Đề thi FMO lớp 9 có đáp án và lời giải (Vòng loại)

Đề thi thử FMO lớp 9 (vòng loại) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 21 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu khởi động × 3 điểm; 5 câu tăng tốc × 5 điểm; 5 câu thử thách × 7 điểm; 1 câu ngôi sao hy vọng × 10 điểm. Trả lời sai bị trừ: ngôi sao hy vọng −10; bỏ trống không trừ. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi FMO.

Phần 1: Khởi động (10 câu × 3 điểm)

1. Câu 13 điểm

   Số A0492718B (A, B là các chữ số) chia hết cho 22. Tìm số lớn nhất như vậy.

   The number A0492718B (A and B are digits) is divisible by 22. Find the largest such number.

   1. A. 104927185
   2. B. 304927183
   3. C. 504927181
   4. D. 904927188
   Đáp án và lời giải câu 1

   Đáp án: D. 904927188

   Nhận dạng: điền chữ số để số chia hết cho 22.
   Ý tưởng: 22 = 2 × 11, các thừa số nguyên tố cùng nhau, nên số phải chia hết cho từng thừa số.
   Bước 1: Chia hết cho 2: chữ số tận cùng chẵn, nên B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8.
   Bước 2: Chia hết cho 11: tổng vị trí lẻ trừ tổng vị trí chẵn (tính từ phải): (B + 1 + 2 + 4 + A) − (8 + 7 + 9 + 0) = A + B − 17.
   Vì −16 ≤ A + B − 17 ≤ 1, nên A + B − 17 = −11 hoặc 0.
   Bước 3: Ghép: A + B = 6: (1, 5), (2, 4), …, (6, 0), giữ cặp có B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8: (2, 4), (4, 2), (6, 0);
   A + B = 17: (8, 9), (9, 8), giữ cặp có B là 0, 2, 4, 6 hoặc 8: (9, 8).
   Vậy số lớn nhất là 904927188 (A = 9, B = 8).

2. Câu 23 điểm

   Biết a + b = 36, b + c = 49, c + a = 41. Tính a + b + c.

   Given a + b = 36, b + c = 49, c + a = 41, find a + b + c.

   1. A. 42
   2. B. 63
   3. C. 64
   4. D. 126
   Đáp án và lời giải câu 2

   Đáp án: B. 63

   Nhận dạng: biết tổng từng cặp của ba số.
   Ý tưởng: cộng ba đẳng thức, mỗi số được tính hai lần;
   rồi lấy tổng trừ đi tổng của hai số kia.
   Bước 1: Cộng: 2(a + b + c) = 36 + 49 + 41 = 126.
   Bước 2: a + b + c = 126 : 2 = 63.
   Vậy a + b + c = 63.

3. Câu 33 điểm

   Ghép 195 hình vuông cạnh 2 cm thành một hình chữ nhật (dùng hết, không chồng lên nhau). Chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhật là bao nhiêu xăng-ti-mét?

   195 squares of side 2 cm are put together into one rectangle (all used, no overlap). What is the smallest possible perimeter (cm)?

   1. A. 56
   2. B. 112
   3. C. 116
   4. D. 176
   Đáp án và lời giải câu 3

   Đáp án: B. 112

   Nhận dạng: ghép hết các ô vuông thành hình chữ nhật, tìm chu vi nhỏ nhất.
   Ý tưởng: hình chữ nhật gồm m hàng, n cột với m × n = 195, hai số càng gần nhau thì chu vi càng nhỏ.
   Bước 1: Cặp ước gần nhau nhất: 195 = 13 × 15.
   Bước 2: Hai cạnh dài 13 × 2 = 26 và 15 × 2 = 30 (cm).
   Bước 3: Chu vi = 2 × (26 + 30) = 112 (cm).
   Vậy chu vi nhỏ nhất là 112 cm.

4. Câu 43 điểm

   Giá trị nhỏ nhất của B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 7 là bao nhiêu?

   Find the minimum value of B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 7.

