Vòi A chảy một mình đầy bể trong 15 giờ, vòi B chảy một mình đầy bể trong 5 giờ. Bể đang cạn, mở cả hai vòi cùng lúc thì sau bao lâu đầy bể? A. 4 giờ 45 phút B. 20 giờ C. 3 giờ 45 phút D. 10 giờ

Đáp án: C. 3 giờ 45 phút. Nhận dạng: nhiều vòi (có thể có ống xả) cùng mở, hỏi thời gian đầy bể. Ý tưởng: mỗi giờ vòi chảy được 1/(số giờ) bể, các vòi chảy thì cộng, ống xả thì trừ, thời gian đầy bể = 1 : phần bể mỗi giờ. Bước 1: Mỗi giờ vòi A chảy 1/15 bể, vòi B chảy 1/5 bể. Bước 2: Mỗi giờ cả hệ thống: 1/15 + 1/5 = 1/15 + 3/15 = 4/15 bể mỗi giờ. Bước 3: Thời gian đầy bể = 1 : 4/15 = 15/4 giờ, phần lẻ 3/4 giờ = 3/4 × 60 = 45 phút. Vậy sau 3 giờ 45 phút thì đầy bể.

Ngày 11 tháng 4 năm 2020 là Thứ Bảy. Hỏi ngày 11 tháng 4 năm 2028 là thứ mấy? A. Chủ Nhật B. Thứ Ba C. Thứ Hai D. Thứ Tư

Đáp án: B. Thứ Ba. Nhận dạng: cho thứ của một ngày, hỏi thứ của cùng ngày tháng ở năm cách xa. Ý tưởng: mỗi năm thường lệch 1 thứ, năm nhuận lệch 2 thứ, rồi chia tổng số ngày lệch cho 7 (1 tuần có 7 ngày). Bước 1: Năm thường có 365 ngày = 7 × 52 + 1 nên cùng ngày tháng lệch 1 thứ; năm nhuận có 366 ngày = 7 × 52 + 2 nên lệch 2 thứ. Bước 2: Từ ngày 11/4/2020 đến ngày 11/4/2028 là 8 năm; ngày 29/2 của các năm nhuận 2024, 2028 (2 năm) nằm giữa. Bước 3: Tổng số ngày lệch: 8 + 2 = 10; 10 : 7 = 1 dư 3 (qua 1 tuần thì cùng thứ). Bước 4: Thứ Bảy cộng 3 ngày: Chủ Nhật, Thứ Hai, Thứ Ba. Vậy ngày 11 tháng 4 năm 2028 là Thứ Ba.

Tính tổng 1 + 3 + 5 + … + 105 (các số lẻ liên tiếp). A. 2704 B. 2809 C. 11025 D. 11236

Đáp án: B. 2809. Nhận dạng: tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1. Ý tưởng: tổng n số lẻ đầu tiên bằng n × n (1 = 1², 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², …). Bước 1: Số lẻ thứ n là 2 × n − 1, mà 2 × n − 1 = 105 nên n = (105 + 1) : 2 = 53. Bước 2: Tổng của 53 số lẻ đầu tiên là 53². Bước 3: 53² = 53 × 53 = 2809. Vậy tổng bằng 2809.

Đếm các số nguyên tố có hai chữ số chia cho 6 được số dư là 1. A. 9 B. 10 C. 11 D. 15

Đáp án: B. 10. Nhận dạng: đếm số nguyên tố có số dư cho trước. Ý tưởng: viết các số chia 6 dư 1 trong khoảng (cộng thêm 6 mỗi lần), rồi bỏ hợp số. Bước 1: Số nhỏ nhất thoả mãn là 13, cộng thêm 6 mỗi lần: 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97. Bước 2: Bỏ hợp số: 25 = 5 × 5; 49 = 7 × 7; 55 = 5 × 11; 85 = 5 × 17; 91 = 7 × 13. Bước 3: Còn lại các số nguyên tố: 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97. Vậy có 10 số. Mẹo: số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ chia 6 dư 1 hoặc dư 5, vì dư 0, 2, 3, 4 thì chia hết cho 2 hoặc 3.

