Dãy số có a₁ = 2, mỗi số hạng sau bằng 1 chia cho (1 trừ số hạng đứng ngay trước nó), tức là a(n+1) = 1/(1 − a(n)). Tìm số hạng thứ 2025 của dãy. A. 2 B. 1 C. 1/2 D. −1

Đáp án: C. 1/2. Nhận dạng: dãy cho bằng công thức truy hồi phân thức, hỏi một số hạng ở vị trí rất xa. Ý tưởng: tính vài số đầu để thấy chu kỳ 3, rồi lấy số thứ tự chia 3 lấy dư (dư 0 là số cuối chu kỳ). Bước 1: Tính các số đầu: số thứ hai = 1/(1 − 2) = −1; số thứ ba = 1/(1 − (−1)) = 1/2; số thứ tư = 1/(1 − 1/2) = 2 = số thứ nhất, nên dãy lặp theo chu kỳ 3: 2, −1, 1/2. Bước 2: Chia: 2025 : 3 = 675 dư 0. Bước 3: Dư 0: số thứ 2025 giống số thứ 3 của chu kỳ, là 1/2. Vậy số hạng thứ 2025 là 1/2.

Hình vuông ma thuật 3 × 3 là bảng chín ô mà tổng ba số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau. Một hình vuông ma thuật gồm các số nguyên dương có ô giữa cột trái là x², ô chính giữa là x + 14, ô giữa cột phải là 4x + 4, với x là số nguyên dương. Tính tổng chín số trong bảng. A. 36 B. 54 C. 162 D. 171

Đáp án: C. 162. Nhận dạng: hình vuông ma thuật có các ô chứa biểu thức của x, tìm x hay một tổng. Ý tưởng: hai ô đối nhau qua tâm có tổng gấp đôi ô giữa, đưa về phương trình bậc hai và loại nghiệm âm. Bước 1: Gọi M là tổng mỗi hàng, ô giữa là g. Chín ô có tổng 3 × M. Bốn đường qua ô giữa phủ 8 ô kia một lần, ô giữa 4 lần: 4 × M = 3 × M + 3 × g, nên M = 3 × g. Bước 2: Mỗi đường qua ô giữa có hai ô đối nhau cộng ô giữa bằng M = 3 × g, nên hai ô đối nhau có tổng 2 × g. Bước 3: Thay vào: x² + (4x + 4) = 2 × (x + 14), tức x² + 2x − 24 = 0. Bước 4: Hai nghiệm có tổng −2 và tích −24: đó là 4 và −6. Vì x dương nên x = 4. Bước 5: Ô giữa g = 4 + 14 = 18. Bước 6: Tổng chín số: 3 × M = 9 × g = 9 × 18 = 162. Vậy tổng chín số là 162. Mẹo: tổng chín số = 9 × ô giữa.

Trong tờ lịch tháng Mười Một (30 ngày), các cột xếp từ Thứ Hai đến Chủ Nhật. Chín ngày tạo thành khung 3 × 3, ngày ở chính giữa nằm ở cột Thứ Ba. Tổng chín ngày là 198. Ngày mùng 1 của tháng đó là thứ mấy? A. Thứ Năm B. Thứ Tư C. Thứ Ba D. Thứ Hai

Đáp án: C. Thứ Ba. Nhận dạng: tờ lịch tháng có khung 3 × 3 các ngày, biết tổng, hỏi thứ của ngày mùng 1. Ý tưởng: các ngày đối xứng qua ngày giữa có tổng gấp đôi ngày giữa, nên tổng bằng 9 lần ngày giữa. Bước 1: Gọi m là ngày ở giữa. Cùng hàng hơn kém 1, cùng cột hơn kém 7: chín ngày là m − 8, m − 7, m − 6, m − 1, m, m + 1, m + 6, m + 7, m + 8. Bước 2: Các cặp đối xứng qua m có tổng 2 × m nên tổng chín ngày = 9 × m = 198, m = 198 : 9 = 22. Bước 3: Ngày 22 nằm ở cột Thứ Ba. Từ ngày 1 đến ngày 22 cách 21 ngày; 21 chia 7 dư 0. Bước 4: Dư 0 nên ngày 1 cùng thứ với ngày 22: Thứ Ba. Vậy ngày mùng 1 là Thứ Ba.

Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. 6 năm trước, tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi? A. 11 B. 12 C. 18 D. 36

Đáp án: B. 12. Nhận dạng: bài toán tuổi cho tỉ số tuổi ở hai thời điểm. Ý tưởng: hiệu tuổi không đổi: viết hiệu theo tỉ số ở hai thời điểm rồi giải phương trình. Bước 1: Gọi c là tuổi con hiện nay, tuổi mẹ là 3 × c. Hiệu tuổi hiện nay là 3 × c − c = 2 × c và không đổi theo thời gian. Bước 2: 6 năm trước, tuổi con là c − 6, tuổi mẹ gấp 5 lần nên hiệu tuổi là 4 × (c − 6). Bước 3: Hai hiệu bằng nhau: 2 × c = 4 × (c − 6), tức 2 × c = 4 × c − 24. Bước 4: (2 − 4) × c = −24, tức 2 × c = 24 (đổi dấu hai vế), c = 12. Bước 5: Kiểm: mẹ hiện nay 36 tuổi, 6 năm trước 30 = 5 × 6. Vậy hiện nay con 12 tuổi. Mẹo: tỉ số tuổi giảm dần về 1 khi thời gian trôi, hiệu tuổi mới là đại lượng cố định.

Hai đoàn tàu dài 110 m và 70 m chạy ngược chiều nhau trên hai đường ray song song. Từ lúc đầu tàu gặp nhau đến lúc đuôi tàu rời nhau hoàn toàn mất 9 giây. Tỉ số vận tốc của hai tàu là 4 : 5. Tính vận tốc của tàu nhanh hơn (km/h). A. 20 B. 32 C. 40 D. 72

Đáp án: C. 40. Nhận dạng: hai đoàn tàu chạy trên hai đường ray song song, vượt nhau hoàn toàn, có chiều dài và vận tốc. Ý tưởng: để vượt nhau hoàn toàn hai tàu phải đi lệch nhau đúng tổng chiều dài; ngược chiều lệch nhau bằng tổng vận tốc, cùng chiều lệch nhau bằng hiệu vận tốc. Bước 1: Để vượt nhau hoàn toàn, hai tàu cùng đi được quãng bằng tổng chiều dài: 110 + 70 = 180 m. Bước 2: Hai tàu ngược chiều nên tổng vận tốc: 180 : 9 = 20 m/s. Đổi sang km/h: 20 × 3,6 = 72 km/h. Bước 3: Chia 72 km/h theo tỉ số 4 : 5: tổng 4 + 5 = 9 phần, một phần 72 : 9 = 8 km/h. Bước 4: Tàu chậm: 4 × 8 = 32 km/h; tàu nhanh: 5 × 8 = 40 km/h. Vậy đáp án là 40. Mẹo: 1 m/s = 3,6 km/h, nên đổi đơn vị trước khi chia.

Đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm M(2; 6). Tìm a. A. 3/2 B. 2/3 C. −3/2 D. 3

Đáp án: A. 3/2. Nhận dạng: đồ thị hàm số y = ax² đi qua một điểm cho trước. Ý tưởng: điểm nằm trên đồ thị thì toạ độ thoả mãn công thức; thay vào tìm a, rồi dùng công thức để tính. Bước 1: M thuộc đồ thị nên 6 = a × 2² = 4a, do đó a = 6 : 4 = 3/2. Vậy a = 3/2.

Mua kẹo giá 2 nghìn đồng một chiếc và bánh giá 3 nghìn đồng một chiếc, hết đúng 33 nghìn đồng, mỗi loại ít nhất một chiếc. Mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc (cả hai loại)? A. 12 B. 15 C. 16 D. 17

Đáp án: C. 16. Nhận dạng: mua hai loại hàng hết đúng số tiền, số lượng nguyên dương. Ý tưởng: gọi số lượng là x, y; rút y theo x, y nguyên khi x thuộc một dãy cách đều, liệt kê. Bước 1: Gọi x là số kẹo, y là số bánh: 2x + 3y = 33, nên y = (33 − 2x)/3. Bước 2: Cần 33 − 2x chia hết cho 3 và 2x < 33; thử x = 1, 2, …: x = 3 là số nhỏ nhất thoả (33 − 6 = 27 = 3 × 9); x tăng 3 thì 2x tăng 6, vẫn chia hết cho 3, nên x = 3, 6, 9, 12, 15. Bước 3: Các cặp (x, y): (3, 9), (6, 7), (9, 5), (12, 3), (15, 1). Bước 4: Tổng x + y: 3 + 9 = 12, 6 + 7 = 13, 9 + 5 = 14, 12 + 3 = 15, 15 + 1 = 16; lớn nhất là 16. Vậy nhiều nhất 16 chiếc.

Biết x > 0 thoả mãn x − 1/x = 8. Hỏi (x² − 1/x²)² bằng bao nhiêu? A. 132 B. 3840 C. 4096 D. 4352

Đáp án: D. 4352. Nhận dạng: biết x − 1/x, hỏi bình phương của x² − 1/x². Ý tưởng: x² − 1/x² là tích của tổng và hiệu, thiếu x + 1/x thì tính bình phương của nó. Bước 1: x² − 1/x² = (x − 1/x)(x + 1/x) (hiệu hai bình phương), nên (x² − 1/x²)² = (x − 1/x)² × (x + 1/x)². Bước 2: (x + 1/x)² = (x − 1/x)² + 4 × x × 1/x = 8² + 4 = 68. Bước 3: (x² − 1/x²)² = 8² × 68 = 64 × 68 = 4352. Vậy (x² − 1/x²)² = 4352.

Các số a, b, c, d thoả mãn hệ: 6a + 4b + c + 3d = 16; 4a + b + 3c + 6d = 25; a + 3b + 6c + 4d = 19; 3a + 6b + 4c + d = 10. Tính a + b + c + d. A. 35/2 B. 70 C. 6 D. 5

Đáp án: D. 5. Nhận dạng: các phương trình dùng cùng một bộ hệ số, chỉ đổi chỗ. Ý tưởng: cộng tất cả các phương trình; mỗi ẩn gặp đủ các hệ số đúng một lần nên có cùng tổng hệ số. Bước 1: Hệ số của mỗi ẩn qua các phương trình là 1 + 3 + 4 + 6 = 14. Bước 2: Cộng vế: 14(a + b + c + d) = 16 + 25 + 19 + 10 = 70. Bước 3: a + b + c + d = 70 : 14 = 5. Vậy a + b + c + d = 5.

Cho x > 0 và x = 6 + 2/(1 + 2/(1 + 2/(1 + …))). Tìm x. A. 1 B. 2 C. 7 D. 8

Đáp án: C. 7. Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, phần mẫu lặp lại. Ý tưởng: thay phần lặp bằng ẩn, quy đồng ra phương trình bậc hai, chỉ lấy nghiệm dương. Bước 1: Số đứng đầu (6) khác số trong mẫu (1), nên đặt y = x − 6 = 2/(1 + 2/(1 + …)); mẫu lặp lại 1 + y, nên y = 2/(1 + y) với y > 0. Bước 2: Nhân chéo: y² + y − 2 = 0. Bước 3: Phân tích: 2 = 1 × 2 và 2 − 1 = 1, nên (y − 1)(y + 2) = 0. Bước 4: y > 0 nên y = 1; x = 6 + 1 = 7. Vậy x = 7.

Đếm các số có bốn chữ số là bội của 9. A. 999 B. 1000 C. 1001 D. 1002

Đáp án: B. 1000. Nhận dạng: đếm bội của một số trong một khoảng. Ý tưởng: đếm các bội của 9, tìm bội đầu, bội cuối rồi đếm số cách đều. Bước 1: Bội đầu: 1000 : 9 = 111 (dư 1), bội nhỏ nhất là 9 × 112 = 1008. Bước 2: Bội cuối: 9999 : 9 = 1111, bội lớn nhất là 9999. Bước 3: Số các bội: (9999 − 1008) : 9 + 1 = 1000. Vậy có 1000 số.

Có bao nhiêu số có ba chữ số mà chia cho 6 và 14 đều dư 1? A. 10 B. 20 C. 21 D. 22

Đáp án: C. 21. Nhận dạng: số chia cho nhiều số có số dư bằng nhau. Ý tưởng: gọi N là số cần tìm, thì N − 1 là bội chung, tức là bội của BCNN. Bước 1: N − 1 chia hết cho cả 6 và 14. Bước 2: BCNN(6, 14) = 42 (6 = 2 × 3, 14 = 2 × 7, lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất: 2 × 3 × 7), nên N = 42 × t + 1 (t là số tự nhiên). Bước 3: N ≥ 100 nên 42 × t ≥ 100 − 1 = 99; 99 : 42 = 2 (dư 15), t nhỏ nhất là 3 (N = 42 × 3 + 1 = 127). N ≤ 999 nên 42 × t ≤ 999 − 1 = 998; 998 : 42 = 23 (dư 32), t lớn nhất là 23 (N = 42 × 23 + 1 = 967). Bước 4: Số giá trị của t: 23 − 3 + 1 = 21. Vậy có 21 số.

Chữ số hàng đơn vị của số 19²⁰²¹ + 2022²⁰²² là bao nhiêu? A. 1 B. 3 C. 5 D. 9

Đáp án: B. 3. Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa. Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó. Bước 1: 19²⁰²¹ cùng tận cùng với 9²⁰²¹, chu kỳ 9, 1 (dài 2), 2021 chia 2 dư 1 nên lấy số thứ 1: 9. Bước 2: 2022²⁰²² cùng tận cùng với 2²⁰²², chu kỳ 2, 4, 8, 6 (dài 4), 2022 chia 4 dư 2 nên lấy số thứ 2: 4. Bước 3: 9 + 4 = 13, nên tổng tận cùng 3. Vậy chữ số tận cùng là 3.

