 216 điểm · bỏ trống được 1,5

One of Bao, Lan, An and Trang forgot to lock the classroom. Each says one sentence: Bao: “The one who forgot to lock the classroom is Trang or An.” Lan: “Bao is the one who forgot to lock the classroom.” An: “I am not the one who forgot to lock the classroom.” Trang: “I am the one who forgot to lock the classroom.” It is known that exactly 2 of them tell the truth and the rest lie. Who did it?
Một người trong nhóm Bảo, Lan, An và Trang đã quên khoá cửa lớp. Mỗi bạn nói một câu: Bảo: “Người đã quên khoá cửa lớp là Trang hoặc An.” Lan: “Bảo là người đã quên khoá cửa lớp.” An: “Tôi không phải người đã quên khoá cửa lớp.” Trang: “Tôi là người đã quên khoá cửa lớp.” Biết có đúng 2 người nói thật, những người còn lại nói dối. Ai đã quên khoá cửa lớp?
1. A. Trang
2. B. Lan
3. C. An
4. D. Bảo
Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: D. Bảo

Nhận dạng: nhóm bạn nói về một thủ phạm, biết số lời nói đúng.
Ý tưởng: thử từng người làm thủ phạm, đếm số lời đúng và so với dữ kiện.
Bước 1: Mỗi lần giả sử một người là thủ phạm, ta xem lời của từng bạn đúng hay sai rồi đếm số lời đúng;
cần đúng 2.
Bước 2: Nếu Bảo là người đó: lời của Lan, An đúng;
lời của Bảo, Trang sai, tức có 2 lời đúng.
Bước 3: Nếu Lan là người đó: lời của An đúng;
lời của Bảo, Lan, Trang sai, tức có 1 lời đúng.
Bước 4: Nếu An là người đó: lời của Bảo đúng;
lời của Lan, An, Trang sai, tức có 1 lời đúng.
Bước 5: Nếu Trang là người đó: lời của Bảo, An, Trang đúng;
lời của Lan sai, tức có 3 lời đúng.
Bước 6: Chỉ khi Bảo là người đó thì có đúng 2 lời đúng.
Vậy Bảo là người đã quên khoá cửa lớp.
Mẹo: mỗi giả thiết chỉ cho một số lời đúng, so sánh với dữ kiện.
Câu 226 điểm · bỏ trống được 1,5

Find the smallest positive integer with exactly 10 positive divisors (số chia).
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 10 ước dương.
1. A. 48
2. B. 96
3. C. 162
4. D. 512
Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: A. 48

Nhận dạng: tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 10 ước.
Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), nên viết 10 thành tích, mỗi cách cho một dạng số.
Bước 1: Các cách viết 10: 10 = 5 × 2.
Bước 2: Dạng số tương ứng (p, q là các số nguyên tố khác nhau): p⁹;
p⁴ × q.
Bước 3: Số nhỏ nhất mỗi dạng (số mũ lớn đặt cho số nguyên tố nhỏ): 2⁹ = 512;
2⁴ × 3 = 48.
Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 10 ước là 48.
Mẹo: phải so mọi dạng, dạng một luỹ thừa thường rất lớn.
Câu 236 điểm · bỏ trống được 1,5

Find the value of x = √(32 + 4√(32 + 4√(32 + …))).
Tính giá trị của x = √(32 + 4√(32 + 4√(32 + …))).
1. A. 4
2. B. 8
3. C. 12
4. D. 32
Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: B. 8

Nhận dạng: căn lồng vô hạn, phần nằm dưới dấu căn lặp lại đúng biểu thức ban đầu.
Ý tưởng: thay phần lặp bằng x, bình phương hai vế ra phương trình bậc hai, chỉ lấy nghiệm dương.
Bước 1: Phần dưới dấu căn đầu tiên là 32 + 4x, nên x = √(32 + 4x) với x > 0.
Bước 2: Bình phương: x² = 32 + 4x, tức là x² − 4x − 32 = 0.
Bước 3: Phân tích: 32 = 8 × 4 và 8 − 4 = 4, nên (x − 8)(x + 4) = 0.
Bước 4: x = 8 hoặc x = −4;
x > 0 nên x = 8.
Vậy x = 8.
Câu 246 điểm · bỏ trống được 1,5

What is the least number of numbers chosen from 1, 3, 5, …, 27 to be sure that one of two chosen numbers is a multiple (bội số) of the other?
Chọn ít nhất bao nhiêu số trong các số 1, 3, 5, …, 27 để chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia?
1. A. 9
2. B. 10
3. C. 11
4. D. 14
Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: B. 10

Nhận dạng: chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia.
Ý tưởng: chia các số thành xích, trong mỗi xích hai số bất kì có số này là bội số kia;
mỗi xích là một chuồng.
Bước 1: Xích dạng x, 3x, 9x, … (x lẻ, không chia hết cho 3), ví dụ 1, 3, 9, 27.
Bước 2: Mỗi xích bắt đầu bằng một số lẻ không chia hết cho 3 (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25);
có 9 số như vậy nên có 9 xích.
Bước 3: Chọn 9 + 1 = 10 số thì có hai số cùng xích, tức có cặp bội.
Bước 4: Chọn 9 số vẫn có thể không có cặp bội, ví dụ các số lẻ từ 11 tới 27 (9 số): gấp 3 số nhỏ nhất là 33 > 27.
Vậy cần chọn ít nhất 10 số.

