Một buổi biểu diễn bán 51 vé gồm vé người lớn giá 120 nghìn đồng và vé trẻ em giá 70 nghìn đồng, thu được 5920 nghìn đồng. Hỏi đã bán bao nhiêu vé trẻ em? A. 0 B. 4 C. 5 D. 8 E. 14

Đáp án: B. 4. Nhận dạng: hai loại có giá trị (điểm, chân, tiền) khác nhau, biết tổng số lượng và tổng giá trị, tìm số lượng từng loại. Ý tưởng: giả sử tất cả cùng một loại, so với tổng thực tế để biết chênh bao nhiêu, mỗi lần đổi một cái sang loại kia thì tổng đổi một lượng cố định. Bước 1: Giả sử cả 51 vé đều là vé trẻ em: tổng là 51 × 70 = 3570 nghìn đồng. Bước 2: Thực tế tổng là 5920, nhiều hơn 5920 − 3570 = 2350 nghìn đồng. Bước 3: Mỗi lần thay một vé trẻ em bằng một vé người lớn thì tổng tăng 120 − 70 = 50 nghìn đồng. Bước 4: Số vé người lớn: 2350 : 50 = 47; số vé trẻ em: 51 − 47 = 4. Bước 5: Kiểm: 47 × 120 + 4 × 70 = 5640 + 280 = 5920. Vậy có 4 vé trẻ em. Mẹo: kiểm lại bằng cách tính tổng giá trị.

Một hàng có 10 chiếc ghế. 6 bạn học sinh ngồi vào 6 ghế, 4 ghế còn lại để trống. Có bao nhiêu cách ngồi? A. 151197 B. 151199 C. 151200 D. 151201 E. 151203

Đáp án: C. 151200. Nhận dạng: xếp hàng có vật khác nhau và vật giống nhau. Ý tưởng: chọn chỗ cho các vật giống nhau trước, rồi xếp các vật khác nhau vào chỗ còn lại. Bước 1: Hàng có 10 ghế (6 ghế có người, 4 ghế trống). Bước 2: Chọn 4 ghế để trống trong 10 ghế: (10 × 9 × 8 × 7) : (4 × 3 × 2 × 1) = 210 cách. Bước 3: Xếp 6 bạn vào 10 − 4 = 6 ghế còn lại: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 cách (6! đọc là 6 giai thừa). Bước 4: Nhân: 210 × 720 = 151200. Vậy có 151200 cách.

Tính diện tích hình giới hạn bởi trục Ox, trục Oy và đường thẳng x − 2y − 4 = 0. A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8

Đáp án: C. 4. Nhận dạng: tam giác có hai cạnh nằm trên trục toạ độ (hoặc đường nằm ngang), cạnh còn lại là đường thẳng. Ý tưởng: tìm giao điểm với hai trục: tam giác vuông tại O có hai cạnh góc vuông là hai đoạn trên trục. Bước 1: Cho y = 0: x = 4; điểm (4; 0). Bước 2: Cho x = 0: −2y = 4, y = −2; điểm (0; −2). Bước 3: Hai cạnh góc vuông dài 4 và 2; diện tích = 4 × 2 : 2 = 4. Vậy diện tích là 4.

Trên cùng một cạnh AB, về cùng một phía, người ta dựng bát giác đều, lục giác đều, tam giác đều. Tại đỉnh A: ∠1 là góc giữa cạnh của bát giác đều và cạnh của lục giác đều; ∠2 là góc giữa cạnh của lục giác đều và cạnh của tam giác đều (như hình). Tính ∠1 + ∠2 (độ). A. 45 B. 70 C. 75 D. 76 E. 81

Đáp án: C. 75. Nhận dạng: các đa giác đều chung cạnh AB, góc tại A giữa cạnh của hai hình. Ý tưởng: cạnh của mỗi hình tạo với AB đúng một góc trong, nên góc giữa hai cạnh là hiệu hai góc trong. Bước 1: Góc trong = 180° − 360° : số cạnh: bát giác đều 135°; lục giác đều 120°; tam giác đều 60°. Bước 2: ∠1 = 135° − 120° = 15°; ∠2 = 120° − 60° = 60°. Bước 3: ∠1 + ∠2 = 15° + 60° = 75°. Vậy ∠1 + ∠2 = 75°.

Con kém bố 23 tuổi. 4 năm nữa, tích tuổi của hai bố con là 624. Hiện nay tuổi con là bao nhiêu? A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 E. 35

Đáp án: B. 12. Nhận dạng: bài tuổi cho tích hai tuổi, hiệu tuổi không đổi. Ý tưởng: gọi tuổi con ở thời điểm 4 năm nữa là t thì tuổi bố lúc đó là t + 23; lập phương trình bậc hai. Bước 1: Gọi tuổi con 4 năm nữa là t (t > 0), tuổi bố lúc đó là t + 23. Bước 2: t(t + 23) = 624, tức là t² + 23t − 624 = 0. Bước 3: Tìm hai số hơn kém 23 có tích 624: 624 = 16 × 39; (t − 16)(t + 39) = 0, nên t = 16 hoặc t = −39. Bước 4: t > 0 nên t = 16; tuổi con hiện nay là 16 − 4 = 12. Vậy hiện nay tuổi con là 12.

Gieo một con xúc xắc 6 mặt, được số chấm b. Có bao nhiêu kết quả để phương trình x² + bx + 1 = 0 có nghiệm? A. 1 B. 4 C. 5 D. 9 E. 15

Đáp án: C. 5. Nhận dạng: xúc xắc cho hệ số của phương trình bậc hai, xét dấu Δ. Ý tưởng: Δ = b² − 4 × (hệ số tự do) là biệt thức; phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0. Bước 1: Có 6 kết quả: b = 1, 2, …, 6. Bước 2: Δ = b² − 4 ≥ 0, tức b² ≥ 4. Bước 3: Bình phương: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36; thoả mãn: b = 2, 3, 4, 5 hoặc 6, có 5 giá trị. Vậy có 5 kết quả.

Cần ít nhất bao nhiêu học sinh để chắc chắn có 29 bạn sinh cùng một tháng? A. 332 B. 336 C. 337 D. 348 E. 349

Đáp án: C. 337. Nhận dạng: chắc chắn có 29 bạn sinh cùng một tháng, dùng nguyên lí chuồng bồ câu. Ý tưởng: đếm số chuồng; xấu nhất mỗi chuồng có 29 − 1 = 28, thêm 1 là đủ. Bước 1: Mỗi tháng là một chuồng: có 12 chuồng. Bước 2: Xấu nhất mỗi chuồng 28: 28 × 12 = 336; thêm 1: 336 + 1 = 337. Vậy cần ít nhất 337 học sinh.

Số có hai chữ số ab (b ≠ 0) cộng với số viết ngược ba thì được 66. Tìm số ab nhỏ nhất. A. 10 B. 13 C. 15 D. 17 E. 20

Đáp án: C. 15. Nhận dạng: số có hai chữ số cộng số viết ngược. Ý tưởng: ab + ba = (10 × a + b) + (10 × b + a) = 11 × (a + b). Bước 1: 11 × (a + b) = 66, nên a + b = 6. Bước 2: a, b từ 1 đến 9, a + b = 6: các số ab là 15, 24, 33, 42, 51. Vậy số nhỏ nhất là 15.

Sơ đồ có một ô ở giữa và 8 ô ở ngoài, xếp thành 4 đường thẳng cùng đi qua ô giữa; mỗi đường có 3 ô (ô giữa và 2 ô ngoài). Điền các số 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 vào 9 ô, mỗi ô một số, sao cho tổng ba số trên mỗi đường đều bằng nhau. Ô giữa có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau? A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 E. 9

Đáp án: B. 3. Nhận dạng: điền số vào các đường cùng đi qua ô giữa, tổng mỗi đường bằng nhau. Ý tưởng: cộng tổng của 4 đường: ô giữa được tính 4 lần, mỗi ô ngoài tính đúng 1 lần. Bước 1: Gọi c là số ở ô giữa, S là tổng mỗi đường. Tổng các số: 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 108. Bước 2: Cộng 4 đường: 4 × S = 108 + 3 × c. Hai ô ngoài trên một đường có tổng S − c = (108 − c) : 4, nên (108 − c) chia hết cho 4. Bước 3: Các số c trong đề làm 108 − c chia hết cho 4: 8, 12 hoặc 16. Bước 4: Kiểm tra ghép cặp các số ngoài (ghép số nhỏ nhất với số lớn nhất, …). c = 8: mỗi cặp tổng (108 − 8) : 4 = 25, ghép được (9, 16), (10, 15), (11, 14), (12, 13). c = 12: mỗi cặp tổng (108 − 12) : 4 = 24, ghép được (8, 16), (9, 15), (10, 14), (11, 13). c = 16: mỗi cặp tổng (108 − 16) : 4 = 23, ghép được (8, 15), (9, 14), (10, 13), (11, 12). Vậy ô giữa có 3 giá trị (c = 8, 12 hoặc 16).