   1. A. 5
   2. B. 6
   3. C. 7
   4. D. 8
   Đáp án và lời giải câu 4

   Đáp án: B. 6

   Nhận dạng: tích bốn thừa số mà các số cộng thêm cách đều nhau, hỏi giá trị nhỏ nhất.
   Ý tưởng: ghép thừa số đầu với cuối, hai thừa số giữa với nhau, hai tích chỉ khác nhau một hằng số.
   Bước 1: 1 + 4 = 2 + 3 = 5.
   (x + 1)(x + 4) = x² + 5x + 4, (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
   Bước 2: Đặt t = x² + 5x + 4: B = t(t + 2) + 7 = t² + 2t + 1 − 1 + 7 = (t + 1)² + 6.
   Bước 3: (t + 1)² ≥ 0, bằng 0 khi t = −1, tức là x² + 5x + 5 = 0 (có nghiệm vì 5² − 4 × 5 = 5 > 0).
   Bước 4: B ≥ 6.
   Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 6.

5. Câu 53 điểm

   Đa giác đều Q có số cạnh gấp đôi đa giác đều P. Mỗi góc trong của Q lớn hơn mỗi góc trong của P 30°. Đa giác P có bao nhiêu cạnh?

   Regular polygon Q has twice as many sides as regular polygon P. Each interior angle of Q is 30° larger than each interior angle of P. How many sides does P have?

   1. A. 5
   2. B. 6
   3. C. 7
   4. D. 12
   Đáp án và lời giải câu 5

   Đáp án: B. 6

   Nhận dạng: hai đa giác đều, biết quan hệ số cạnh và góc trong hơn kém nhau.
   Ý tưởng: góc trong lớn hơn bao nhiêu thì góc ngoài nhỏ hơn bấy nhiêu (góc trong + góc ngoài = 180°).
   Bước 1: Gọi n là số cạnh của P;
   Q có 2n cạnh.
   Bước 2: Hiệu hai góc ngoài: 360 : n − 360 : (2n) = 30.
   Bước 3: 360 : n − 180 : n = 180 : n = 30, nên n = 180 : 30 = 6.
   Vậy P có 6 cạnh.
   Mẹo: thử lại góc ngoài 360° : 6 và 360° : 12 hơn kém 30°.

6. Câu 63 điểm

   Hai số nguyên dương có ƯCLN là 10 và BCNN là 600. Một số là 150. Tìm số kia.

   Two positive integers have GCD 10 and LCM 600. One of them is 150. Find the other.

   1. A. 4
   2. B. 40
   3. C. 60
   4. D. 600
   Đáp án và lời giải câu 6

   Đáp án: B. 40

   Nhận dạng: biết ƯCLN, BCNN và một số, tìm số kia.
   Ý tưởng: tích hai số bằng tích ƯCLN và BCNN.
   Bước 1: Gọi số kia là b.
   Tích hai số bằng ƯCLN × BCNN: 150 × b = 10 × 600 = 6000.
   Bước 2: b = 6000 : 150 = 40.
   Vậy số kia là 40.

7. Câu 73 điểm

   Hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 (ở giữa có đúng một số tự nhiên) gọi là một cặp số nguyên tố sinh đôi, ví dụ (5, 7). Với mỗi cặp sinh đôi có cả hai số nhỏ hơn 123, trừ cặp (3, 5), viết ra số nằm giữa hai số của cặp. Tính tổng các số đã viết.

   Two primes that differ by 2 (with exactly one whole number between them) are twin primes, e.g. (5, 7). For each twin-prime pair with both numbers below 123, except (3, 5), write down the number between the two primes. Find the sum of the numbers written.

   1. A. 342
   2. B. 450
   3. C. 454
   4. D. 900
   Đáp án và lời giải câu 7

   Đáp án: B. 450

   Nhận dạng: cặp số nguyên tố sinh đôi và số ở giữa.
   Ý tưởng: liệt kê các cặp sinh đôi, mỗi cặp (p, p + 2) có số ở giữa là p + 1.
   Bước 1: Các cặp sinh đôi có cả hai số nhỏ hơn 123, trừ (3, 5): (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109).
   Bước 2: Các số ở giữa: 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108 (đều chia hết cho 6).
   Bước 3: Tổng: 6 + 12 + 18 + 30 + 42 + 60 + 72 + 102 + 108 = 450.
   Vậy tổng là 450.