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 18 ước dương. A. 180 B. 288 C. 768 D. 131072

Đáp án: A. 180. Nhận dạng: tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 18 ước. Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), nên viết 18 thành tích, mỗi cách cho một dạng số. Bước 1: Các cách viết 18: 18 = 9 × 2 = 6 × 3 = 3 × 3 × 2. Bước 2: Dạng số tương ứng (p, q, r là các số nguyên tố khác nhau): p¹⁷; p⁸ × q; p⁵ × q²; p² × q² × r. Bước 3: Số nhỏ nhất mỗi dạng (số mũ lớn đặt cho số nguyên tố nhỏ): 2¹⁷ = 131072; 2⁸ × 3 = 768; 2⁵ × 3² = 288; 2² × 3² × 5 = 180. Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 18 ước là 180. Mẹo: phải so mọi dạng, dạng một luỹ thừa thường rất lớn.

Tính tổng tất cả các phân số tối giản lớn hơn 0, nhỏ hơn 1 và có mẫu số 931. A. 378 B. 379 C. 465 D. 756

Đáp án: A. 378. Nhận dạng: tổng các phân số tối giản có mẫu cho trước. Ý tưởng: a/931 tối giản thì (931 − a)/931 cũng tối giản, hai phân số đó cộng lại bằng 1. Bước 1: Đếm số phân số: 931 = 7² × 19, 931 : 7 × 6 = 798, 798 : 19 × 18 = 756, có 756 phân số. Bước 2: 931 lẻ nên a ≠ 931 − a, các phân số ghép đôi được hết. Bước 3: 756 phân số ghép thành 756 : 2 = 378 cặp, mỗi cặp có tổng bằng 1. Vậy tổng là 378.

AB là đường kính của đường tròn tâm O, C là điểm trên đường tròn (khác A, B), ∠ABC = 38°. Tính ∠BAC (độ). A. 38 B. 52 C. 76 D. 142

Đáp án: B. 52. Nhận dạng: góc ACB chắn nửa đường tròn (AB là đường kính). Ý tưởng: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, nên tam giác ABC vuông tại C. Bước 1: ∠ACB = 90°. Bước 2: ∠BAC = 180° − 90° − 38° = 52°. Vậy ∠BAC = 52°.

Tính diện tích hình giới hạn bởi trục Ox, trục Oy và đường thẳng 6x − 5y + 30 = 0. A. 15 B. 20 C. 30 D. 5,5

Đáp án: A. 15. Nhận dạng: tam giác có hai cạnh nằm trên trục toạ độ (hoặc đường nằm ngang), cạnh còn lại là đường thẳng. Ý tưởng: tìm giao điểm với hai trục: tam giác vuông tại O có hai cạnh góc vuông là hai đoạn trên trục. Bước 1: Cho y = 0: 6x = −30, x = −5; điểm (−5; 0). Bước 2: Cho x = 0: −5y = −30, y = 6; điểm (0; 6). Bước 3: Hai cạnh góc vuông dài 5 và 6; diện tích = 5 × 6 : 2 = 15. Vậy diện tích là 15.

Tam giác ABC có AB = 33, AC = 56, BC = 65. Biết cos B : cos C = m/n với m/n là phân số tối giản. Tính m + n. A. 24 B. 89 C. 90 D. 1848

Đáp án: B. 89. Nhận dạng: ba cạnh là một bộ ba Pytago, hỏi tỉ số hai cos. Ý tưởng: kiểm tra tổng bình phương hai cạnh nhỏ bằng bình phương cạnh lớn để thấy tam giác vuông. Bước 1: Cạnh lớn nhất BC = 65; 33 × 33 + 56 × 56 = 1089 + 3136 = 4225 = 65 × 65, nên tam giác vuông tại A (Pytago đảo). Bước 2: Trong tam giác vuông, cos của góc nhọn = cạnh kề : cạnh huyền: cos B = AB : BC = 33/65, cos C = AC : BC = 56/65. Bước 3: cos B : cos C = 33/56, nên m + n = 33 + 56 = 89. Vậy m + n = 89.

Mỗi góc ở đỉnh (góc trong) của một sàn chòi nghỉ hình đa giác đều đo được 156°. Sàn chòi nghỉ có bao nhiêu cạnh? A. 13 B. 15 C. 17 D. 30

Đáp án: B. 15. Nhận dạng: đa giác đều biết góc trong, hỏi số cạnh. Ý tưởng: đổi sang góc ngoài, vì các góc ngoài của đa giác đều bằng nhau và có tổng 360°. Bước 1: Góc ngoài kề bù với góc trong: 180° − 156° = 24°. Bước 2: Số cạnh = 360 : 24 = 15. Vậy đa giác có 15 cạnh. Mẹo: lỗi hay sai là lấy 360 : 156, phải đổi sang góc ngoài trước.

Ghép 16 khối lập phương cạnh 1 cm thành một hình hộp chữ nhật (dùng hết). Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình hộp là bao nhiêu xăng-ti-mét vuông? A. 20 B. 40 C. 44 D. 66

Đáp án: B. 40. Nhận dạng: thể tích cố định (số khối), tìm hình hộp có diện tích toàn phần nhỏ nhất. Ý tưởng: ba kích thước càng gần nhau (gần hình lập phương) thì diện tích toàn phần càng nhỏ. Bước 1: Tách 16 thành tích ba số gần nhau nhất: 16 = 2 × 2 × 4. Bước 2: Diện tích toàn phần = 2 × (2 × 2 + 2 × 4 + 4 × 2) = 2 × (4 + 8 + 8). Bước 3: = 2 × 20 = 40 (cm²). Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất là 40 cm².

Một hộp có 25 quả bóng trắng, 11 quả bóng đỏ và 27 quả bóng cam. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu quả bóng để chắc chắn có đủ 2 màu khác nhau? A. 3 B. 12 C. 27 D. 28

Đáp án: D. 28. Nhận dạng: lấy ít nhất bao nhiêu để chắc chắn có đủ 2 màu khác nhau. Ý tưởng: trường hợp xấu nhất là lấy mãi mà vẫn thiếu màu, tức lấy hết các màu nhiều nhất trước. Bước 1: Muốn chưa đủ 2 màu thì chỉ có nhiều nhất 1 màu; nhiều quả bóng nhất khi lấy 1 màu đông nhất: 27 cam. Bước 2: Lấy hết 27 quả bóng đó vẫn chỉ có 1 màu. Bước 3: Lấy thêm 1 quả bóng nữa thì chắc chắn có màu mới: 27 + 1 = 28. Vậy cần lấy ít nhất 28 quả bóng.