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 8 cm, chiều cao 18 cm. Tính thể tích hình chóp. A. 144 B. 374 C. 384 D. 768 E. 1152

Đáp án: C. 384. Nhận dạng: hình chóp tứ giác đều (đáy là hình vuông, đỉnh S nằm thẳng trên tâm đáy). Ý tưởng: thể tích hình chóp = 1/3 × diện tích đáy × chiều cao. Bước 1: Diện tích đáy = 8 × 8 = 64. Bước 2: V = 1/3 × 64 × 18 = 384 (cm³). Vậy thể tích là 384 cm³.

Một mảnh vườn hình tam giác vuông có cạnh huyền 41 m và diện tích 180 m². Tính chu vi. A. 80 B. 89 C. 90 D. 91 E. 100

Đáp án: C. 90. Nhận dạng: tam giác vuông, biết cạnh huyền cùng diện tích hoặc chu vi, không biết từng cạnh. Ý tưởng: gọi a, b là hai cạnh góc vuông, c là cạnh huyền, dùng (a + b)² = a² + b² + 2ab với a² + b² = c². Bước 1: a × b = 2 × 180 = 360; a² + b² = c² = 41 × 41 = 1681. Bước 2: (a + b)² = 1681 + 2 × 360 = 2401. Bước 3: 49 × 49 = 2401, nên a + b = 49. Bước 4: Chu vi = 49 + 41 = 90 (m). Vậy chu vi là 90 m.

Hai hình ■ và ★ là hai số nguyên dương, biết ■ − ★ = 4 và ■ × ★ = 21. Tính ■ × ■ + ★ × ★. A. 10 B. 40 C. 57 D. 58 E. 100

Đáp án: D. 58. Nhận dạng: hai số cho bằng hình, biết hiệu (hoặc tổng) và tích, tính một biểu thức khác của hai số. Ý tưởng: không cần tìm riêng từng số: dùng hằng đẳng thức nối bình phương tổng, bình phương hiệu và tích. Bước 1: Dùng A × A + B × B = (A − B) × (A − B) + 2 × A × B với A = ■, B = ★. Bước 2: ■ × ■ + ★ × ★ = 4 × 4 + 2 × 21 = 16 + 42 = 58. Bước 3: Kiểm: ■ = 7, ★ = 3 thoả 7 − 3 = 4, 7 × 3 = 21, và 7 × 7 + 3 × 3 = 49 + 9 = 58. Vậy đáp án là 58.

Tổng các góc trong của một đa giác lồi là 1620°. Đa giác có bao nhiêu đường chéo? A. 34 B. 39 C. 44 D. 49 E. 54

Đáp án: C. 44. Nhận dạng: đếm số đường chéo của đa giác lồi. Ý tưởng: đếm đường chéo đi ra từ mỗi đỉnh rồi chia 2, vì mỗi đường chéo có hai đầu. Bước 1: Tổng góc trong là (n − 2) × 180°, với n là số cạnh: n − 2 = 1620 : 180 = 9, n = 9 + 2 = 11. Bước 2: Từ một đỉnh nối được 11 − 3 = 8 đường chéo (bỏ chính nó và hai đỉnh kề). Bước 3: 11 đỉnh cho 11 × 8 = 88 lần đếm; mỗi đường chéo được đếm hai lần. Bước 4: Số đường chéo: 88 : 2 = 44. Vậy có 44 đường chéo.

Một đội có 9 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn 5 bạn đi thi. Có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có nhiều nhất 1 bạn nam? A. 21 B. 336 C. 338 D. 4368 E. 12285

Đáp án: B. 336. Nhận dạng: chọn nhóm có nhiều nhất 1 bạn nam. Ý tưởng: tách theo số bạn nam trong nhóm, mỗi trường hợp dùng quy tắc nhân, rồi cộng. Bước 1: Nhóm 5 bạn có nhiều nhất 1 bạn nam: số bạn nam là 0 hoặc 1. Bước 2 (0 bạn nam, 5 bạn nữ): (7 × 6) : (2 × 1) = 21 cách (chọn 5 trong 7 cũng là chọn 2 phần không lấy). Bước 3 (1 bạn nam, 4 bạn nữ): 9 cách chọn bạn nam; (7 × 6 × 5) : (3 × 2 × 1) = 35 cách chọn bạn nữ (chọn 4 trong 7 cũng là chọn 3 phần không lấy); nhân: 9 × 35 = 315. Bước 4: Cộng: 21 + 315 = 336. Vậy có 336 cách.

Chọn ít nhất bao nhiêu số trong các số 1, 2, …, 22 để chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia? A. 7 B. 10 C. 12 D. 14 E. 17

Đáp án: C. 12. Nhận dạng: chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia. Ý tưởng: chia các số thành xích, trong mỗi xích hai số bất kì có số này là bội số kia; mỗi xích là một chuồng. Bước 1: Xích dạng x, 2x, 4x, 8x, … (x là số lẻ), ví dụ 3, 6, 12. Bước 2: Mỗi xích bắt đầu bằng một số lẻ từ 1 tới 21; có 11 số như vậy nên có 11 xích. Bước 3: Chọn 11 + 1 = 12 số thì có hai số cùng xích, tức có cặp bội. Bước 4: Chọn 11 số vẫn có thể không có cặp bội, ví dụ các số từ 12 tới 22 (11 số): gấp đôi số nhỏ nhất là 24 > 22. Vậy cần chọn ít nhất 12 số.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 66/√(x² + 18x + 202) (x là số thực). A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 E. 66

Đáp án: A. 6. Nhận dạng: phân số có tử là hằng số dương, mẫu chứa căn của một tam thức. Ý tưởng: phân số dương lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất; hoàn thành bình phương dưới căn. Bước 1: x² + 18x + 202 = (x + 9)² + 121 = (x + 9)² + 11² (nửa hệ số của x là 18 : 2 = 9, 202 − 81 = 121). Bước 2: (x + 9)² ≥ 0 nên (x + 9)² + 121 ≥ 121, √(x² + 18x + 202) ≥ √121 = 11, dấu bằng khi x = −9. Bước 3: Mẫu nhỏ nhất bằng 11 nên biểu thức lớn nhất bằng 66 : 11 = 6. Vậy giá trị lớn nhất là 6.

Các chữ cái a, b, c, d, e là chữ số khác 0, mỗi biểu thức dưới đây là một số năm chữ số viết liền. Cho abcde + eabcd + deabc + cdeab + bcdea = 311108. Biết a = 9, b = 7, c = 6, d = 1. Tìm e. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

Đáp án: B. 5. Nhận dạng: tổng các số hoán vị vòng của một số năm chữ số, tìm tổng chữ số hay một chữ số. Ý tưởng: mỗi chữ số đứng đủ 5 hàng nên tổng bằng 11111 nhân tổng các chữ số. Bước 1: Mỗi chữ số lần lượt đứng ở cả 5 hàng (chục nghìn, nghìn, trăm, chục, đơn vị) đúng một lần trong 5 số. Bước 2: Nên tổng bằng (10000 + 1000 + 100 + 10 + 1) × (a + b + c + d + e) = 11111 × (a + b + c + d + e) = 311108. Bước 3: a + b + c + d + e = 311108 : 11111 = 28. Bước 4: e = 28 − (9 + 7 + 6 + 1) = 28 − 23 = 5. Vậy e bằng 5. Mẹo: tổng các chữ số tối đa là 45, dùng để loại nhanh.

Cho x > 1 và x + 1/x = 66. Tính √x − 1/√x. A. 7 B. 8 C. 18 D. 64 E. 66

Đáp án: B. 8. Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi √x − 1/√x. Ý tưởng: bình phương √x − 1/√x thì ra x + 1/x − 2, rồi lấy căn. Bước 1: (√x − 1/√x)² = x − 2 × √x × 1/√x + 1/x = x + 1/x − 2. Bước 2: (√x − 1/√x)² = 66 − 2 = 64. Bước 3: x > 1 nên √x > 1 > 1/√x, tức là √x − 1/√x > 0, do đó √x − 1/√x = √64 = 8. Vậy √x − 1/√x = 8.

Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 600 chia hết cho 7 mà không chia hết cho 5? A. 17 B. 48 C. 68 D. 69 E. 85

Đáp án: C. 68. Nhận dạng: đếm số chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 5. Ý tưởng: lấy số các bội của 7, bớt đi các số chia hết cho cả 7 và 5 (bội của BCNN). Bước 1: Bội của 7: 600 : 7 = 85 (dư 5), có 85 số. Bước 2: BCNN(7, 5) = 7 × 5 = 35 (các số nguyên tố cùng nhau). Bội của 35: 600 : 35 = 17 (dư 5), có 17 số. Bước 3: 85 − 17 = 68. Vậy có 68 số.

Dãy chữ cái INTEGERINTEGER… được viết lặp lại mãi. Trong 1999 chữ cái đầu tiên có bao nhiêu chữ E? A. 561 B. 570 C. 571 D. 572 E. 581

Đáp án: C. 571. Nhận dạng: dãy lặp lại theo chu kỳ, hỏi số lần xuất hiện của một phần tử trong rất nhiều phần tử đầu. Ý tưởng: tìm độ dài chu kỳ, chia số phần tử cho chu kỳ, thương là số chu kỳ đủ, dư là phần thừa ra ở đầu chu kỳ. Bước 1: Một chu kỳ là "INTEGER" có 7 chữ cái, trong đó chữ E xuất hiện 2 lần (ở vị trí 4, 6). Bước 2: Chia số chữ cái cho độ dài chu kỳ: 1999 : 7 = 285 dư 4, tức là 285 chu kỳ đủ và 4 chữ cái thừa ra. Bước 3: 285 chu kỳ đủ có 285 × 2 = 570 lần. 4 chữ cái thừa ra là đầu chu kỳ (INTE) có 1 lần. Bước 4: Cộng lại: 570 + 1 = 571. Vậy có 571 chữ E trong 1999 chữ cái đầu. Mẹo: phần dư phải đếm riêng trên đúng các vị trí đầu chu kỳ, không đoán theo trung bình.

Parabol y = 2x² cắt đường thẳng y = −2x + 4 tại hai điểm A, B. O là gốc toạ độ. Tính diện tích tam giác OAB. A. 2 B. 5 C. 6 D. 7 E. 12

Đáp án: C. 6. Nhận dạng: giao của parabol và đường thẳng. Ý tưởng: hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax² = mx + n; đường thẳng cắt trục tung tại C(0; n), chia tam giác OAB thành hai tam giác chung đáy OC. Bước 1: 2x² = −2x + 4, tức là 2x² + 2x − 4 = 0. Bước 2: 2x² + 2x − 4 = 2(x − 1)(x + 2) = 0, nên x = 1 hoặc x = −2 (thử lại: 2 × 1² = 2 = −2 × 1 + 4); A(1; 2), B(−2; 8). Bước 3: Đường thẳng cắt trục tung tại C(0; 4), OC = 4. Bước 4: S(OAB) = S(OAC) + S(OBC) = 4 × 1 : 2 + 4 × 2 : 2 = 6. Vậy diện tích tam giác OAB là 6.

Tìm số tự nhiên n lớn nhất để 100! chia hết cho 20ⁿ, biết 100! = 1 × 2 × 3 × … × 100. A. 5 B. 24 C. 44 D. 48 E. 72

Đáp án: B. 24. Nhận dạng: số mũ lớn nhất của 20 chia hết một giai thừa. Ý tưởng: phân tích 20 ra thừa số nguyên tố, đếm từng thừa số trong 100! rồi lấy số lần ít nhất. Bước 1: 20 = 2 × 2 × 5. Bước 2: Thừa số 2: 100 : 2 = 50, 100 : 4 = 25, 100 : 8 = 12, 100 : 16 = 6, 100 : 32 = 3, 100 : 64 = 1, cộng 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97, đủ cho 97 : 2 = 48 lần. Bước 3: Thừa số 5: 100 : 5 = 20, 100 : 25 = 4, cộng 20 + 4 = 24. Bước 4: Mỗi thừa số 20 cần đủ cả hai loại, nên lấy số nhỏ hơn: 24. Vậy n lớn nhất là 24.

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho n + 21 và n − 6 đều là số chính phương? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 12

Đáp án: B. 2. Nhận dạng: hai biểu thức của n cùng là số chính phương. Ý tưởng: trừ hai số chính phương cho nhau để mất n, rồi viết hiệu hai bình phương thành tích. Bước 1: Gọi n + 21 = k², n − 6 = j² (k, j là số tự nhiên). Trừ vế: k² − j² = 21 + 6 = 27. Bước 2: (k − j)(k + j) = 27, với k + j > k − j và hai thừa số cùng chẵn lẻ (tổng là 2k). Bước 3: 1 × 27: k = (1 + 27) : 2 = 14, j = (27 − 1) : 2 = 13, n = 13² + 6 = 175; 3 × 9: k = (3 + 9) : 2 = 6, j = (9 − 3) : 2 = 3, n = 3² + 6 = 15. Vậy có 2 số n (15, 175).

Số 1A20330971B (A, B là các chữ số) chia hết cho 132. Tính A × B. A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 9

Đáp án: D. 4. Nhận dạng: điền chữ số để số chia hết cho 132. Ý tưởng: 132 = 4 × 3 × 11, các thừa số nguyên tố cùng nhau, nên số phải chia hết cho từng thừa số. Bước 1: Chia hết cho 4: số tạo bởi hai chữ số cuối chia hết cho 4 (1B là 12, 16), nên B là 2 hoặc 6. Bước 2: Chia hết cho 3: tổng các chữ số 1 + 2 + 0 + 3 + 3 + 0 + 9 + 7 + 1 + A + B = 26 + A + B phải chia hết cho 3. Bước 3: Chia hết cho 11: tổng vị trí lẻ trừ tổng vị trí chẵn (tính từ phải): (B + 7 + 0 + 3 + 2 + 1) − (1 + 9 + 3 + 0 + A) = B − A. Vì −9 ≤ B − A ≤ 9, nên B − A = 0. Bước 4: Ghép: B − A = 0: (0, 0), (1, 1), …, (9, 9), giữ cặp có B là 2 hoặc 6: (2, 2), (6, 6), giữ cặp có 26 + A + B chia hết cho 3: (2, 2). Vậy A × B = 2 × 2 = 4.

Số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 24 ước là số nào? A. 355 B. 360 C. 1152 D. 6144 E. 8388608

Đáp án: B. 360. Nhận dạng: tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 24 ước. Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), nên viết 24 thành tích, mỗi cách cho một dạng số. Bước 1: Các cách viết 24: 24 = 12 × 2 = 8 × 3 = 6 × 4 = 6 × 2 × 2 = 4 × 3 × 2 = 3 × 2 × 2 × 2. Bước 2: Dạng số tương ứng (p, q, r, s là các số nguyên tố khác nhau): p²³; p¹¹ × q; p⁷ × q²; p⁵ × q³; p⁵ × q × r; p³ × q² × r; p² × q × r × s. Bước 3: Số nhỏ nhất mỗi dạng (số mũ lớn đặt cho số nguyên tố nhỏ): 2²³ = 8388608; 2¹¹ × 3 = 6144; 2⁷ × 3² = 1152; 2⁵ × 3³ = 864; 2⁵ × 3 × 5 = 480; 2³ × 3² × 5 = 360; 2² × 3 × 5 × 7 = 420. Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 24 ước là 360. Mẹo: phải so mọi dạng, dạng một luỹ thừa thường rất lớn.

Năm nay tuổi bố gấp 5 lần tuổi con. 3 năm trước, tích số tuổi của hai người là 252. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi? A. 4 B. 9 C. 11 D. 14 E. 19

Đáp án: B. 9. Nhận dạng: bài toán tuổi có tích số tuổi ở thời điểm trước, đưa về phương trình bậc hai. Ý tưởng: gọi tuổi con, viết tích hai tuổi trước đây, giải phương trình bậc hai và loại nghiệm không hợp lý. Bước 1: Gọi c là tuổi con hiện nay (c > 3), tuổi bố là 5 × c. 3 năm trước tuổi hai người là 5 × c − 3 và c − 3. Bước 2: (5 × c − 3) × (c − 3) = 252. Khai triển: 5 × c² − 18 × c + 9 = 252, tức 5 × c² − 18 × c − 243 = 0. Bước 3: Biệt thức: 18 × 18 − 4 × 5 × (−243) = 5184, căn bằng 72. Bước 4: c = (18 + 72) : 10 = 9 hoặc c = (18 − 72) : 10 = −27/5. Bước 5: Con phải hơn 3 tuổi (đã có 3 năm trước) nên loại c = −27/5. Do đó c = 9, kiểm: (45 − 3) × (9 − 3) = 252. Vậy hiện nay con 9 tuổi. Mẹo: tuổi trước đây phải dương nên tuổi hiện nay lớn hơn số năm đã lùi.