8. Câu 83 điểm

   Chữ số hàng đơn vị của số 99⁸⁸ + 17²⁰²¹ là bao nhiêu?

   Find the last digit of 99⁸⁸ + 17²⁰²¹.

   1. A. 1
   2. B. 4
   3. C. 6
   4. D. 8
   Đáp án và lời giải câu 8

   Đáp án: D. 8

   Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa.
   Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó.
   Bước 1: 99⁸⁸ cùng tận cùng với 9⁸⁸, chu kỳ 9, 1 (dài 2), 88 chia hết cho 2 nên lấy số cuối: 1.
   Bước 2: 17²⁰²¹ cùng tận cùng với 7²⁰²¹, chu kỳ 7, 9, 3, 1 (dài 4), 2021 chia 4 dư 1 nên lấy số thứ 1: 7.
   Bước 3: 1 + 7 = 8, nên tổng tận cùng 8.
   Vậy chữ số tận cùng là 8.

9. Câu 93 điểm

   Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 6 cm và BH = 18 cm. Tính độ dài cạnh huyền BC.

   Right triangle ABC (right angle at A) has altitude AH = 6 cm and BH = 18 cm. Find the hypotenuse BC.

   1. A. 2
   2. B. 20
   3. C. 24
   4. D. 26
   Đáp án và lời giải câu 9

   Đáp án: B. 20

   Nhận dạng: tam giác vuông tại A có đường cao AH xuống cạnh huyền BC.
   Ý tưởng: hệ thức lượng: AH² = BH × HC, AB² = BH × BC, AC² = HC × BC (BH, HC là hình chiếu của AB, AC trên cạnh huyền BC).
   Bước 1: AH² = BH × HC, nên HC = AH² : BH = 6 × 6 : 18 = 36 : 18 = 2.
   Bước 2: BC = BH + HC = 18 + 2 = 20 (cm).
   Vậy BC = 20 cm.

10. Câu 103 điểm

    Số 35640 có tất cả bao nhiêu ước số dương?

    How many positive divisors does 35640 have?

    1. A. 10
    2. B. 12
    3. C. 13
    4. D. 80
    Đáp án và lời giải câu 10

    Đáp án: D. 80

    Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn.
    Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số.
    Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 35640 : 2 = 17820, : 2 = 8910, : 2 = 4455, : 3 = 1485, : 3 = 495, : 3 = 165, : 3 = 55, : 5 = 11, : 11 = 1.
    Vậy 35640 = 2³ × 3⁴ × 5 × 11.
    Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn;
    số mũ của 2 chọn từ 0 đến 3: 4 cách;
    số mũ của 3 chọn từ 0 đến 4: 5 cách;
    số mũ của 5 chọn từ 0 đến 1: 2 cách;
    số mũ của 11 chọn từ 0 đến 1: 2 cách.
    Bước 3: Số ước = (3 + 1) × (4 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 5 × 2 × 2 = 80.
    Vậy 35640 có 80 ước.
    Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.

Phần 2: Tăng tốc (5 câu × 5 điểm)

11. Câu 115 điểm

    Tam giác ABC có AB = 6, AC = 10, BC = 8. Biết cos C : cos A = m/n với m/n là phân số tối giản. Tính m + n.

    Triangle ABC has AB = 6, AC = 10, BC = 8. Given cos C : cos A = m/n in lowest terms, find m + n.

    1. A. 7
    2. B. 8
    3. C. 12
    4. D. 14
    Đáp án và lời giải câu 11

    Đáp án: A. 7

    Nhận dạng: ba cạnh là một bộ ba Pytago, hỏi tỉ số hai cos.
    Ý tưởng: kiểm tra tổng bình phương hai cạnh nhỏ bằng bình phương cạnh lớn để thấy tam giác vuông.
    Bước 1: Cạnh lớn nhất AC = 10;
    8 × 8 + 6 × 6 = 64 + 36 = 100 = 10 × 10, nên tam giác vuông tại B (Pytago đảo).
    Bước 2: Trong tam giác vuông, cos của góc nhọn = cạnh kề : cạnh huyền: cos C = BC : AC = 8/10, cos A = AB : AC = 6/10.
    Bước 3: cos C : cos A = 8/6 = 4/3, nên m + n = 4 + 3 = 7.
    Vậy m + n = 7.