Một hộp có 5 tấm thẻ vàng, 2 tấm thẻ tím và 2 tấm thẻ cam. Lấy ra cùng lúc 3 tấm thẻ. Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có đúng 1 tấm thẻ vàng? A. 11 B. 30 C. 84 D. 180

Đáp án: B. 30. Nhận dạng: chọn một nhóm (không thứ tự), có đúng 1 tấm thẻ vàng. Ý tưởng: chọn riêng phần có điều kiện và phần còn lại, rồi nhân (quy tắc nhân). Bước 1: Có 5 tấm thẻ vàng và 2 + 2 = 4 tấm thẻ không phải màu vàng. Nhóm 3 gồm 1 tấm thẻ vàng và 3 − 1 = 2 tấm thẻ không phải màu vàng. Bước 2: Chọn 1 tấm thẻ vàng trong 5: 5 cách. Bước 3: Chọn 2 tấm thẻ không phải màu vàng trong 4: (4 × 3) : (2 × 1) = 6 cách. Bước 4: Nhân: 5 × 6 = 30. Vậy có 30 cách.

Có 25 tấm thẻ ghi các số 1, 2, …, 25. Bốc ít nhất bao nhiêu thẻ để chắc chắn có hai thẻ mà hiệu hai số trên đó bằng 3? A. 12 B. 13 C. 14 D. 23

Đáp án: C. 14. Nhận dạng: chắc chắn có hai số hơn kém nhau 3; tìm tập lớn nhất không có cặp nào như vậy. Ý tưởng: chia các số theo số dư khi chia cho 3; mỗi dãy r, r + 3, r + 6, … chỉ được chọn các số không đứng cạnh nhau. Bước 1: Có 3 dãy (số dư 0 tới 2); hai số hơn kém 3 luôn cùng dãy và đứng cạnh nhau trong dãy. Bước 2: Dãy L số chọn nhiều nhất (L + 1) : 2 số (bỏ phần lẻ), lấy cách một số: 1 dãy dài 9 số chọn được 5; 2 dãy dài 8 số, mỗi dãy chọn được 4. Bước 3: Nhiều nhất chọn được 5 + 2 × 4 = 13 số mà không có cặp hơn kém 3. Bước 4: Bốc thêm 1 thẻ thì chắc chắn có cặp: 13 + 1 = 14. Vậy cần bốc ít nhất 14 thẻ.

Có 8 tấm thẻ ghi các số 1, 2, …, 8. Rút ngẫu nhiên lần lượt hai thẻ (không trả lại thẻ đã rút). Tính xác suất để tích hai số là số lẻ. A. 1/4 B. 11/14 C. 1/2 D. 3/14

Đáp án: D. 3/14. Nhận dạng: rút lần lượt hai thẻ, xét tích lẻ. Ý tưởng: tích lẻ khi cả hai số đều lẻ. Bước 1: Rút lần lượt có thứ tự: 8 × 7 = 56 kết quả. Có 4 số lẻ, 4 số chẵn. Bước 2: Lần 1 lẻ: 4 cách; lần 2 lẻ trong 3 số lẻ còn lại: 4 × 3 = 12. Bước 3: Xác suất: 12/56 = 3/14. Vậy xác suất là 3/14.

Minh chia tất cả 5 viên kẹo giống nhau cho 4 bạn (có bạn có thể không được viên nào). Có bao nhiêu cách chia? A. 4 B. 56 C. 70 D. 84

Đáp án: B. 56. Nhận dạng: chia 5 viên kẹo giống nhau thành 4 phần, phần được bằng 0. Ý tưởng: mượn thêm mỗi phần 1 để phần nào cũng ít nhất 1, rồi đặt vách vào khe như thường. Bước 1: Mượn thêm mỗi bạn 1 viên kẹo: tổng thành 5 + 4 = 9, mỗi phần ít nhất 1. Bước 2: Xếp 9 viên kẹo thành hàng: có 9 − 1 = 8 khe giữa hai viên kẹo liền nhau. Đặt 4 − 1 = 3 vách vào 3 khe khác nhau thì được 4 phần, phần nào cũng có ít nhất 1. Bước 3: Chọn 3 khe trong 8 khe: (8 × 7 × 6) : (3 × 2 × 1) = 56 cách. Vậy có 56 cách. Mẹo: dùng ngay cách "mỗi phần ít nhất 1" mà không mượn thêm sẽ bỏ sót các phần bằng 0.

Đề thi HKIMO lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử HKIMO lớp 9 (vòng loại) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 5 câu tư duy logic × 4 điểm; 5 câu số học & đại số × 4 điểm; 5 câu lý thuyết số × 4 điểm; 5 câu hình học × 4 điểm; 5 câu tổ hợp × 4 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi HKIMO.

Phần 1: Tư duy logic (5 câu × 4 điểm)

Câu 14 điểm

Dãy số có a₁ = 2, mỗi số hạng sau bằng 1 chia cho (1 trừ số hạng đứng ngay trước nó), tức là a(n+1) = 1/(1 − a(n)). Tìm số hạng thứ 2025 của dãy.
A sequence has a₁ = 2, and each next term is 1 divided by (1 minus the previous term), that is a(n+1) = 1/(1 − a(n)). Find the 2025th term of the sequence.
1. A. 2
2. B. 1
3. C. 1/2
4. D. −1
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: C. 1/2

Nhận dạng: dãy cho bằng công thức truy hồi phân thức, hỏi một số hạng ở vị trí rất xa.
Ý tưởng: tính vài số đầu để thấy chu kỳ 3, rồi lấy số thứ tự chia 3 lấy dư (dư 0 là số cuối chu kỳ).
Bước 1: Tính các số đầu: số thứ hai = 1/(1 − 2) = −1;
số thứ ba = 1/(1 − (−1)) = 1/2;
số thứ tư = 1/(1 − 1/2) = 2 = số thứ nhất, nên dãy lặp theo chu kỳ 3: 2, −1, 1/2.
Bước 2: Chia: 2025 : 3 = 675 dư 0.
Bước 3: Dư 0: số thứ 2025 giống số thứ 3 của chu kỳ, là 1/2.
Vậy số hạng thứ 2025 là 1/2.
Câu 24 điểm

Hình vuông ma thuật 3 × 3 là bảng chín ô mà tổng ba số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau. Một hình vuông ma thuật gồm các số nguyên dương có ô giữa cột trái là x², ô chính giữa là x + 14, ô giữa cột phải là 4x + 4, với x là số nguyên dương. Tính tổng chín số trong bảng.
A 3 × 3 magic square is a grid of nine cells where the three numbers in every row, every column and both diagonals have the same sum. A magic square of positive integers has its middle cell of the left column equal to x², its centre equal to x + 14, and its middle cell of the right column equal to 4x + 4, where x is a positive integer. Find the sum of the nine numbers in the grid.
1. A. 36
2. B. 54
3. C. 162
4. D. 171
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. 162