Tìm chữ số tận cùng của 7²⁰¹⁹ + 5²⁰²³ + 13⁸⁸. A. 3 B. 5 C. 8 D. 9 E. 13

Đáp án: D. 9. Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa. Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó. Bước 1: 7²⁰¹⁹: chu kỳ 7, 9, 3, 1 (dài 4), 2019 chia 4 dư 3 nên lấy số thứ 3: 3. Bước 2: 5²⁰²³ tận cùng 5 (mọi luỹ thừa của 5 đều tận cùng 5). Bước 3: 13⁸⁸ cùng tận cùng với 3⁸⁸, chu kỳ 3, 9, 7, 1 (dài 4), 88 chia hết cho 4 nên lấy số cuối: 1. Bước 4: 3 + 5 + 1 = 9, nên tổng tận cùng 9. Vậy chữ số tận cùng là 9.

Cho 16 điểm cách đều nhau trên một đường tròn (các đỉnh của đa giác đều 16 cạnh). Có bao nhiêu tam giác tù có ba đỉnh là ba trong các điểm này? A. 112 B. 168 C. 336 D. 356 E. 448

Đáp án: C. 336. Nhận dạng: đếm hình có đỉnh là các điểm cách đều trên đường tròn. Ý tưởng: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, chắn cung lớn hơn nửa đường tròn là góc tù. Bước 1: Tam giác tù khi ba đỉnh nằm trong nửa đường tròn (không chứa hai đầu một đường kính). Gọi đỉnh đầu tiên theo chiều kim đồng hồ là P; hai đỉnh kia nằm trong 7 điểm kế tiếp P (chưa tới nửa vòng): 16 × (7 × 6) : (2 × 1) = 16 × 21 = 336. Vậy có 336 tam giác tù.

Mua 100 con gà hết đúng 100 nghìn đồng: gà trống 3 nghìn một con, gà mái 2 nghìn một con, 3 gà con giá 1 nghìn; mỗi loại mua ít nhất một con. Có bao nhiêu cách chia số con ba loại? A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

Đáp án: C. 4. Nhận dạng: bài toán ba ẩn, hai phương trình (tổng số con và tổng số bó / tiền), nghiệm nguyên dương. Ý tưởng: khử ẩn thứ ba được một phương trình hai ẩn, rồi thử các giá trị nguyên dương. Bước 1: Gọi số gà trống, gà mái, gà con là a, b, c: a + b + c = 100 (1) và 3a + 2b + c/3 = 100 (2). Bước 2: Nhân (2) với 3: 9a + 6b + c = 300; trừ (1): 8a + 5b = 200. Bước 3: b = (200 − 8a)/5; b nguyên khi a chia hết cho 5 (vì 200 = 5 × 40); b ≥ 1 nên 8a ≤ 195, a ≤ 195/8: a = 5, 10, 15, 20. Bước 4: Giữ các bộ có c = 100 − a − b > 0: (a, b, c) = (5, 32, 63), (10, 24, 66), (15, 16, 69), (20, 8, 72). Bước 5: Có 4 cách. Vậy có 4 cách.

Tìm chữ số tận cùng của tích 13²⁰²⁶ × 2029⁹⁹. A. 0 B. 1 C. 7 D. 8 E. 9

Đáp án: B. 1. Nhận dạng: chữ số tận cùng của tích hai luỹ thừa. Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi nhân hai chữ số đó. Bước 1: 13²⁰²⁶ cùng tận cùng với 3²⁰²⁶: 3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81: chữ số tận cùng 3, 9, 7, 1 rồi lặp lại (chu kỳ 4). 2026 : 4 = 506 (dư 2), nên lấy số thứ 2 của chu kỳ: 9. Bước 2: 2029⁹⁹ cùng tận cùng với 9⁹⁹: 9¹ = 9, 9² = 81, 9³ = 729: chữ số tận cùng 9, 1 rồi lặp lại (chu kỳ 2). 99 : 2 = 49 (dư 1), nên lấy số thứ 1 của chu kỳ: 9. Bước 3: 9 × 9 = 81, tận cùng 1. Vậy chữ số tận cùng của tích là 1.

Đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 9 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử Kangaroo (IKMC) lớp 9 (junior) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 30 câu, làm trong 75 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu 3 điểm × 3 điểm; 10 câu 4 điểm × 4 điểm; 10 câu 5 điểm × 5 điểm. Cho sẵn 30 điểm. Trả lời sai bị trừ: câu 3 điểm −0,75; câu 4 điểm −1; câu 5 điểm −1,25; bỏ trống không trừ. Tối đa 150 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi Kangaroo (IKMC).

Phần 1: Câu 3 điểm (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm · sai trừ 0,75

Một buổi biểu diễn bán 51 vé gồm vé người lớn giá 120 nghìn đồng và vé trẻ em giá 70 nghìn đồng, thu được 5920 nghìn đồng. Hỏi đã bán bao nhiêu vé trẻ em?
A show sold 51 tickets: adult tickets at 120 thousand dong and child tickets at 70 thousand dong, bringing in 5920 thousand dong. How many child tickets were sold?
1. A. 0
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 8
5. E. 14
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 4

Nhận dạng: hai loại có giá trị (điểm, chân, tiền) khác nhau, biết tổng số lượng và tổng giá trị, tìm số lượng từng loại.
Ý tưởng: giả sử tất cả cùng một loại, so với tổng thực tế để biết chênh bao nhiêu, mỗi lần đổi một cái sang loại kia thì tổng đổi một lượng cố định.
Bước 1: Giả sử cả 51 vé đều là vé trẻ em: tổng là 51 × 70 = 3570 nghìn đồng.
Bước 2: Thực tế tổng là 5920, nhiều hơn 5920 − 3570 = 2350 nghìn đồng.
Bước 3: Mỗi lần thay một vé trẻ em bằng một vé người lớn thì tổng tăng 120 − 70 = 50 nghìn đồng.
Bước 4: Số vé người lớn: 2350 : 50 = 47;
số vé trẻ em: 51 − 47 = 4.
Bước 5: Kiểm: 47 × 120 + 4 × 70 = 5640 + 280 = 5920.
Vậy có 4 vé trẻ em.
Mẹo: kiểm lại bằng cách tính tổng giá trị.
Câu 23 điểm · sai trừ 0,75

Một hàng có 10 chiếc ghế. 6 bạn học sinh ngồi vào 6 ghế, 4 ghế còn lại để trống. Có bao nhiêu cách ngồi?
A row has 10 chairs. 6 students sit on 6 of them and 4 chairs are left empty. How many seatings are possible?
1. A. 151197
2. B. 151199
3. C. 151200
4. D. 151201
5. E. 151203
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. 151200

Nhận dạng: xếp hàng có vật khác nhau và vật giống nhau.
Ý tưởng: chọn chỗ cho các vật giống nhau trước, rồi xếp các vật khác nhau vào chỗ còn lại.
Bước 1: Hàng có 10 ghế (6 ghế có người, 4 ghế trống).
Bước 2: Chọn 4 ghế để trống trong 10 ghế: (10 × 9 × 8 × 7) : (4 × 3 × 2 × 1) = 210 cách.
Bước 3: Xếp 6 bạn vào 10 − 4 = 6 ghế còn lại: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 cách (6! đọc là 6 giai thừa).
Bước 4: Nhân: 210 × 720 = 151200.
Vậy có 151200 cách.
Câu 33 điểm · sai trừ 0,75

Tính diện tích hình giới hạn bởi trục Ox, trục Oy và đường thẳng x − 2y − 4 = 0.
Find the area of the region bounded by the x-axis, the y-axis and the line x − 2y − 4 = 0.
1. A. 0
2. B. 2
3. C. 4
4. D. 6
5. E. 8
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 4

Nhận dạng: tam giác có hai cạnh nằm trên trục toạ độ (hoặc đường nằm ngang), cạnh còn lại là đường thẳng.
Ý tưởng: tìm giao điểm với hai trục: tam giác vuông tại O có hai cạnh góc vuông là hai đoạn trên trục.
Bước 1: Cho y = 0: x = 4;
điểm (4; 0).
Bước 2: Cho x = 0: −2y = 4, y = −2;
điểm (0; −2).
Bước 3: Hai cạnh góc vuông dài 4 và 2;
diện tích = 4 × 2 : 2 = 4.
Vậy diện tích là 4.
Câu 43 điểm · sai trừ 0,75