Phần 3: Phần 3 — điền đáp án (5 câu × 7 điểm)

Câu 257 điểm

The numbers 1, 2, …, n are written on a board and one of them is erased. The mean (trung bình cộng) of the remaining numbers is 35 40/69. Which number was erased?
Viết các số 1, 2, …, n lên bảng rồi xoá đi một số. Trung bình cộng của các số còn lại là 35 40/69. Số bị xoá là số nào?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 30

Nhận dạng: các số liên tiếp từ 1 đến n bị xoá một số, cho trung bình các số còn lại, tìm số bị xoá.
Ý tưởng: chặn n bằng hai trường hợp xoá số lớn nhất và nhỏ nhất, dùng mẫu số của trung bình để chọn n, rồi lấy tổng trừ đi.
Bước 1: Xoá số k thì còn n − 1 số có trung bình 35 40/69 = 2455/69.
Xoá n thì trung bình nhỏ nhất là n : 2;
xoá 1 thì lớn nhất là (n + 2) : 2.
Bước 2: Nên n : 2 ≤ 2455/69 ≤ (n + 2) : 2, tức 4772/69 ≤ n ≤ 4910/69, n là một trong 70, 71.
Bước 3: Trung bình có mẫu số 69 (đã tối giản) nên n − 1 chia hết cho 69: 70 − 1 = 69 (chia hết), 71 − 1 = 70 (không).
Vậy n = 70.
Bước 4: Tổng còn lại: 2455/69 × 69 = 2455;
tổng cả dãy 1 + … + 70 = 70 × 71 : 2 = 2485.
Bước 5: Số bị xoá: 2485 − 2455 = 30.
Vậy số bị xoá là 30.
Mẹo: tổng 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2.
Câu 267 điểm

16 points are equally spaced on a circle (the vertices of a regular 16-gon). How many acute triangles (hình tam giác) have their three vertices (đỉnh) among these points?
Cho 16 điểm cách đều nhau trên một đường tròn (các đỉnh của đa giác đều 16 cạnh). Có bao nhiêu tam giác nhọn có ba đỉnh là ba trong các điểm này?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 26

Đáp án: 112

Nhận dạng: đếm hình có đỉnh là các điểm cách đều trên đường tròn.
Ý tưởng: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, chắn cung lớn hơn nửa đường tròn là góc tù.
Bước 1: Số tam giác: (16 × 15 × 14) : (3 × 2 × 1) = 560.
Bước 2: Tam giác vuông khi có một cạnh là đường kính: có 16 : 2 = 8 đường kính, mỗi đường kính ghép với 16 − 2 = 14 điểm còn lại: 8 × 14 = 112.
Bước 3: Tam giác tù khi ba đỉnh nằm trong nửa đường tròn (không chứa hai đầu một đường kính).
Gọi đỉnh đầu tiên theo chiều kim đồng hồ là P;
hai đỉnh kia nằm trong 7 điểm kế tiếp P (chưa tới nửa vòng): 16 × (7 × 6) : (2 × 1) = 16 × 21 = 336.
Bước 4: Tam giác nhọn: 560 − 112 − 336 = 112.
Vậy có 112 tam giác nhọn.
Câu 277 điểm

This year the uncle's age is 5 times the nephew's age. 4 years ago the product (tích) of their ages was 144. How old is the nephew now?
Năm nay tuổi chú gấp 5 lần tuổi cháu. 4 năm trước, tích số tuổi của hai người là 144. Hỏi hiện nay cháu bao nhiêu tuổi?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 27

Đáp án: 8

Nhận dạng: bài toán tuổi có tích số tuổi ở thời điểm trước, đưa về phương trình bậc hai.
Ý tưởng: gọi tuổi con, viết tích hai tuổi trước đây, giải phương trình bậc hai và loại nghiệm không hợp lý.
Bước 1: Gọi c là tuổi cháu hiện nay (c > 4), tuổi chú là 5 × c.
4 năm trước tuổi hai người là 5 × c − 4 và c − 4.
Bước 2: (5 × c − 4) × (c − 4) = 144.
Khai triển: 5 × c² − 24 × c + 16 = 144, tức 5 × c² − 24 × c − 128 = 0.
Bước 3: Biệt thức: 24 × 24 − 4 × 5 × (−128) = 3136, căn bằng 56.
Bước 4: c = (24 + 56) : 10 = 8 hoặc c = (24 − 56) : 10 = −16/5.
Bước 5: Cháu phải hơn 4 tuổi (đã có 4 năm trước) nên loại c = −16/5.
Do đó c = 8, kiểm: (40 − 4) × (8 − 4) = 144.
Vậy hiện nay cháu 8 tuổi.
Mẹo: tuổi trước đây phải dương nên tuổi hiện nay lớn hơn số năm đã lùi.
Câu 287 điểm