Với hai số a và b, ta định nghĩa a ⊕ b = a × b − a − b + 2. Tính 11 ⊕ 11. A. 99 B. 101 C. 102 D. 121

Đáp án: B. 101. Nhận dạng: phép toán mới định nghĩa bằng công thức, hỏi giá trị với hai số cụ thể. Ý tưởng: thay a, b vào công thức, có thể nhận ra dạng tích để tính gọn. Bước 1: Công thức a ⊕ b = a × b − a − b + 2 cũng viết được là (a − 1) × (b − 1) + 1. Bước 2: Thay a = 11, b = 11: (11 − 1) × (11 − 1) + 1. Bước 3: Kết quả: 10 × 10 + 1 = 101. Vậy 11 ⊕ 11 = 101.

Giải bóng đá có 11 đội đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì đấu đúng một trận). Thắng được 3 điểm, hoà mỗi đội 1 điểm, thua 0 điểm. Cuối giải, tổng điểm của 11 đội là 156. Có bao nhiêu trận hoà? A. 9 B. 10 C. 46 D. 55

Đáp án: A. 9. Nhận dạng: giải vòng tròn với điểm thắng, hoà, thua cho trước, biết tổng điểm, hỏi số trận hoà. Ý tưởng: trận phân thắng bại cho tổng 3 điểm, trận hoà cho tổng 1 + 1 = 2 điểm, nên mỗi trận hoà làm tổng điểm kém 3 − 2 = 1 so với giả sử mọi trận phân thắng bại. Bước 1: Số trận: 11 × 10 : 2 = 55 trận. Bước 2: Nếu mọi trận đều phân thắng bại thì tổng điểm là 3 × 55 = 165. Bước 3: Tổng điểm thực tế là 156, kém 165 − 156 = 9, mỗi trận hoà kém 1 điểm nên có 9 trận hoà. Vậy có 9 trận hoà.

Một tam giác vuông có diện tích 294 m² và một cạnh góc vuông dài 21 m. Tính độ dài cạnh góc vuông còn lại. A. 14 B. 28 C. 35 D. 49

Đáp án: B. 28. Nhận dạng: tam giác vuông biết diện tích và một cạnh góc vuông. Ý tưởng: diện tích = cạnh góc vuông × cạnh góc vuông : 2, biết một cạnh thì chia ra cạnh kia. Bước 1: Gọi a = 21 là cạnh góc vuông đã biết, b là cạnh góc vuông kia, c là cạnh huyền. Bước 2: Cạnh góc vuông kia b = 2 × 294 : 21 = 588 : 21 = 28. Vậy cạnh góc vuông còn lại dài 28 m.

Một bài thi có 22 câu, mỗi câu đúng được 2 điểm, câu sai hoặc bỏ trống được 0 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có 2 thí sinh bằng điểm nhau? A. 23 B. 24 C. 45 D. 46

Đáp án: B. 24. Nhận dạng: nguyên lí chuồng bồ câu (Dirichlet). Ý tưởng: mỗi mức điểm là một "chuồng", mỗi thí sinh là một "chim"; tìm số chuồng rồi xét trường hợp xấu nhất. Bước 1 (đếm mức điểm): điểm là 0, 2, 4, …, 44 (số câu đúng từ 0 đến 22): 22 + 1 = 23 mức. Bước 2 (xấu nhất): mỗi mức điểm có 1 người, chưa mức điểm nào có 2: 23 người; thêm 1 người: 24. Vậy cần ít nhất 24 người.

Có bao nhiêu số có 6 chữ số gồm đúng 3 chữ số 4 và 3 chữ số 6? A. 20 B. 40 C. 60 D. 120

Đáp án: A. 20. Nhận dạng: hoán vị có lặp, các vật giống nhau xếp thành hàng. Ý tưởng: xếp như thể các vật đều khác nhau, rồi chia cho số cách đổi chỗ các vật giống nhau; kí hiệu 6! là tích các số từ 1 đến 6, đọc là 6 giai thừa. Bước 1 (đếm vật): 3 + 3 = 6 chữ số; chữ số 4 lặp 3 lần, chữ số 6 lặp 3 lần. Bước 2 (coi như khác nhau): 6! cách. Bước 3 (chia cho số cách đổi chỗ vật giống nhau): 6! : 3! = 6 × 5 × 4 = 120; 120 : 3! = 120 : 6 = 20. Vậy có 20 số.