Trên cùng một cạnh AB, về cùng một phía, người ta dựng bát giác đều, lục giác đều, tam giác đều. Tại đỉnh A: ∠1 là góc giữa cạnh của bát giác đều và cạnh của lục giác đều; ∠2 là góc giữa cạnh của lục giác đều và cạnh của tam giác đều (như hình). Tính ∠1 + ∠2 (độ).
On the same segment AB and on the same side of it, a regular octagon, a regular hexagon, an equilateral triangle are drawn. At vertex A: ∠1 is between the sides of the octagon and the hexagon; ∠2 is between the sides of the hexagon and the triangle (see the figure). Find ∠1 + ∠2 in degrees.
1. A. 45
2. B. 70
3. C. 75
4. D. 76
5. E. 81
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: C. 75

Nhận dạng: các đa giác đều chung cạnh AB, góc tại A giữa cạnh của hai hình.
Ý tưởng: cạnh của mỗi hình tạo với AB đúng một góc trong, nên góc giữa hai cạnh là hiệu hai góc trong.
Bước 1: Góc trong = 180° − 360° : số cạnh: bát giác đều 135°;
lục giác đều 120°;
tam giác đều 60°.
Bước 2: ∠1 = 135° − 120° = 15°;
∠2 = 120° − 60° = 60°.
Bước 3: ∠1 + ∠2 = 15° + 60° = 75°.
Vậy ∠1 + ∠2 = 75°.
Câu 53 điểm · sai trừ 0,75

Con kém bố 23 tuổi. 4 năm nữa, tích tuổi của hai bố con là 624. Hiện nay tuổi con là bao nhiêu?
A child is 23 years younger than the father. In 4 years, the product of their ages is 624. How old is the child now?
1. A. 8
2. B. 12
3. C. 16
4. D. 20
5. E. 35
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. 12

Nhận dạng: bài tuổi cho tích hai tuổi, hiệu tuổi không đổi.
Ý tưởng: gọi tuổi con ở thời điểm 4 năm nữa là t thì tuổi bố lúc đó là t + 23;
lập phương trình bậc hai.
Bước 1: Gọi tuổi con 4 năm nữa là t (t > 0), tuổi bố lúc đó là t + 23.
Bước 2: t(t + 23) = 624, tức là t² + 23t − 624 = 0.
Bước 3: Tìm hai số hơn kém 23 có tích 624: 624 = 16 × 39;
(t − 16)(t + 39) = 0, nên t = 16 hoặc t = −39.
Bước 4: t > 0 nên t = 16;
tuổi con hiện nay là 16 − 4 = 12.
Vậy hiện nay tuổi con là 12.
Câu 63 điểm · sai trừ 0,75

Gieo một con xúc xắc 6 mặt, được số chấm b. Có bao nhiêu kết quả để phương trình x² + bx + 1 = 0 có nghiệm?
Roll a six-sided die and let b be the number shown. How many outcomes are there in which the equation x² + bx + 1 = 0 has a real root?
1. A. 1
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 9
5. E. 15
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: C. 5

Nhận dạng: xúc xắc cho hệ số của phương trình bậc hai, xét dấu Δ.
Ý tưởng: Δ = b² − 4 × (hệ số tự do) là biệt thức;
phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0.
Bước 1: Có 6 kết quả: b = 1, 2, …, 6.
Bước 2: Δ = b² − 4 ≥ 0, tức b² ≥ 4.
Bước 3: Bình phương: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36;
thoả mãn: b = 2, 3, 4, 5 hoặc 6, có 5 giá trị.
Vậy có 5 kết quả.
Câu 73 điểm · sai trừ 0,75

Cần ít nhất bao nhiêu học sinh để chắc chắn có 29 bạn sinh cùng một tháng?
What is the least number of students needed to be sure that 29 of them were born in the same month?
1. A. 332
2. B. 336
3. C. 337
4. D. 348
5. E. 349
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 337

Nhận dạng: chắc chắn có 29 bạn sinh cùng một tháng, dùng nguyên lí chuồng bồ câu.
Ý tưởng: đếm số chuồng;
xấu nhất mỗi chuồng có 29 − 1 = 28, thêm 1 là đủ.
Bước 1: Mỗi tháng là một chuồng: có 12 chuồng.
Bước 2: Xấu nhất mỗi chuồng 28: 28 × 12 = 336;
thêm 1: 336 + 1 = 337.
Vậy cần ít nhất 337 học sinh.
Câu 83 điểm · sai trừ 0,75

Số có hai chữ số ab (b ≠ 0) cộng với số viết ngược ba thì được 66. Tìm số ab nhỏ nhất.
A two-digit number ab (b ≠ 0) plus its reverse ba equals 66. Find the smallest such ab.
1. A. 10
2. B. 13
3. C. 15
4. D. 17
5. E. 20
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: C. 15

Nhận dạng: số có hai chữ số cộng số viết ngược.
Ý tưởng: ab + ba = (10 × a + b) + (10 × b + a) = 11 × (a + b).
Bước 1: 11 × (a + b) = 66, nên a + b = 6.
Bước 2: a, b từ 1 đến 9, a + b = 6: các số ab là 15, 24, 33, 42, 51.
Vậy số nhỏ nhất là 15.
Câu 93 điểm · sai trừ 0,75

Sơ đồ có một ô ở giữa và 8 ô ở ngoài, xếp thành 4 đường thẳng cùng đi qua ô giữa; mỗi đường có 3 ô (ô giữa và 2 ô ngoài). Điền các số 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 vào 9 ô, mỗi ô một số, sao cho tổng ba số trên mỗi đường đều bằng nhau. Ô giữa có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?
A diagram has one centre cell and 8 outer cells forming 4 straight lines through the centre; each line has 3 cells (the centre and 2 outer cells). The numbers 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 are placed in the 9 cells, one per cell, so that the three numbers on every line have the same sum. How many different values can the centre cell take?
1. A. 1
2. B. 3
3. C. 4
4. D. 8
5. E. 9
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 3

Nhận dạng: điền số vào các đường cùng đi qua ô giữa, tổng mỗi đường bằng nhau.
Ý tưởng: cộng tổng của 4 đường: ô giữa được tính 4 lần, mỗi ô ngoài tính đúng 1 lần.
Bước 1: Gọi c là số ở ô giữa, S là tổng mỗi đường.
Tổng các số: 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 108.
Bước 2: Cộng 4 đường: 4 × S = 108 + 3 × c.
Hai ô ngoài trên một đường có tổng S − c = (108 − c) : 4, nên (108 − c) chia hết cho 4.
Bước 3: Các số c trong đề làm 108 − c chia hết cho 4: 8, 12 hoặc 16.
Bước 4: Kiểm tra ghép cặp các số ngoài (ghép số nhỏ nhất với số lớn nhất, …).
c = 8: mỗi cặp tổng (108 − 8) : 4 = 25, ghép được (9, 16), (10, 15), (11, 14), (12, 13).
c = 12: mỗi cặp tổng (108 − 12) : 4 = 24, ghép được (8, 16), (9, 15), (10, 14), (11, 13).
c = 16: mỗi cặp tổng (108 − 16) : 4 = 23, ghép được (8, 15), (9, 14), (10, 13), (11, 12).
Vậy ô giữa có 3 giá trị (c = 8, 12 hoặc 16).
Câu 103 điểm · sai trừ 0,75

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 8 cm, chiều cao 18 cm. Tính thể tích hình chóp.
Regular square pyramid S.ABCD has base edge 8 cm and height 18 cm. Find its volume.
1. A. 144
2. B. 374
3. C. 384
4. D. 768
5. E. 1152
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 384

Nhận dạng: hình chóp tứ giác đều (đáy là hình vuông, đỉnh S nằm thẳng trên tâm đáy).
Ý tưởng: thể tích hình chóp = 1/3 × diện tích đáy × chiều cao.
Bước 1: Diện tích đáy = 8 × 8 = 64.
Bước 2: V = 1/3 × 64 × 18 = 384 (cm³).
Vậy thể tích là 384 cm³.