Nhận dạng: hình vuông ma thuật có các ô chứa biểu thức của x, tìm x hay một tổng.
Ý tưởng: hai ô đối nhau qua tâm có tổng gấp đôi ô giữa, đưa về phương trình bậc hai và loại nghiệm âm.
Bước 1: Gọi M là tổng mỗi hàng, ô giữa là g.
Chín ô có tổng 3 × M.
Bốn đường qua ô giữa phủ 8 ô kia một lần, ô giữa 4 lần: 4 × M = 3 × M + 3 × g, nên M = 3 × g.
Bước 2: Mỗi đường qua ô giữa có hai ô đối nhau cộng ô giữa bằng M = 3 × g, nên hai ô đối nhau có tổng 2 × g.
Bước 3: Thay vào: x² + (4x + 4) = 2 × (x + 14), tức x² + 2x − 24 = 0.
Bước 4: Hai nghiệm có tổng −2 và tích −24: đó là 4 và −6.
Vì x dương nên x = 4.
Bước 5: Ô giữa g = 4 + 14 = 18.
Bước 6: Tổng chín số: 3 × M = 9 × g = 9 × 18 = 162.
Vậy tổng chín số là 162.
Mẹo: tổng chín số = 9 × ô giữa.
Câu 34 điểm

Trong tờ lịch tháng Mười Một (30 ngày), các cột xếp từ Thứ Hai đến Chủ Nhật. Chín ngày tạo thành khung 3 × 3, ngày ở chính giữa nằm ở cột Thứ Ba. Tổng chín ngày là 198. Ngày mùng 1 của tháng đó là thứ mấy?
On a calendar of November (30 days), columns run from Monday to Sunday. Nine dates form a 3 × 3 block whose centre date is in the Tuesday column. The sum of the nine dates is 198. What day of the week is the 1st of the month?
1. A. Thứ Năm
2. B. Thứ Tư
3. C. Thứ Ba
4. D. Thứ Hai
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. Thứ Ba

Nhận dạng: tờ lịch tháng có khung 3 × 3 các ngày, biết tổng, hỏi thứ của ngày mùng 1.
Ý tưởng: các ngày đối xứng qua ngày giữa có tổng gấp đôi ngày giữa, nên tổng bằng 9 lần ngày giữa.
Bước 1: Gọi m là ngày ở giữa.
Cùng hàng hơn kém 1, cùng cột hơn kém 7: chín ngày là m − 8, m − 7, m − 6, m − 1, m, m + 1, m + 6, m + 7, m + 8.
Bước 2: Các cặp đối xứng qua m có tổng 2 × m nên tổng chín ngày = 9 × m = 198, m = 198 : 9 = 22.
Bước 3: Ngày 22 nằm ở cột Thứ Ba.
Từ ngày 1 đến ngày 22 cách 21 ngày;
21 chia 7 dư 0.
Bước 4: Dư 0 nên ngày 1 cùng thứ với ngày 22: Thứ Ba.
Vậy ngày mùng 1 là Thứ Ba.
Câu 44 điểm

Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. 6 năm trước, tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi?
This year the mother's age is 3 times the child's age. 6 years ago, the mother's age was 5 times the child's age. How old is the child now?
1. A. 11
2. B. 12
3. C. 18
4. D. 36
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 12

Nhận dạng: bài toán tuổi cho tỉ số tuổi ở hai thời điểm.
Ý tưởng: hiệu tuổi không đổi: viết hiệu theo tỉ số ở hai thời điểm rồi giải phương trình.
Bước 1: Gọi c là tuổi con hiện nay, tuổi mẹ là 3 × c.
Hiệu tuổi hiện nay là 3 × c − c = 2 × c và không đổi theo thời gian.
Bước 2: 6 năm trước, tuổi con là c − 6, tuổi mẹ gấp 5 lần nên hiệu tuổi là 4 × (c − 6).
Bước 3: Hai hiệu bằng nhau: 2 × c = 4 × (c − 6), tức 2 × c = 4 × c − 24.
Bước 4: (2 − 4) × c = −24, tức 2 × c = 24 (đổi dấu hai vế), c = 12.
Bước 5: Kiểm: mẹ hiện nay 36 tuổi, 6 năm trước 30 = 5 × 6.
Vậy hiện nay con 12 tuổi.
Mẹo: tỉ số tuổi giảm dần về 1 khi thời gian trôi, hiệu tuổi mới là đại lượng cố định.
Câu 54 điểm

Hai đoàn tàu dài 110 m và 70 m chạy ngược chiều nhau trên hai đường ray song song. Từ lúc đầu tàu gặp nhau đến lúc đuôi tàu rời nhau hoàn toàn mất 9 giây. Tỉ số vận tốc của hai tàu là 4 : 5. Tính vận tốc của tàu nhanh hơn (km/h).
Two trains 110 m and 70 m long run in opposite directions on parallel tracks. From the moment the fronts meet until the ends have completely passed each other takes 9 seconds. The ratio of their speeds is 4 : 5. Find the speed of the faster train (km/h).
1. A. 20
2. B. 32
3. C. 40
4. D. 72
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: C. 40

Nhận dạng: hai đoàn tàu chạy trên hai đường ray song song, vượt nhau hoàn toàn, có chiều dài và vận tốc.
Ý tưởng: để vượt nhau hoàn toàn hai tàu phải đi lệch nhau đúng tổng chiều dài;
ngược chiều lệch nhau bằng tổng vận tốc, cùng chiều lệch nhau bằng hiệu vận tốc.
Bước 1: Để vượt nhau hoàn toàn, hai tàu cùng đi được quãng bằng tổng chiều dài: 110 + 70 = 180 m.
Bước 2: Hai tàu ngược chiều nên tổng vận tốc: 180 : 9 = 20 m/s.
Đổi sang km/h: 20 × 3,6 = 72 km/h.
Bước 3: Chia 72 km/h theo tỉ số 4 : 5: tổng 4 + 5 = 9 phần, một phần 72 : 9 = 8 km/h.
Bước 4: Tàu chậm: 4 × 8 = 32 km/h;
tàu nhanh: 5 × 8 = 40 km/h.
Vậy đáp án là 40.
Mẹo: 1 m/s = 3,6 km/h, nên đổi đơn vị trước khi chia.

Phần 2: Số học & Đại số (5 câu × 4 điểm)

Câu 64 điểm

Đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm M(2; 6). Tìm a.
The graph of y = ax² passes through M(2; 6). Find a.
1. A. 3/2
2. B. 2/3
3. C. −3/2
4. D. 3
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: A. 3/2

Nhận dạng: đồ thị hàm số y = ax² đi qua một điểm cho trước.
Ý tưởng: điểm nằm trên đồ thị thì toạ độ thoả mãn công thức;
thay vào tìm a, rồi dùng công thức để tính.
Bước 1: M thuộc đồ thị nên 6 = a × 2² = 4a, do đó a = 6 : 4 = 3/2.
Vậy a = 3/2.
Câu 74 điểm

Mua kẹo giá 2 nghìn đồng một chiếc và bánh giá 3 nghìn đồng một chiếc, hết đúng 33 nghìn đồng, mỗi loại ít nhất một chiếc. Mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc (cả hai loại)?
Candies cost 2 thousand dong each and cakes cost 3 thousand dong each. Exactly 33 thousand dong is spent, with at least one of each. What is the greatest total number of items?
1. A. 12
2. B. 15
3. C. 16
4. D. 17
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 16