Gieo hai con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tổng hai số chấm là bội của 2 nhưng không là bội của 6. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b. A. 3 B. 4 C. 5 D. 11

Đáp án: B. 4. Nhận dạng: gieo hai xúc xắc, xác suất. Ý tưởng: lập bảng 6 × 6 kết quả (con thứ nhất theo cột, con thứ hai theo hàng), đếm các ô thoả điều kiện. Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 = 36. Bước 2 (đếm ô thoả): các tổng từ 2 đến 12 thoả: 2, 4, 8, 10; tổng 2: 1 cách, tổng 4: 3 cách, tổng 8: 5 cách, tổng 10: 3 cách; cộng: 1 + 3 + 5 + 3 = 12. Bước 3 (xác suất): 12/36 = 1/3. Bước 4 (tính a + b): xác suất là 1/3, a = 1, b = 3; 1 + 3 = 4. Vậy a + b = 4.

Đề thi PIMSO lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử PIMSO lớp 8 (vòng quốc gia (toán)) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 30 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh (có chú thích tiếng việt cho từ khoá). Trang này hiện 10 câu đầu; mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu 1–10 × 5 điểm; 10 câu 11–20 × 5 điểm; 10 câu 21–30 × 5 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 150 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi PIMSO.

Phần 1: Câu 1–10 (10 câu × 5 điểm)

Câu 15 điểm

Tap A alone fills the tank in 15 hours, tap B alone in 5 hours. The tank is empty. How long does it take to fill it when both taps are opened together?
Vòi A chảy một mình đầy bể trong 15 giờ, vòi B chảy một mình đầy bể trong 5 giờ. Bể đang cạn, mở cả hai vòi cùng lúc thì sau bao lâu đầy bể?
1. A. 4 giờ 45 phút
2. B. 20 giờ
3. C. 3 giờ 45 phút
4. D. 10 giờ
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: C. 3 giờ 45 phút

Nhận dạng: nhiều vòi (có thể có ống xả) cùng mở, hỏi thời gian đầy bể.
Ý tưởng: mỗi giờ vòi chảy được 1/(số giờ) bể, các vòi chảy thì cộng, ống xả thì trừ, thời gian đầy bể = 1 : phần bể mỗi giờ.
Bước 1: Mỗi giờ vòi A chảy 1/15 bể, vòi B chảy 1/5 bể.
Bước 2: Mỗi giờ cả hệ thống: 1/15 + 1/5 = 1/15 + 3/15 = 4/15 bể mỗi giờ.
Bước 3: Thời gian đầy bể = 1 : 4/15 = 15/4 giờ, phần lẻ 3/4 giờ = 3/4 × 60 = 45 phút.
Vậy sau 3 giờ 45 phút thì đầy bể.
Câu 25 điểm

11 April 2020 is a Saturday. What day of the week is 11 April 2028?
Ngày 11 tháng 4 năm 2020 là Thứ Bảy. Hỏi ngày 11 tháng 4 năm 2028 là thứ mấy?
1. A. Chủ Nhật
2. B. Thứ Ba
3. C. Thứ Hai
4. D. Thứ Tư
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. Thứ Ba

Nhận dạng: cho thứ của một ngày, hỏi thứ của cùng ngày tháng ở năm cách xa.
Ý tưởng: mỗi năm thường lệch 1 thứ, năm nhuận lệch 2 thứ, rồi chia tổng số ngày lệch cho 7 (1 tuần có 7 ngày).
Bước 1: Năm thường có 365 ngày = 7 × 52 + 1 nên cùng ngày tháng lệch 1 thứ;
năm nhuận có 366 ngày = 7 × 52 + 2 nên lệch 2 thứ.
Bước 2: Từ ngày 11/4/2020 đến ngày 11/4/2028 là 8 năm;
ngày 29/2 của các năm nhuận 2024, 2028 (2 năm) nằm giữa.
Bước 3: Tổng số ngày lệch: 8 + 2 = 10;
10 : 7 = 1 dư 3 (qua 1 tuần thì cùng thứ).
Bước 4: Thứ Bảy cộng 3 ngày: Chủ Nhật, Thứ Hai, Thứ Ba.
Vậy ngày 11 tháng 4 năm 2028 là Thứ Ba.
Câu 35 điểm

Find the sum (tổng) 1 + 3 + 5 + … + 105 of consecutive (liên tiếp) odd numbers (số lẻ).
Tính tổng 1 + 3 + 5 + … + 105 (các số lẻ liên tiếp).
1. A. 2704
2. B. 2809
3. C. 11025
4. D. 11236
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: B. 2809