Phần 2: Câu 4 điểm (10 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm · sai trừ 1

Một mảnh vườn hình tam giác vuông có cạnh huyền 41 m và diện tích 180 m². Tính chu vi.
A right-triangular garden has hypotenuse 41 m and area 180 m². Find its perimeter.
1. A. 80
2. B. 89
3. C. 90
4. D. 91
5. E. 100
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: C. 90

Nhận dạng: tam giác vuông, biết cạnh huyền cùng diện tích hoặc chu vi, không biết từng cạnh.
Ý tưởng: gọi a, b là hai cạnh góc vuông, c là cạnh huyền, dùng (a + b)² = a² + b² + 2ab với a² + b² = c².
Bước 1: a × b = 2 × 180 = 360;
a² + b² = c² = 41 × 41 = 1681.
Bước 2: (a + b)² = 1681 + 2 × 360 = 2401.
Bước 3: 49 × 49 = 2401, nên a + b = 49.
Bước 4: Chu vi = 49 + 41 = 90 (m).
Vậy chu vi là 90 m.
Câu 124 điểm · sai trừ 1

Hai hình ■ và ★ là hai số nguyên dương, biết ■ − ★ = 4 và ■ × ★ = 21. Tính ■ × ■ + ★ × ★.
The shapes ■ and ★ stand for two positive integers with ■ − ★ = 4 and ■ × ★ = 21. Find ■ × ■ + ★ × ★.
1. A. 10
2. B. 40
3. C. 57
4. D. 58
5. E. 100
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: D. 58

Nhận dạng: hai số cho bằng hình, biết hiệu (hoặc tổng) và tích, tính một biểu thức khác của hai số.
Ý tưởng: không cần tìm riêng từng số: dùng hằng đẳng thức nối bình phương tổng, bình phương hiệu và tích.
Bước 1: Dùng A × A + B × B = (A − B) × (A − B) + 2 × A × B với A = ■, B = ★.
Bước 2: ■ × ■ + ★ × ★ = 4 × 4 + 2 × 21 = 16 + 42 = 58.
Bước 3: Kiểm: ■ = 7, ★ = 3 thoả 7 − 3 = 4, 7 × 3 = 21, và 7 × 7 + 3 × 3 = 49 + 9 = 58.
Vậy đáp án là 58.
Câu 134 điểm · sai trừ 1

Tổng các góc trong của một đa giác lồi là 1620°. Đa giác có bao nhiêu đường chéo?
The interior angles of a convex polygon add up to 1620°. How many diagonals does it have?
1. A. 34
2. B. 39
3. C. 44
4. D. 49
5. E. 54
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 44

Nhận dạng: đếm số đường chéo của đa giác lồi.
Ý tưởng: đếm đường chéo đi ra từ mỗi đỉnh rồi chia 2, vì mỗi đường chéo có hai đầu.
Bước 1: Tổng góc trong là (n − 2) × 180°, với n là số cạnh: n − 2 = 1620 : 180 = 9, n = 9 + 2 = 11.
Bước 2: Từ một đỉnh nối được 11 − 3 = 8 đường chéo (bỏ chính nó và hai đỉnh kề).
Bước 3: 11 đỉnh cho 11 × 8 = 88 lần đếm;
mỗi đường chéo được đếm hai lần.
Bước 4: Số đường chéo: 88 : 2 = 44.
Vậy có 44 đường chéo.
Câu 144 điểm · sai trừ 1

Một đội có 9 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn 5 bạn đi thi. Có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có nhiều nhất 1 bạn nam?
A team has 9 boys and 7 girls. 5 students are chosen for a contest. In how many ways can the selection contain at most 1 boy?
1. A. 21
2. B. 336
3. C. 338
4. D. 4368
5. E. 12285
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: B. 336

Nhận dạng: chọn nhóm có nhiều nhất 1 bạn nam.
Ý tưởng: tách theo số bạn nam trong nhóm, mỗi trường hợp dùng quy tắc nhân, rồi cộng.
Bước 1: Nhóm 5 bạn có nhiều nhất 1 bạn nam: số bạn nam là 0 hoặc 1.
Bước 2 (0 bạn nam, 5 bạn nữ): (7 × 6) : (2 × 1) = 21 cách (chọn 5 trong 7 cũng là chọn 2 phần không lấy).
Bước 3 (1 bạn nam, 4 bạn nữ): 9 cách chọn bạn nam;
(7 × 6 × 5) : (3 × 2 × 1) = 35 cách chọn bạn nữ (chọn 4 trong 7 cũng là chọn 3 phần không lấy);
nhân: 9 × 35 = 315.
Bước 4: Cộng: 21 + 315 = 336.
Vậy có 336 cách.
Câu 154 điểm · sai trừ 1

Chọn ít nhất bao nhiêu số trong các số 1, 2, …, 22 để chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia?
What is the least number of numbers chosen from 1, 2, …, 22 to be sure that one of two chosen numbers is a multiple of the other?
1. A. 7
2. B. 10
3. C. 12
4. D. 14
5. E. 17
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: C. 12

Nhận dạng: chắc chắn có hai số mà số này là bội của số kia.
Ý tưởng: chia các số thành xích, trong mỗi xích hai số bất kì có số này là bội số kia;
mỗi xích là một chuồng.
Bước 1: Xích dạng x, 2x, 4x, 8x, … (x là số lẻ), ví dụ 3, 6, 12.
Bước 2: Mỗi xích bắt đầu bằng một số lẻ từ 1 tới 21;
có 11 số như vậy nên có 11 xích.
Bước 3: Chọn 11 + 1 = 12 số thì có hai số cùng xích, tức có cặp bội.
Bước 4: Chọn 11 số vẫn có thể không có cặp bội, ví dụ các số từ 12 tới 22 (11 số): gấp đôi số nhỏ nhất là 24 > 22.
Vậy cần chọn ít nhất 12 số.
Câu 164 điểm · sai trừ 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 66/√(x² + 18x + 202) (x là số thực).
For real x, find the maximum value of 66/√(x² + 18x + 202).
1. A. 6
2. B. 7
3. C. 12
4. D. 16
5. E. 66
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: A. 6

Nhận dạng: phân số có tử là hằng số dương, mẫu chứa căn của một tam thức.
Ý tưởng: phân số dương lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất;
hoàn thành bình phương dưới căn.
Bước 1: x² + 18x + 202 = (x + 9)² + 121 = (x + 9)² + 11² (nửa hệ số của x là 18 : 2 = 9, 202 − 81 = 121).
Bước 2: (x + 9)² ≥ 0 nên (x + 9)² + 121 ≥ 121, √(x² + 18x + 202) ≥ √121 = 11, dấu bằng khi x = −9.
Bước 3: Mẫu nhỏ nhất bằng 11 nên biểu thức lớn nhất bằng 66 : 11 = 6.
Vậy giá trị lớn nhất là 6.
Câu 174 điểm · sai trừ 1

Các chữ cái a, b, c, d, e là chữ số khác 0, mỗi biểu thức dưới đây là một số năm chữ số viết liền. Cho abcde + eabcd + deabc + cdeab + bcdea = 311108. Biết a = 9, b = 7, c = 6, d = 1. Tìm e.
The letters a, b, c, d, e are non-zero digits and each expression below is a five-digit number written by its digits. Given abcde + eabcd + deabc + cdeab + bcdea = 311108. Given a = 9, b = 7, c = 6, d = 1. Find e.
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 7
5. E. 8
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: B. 5

Nhận dạng: tổng các số hoán vị vòng của một số năm chữ số, tìm tổng chữ số hay một chữ số.
Ý tưởng: mỗi chữ số đứng đủ 5 hàng nên tổng bằng 11111 nhân tổng các chữ số.
Bước 1: Mỗi chữ số lần lượt đứng ở cả 5 hàng (chục nghìn, nghìn, trăm, chục, đơn vị) đúng một lần trong 5 số.
Bước 2: Nên tổng bằng (10000 + 1000 + 100 + 10 + 1) × (a + b + c + d + e) = 11111 × (a + b + c + d + e) = 311108.
Bước 3: a + b + c + d + e = 311108 : 11111 = 28.
Bước 4: e = 28 − (9 + 7 + 6 + 1) = 28 − 23 = 5.
Vậy e bằng 5.
Mẹo: tổng các chữ số tối đa là 45, dùng để loại nhanh.
Câu 184 điểm · sai trừ 1

Cho x > 1 và x + 1/x = 66. Tính √x − 1/√x.
Given x > 1 and x + 1/x = 66, find √x − 1/√x.
1. A. 7
2. B. 8
3. C. 18
4. D. 64
5. E. 66
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: B. 8

Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi √x − 1/√x.
Ý tưởng: bình phương √x − 1/√x thì ra x + 1/x − 2, rồi lấy căn.
Bước 1: (√x − 1/√x)² = x − 2 × √x × 1/√x + 1/x = x + 1/x − 2.
Bước 2: (√x − 1/√x)² = 66 − 2 = 64.
Bước 3: x > 1 nên √x > 1 > 1/√x, tức là √x − 1/√x > 0, do đó √x − 1/√x = √64 = 8.
Vậy √x − 1/√x = 8.
Câu 194 điểm · sai trừ 1

Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 600 chia hết cho 7 mà không chia hết cho 5?
How many integers from 1 to 600 are divisible by 7 but not by 5?
1. A. 17
2. B. 48
3. C. 68
4. D. 69
5. E. 85
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: C. 68

Nhận dạng: đếm số chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 5.
Ý tưởng: lấy số các bội của 7, bớt đi các số chia hết cho cả 7 và 5 (bội của BCNN).
Bước 1: Bội của 7: 600 : 7 = 85 (dư 5), có 85 số.
Bước 2: BCNN(7, 5) = 7 × 5 = 35 (các số nguyên tố cùng nhau).
Bội của 35: 600 : 35 = 17 (dư 5), có 17 số.
Bước 3: 85 − 17 = 68.
Vậy có 68 số.
Câu 204 điểm · sai trừ 1

Dãy chữ cái INTEGERINTEGER… được viết lặp lại mãi. Trong 1999 chữ cái đầu tiên có bao nhiêu chữ E?
The word INTEGER is written over and over: INTEGERINTEGER…. How many times does the letter E appear among the first 1999 letters?
1. A. 561
2. B. 570
3. C. 571
4. D. 572
5. E. 581
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: C. 571

Nhận dạng: dãy lặp lại theo chu kỳ, hỏi số lần xuất hiện của một phần tử trong rất nhiều phần tử đầu.
Ý tưởng: tìm độ dài chu kỳ, chia số phần tử cho chu kỳ, thương là số chu kỳ đủ, dư là phần thừa ra ở đầu chu kỳ.
Bước 1: Một chu kỳ là "INTEGER" có 7 chữ cái, trong đó chữ E xuất hiện 2 lần (ở vị trí 4, 6).
Bước 2: Chia số chữ cái cho độ dài chu kỳ: 1999 : 7 = 285 dư 4, tức là 285 chu kỳ đủ và 4 chữ cái thừa ra.
Bước 3: 285 chu kỳ đủ có 285 × 2 = 570 lần.
4 chữ cái thừa ra là đầu chu kỳ (INTE) có 1 lần.
Bước 4: Cộng lại: 570 + 1 = 571.
Vậy có 571 chữ E trong 1999 chữ cái đầu.
Mẹo: phần dư phải đếm riêng trên đúng các vị trí đầu chu kỳ, không đoán theo trung bình.

Phần 3: Câu 5 điểm (10 câu × 5 điểm)

Câu 215 điểm · sai trừ 1,25

Parabol y = 2x² cắt đường thẳng y = −2x + 4 tại hai điểm A, B. O là gốc toạ độ. Tính diện tích tam giác OAB.
The parabola y = 2x² meets the line y = −2x + 4 at A and B. O is the origin. Find the area of triangle OAB.
1. A. 2
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 7
5. E. 12
Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: C. 6

Nhận dạng: giao của parabol và đường thẳng.
Ý tưởng: hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax² = mx + n;
đường thẳng cắt trục tung tại C(0; n), chia tam giác OAB thành hai tam giác chung đáy OC.
Bước 1: 2x² = −2x + 4, tức là 2x² + 2x − 4 = 0.
Bước 2: 2x² + 2x − 4 = 2(x − 1)(x + 2) = 0, nên x = 1 hoặc x = −2 (thử lại: 2 × 1² = 2 = −2 × 1 + 4);
A(1; 2), B(−2; 8).
Bước 3: Đường thẳng cắt trục tung tại C(0; 4), OC = 4.
Bước 4: S(OAB) = S(OAC) + S(OBC) = 4 × 1 : 2 + 4 × 2 : 2 = 6.
Vậy diện tích tam giác OAB là 6.
Câu 225 điểm · sai trừ 1,25

Tìm số tự nhiên n lớn nhất để 100! chia hết cho 20ⁿ, biết 100! = 1 × 2 × 3 × … × 100.
Find the largest natural number n such that 100! = 1 × 2 × … × 100 is divisible by 20ⁿ.
1. A. 5
2. B. 24
3. C. 44
4. D. 48
5. E. 72
Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: B. 24

Nhận dạng: số mũ lớn nhất của 20 chia hết một giai thừa.
Ý tưởng: phân tích 20 ra thừa số nguyên tố, đếm từng thừa số trong 100! rồi lấy số lần ít nhất.
Bước 1: 20 = 2 × 2 × 5.
Bước 2: Thừa số 2: 100 : 2 = 50, 100 : 4 = 25, 100 : 8 = 12, 100 : 16 = 6, 100 : 32 = 3, 100 : 64 = 1, cộng 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97, đủ cho 97 : 2 = 48 lần.
Bước 3: Thừa số 5: 100 : 5 = 20, 100 : 25 = 4, cộng 20 + 4 = 24.
Bước 4: Mỗi thừa số 20 cần đủ cả hai loại, nên lấy số nhỏ hơn: 24.
Vậy n lớn nhất là 24.
Câu 235 điểm · sai trừ 1,25

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho n + 21 và n − 6 đều là số chính phương?
How many positive integers n such that n + 21 and n − 6 are both perfect squares are there?
1. A. 1
2. B. 2
3. C. 3
4. D. 4
5. E. 12
Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: B. 2

Nhận dạng: hai biểu thức của n cùng là số chính phương.
Ý tưởng: trừ hai số chính phương cho nhau để mất n, rồi viết hiệu hai bình phương thành tích.
Bước 1: Gọi n + 21 = k², n − 6 = j² (k, j là số tự nhiên).
Trừ vế: k² − j² = 21 + 6 = 27.
Bước 2: (k − j)(k + j) = 27, với k + j > k − j và hai thừa số cùng chẵn lẻ (tổng là 2k).
Bước 3: 1 × 27: k = (1 + 27) : 2 = 14, j = (27 − 1) : 2 = 13, n = 13² + 6 = 175;
3 × 9: k = (3 + 9) : 2 = 6, j = (9 − 3) : 2 = 3, n = 3² + 6 = 15.
Vậy có 2 số n (15, 175).
Câu 245 điểm · sai trừ 1,25

Số 1A20330971B (A, B là các chữ số) chia hết cho 132. Tính A × B.
The number 1A20330971B (A and B are digits) is divisible by 132. Find A × B.
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 2
4. D. 4
5. E. 9
Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: D. 4

Nhận dạng: điền chữ số để số chia hết cho 132.
Ý tưởng: 132 = 4 × 3 × 11, các thừa số nguyên tố cùng nhau, nên số phải chia hết cho từng thừa số.
Bước 1: Chia hết cho 4: số tạo bởi hai chữ số cuối chia hết cho 4 (1B là 12, 16), nên B là 2 hoặc 6.
Bước 2: Chia hết cho 3: tổng các chữ số 1 + 2 + 0 + 3 + 3 + 0 + 9 + 7 + 1 + A + B = 26 + A + B phải chia hết cho 3.
Bước 3: Chia hết cho 11: tổng vị trí lẻ trừ tổng vị trí chẵn (tính từ phải): (B + 7 + 0 + 3 + 2 + 1) − (1 + 9 + 3 + 0 + A) = B − A.
Vì −9 ≤ B − A ≤ 9, nên B − A = 0.
Bước 4: Ghép: B − A = 0: (0, 0), (1, 1), …, (9, 9), giữ cặp có B là 2 hoặc 6: (2, 2), (6, 6), giữ cặp có 26 + A + B chia hết cho 3: (2, 2).
Vậy A × B = 2 × 2 = 4.
Câu 255 điểm · sai trừ 1,25

Số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 24 ước là số nào?
Find the smallest positive integer with exactly 24 positive divisors.
1. A. 355
2. B. 360
3. C. 1152
4. D. 6144
5. E. 8388608
Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: B. 360

Nhận dạng: tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 24 ước.
Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), nên viết 24 thành tích, mỗi cách cho một dạng số.
Bước 1: Các cách viết 24: 24 = 12 × 2 = 8 × 3 = 6 × 4 = 6 × 2 × 2 = 4 × 3 × 2 = 3 × 2 × 2 × 2.
Bước 2: Dạng số tương ứng (p, q, r, s là các số nguyên tố khác nhau): p²³;
p¹¹ × q;
p⁷ × q²;
p⁵ × q³;
p⁵ × q × r;
p³ × q² × r;
p² × q × r × s.
Bước 3: Số nhỏ nhất mỗi dạng (số mũ lớn đặt cho số nguyên tố nhỏ): 2²³ = 8388608;
2¹¹ × 3 = 6144;
2⁷ × 3² = 1152;
2⁵ × 3³ = 864;
2⁵ × 3 × 5 = 480;
2³ × 3² × 5 = 360;
2² × 3 × 5 × 7 = 420.
Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 24 ước là 360.
Mẹo: phải so mọi dạng, dạng một luỹ thừa thường rất lớn.
Câu 265 điểm · sai trừ 1,25