Nhận dạng: mua hai loại hàng hết đúng số tiền, số lượng nguyên dương.
Ý tưởng: gọi số lượng là x, y;
rút y theo x, y nguyên khi x thuộc một dãy cách đều, liệt kê.
Bước 1: Gọi x là số kẹo, y là số bánh: 2x + 3y = 33, nên y = (33 − 2x)/3.
Bước 2: Cần 33 − 2x chia hết cho 3 và 2x < 33;
thử x = 1, 2, …: x = 3 là số nhỏ nhất thoả (33 − 6 = 27 = 3 × 9);
x tăng 3 thì 2x tăng 6, vẫn chia hết cho 3, nên x = 3, 6, 9, 12, 15.
Bước 3: Các cặp (x, y): (3, 9), (6, 7), (9, 5), (12, 3), (15, 1).
Bước 4: Tổng x + y: 3 + 9 = 12, 6 + 7 = 13, 9 + 5 = 14, 12 + 3 = 15, 15 + 1 = 16;
lớn nhất là 16.
Vậy nhiều nhất 16 chiếc.
Câu 84 điểm

Biết x > 0 thoả mãn x − 1/x = 8. Hỏi (x² − 1/x²)² bằng bao nhiêu?
Given x > 0 and x − 1/x = 8, find (x² − 1/x²)².
1. A. 132
2. B. 3840
3. C. 4096
4. D. 4352
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: D. 4352

Nhận dạng: biết x − 1/x, hỏi bình phương của x² − 1/x².
Ý tưởng: x² − 1/x² là tích của tổng và hiệu, thiếu x + 1/x thì tính bình phương của nó.
Bước 1: x² − 1/x² = (x − 1/x)(x + 1/x) (hiệu hai bình phương), nên (x² − 1/x²)² = (x − 1/x)² × (x + 1/x)².
Bước 2: (x + 1/x)² = (x − 1/x)² + 4 × x × 1/x = 8² + 4 = 68.
Bước 3: (x² − 1/x²)² = 8² × 68 = 64 × 68 = 4352.
Vậy (x² − 1/x²)² = 4352.
Câu 94 điểm

Các số a, b, c, d thoả mãn hệ: 6a + 4b + c + 3d = 16; 4a + b + 3c + 6d = 25; a + 3b + 6c + 4d = 19; 3a + 6b + 4c + d = 10. Tính a + b + c + d.
The numbers a, b, c, d satisfy the system: 6a + 4b + c + 3d = 16; 4a + b + 3c + 6d = 25; a + 3b + 6c + 4d = 19; 3a + 6b + 4c + d = 10. Find a + b + c + d.
1. A. 35/2
2. B. 70
3. C. 6
4. D. 5
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: D. 5

Nhận dạng: các phương trình dùng cùng một bộ hệ số, chỉ đổi chỗ.
Ý tưởng: cộng tất cả các phương trình;
mỗi ẩn gặp đủ các hệ số đúng một lần nên có cùng tổng hệ số.
Bước 1: Hệ số của mỗi ẩn qua các phương trình là 1 + 3 + 4 + 6 = 14.
Bước 2: Cộng vế: 14(a + b + c + d) = 16 + 25 + 19 + 10 = 70.
Bước 3: a + b + c + d = 70 : 14 = 5.
Vậy a + b + c + d = 5.
Câu 104 điểm

Cho x > 0 và x = 6 + 2/(1 + 2/(1 + 2/(1 + …))). Tìm x.
Given x > 0 and x = 6 + 2/(1 + 2/(1 + 2/(1 + …))), find x.
1. A. 1
2. B. 2
3. C. 7
4. D. 8
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 7

Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, phần mẫu lặp lại.
Ý tưởng: thay phần lặp bằng ẩn, quy đồng ra phương trình bậc hai, chỉ lấy nghiệm dương.
Bước 1: Số đứng đầu (6) khác số trong mẫu (1), nên đặt y = x − 6 = 2/(1 + 2/(1 + …));
mẫu lặp lại 1 + y, nên y = 2/(1 + y) với y > 0.
Bước 2: Nhân chéo: y² + y − 2 = 0.
Bước 3: Phân tích: 2 = 1 × 2 và 2 − 1 = 1, nên (y − 1)(y + 2) = 0.
Bước 4: y > 0 nên y = 1;
x = 6 + 1 = 7.
Vậy x = 7.

Phần 3: Lý thuyết số (5 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

Đếm các số có bốn chữ số là bội của 9.
How many four-digit numbers are multiples of 9?
1. A. 999
2. B. 1000
3. C. 1001
4. D. 1002
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: B. 1000

Nhận dạng: đếm bội của một số trong một khoảng.
Ý tưởng: đếm các bội của 9, tìm bội đầu, bội cuối rồi đếm số cách đều.
Bước 1: Bội đầu: 1000 : 9 = 111 (dư 1), bội nhỏ nhất là 9 × 112 = 1008.
Bước 2: Bội cuối: 9999 : 9 = 1111, bội lớn nhất là 9999.
Bước 3: Số các bội: (9999 − 1008) : 9 + 1 = 1000.
Vậy có 1000 số.
Câu 124 điểm

Có bao nhiêu số có ba chữ số mà chia cho 6 và 14 đều dư 1?
How many three-digit numbers N have the property: N leaves remainder 1 when divided by each of 6 and 14?
1. A. 10
2. B. 20
3. C. 21
4. D. 22
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 21

Nhận dạng: số chia cho nhiều số có số dư bằng nhau.
Ý tưởng: gọi N là số cần tìm, thì N − 1 là bội chung, tức là bội của BCNN.
Bước 1: N − 1 chia hết cho cả 6 và 14.
Bước 2: BCNN(6, 14) = 42 (6 = 2 × 3, 14 = 2 × 7, lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất: 2 × 3 × 7), nên N = 42 × t + 1 (t là số tự nhiên).
Bước 3: N ≥ 100 nên 42 × t ≥ 100 − 1 = 99;
99 : 42 = 2 (dư 15), t nhỏ nhất là 3 (N = 42 × 3 + 1 = 127).
N ≤ 999 nên 42 × t ≤ 999 − 1 = 998;
998 : 42 = 23 (dư 32), t lớn nhất là 23 (N = 42 × 23 + 1 = 967).
Bước 4: Số giá trị của t: 23 − 3 + 1 = 21.
Vậy có 21 số.
Câu 134 điểm

Chữ số hàng đơn vị của số 19²⁰²¹ + 2022²⁰²² là bao nhiêu?
Find the last digit of 19²⁰²¹ + 2022²⁰²².
1. A. 1
2. B. 3
3. C. 5
4. D. 9
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: B. 3

Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa.
Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó.
Bước 1: 19²⁰²¹ cùng tận cùng với 9²⁰²¹, chu kỳ 9, 1 (dài 2), 2021 chia 2 dư 1 nên lấy số thứ 1: 9.
Bước 2: 2022²⁰²² cùng tận cùng với 2²⁰²², chu kỳ 2, 4, 8, 6 (dài 4), 2022 chia 4 dư 2 nên lấy số thứ 2: 4.
Bước 3: 9 + 4 = 13, nên tổng tận cùng 3.
Vậy chữ số tận cùng là 3.
Câu 144 điểm