Nhận dạng: tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Ý tưởng: tổng n số lẻ đầu tiên bằng n × n (1 = 1², 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², …).
Bước 1: Số lẻ thứ n là 2 × n − 1, mà 2 × n − 1 = 105 nên n = (105 + 1) : 2 = 53.
Bước 2: Tổng của 53 số lẻ đầu tiên là 53².
Bước 3: 53² = 53 × 53 = 2809.
Vậy tổng bằng 2809.
Câu 45 điểm

How many two-digit primes (số nguyên tố) leave remainder (số dư) 1 when divided by 6?
Đếm các số nguyên tố có hai chữ số chia cho 6 được số dư là 1.
1. A. 9
2. B. 10
3. C. 11
4. D. 15
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 10

Nhận dạng: đếm số nguyên tố có số dư cho trước.
Ý tưởng: viết các số chia 6 dư 1 trong khoảng (cộng thêm 6 mỗi lần), rồi bỏ hợp số.
Bước 1: Số nhỏ nhất thoả mãn là 13, cộng thêm 6 mỗi lần: 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97.
Bước 2: Bỏ hợp số: 25 = 5 × 5;
49 = 7 × 7;
55 = 5 × 11;
85 = 5 × 17;
91 = 7 × 13.
Bước 3: Còn lại các số nguyên tố: 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97.
Vậy có 10 số.
Mẹo: số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ chia 6 dư 1 hoặc dư 5, vì dư 0, 2, 3, 4 thì chia hết cho 2 hoặc 3.
Câu 55 điểm

For two numbers a and b, define a ⊕ b = a × b − a − b + 2. Find 11 ⊕ 11.
Với hai số a và b, ta định nghĩa a ⊕ b = a × b − a − b + 2. Tính 11 ⊕ 11.
1. A. 99
2. B. 101
3. C. 102
4. D. 121
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. 101

Nhận dạng: phép toán mới định nghĩa bằng công thức, hỏi giá trị với hai số cụ thể.
Ý tưởng: thay a, b vào công thức, có thể nhận ra dạng tích để tính gọn.
Bước 1: Công thức a ⊕ b = a × b − a − b + 2 cũng viết được là (a − 1) × (b − 1) + 1.
Bước 2: Thay a = 11, b = 11: (11 − 1) × (11 − 1) + 1.
Bước 3: Kết quả: 10 × 10 + 1 = 101.
Vậy 11 ⊕ 11 = 101.
Câu 65 điểm

11 football teams play a single round robin (any two teams play exactly once). A win gives 3 points, a draw gives each team 1 point, a loss gives 0. At the end the 11 teams have 156 points in total. How many matches were draws?
Giải bóng đá có 11 đội đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì đấu đúng một trận). Thắng được 3 điểm, hoà mỗi đội 1 điểm, thua 0 điểm. Cuối giải, tổng điểm của 11 đội là 156. Có bao nhiêu trận hoà?
1. A. 9
2. B. 10
3. C. 46
4. D. 55
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: A. 9

Nhận dạng: giải vòng tròn với điểm thắng, hoà, thua cho trước, biết tổng điểm, hỏi số trận hoà.
Ý tưởng: trận phân thắng bại cho tổng 3 điểm, trận hoà cho tổng 1 + 1 = 2 điểm, nên mỗi trận hoà làm tổng điểm kém 3 − 2 = 1 so với giả sử mọi trận phân thắng bại.
Bước 1: Số trận: 11 × 10 : 2 = 55 trận.
Bước 2: Nếu mọi trận đều phân thắng bại thì tổng điểm là 3 × 55 = 165.
Bước 3: Tổng điểm thực tế là 156, kém 165 − 156 = 9, mỗi trận hoà kém 1 điểm nên có 9 trận hoà.
Vậy có 9 trận hoà.
Câu 75 điểm

A right triangle (hình tam giác vuông) has area (diện tích) 294 m² and its one leg is 21 m. Find the length (chiều dài) of the other leg in m.
Một tam giác vuông có diện tích 294 m² và một cạnh góc vuông dài 21 m. Tính độ dài cạnh góc vuông còn lại.
1. A. 14
2. B. 28
3. C. 35
4. D. 49
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: B. 28

Nhận dạng: tam giác vuông biết diện tích và một cạnh góc vuông.
Ý tưởng: diện tích = cạnh góc vuông × cạnh góc vuông : 2, biết một cạnh thì chia ra cạnh kia.
Bước 1: Gọi a = 21 là cạnh góc vuông đã biết, b là cạnh góc vuông kia, c là cạnh huyền.
Bước 2: Cạnh góc vuông kia b = 2 × 294 : 21 = 588 : 21 = 28.
Vậy cạnh góc vuông còn lại dài 28 m.
Câu 85 điểm