12. Câu 125 điểm

    Số nguyên lớn nhất không vượt quá √83 + √155 là số nào?

    What is the greatest integer not exceeding √83 + √155?

    1. A. 20
    2. B. 21
    3. C. 22
    4. D. 23
    Đáp án và lời giải câu 12

    Đáp án: B. 21

    Nhận dạng: ước lượng tổng hai căn, kẹp tổng giữa hai số nguyên liên tiếp.
    Ý tưởng: kẹp mỗi căn giữa n và n + 0,5 (hoặc n + 0,5 và n + 1) bằng cách so bình phương, rồi cộng lại.
    Bước 1: 9² = 81 < 83 < 90,25 = 9,5², nên 9 < √83 < 9,5.
    Bước 2: 12² = 144 < 155 < 156,25 = 12,5², nên 12 < √155 < 12,5.
    Bước 3: Cộng: 21 < √83 + √155 < 9,5 + 12,5 = 22.
    Vậy số nguyên lớn nhất không vượt quá √83 + √155 là 21.

13. Câu 135 điểm

    Một khối lập phương lớn ghép từ 125 khối lập phương nhỏ bằng nhau (5 × 5 × 5) được sơn kín mặt ngoài. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn không có mặt nào?

    A large cube built from 125 equal small cubes (5 × 5 × 5) is painted on the outside. How many small cubes have no face painted?

    1. A. 8
    2. B. 27
    3. C. 36
    4. D. 54
    Đáp án và lời giải câu 13

    Đáp án: B. 27

    Nhận dạng: khối lập phương sơn ngoài rồi tách;
    đếm theo vị trí khối nhỏ.
    Ý tưởng: khối ở đỉnh có 3 mặt sơn, trên cạnh (trừ đỉnh) có 2, giữa mặt có 1, bên trong không có mặt nào.
    Bước 1: Khối được sơn không có mặt nào nằm bên trong, tạo khối 3 × 3 × 3.
    Bước 2: Số khối = 3 × 3 × 3 = 27.
    Vậy có 27 khối.

14. Câu 145 điểm

    Trang có 5 tấm thẻ, mỗi thẻ ghi một chữ số: 0, 3, 4, 5, 8. Trang chọn 4 thẻ xếp thành một hàng để được một số có 4 chữ số (thẻ 0 không đứng đầu). Có bao nhiêu cách xếp được số chẵn?

    Trang has 5 cards showing the digits 0, 3, 4, 5, 8. Trang puts 4 of them in a row to form a 4-digit number (the card 0 cannot be first). How many even numbers can Trang form this way?

    1. A. 36
    2. B. 60
    3. C. 72
    4. D. 84
    Đáp án và lời giải câu 14

    Đáp án: B. 60

    Nhận dạng: lập số chẵn có các chữ số khác nhau từ các chữ số cho trước.
    Ý tưởng: chọn chữ số cuối trước, tách hai trường hợp cuối là 0 và cuối khác 0 (vì 0 không đứng đầu).
    Bước 1: Đề cho 5 chữ số.
    Số chẵn có chữ số cuối chẵn: 0, 4 hoặc 8.
    Bước 2 (cuối là 0): hàng nghìn: 5 − 1 = 4 cách, hàng trăm: 5 − 2 = 3 cách, hàng chục: 5 − 3 = 2 cách.
    Có 4 × 3 × 2 = 24 số.
    Bước 3 (cuối là 4 hoặc 8): 2 cách chọn chữ số cuối;
    hàng nghìn khác 0 và khác chữ số cuối: 5 − 2 = 3 cách;
    hàng trăm: 5 − 2 = 3 cách, hàng chục: 5 − 3 = 2 cách.
    Có 2 × 3 × 3 × 2 = 36 số.
    Bước 4: Cộng hai trường hợp: 24 + 36 = 60.
    Vậy có 60 số.
    Mẹo: tính gộp 3 × 4 × 3 × 2 = 72 là sai, vì khi cuối khác 0 thì hàng đầu không được là 0.