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 18 ước dương.
Find the smallest positive integer with exactly 18 positive divisors.
1. A. 180
2. B. 288
3. C. 768
4. D. 131072
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: A. 180

Nhận dạng: tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 18 ước.
Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), nên viết 18 thành tích, mỗi cách cho một dạng số.
Bước 1: Các cách viết 18: 18 = 9 × 2 = 6 × 3 = 3 × 3 × 2.
Bước 2: Dạng số tương ứng (p, q, r là các số nguyên tố khác nhau): p¹⁷;
p⁸ × q;
p⁵ × q²;
p² × q² × r.
Bước 3: Số nhỏ nhất mỗi dạng (số mũ lớn đặt cho số nguyên tố nhỏ): 2¹⁷ = 131072;
2⁸ × 3 = 768;
2⁵ × 3² = 288;
2² × 3² × 5 = 180.
Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 18 ước là 180.
Mẹo: phải so mọi dạng, dạng một luỹ thừa thường rất lớn.
Câu 154 điểm

Tính tổng tất cả các phân số tối giản lớn hơn 0, nhỏ hơn 1 và có mẫu số 931.
Find the sum of all irreducible fractions greater than 0 and less than 1 with denominator 931.
1. A. 378
2. B. 379
3. C. 465
4. D. 756
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: A. 378

Nhận dạng: tổng các phân số tối giản có mẫu cho trước.
Ý tưởng: a/931 tối giản thì (931 − a)/931 cũng tối giản, hai phân số đó cộng lại bằng 1.
Bước 1: Đếm số phân số: 931 = 7² × 19, 931 : 7 × 6 = 798, 798 : 19 × 18 = 756, có 756 phân số.
Bước 2: 931 lẻ nên a ≠ 931 − a, các phân số ghép đôi được hết.
Bước 3: 756 phân số ghép thành 756 : 2 = 378 cặp, mỗi cặp có tổng bằng 1.
Vậy tổng là 378.

Phần 4: Hình học (5 câu × 4 điểm)

Câu 164 điểm

AB là đường kính của đường tròn tâm O, C là điểm trên đường tròn (khác A, B), ∠ABC = 38°. Tính ∠BAC (độ).
AB is a diameter of circle O, C is a point on the circle (not A or B), ∠ABC = 38°. Find ∠BAC (degrees).
1. A. 38
2. B. 52
3. C. 76
4. D. 142
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: B. 52

Nhận dạng: góc ACB chắn nửa đường tròn (AB là đường kính).
Ý tưởng: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, nên tam giác ABC vuông tại C.
Bước 1: ∠ACB = 90°.
Bước 2: ∠BAC = 180° − 90° − 38° = 52°.
Vậy ∠BAC = 52°.
Câu 174 điểm

Tính diện tích hình giới hạn bởi trục Ox, trục Oy và đường thẳng 6x − 5y + 30 = 0.
Find the area of the region bounded by the x-axis, the y-axis and the line 6x − 5y + 30 = 0.
1. A. 15
2. B. 20
3. C. 30
4. D. 5,5
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: A. 15

Nhận dạng: tam giác có hai cạnh nằm trên trục toạ độ (hoặc đường nằm ngang), cạnh còn lại là đường thẳng.
Ý tưởng: tìm giao điểm với hai trục: tam giác vuông tại O có hai cạnh góc vuông là hai đoạn trên trục.
Bước 1: Cho y = 0: 6x = −30, x = −5;
điểm (−5; 0).
Bước 2: Cho x = 0: −5y = −30, y = 6;
điểm (0; 6).
Bước 3: Hai cạnh góc vuông dài 5 và 6;
diện tích = 5 × 6 : 2 = 15.
Vậy diện tích là 15.
Câu 184 điểm

Tam giác ABC có AB = 33, AC = 56, BC = 65. Biết cos B : cos C = m/n với m/n là phân số tối giản. Tính m + n.
Triangle ABC has AB = 33, AC = 56, BC = 65. Given cos B : cos C = m/n in lowest terms, find m + n.
1. A. 24
2. B. 89
3. C. 90
4. D. 1848
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: B. 89

Nhận dạng: ba cạnh là một bộ ba Pytago, hỏi tỉ số hai cos.
Ý tưởng: kiểm tra tổng bình phương hai cạnh nhỏ bằng bình phương cạnh lớn để thấy tam giác vuông.
Bước 1: Cạnh lớn nhất BC = 65;
33 × 33 + 56 × 56 = 1089 + 3136 = 4225 = 65 × 65, nên tam giác vuông tại A (Pytago đảo).
Bước 2: Trong tam giác vuông, cos của góc nhọn = cạnh kề : cạnh huyền: cos B = AB : BC = 33/65, cos C = AC : BC = 56/65.
Bước 3: cos B : cos C = 33/56, nên m + n = 33 + 56 = 89.
Vậy m + n = 89.
Câu 194 điểm

Mỗi góc ở đỉnh (góc trong) của một sàn chòi nghỉ hình đa giác đều đo được 156°. Sàn chòi nghỉ có bao nhiêu cạnh?
Each interior angle of a gazebo floor shaped like a regular polygon measures 156°. How many sides does it have?
1. A. 13
2. B. 15
3. C. 17
4. D. 30
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: B. 15

Nhận dạng: đa giác đều biết góc trong, hỏi số cạnh.
Ý tưởng: đổi sang góc ngoài, vì các góc ngoài của đa giác đều bằng nhau và có tổng 360°.
Bước 1: Góc ngoài kề bù với góc trong: 180° − 156° = 24°.
Bước 2: Số cạnh = 360 : 24 = 15.
Vậy đa giác có 15 cạnh.
Mẹo: lỗi hay sai là lấy 360 : 156, phải đổi sang góc ngoài trước.
Câu 204 điểm

Ghép 16 khối lập phương cạnh 1 cm thành một hình hộp chữ nhật (dùng hết). Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình hộp là bao nhiêu xăng-ti-mét vuông?
16 unit cubes (edge 1 cm) are put together into one rectangular box (all used). What is the smallest possible total surface area (cm²)?
1. A. 20
2. B. 40
3. C. 44
4. D. 66
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: B. 40

Nhận dạng: thể tích cố định (số khối), tìm hình hộp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Ý tưởng: ba kích thước càng gần nhau (gần hình lập phương) thì diện tích toàn phần càng nhỏ.
Bước 1: Tách 16 thành tích ba số gần nhau nhất: 16 = 2 × 2 × 4.
Bước 2: Diện tích toàn phần = 2 × (2 × 2 + 2 × 4 + 4 × 2) = 2 × (4 + 8 + 8).
Bước 3: = 2 × 20 = 40 (cm²).
Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất là 40 cm².