A test has 22 questions; each correct answer scores 2 points, a wrong or blank answer scores 0. At least how many candidates are needed to be sure that 2 of them have the same score?
Một bài thi có 22 câu, mỗi câu đúng được 2 điểm, câu sai hoặc bỏ trống được 0 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có 2 thí sinh bằng điểm nhau?
1. A. 23
2. B. 24
3. C. 45
4. D. 46
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: B. 24

Nhận dạng: nguyên lí chuồng bồ câu (Dirichlet).
Ý tưởng: mỗi mức điểm là một "chuồng", mỗi thí sinh là một "chim";
tìm số chuồng rồi xét trường hợp xấu nhất.
Bước 1 (đếm mức điểm): điểm là 0, 2, 4, …, 44 (số câu đúng từ 0 đến 22): 22 + 1 = 23 mức.
Bước 2 (xấu nhất): mỗi mức điểm có 1 người, chưa mức điểm nào có 2: 23 người;
thêm 1 người: 24.
Vậy cần ít nhất 24 người.
Câu 95 điểm

How many 6-digit numbers consist of exactly 3 digits (chữ số) 4 and 3 digits 6?
Có bao nhiêu số có 6 chữ số gồm đúng 3 chữ số 4 và 3 chữ số 6?
1. A. 20
2. B. 40
3. C. 60
4. D. 120
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: A. 20

Nhận dạng: hoán vị có lặp, các vật giống nhau xếp thành hàng.
Ý tưởng: xếp như thể các vật đều khác nhau, rồi chia cho số cách đổi chỗ các vật giống nhau;
kí hiệu 6! là tích các số từ 1 đến 6, đọc là 6 giai thừa.
Bước 1 (đếm vật): 3 + 3 = 6 chữ số;
chữ số 4 lặp 3 lần, chữ số 6 lặp 3 lần.
Bước 2 (coi như khác nhau): 6! cách.
Bước 3 (chia cho số cách đổi chỗ vật giống nhau): 6! : 3! = 6 × 5 × 4 = 120;
120 : 3! = 120 : 6 = 20.
Vậy có 20 số.
Câu 105 điểm

Two fair dice (faces 1 to 6) are rolled. Find the probability that the sum (tổng) is a multiple (bội số) of 2 but not of 6. Write this probability as a fraction (phân số) a/b in lowest terms. Find a + b.
Gieo hai con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tổng hai số chấm là bội của 2 nhưng không là bội của 6. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 11
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: B. 4

Nhận dạng: gieo hai xúc xắc, xác suất.
Ý tưởng: lập bảng 6 × 6 kết quả (con thứ nhất theo cột, con thứ hai theo hàng), đếm các ô thoả điều kiện.
Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 = 36.
Bước 2 (đếm ô thoả): các tổng từ 2 đến 12 thoả: 2, 4, 8, 10;
tổng 2: 1 cách, tổng 4: 3 cách, tổng 8: 5 cách, tổng 10: 3 cách;
cộng: 1 + 3 + 5 + 3 = 12.
Bước 3 (xác suất): 12/36 = 1/3.
Bước 4 (tính a + b): xác suất là 1/3, a = 1, b = 3;
1 + 3 = 4.
Vậy a + b = 4.

Phần 2: Câu 11–20 (10 câu × 5 điểm)

Câu 11–20 (10 câu) có trong đề thi thử trên app.

Phần 3: Câu 21–30 (10 câu × 5 điểm)

Câu 21–30 (10 câu) có trong đề thi thử trên app.

Đáp án đề thi PIMSO lớp 8 (10 câu đầu)

Câu	Đáp án
Câu 1	C. 3 giờ 45 phút
Câu 2	B. Thứ Ba
Câu 3	B. 2809
Câu 4	B. 10
Câu 5	B. 101
Câu 6	A. 9
Câu 7	B. 28
Câu 8	B. 24
Câu 9	A. 20
Câu 10	B. 4

Đề thi khác

Đề PIMSO khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức PIMSO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi PIMSO lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia (toán) PIMSO lớp 8 có 30 câu, làm trong 90 phút, tối đa 150 điểm.

Làm đề thi thử PIMSO lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề PIMSO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.