15. Câu 155 điểm

    Dãy số 2, 4, 7, 13, 24, 44, … có 3 số đầu là 2, 4, 7, từ số thứ 4 trở đi mỗi số bằng tổng ba số liền trước. Trong 1015 số hạng đầu tiên có bao nhiêu số chẵn?

    The sequence 2, 4, 7, 13, 24, 44, … starts with 2, 4, 7, and from term 4 on each term is the sum of the three previous terms. How many even numbers are among the first 1015 terms?

    1. A. 506
    2. B. 507
    3. C. 508
    4. D. 509
    Đáp án và lời giải câu 15

    Đáp án: C. 508

    Nhận dạng: dãy truy hồi, đếm số chẵn;
    không cần tính các số, chỉ cần xét tính chẵn lẻ.
    Ý tưởng: tính chẵn lẻ của mỗi số chỉ phụ thuộc tính chẵn lẻ của 3 số trước, nên lặp lại theo chu kì.
    Bước 1: Xét lần lượt (C là chẵn, L là lẻ): C, C, L, L, C, C, L.
    Bước 2: 3 số cuối (số thứ 5 tới 7) trùng 3 số đầu, nên lặp với chu kì 4;
    mỗi chu kì có 2 số chẵn.
    Bước 3: 1015 = 4 × 253 + 3: 253 chu kì đủ cho 2 × 253 = 506 số chẵn.
    Bước 4: 3 số còn lại giống 3 số đầu chu kì, có 2 số chẵn;
    tổng 506 + 2 = 508.
    Vậy có 508 số chẵn.

Phần 3: Thử thách (5 câu × 7 điểm)

16. Câu 167 điểm

    6 đội A, B, C, D, E, F đá vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ gặp nhau đúng một lần) trong 5 ngày; mỗi ngày mỗi đội đá đúng 1 trận. Biết ngày 2 đội B gặp đội E; ngày 3 đội B gặp đội F; ngày 4 đội C gặp đội E; ngày 4 đội D gặp đội F; ngày 5 đội A gặp đội F. Hỏi ngày 4 đội B gặp đội nào?

    Six teams A, B, C, D, E, F play a round robin (any two teams meet exactly once) over 5 days; each team plays exactly one game per day. It is known that on day 2 team B plays team E; on day 3 team B plays team F; on day 4 team C plays team E; on day 4 team D plays team F; on day 5 team A plays team F. Which team does team B play on day 4?

    1. A. C
    2. B. E
    3. C. A
    4. D. D
    Đáp án và lời giải câu 16

    Đáp án: C. A

    Nhận dạng: lịch đấu vòng tròn nhiều ngày, biết vài trận, hỏi đối thủ của một đội.
    Ý tưởng: mỗi ngày mỗi đội một trận, mỗi cặp một lần: điền các trận chỉ còn một cách, cho tới trận cần hỏi.
    Bước 1: Mỗi ngày mỗi đội đá đúng 1 trận và hai đội chỉ gặp nhau một lần.
    Ta điền dần các trận bắt buộc vào bảng lịch.
    Bước 2: Ngày 2 đội F chưa có trận;
    trong các đội chưa có trận ngày đó (A, C, D), F đã gặp A và D rồi, nên F gặp C.
    Bước 3: Ngày 1 đội F chưa có trận;
    trong các đội chưa có trận ngày đó (A, B, C, D, E), F đã gặp A, B, C và D rồi, nên F gặp E.
    Bước 4: Ngày 2 chỉ còn hai đội A và D chưa có trận, nên họ gặp nhau.
    Bước 5: Ngày 4 chỉ còn hai đội A và B chưa có trận, nên họ gặp nhau.
    Vậy ngày 4 đội B gặp đội A.
    Mẹo: trận chưa biết: xét đội đó chưa gặp ai và ngày nào còn trống.