Phần 5: Tổ hợp (5 câu × 4 điểm)

Câu 214 điểm

Một hộp có 25 quả bóng trắng, 11 quả bóng đỏ và 27 quả bóng cam. Bịt mắt lấy ra ít nhất bao nhiêu quả bóng để chắc chắn có đủ 2 màu khác nhau?
A box contains 25 white balls, 11 red balls and 27 orange balls. Blindfolded, what is the least number of balls to take out to be sure there are 2 different colours?
1. A. 3
2. B. 12
3. C. 27
4. D. 28
Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: D. 28

Nhận dạng: lấy ít nhất bao nhiêu để chắc chắn có đủ 2 màu khác nhau.
Ý tưởng: trường hợp xấu nhất là lấy mãi mà vẫn thiếu màu, tức lấy hết các màu nhiều nhất trước.
Bước 1: Muốn chưa đủ 2 màu thì chỉ có nhiều nhất 1 màu;
nhiều quả bóng nhất khi lấy 1 màu đông nhất: 27 cam.
Bước 2: Lấy hết 27 quả bóng đó vẫn chỉ có 1 màu.
Bước 3: Lấy thêm 1 quả bóng nữa thì chắc chắn có màu mới: 27 + 1 = 28.
Vậy cần lấy ít nhất 28 quả bóng.
Câu 224 điểm

Một hộp có 5 tấm thẻ vàng, 2 tấm thẻ tím và 2 tấm thẻ cam. Lấy ra cùng lúc 3 tấm thẻ. Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có đúng 1 tấm thẻ vàng?
A box has 5 yellow cards, 2 purple cards and 2 orange cards. 3 cards are taken out at the same time. In how many ways can exactly 1 of them be yellow?
1. A. 11
2. B. 30
3. C. 84
4. D. 180
Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: B. 30

Nhận dạng: chọn một nhóm (không thứ tự), có đúng 1 tấm thẻ vàng.
Ý tưởng: chọn riêng phần có điều kiện và phần còn lại, rồi nhân (quy tắc nhân).
Bước 1: Có 5 tấm thẻ vàng và 2 + 2 = 4 tấm thẻ không phải màu vàng.
Nhóm 3 gồm 1 tấm thẻ vàng và 3 − 1 = 2 tấm thẻ không phải màu vàng.
Bước 2: Chọn 1 tấm thẻ vàng trong 5: 5 cách.
Bước 3: Chọn 2 tấm thẻ không phải màu vàng trong 4: (4 × 3) : (2 × 1) = 6 cách.
Bước 4: Nhân: 5 × 6 = 30.
Vậy có 30 cách.
Câu 234 điểm

Có 25 tấm thẻ ghi các số 1, 2, …, 25. Bốc ít nhất bao nhiêu thẻ để chắc chắn có hai thẻ mà hiệu hai số trên đó bằng 3?
There are 25 cards numbered 1, 2, …, 25. What is the least number of cards to draw to be sure of two cards whose numbers differ by 3?
1. A. 12
2. B. 13
3. C. 14
4. D. 23
Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: C. 14

Nhận dạng: chắc chắn có hai số hơn kém nhau 3;
tìm tập lớn nhất không có cặp nào như vậy.
Ý tưởng: chia các số theo số dư khi chia cho 3;
mỗi dãy r, r + 3, r + 6, … chỉ được chọn các số không đứng cạnh nhau.
Bước 1: Có 3 dãy (số dư 0 tới 2);
hai số hơn kém 3 luôn cùng dãy và đứng cạnh nhau trong dãy.
Bước 2: Dãy L số chọn nhiều nhất (L + 1) : 2 số (bỏ phần lẻ), lấy cách một số: 1 dãy dài 9 số chọn được 5;
2 dãy dài 8 số, mỗi dãy chọn được 4.
Bước 3: Nhiều nhất chọn được 5 + 2 × 4 = 13 số mà không có cặp hơn kém 3.
Bước 4: Bốc thêm 1 thẻ thì chắc chắn có cặp: 13 + 1 = 14.
Vậy cần bốc ít nhất 14 thẻ.
Câu 244 điểm

Có 8 tấm thẻ ghi các số 1, 2, …, 8. Rút ngẫu nhiên lần lượt hai thẻ (không trả lại thẻ đã rút). Tính xác suất để tích hai số là số lẻ.
There are 8 cards numbered 1, 2, …, 8. Two cards are drawn one after another without replacement. Find the probability that the product of the two numbers is odd.
1. A. 1/4
2. B. 11/14
3. C. 1/2
4. D. 3/14
Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: D. 3/14

Nhận dạng: rút lần lượt hai thẻ, xét tích lẻ.
Ý tưởng: tích lẻ khi cả hai số đều lẻ.
Bước 1: Rút lần lượt có thứ tự: 8 × 7 = 56 kết quả.
Có 4 số lẻ, 4 số chẵn.
Bước 2: Lần 1 lẻ: 4 cách;
lần 2 lẻ trong 3 số lẻ còn lại: 4 × 3 = 12.
Bước 3: Xác suất: 12/56 = 3/14.
Vậy xác suất là 3/14.
Câu 254 điểm

Minh chia tất cả 5 viên kẹo giống nhau cho 4 bạn (có bạn có thể không được viên nào). Có bao nhiêu cách chia?
Minh gives out all 5 identical sweets to 4 friends (some may get none). How many ways are there?
1. A. 4
2. B. 56
3. C. 70
4. D. 84
Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: B. 56

Nhận dạng: chia 5 viên kẹo giống nhau thành 4 phần, phần được bằng 0.
Ý tưởng: mượn thêm mỗi phần 1 để phần nào cũng ít nhất 1, rồi đặt vách vào khe như thường.
Bước 1: Mượn thêm mỗi bạn 1 viên kẹo: tổng thành 5 + 4 = 9, mỗi phần ít nhất 1.
Bước 2: Xếp 9 viên kẹo thành hàng: có 9 − 1 = 8 khe giữa hai viên kẹo liền nhau.
Đặt 4 − 1 = 3 vách vào 3 khe khác nhau thì được 4 phần, phần nào cũng có ít nhất 1.
Bước 3: Chọn 3 khe trong 8 khe: (8 × 7 × 6) : (3 × 2 × 1) = 56 cách.
Vậy có 56 cách.
Mẹo: dùng ngay cách "mỗi phần ít nhất 1" mà không mượn thêm sẽ bỏ sót các phần bằng 0.

Đáp án đề thi HKIMO lớp 9

Câu	Đáp án
Câu 1	C. 1/2
Câu 2	C. 162
Câu 3	C. Thứ Ba
Câu 4	B. 12
Câu 5	C. 40
Câu 6	A. 3/2
Câu 7	C. 16
Câu 8	D. 4352
Câu 9	D. 5
Câu 10	C. 7
Câu 11	B. 1000
Câu 12	C. 21
Câu 13	B. 3
Câu 14	A. 180
Câu 15	A. 378
Câu 16	B. 52
Câu 17	A. 15
Câu 18	B. 89
Câu 19	B. 15
Câu 20	B. 40
Câu 21	D. 28
Câu 22	B. 30
Câu 23	C. 14
Câu 24	D. 3/14
Câu 25	B. 56

Đề thi khác

Đề HKIMO khối khác: Mầm non · Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức HKIMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi HKIMO lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề vòng loại HKIMO lớp 9 có 25 câu, làm trong 60 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử HKIMO lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề HKIMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.