Given x > 0 and x + 1/x = 6, find (x² − 1/x²)².
Biết x > 0 thoả mãn x + 1/x = 6. Hỏi (x² − 1/x²)² bằng bao nhiêu?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 28

Đáp án: 1152

Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi bình phương của x² − 1/x².
Ý tưởng: x² − 1/x² là tích của tổng và hiệu, thiếu x − 1/x thì tính bình phương của nó.
Bước 1: x² − 1/x² = (x − 1/x)(x + 1/x) (hiệu hai bình phương), nên (x² − 1/x²)² = (x − 1/x)² × (x + 1/x)².
Bước 2: (x − 1/x)² = (x + 1/x)² − 4 × x × 1/x = 6² − 4 = 32.
Bước 3: (x² − 1/x²)² = 6² × 32 = 36 × 32 = 1152.
Vậy (x² − 1/x²)² = 1152.
Câu 297 điểm

Find the minimum value of B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 408.
Giá trị nhỏ nhất của B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 408 là bao nhiêu?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 29

Đáp án: 407

Nhận dạng: tích bốn thừa số mà các số cộng thêm cách đều nhau, hỏi giá trị nhỏ nhất.
Ý tưởng: ghép thừa số đầu với cuối, hai thừa số giữa với nhau, hai tích chỉ khác nhau một hằng số.
Bước 1: 1 + 4 = 2 + 3 = 5.
(x + 1)(x + 4) = x² + 5x + 4, (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
Bước 2: Đặt t = x² + 5x + 4: B = t(t + 2) + 408 = t² + 2t + 1 − 1 + 408 = (t + 1)² + 407.
Bước 3: (t + 1)² ≥ 0, bằng 0 khi t = −1, tức là x² + 5x + 5 = 0 (có nghiệm vì 5² − 4 × 5 = 5 > 0).
Bước 4: B ≥ 407.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 407.

Phần 4: Câu thưởng (1 câu × 20 điểm)

Câu 3020 điểm · sai trừ 7

Here is a sequence (dãy số): 4, 5, 21, 46, 487, … Find the next term (số hạng).
Cho dãy số 4, 5, 21, 46, 487, … Tìm số tiếp theo của dãy.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 30

Đáp án: 2603

Nhận dạng: dãy số tăng rất nhanh, mỗi số từ số thứ ba có vẻ do hai số đứng ngay trước tạo ra.
Ý tưởng: thử xem mỗi số tạo từ hai số liền trước (cộng, nhân, bình phương…) thế nào, đoán một quy luật rồi kiểm ở mọi số.
Bước 1: Thử bình phương số trước nữa cộng số liền trước: 4 × 4 + 5 = 21, đúng bằng số thứ ba.
Bước 2: Kiểm các số khác: 5 × 5 + 21 = 46;
21 × 21 + 46 = 487, đều đúng.
Quy luật: số sau nữa = (số trước nữa)² + số liền trước.
Bước 3: Số tiếp theo: 46 × 46 + 487 = 2603.
Vậy số cần tìm là 2603.
Mẹo: nếu hiệu hai số liền nhau không đều, không tỉ lệ thì thử ngay tích hai số liền trước.

Đáp án đề thi ITMC lớp 9

Câu	Đáp án
Câu 1	C. 9
Câu 2	D. 36
Câu 3	B. 5
Câu 4	B. 107
Câu 5	B. −6
Câu 6	B. 10
Câu 7	D. −1153
Câu 8	C. 64
Câu 9	B. 204
Câu 10	C. 75
Câu 11	A. 27
Câu 12	C. 52
Câu 13	C. 16
Câu 14	C. 90
Câu 15	A. 176
Câu 16	B. 132
Câu 17	C. 90√13
Câu 18	A. 588
Câu 19	A. 30
Câu 20	A. 6 + 2√5
Câu 21	D. Bảo
Câu 22	A. 48
Câu 23	B. 8
Câu 24	B. 10
Câu 25	30
Câu 26	112
Câu 27	8
Câu 28	1152
Câu 29	407
Câu 30	2603

Đề thi khác

Đề ITMC khối khác: Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức ITMC.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi ITMC lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề vòng 1 tại việt nam ITMC lớp 9 có 30 câu, làm trong 90 phút, tối đa 175 điểm.

Làm đề thi thử ITMC lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề ITMC mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.