17. Câu 177 điểm

    Một người trong nhóm Bảo, Hà, An, Minh và Bình đã làm vỡ chiếc lọ hoa. Mỗi bạn nói một câu: Bảo: “Người đã làm vỡ chiếc lọ hoa không phải An và cũng không phải tôi.” Hà: “An là người đã làm vỡ chiếc lọ hoa.” An: “Bình không phải người đã làm vỡ chiếc lọ hoa.” Minh: “Người đã làm vỡ chiếc lọ hoa là Bình hoặc An.” Bình: “Người đã làm vỡ chiếc lọ hoa không phải tôi và cũng không phải Bảo.” Biết chỉ có đúng một người nói thật. Ai đã làm vỡ chiếc lọ hoa?

    One of Bao, Ha, An, Minh and Binh broke the vase. Each says one sentence: Bao: “The one who broke the vase is neither An nor me.” Ha: “An is the one who broke the vase.” An: “Binh is not the one who broke the vase.” Minh: “The one who broke the vase is Binh or An.” Binh: “The one who broke the vase is neither me nor Bao.” It is known that exactly one of them tells the truth. Who did it?

    1. A. Hà
    2. B. Minh
    3. C. An
    4. D. Bảo
    Đáp án và lời giải câu 17

    Đáp án: D. Bảo

    Nhận dạng: nhóm bạn nói về một thủ phạm, biết số lời nói đúng.
    Ý tưởng: thử từng người làm thủ phạm, đếm số lời đúng và so với dữ kiện.
    Bước 1: Mỗi lần giả sử một người là thủ phạm, ta xem lời của từng bạn đúng hay sai rồi đếm số lời đúng;
    cần đúng 1.
    Bước 2: Nếu Bảo là người đó: lời của An đúng;
    lời của Bảo, Hà, Minh, Bình sai, tức có 1 lời đúng.
    Bước 3: Nếu Hà là người đó: lời của Bảo, An, Bình đúng;
    lời của Hà, Minh sai, tức có 3 lời đúng.
    Bước 4: Nếu An là người đó: lời của Hà, An, Minh, Bình đúng;
    lời của Bảo sai, tức có 4 lời đúng.
    Bước 5: Nếu Minh là người đó: lời của Bảo, An, Bình đúng;
    lời của Hà, Minh sai, tức có 3 lời đúng.
    Bước 6: Nếu Bình là người đó: lời của Bảo, Minh đúng;
    lời của Hà, An, Bình sai, tức có 2 lời đúng.
    Bước 7: Chỉ khi Bảo là người đó thì có đúng 1 lời đúng.
    Vậy Bảo là người đã làm vỡ chiếc lọ hoa.
    Mẹo: mỗi giả thiết chỉ cho một số lời đúng, so sánh với dữ kiện.

18. Câu 187 điểm

    Một nhóm bạn góp tiền mua một món quà giá 1518 nghìn đồng, chia đều cho mỗi bạn. Nếu nhóm có thêm 1 bạn thì mỗi bạn góp ít hơn 3 nghìn đồng. Hỏi nhóm có bao nhiêu bạn?

    A group of friends share the cost of a 1518-thousand-dong gift equally. With 1 more friend, each would pay 3 thousand dong less. How many friends are in the group?

    1. A. 3
    2. B. 22
    3. C. 23
    4. D. 69
    Đáp án và lời giải câu 18

    Đáp án: B. 22

    Nhận dạng: chia đều một tổng (tiền, quãng đường) theo hai cách, hai thương hơn kém nhau.
    Ý tưởng: gọi ẩn, viết hai thương, lấy hiệu bằng phần chênh, nhân mẫu ra phương trình bậc hai.
    Bước 1: Gọi số bạn là x (x nguyên dương);
    mỗi bạn góp 1518/x, nếu thêm 1 bạn thì mỗi bạn góp 1518/(x + 1).
    Bước 2: 1518/x − 1518/(x + 1) = 3.
    Bước 3: Nhân hai vế với x(x + 1): 1518(x + 1) − 1518x = 3x(x + 1), tức là 1518 = 3x(x + 1);
    chia cho 3: x² + x − 506 = 0.
    Bước 4: 506 = 22 × 23;
    (x − 22)(x + 23) = 0, nên x = 22 hoặc x = −23;
    x > 0 nên x = 22.
    Vậy nhóm có 22 bạn.

19. Câu 197 điểm

    Tìm số nguyên dương n lớn nhất để n² + 4n + 59 là số chính phương.