Năm nay tuổi bố gấp 5 lần tuổi con. 3 năm trước, tích số tuổi của hai người là 252. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi?
This year the father's age is 5 times the child's age. 3 years ago the product of their ages was 252. How old is the child now?
1. A. 4
2. B. 9
3. C. 11
4. D. 14
5. E. 19
Đáp án và lời giải câu 26

Đáp án: B. 9

Nhận dạng: bài toán tuổi có tích số tuổi ở thời điểm trước, đưa về phương trình bậc hai.
Ý tưởng: gọi tuổi con, viết tích hai tuổi trước đây, giải phương trình bậc hai và loại nghiệm không hợp lý.
Bước 1: Gọi c là tuổi con hiện nay (c > 3), tuổi bố là 5 × c.
3 năm trước tuổi hai người là 5 × c − 3 và c − 3.
Bước 2: (5 × c − 3) × (c − 3) = 252.
Khai triển: 5 × c² − 18 × c + 9 = 252, tức 5 × c² − 18 × c − 243 = 0.
Bước 3: Biệt thức: 18 × 18 − 4 × 5 × (−243) = 5184, căn bằng 72.
Bước 4: c = (18 + 72) : 10 = 9 hoặc c = (18 − 72) : 10 = −27/5.
Bước 5: Con phải hơn 3 tuổi (đã có 3 năm trước) nên loại c = −27/5.
Do đó c = 9, kiểm: (45 − 3) × (9 − 3) = 252.
Vậy hiện nay con 9 tuổi.
Mẹo: tuổi trước đây phải dương nên tuổi hiện nay lớn hơn số năm đã lùi.
Câu 275 điểm · sai trừ 1,25

Tìm chữ số tận cùng của 7²⁰¹⁹ + 5²⁰²³ + 13⁸⁸.
Find the last digit of 7²⁰¹⁹ + 5²⁰²³ + 13⁸⁸.
1. A. 3
2. B. 5
3. C. 8
4. D. 9
5. E. 13
Đáp án và lời giải câu 27

Đáp án: D. 9

Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng các luỹ thừa.
Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi cộng các chữ số đó.
Bước 1: 7²⁰¹⁹: chu kỳ 7, 9, 3, 1 (dài 4), 2019 chia 4 dư 3 nên lấy số thứ 3: 3.
Bước 2: 5²⁰²³ tận cùng 5 (mọi luỹ thừa của 5 đều tận cùng 5).
Bước 3: 13⁸⁸ cùng tận cùng với 3⁸⁸, chu kỳ 3, 9, 7, 1 (dài 4), 88 chia hết cho 4 nên lấy số cuối: 1.
Bước 4: 3 + 5 + 1 = 9, nên tổng tận cùng 9.
Vậy chữ số tận cùng là 9.
Câu 285 điểm · sai trừ 1,25

Cho 16 điểm cách đều nhau trên một đường tròn (các đỉnh của đa giác đều 16 cạnh). Có bao nhiêu tam giác tù có ba đỉnh là ba trong các điểm này?
16 points are equally spaced on a circle (the vertices of a regular 16-gon). How many obtuse triangles have their three vertices among these points?
1. A. 112
2. B. 168
3. C. 336
4. D. 356
5. E. 448
Đáp án và lời giải câu 28

Đáp án: C. 336

Nhận dạng: đếm hình có đỉnh là các điểm cách đều trên đường tròn.
Ý tưởng: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, chắn cung lớn hơn nửa đường tròn là góc tù.
Bước 1: Tam giác tù khi ba đỉnh nằm trong nửa đường tròn (không chứa hai đầu một đường kính).
Gọi đỉnh đầu tiên theo chiều kim đồng hồ là P;
hai đỉnh kia nằm trong 7 điểm kế tiếp P (chưa tới nửa vòng): 16 × (7 × 6) : (2 × 1) = 16 × 21 = 336.
Vậy có 336 tam giác tù.
Câu 295 điểm · sai trừ 1,25

Mua 100 con gà hết đúng 100 nghìn đồng: gà trống 3 nghìn một con, gà mái 2 nghìn một con, 3 gà con giá 1 nghìn; mỗi loại mua ít nhất một con. Có bao nhiêu cách chia số con ba loại?
100 chickens are bought for exactly 100 thousand dong: a rooster costs 3, a hen costs 2, and 3 chicks cost 1; at least one of each kind is bought. How many possible distributions of the three kinds are there?
1. A. 0
2. B. 3
3. C. 4
4. D. 5
5. E. 6
Đáp án và lời giải câu 29

Đáp án: C. 4

Nhận dạng: bài toán ba ẩn, hai phương trình (tổng số con và tổng số bó / tiền), nghiệm nguyên dương.
Ý tưởng: khử ẩn thứ ba được một phương trình hai ẩn, rồi thử các giá trị nguyên dương.
Bước 1: Gọi số gà trống, gà mái, gà con là a, b, c: a + b + c = 100 (1) và 3a + 2b + c/3 = 100 (2).
Bước 2: Nhân (2) với 3: 9a + 6b + c = 300;
trừ (1): 8a + 5b = 200.
Bước 3: b = (200 − 8a)/5;
b nguyên khi a chia hết cho 5 (vì 200 = 5 × 40);
b ≥ 1 nên 8a ≤ 195, a ≤ 195/8: a = 5, 10, 15, 20.
Bước 4: Giữ các bộ có c = 100 − a − b > 0: (a, b, c) = (5, 32, 63), (10, 24, 66), (15, 16, 69), (20, 8, 72).
Bước 5: Có 4 cách.
Vậy có 4 cách.
Câu 305 điểm · sai trừ 1,25

Tìm chữ số tận cùng của tích 13²⁰²⁶ × 2029⁹⁹.
Find the last digit of the product 13²⁰²⁶ × 2029⁹⁹.
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 7
4. D. 8
5. E. 9
Đáp án và lời giải câu 30

Đáp án: B. 1

Nhận dạng: chữ số tận cùng của tích hai luỹ thừa.
Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng của từng luỹ thừa theo chu kỳ, rồi nhân hai chữ số đó.
Bước 1: 13²⁰²⁶ cùng tận cùng với 3²⁰²⁶: 3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81: chữ số tận cùng 3, 9, 7, 1 rồi lặp lại (chu kỳ 4).
2026 : 4 = 506 (dư 2), nên lấy số thứ 2 của chu kỳ: 9.
Bước 2: 2029⁹⁹ cùng tận cùng với 9⁹⁹: 9¹ = 9, 9² = 81, 9³ = 729: chữ số tận cùng 9, 1 rồi lặp lại (chu kỳ 2).
99 : 2 = 49 (dư 1), nên lấy số thứ 1 của chu kỳ: 9.
Bước 3: 9 × 9 = 81, tận cùng 1.
Vậy chữ số tận cùng của tích là 1.

Đáp án đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 9

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 4
Câu 2	C. 151200
Câu 3	C. 4
Câu 4	C. 75
Câu 5	B. 12
Câu 6	C. 5
Câu 7	C. 337
Câu 8	C. 15
Câu 9	B. 3
Câu 10	C. 384
Câu 11	C. 90
Câu 12	D. 58
Câu 13	C. 44
Câu 14	B. 336
Câu 15	C. 12
Câu 16	A. 6
Câu 17	B. 5
Câu 18	B. 8
Câu 19	C. 68
Câu 20	C. 571
Câu 21	C. 6
Câu 22	B. 24
Câu 23	B. 2
Câu 24	D. 4
Câu 25	B. 360
Câu 26	B. 9
Câu 27	D. 9
Câu 28	C. 336
Câu 29	C. 4
Câu 30	B. 1

Đề thi khác

Đề Kangaroo (IKMC) khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8

Đề lớp 9 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức Kangaroo (IKMC).

Câu hỏi thường gặp

Đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 9 có bao nhiêu câu?

Đề junior Kangaroo (IKMC) lớp 9 có 30 câu, làm trong 75 phút, tối đa 150 điểm.

Làm đề thi thử Kangaroo (IKMC) lớp 9 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề Kangaroo (IKMC) mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.