    Find the largest positive integer n for which n² + 4n + 59 is a perfect square.

    1. A. 1
    2. B. 25
    3. C. 27
    4. D. 28
    Đáp án và lời giải câu 19

    Đáp án: B. 25

    Nhận dạng: biểu thức bậc hai của n là số chính phương.
    Ý tưởng: gom thành bình phương rồi viết hiệu hai bình phương thành tích hai thừa số.
    Bước 1: Gọi k² là số chính phương đó (k nguyên dương).
    (n + 2)² = n² + 4n + 4, nên n² + 4n + 59 = (n + 2)² + 55.
    Bước 2: k² − (n + 2)² = 55, nên (k − n − 2)(k + n + 2) = 55.
    Thừa số thứ hai lớn hơn và hai thừa số cùng chẵn lẻ (tổng là 2k).
    Bước 3: Xét các cách viết 55: 1 × 55: n + 2 = (55 − 1) : 2 = 27, n = 25, k = (1 + 55) : 2 = 28;
    5 × 11: n + 2 = (11 − 5) : 2 = 3, n = 1, k = (5 + 11) : 2 = 8.
    Vậy n lớn nhất là 25.

20. Câu 207 điểm

    Cho phương trình ||x + 5| − 10| = 2. Tìm nghiệm lớn nhất.

    Consider the equation ||x + 5| − 10| = 2. Find its largest solution.

    1. A. 7
    2. B. −7
    3. C. 9
    4. D. −3
    Đáp án và lời giải câu 20

    Đáp án: A. 7

    Nhận dạng: giá trị tuyệt đối lồng hai lớp.
    Ý tưởng: bỏ lớp ngoài trước (bằng c hoặc −c), rồi giải từng phương trình |x − a| = k.
    Bước 1: |x + 5| − 10 = 2 hoặc |x + 5| − 10 = −2, tức là |x + 5| = 10 + 2 = 12 hoặc |x + 5| = 10 − 2 = 8.
    Bước 2: |x + 5| = 12: x = −5 + 12 = 7 hoặc x = −5 − 12 = −17 (2 nghiệm).
    Bước 3: |x + 5| = 8: x = −5 + 8 = 3 hoặc x = −5 − 8 = −13 (2 nghiệm).
    Bước 4: Các nghiệm: −17, −13, 3, 7;
    lớn nhất là 7.
    Vậy nghiệm lớn nhất là 7.

Phần 4: Ngôi sao hy vọng (1 câu × 10 điểm)

21. Câu 2110 điểm · sai trừ 10

    Số gà nhiều hơn 6 lần số bọ rùa là 15. Tổng số chân bọ rùa ít hơn tổng số chân gà là 282 (gà có 2 chân, bọ rùa có 6 chân). Hỏi có bao nhiêu con gà?

    The number of chickens is 6 times the number of ladybirds plus 15. The total number of legs of the ladybirds is 282 fewer than that of the chickens (chickens have 2 legs, ladybirds have 6 legs). How many chickens are there?

    Điền đáp số: ……

    Đáp án và lời giải câu 21

    Đáp án: 267

    Nhận dạng: hai loài có số chân khác nhau, cho một quan hệ về số con và một quan hệ về tổng số chân, tìm số con.
    Ý tưởng: gọi mỗi loài một ẩn, thế quan hệ số con vào quan hệ số chân để chỉ còn một ẩn.
    Bước 1: Gọi x là số gà, y là số bọ rùa.
    Đề cho: x = 6 × y + 15 (1) và 2 × x − 6 × y = 282 (2).
    Bước 2: Thế (1) vào (2): 2 × (6 × y + 15) − 6 × y = 282.
    Bước 3: Khai triển: 12 × y + 30 − 6 × y = 282, tức 6 × y + 30 = 282.
    Bước 4: 6 × y = 282 − 30 = 252, nên y = 252 : 6 = 42.
    Bước 5: Số gà: x = 6 × 42 + 15 = 267.
    Vậy có 267 con gà.
    Mẹo: thế xong hãy kiểm lại cả hai điều kiện của đề.

Đáp án đề thi FMO lớp 9

Đề thi khác

Đề FMO khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức FMO.

Câu hỏi thường gặp