Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 3 cm, trung đoạn 25 cm. Tính diện tích toàn phần. A. 150 B. 159 C. 160 D. 162 E. 309

Đáp án: B. 159. Nhận dạng: hình chóp tứ giác đều S.ABCD: đáy là hình vuông cạnh a, chân đường cao O là tâm đáy, trung đoạn SM (M là trung điểm một cạnh đáy) là đường cao của mặt bên. Ý tưởng: bốn mặt bên là tam giác cân đáy a, cao là trung đoạn: Sxq (diện tích xung quanh) = nửa chu vi đáy × trung đoạn; Stp (toàn phần) = Sxq + đáy. Bước 1: Sxq = (4 × 3 : 2) × 25 = 6 × 25 = 150 (cm²). Bước 2: Đáy = 3 × 3 = 9 (cm²). Bước 3: Stp = 150 + 9 = 159 (cm²). Vậy diện tích toàn phần là 159 cm².

Với hai số a và b, ta định nghĩa a ⊕ b = a × b − a − b + 2. Tính 7 ⊕ 6. A. 28 B. 29 C. 31 D. 32 E. 42

Đáp án: C. 31. Nhận dạng: phép toán mới định nghĩa bằng công thức, hỏi giá trị với hai số cụ thể. Ý tưởng: thay a, b vào công thức, có thể nhận ra dạng tích để tính gọn. Bước 1: Công thức a ⊕ b = a × b − a − b + 2 cũng viết được là (a − 1) × (b − 1) + 1. Bước 2: Thay a = 7, b = 6: (7 − 1) × (6 − 1) + 1. Bước 3: Kết quả: 6 × 5 + 1 = 31. Vậy 7 ⊕ 6 = 31.

Tính số đo mỗi góc trong của đa giác đều 40 cạnh. A. 169 B. 170 C. 171 D. 172 E. 173

Đáp án: C. 171. Nhận dạng: đa giác đều, các góc trong bằng nhau. Ý tưởng: từ một đỉnh kẻ các đường chéo, chia đa giác thành các tam giác; mỗi tam giác có tổng ba góc 180°. Bước 1: Từ một đỉnh kẻ các đường chéo, đa giác 40 cạnh chia thành 40 − 2 = 38 tam giác. Bước 2: Tổng các góc trong: 38 × 180° = 6840°. Bước 3: 40 góc bằng nhau, mỗi góc: 6840° : 40 = 171°. Vậy mỗi góc trong bằng 171°. Mẹo: thử lại bằng góc ngoài: 360° : 40 = 9°, 180° − 9° = 171°.

Hình vuông cạnh 28 cm, bên trong vẽ nửa hình tròn có đường kính là cạnh đáy. Tính diện tích phần hình vuông nằm ngoài nửa hình tròn (lấy π = 22/7). A. 168 B. 308 C. 476 D. 477 E. 483

Đáp án: C. 476. Nhận dạng: hình vuông trừ nửa hình tròn có đường kính bằng cạnh. Ý tưởng: bán kính bằng nửa cạnh; phần cần tìm = hình vuông − nửa hình tròn. Bước 1: Bán kính = 28 : 2 = 14 (cm); hình vuông 28 × 28 = 784 (cm²). Bước 2: Nửa hình tròn: 22/7 × 14 × 14 : 2 = 308 (cm²). Bước 3: Phần ngoài = 784 − 308 = 476 (cm²). Vậy diện tích phần đó là 476 cm².

Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn |x − 11| + |x − 4| = 7? A. 2 B. 7 C. 8 D. 9 E. 12

Đáp án: C. 8. Nhận dạng: tổng hai giá trị tuyệt đối bằng một số. Ý tưởng: |x − m| là khoảng cách từ x tới m trên trục số; so vế phải với khoảng cách hai mốc. Bước 1: |x − 4| là khoảng cách từ x tới 4, |x − 11| là khoảng cách từ x tới 11. Bước 2: Hai mốc cách nhau 11 − 4 = 7, đúng bằng vế phải: mọi x nằm giữa hai mốc đều thoả (x ở ngoài thì tổng lớn hơn 7). Bước 3: Số nguyên từ 4 đến 11: 11 − 4 + 1 = 8. Vậy có 8 số.

Vở loại nhỏ giá 6 nghìn đồng, vở loại lớn giá 23 nghìn đồng. Minh mua vở hết đúng 268 nghìn đồng (mỗi loại ít nhất một quyển). Minh mua ít nhất bao nhiêu quyển vở? A. 11 B. 22 C. 23 D. 25 E. 39

Đáp án: B. 22. Nhận dạng: phương trình px + qy = T với nghiệm nguyên không âm, hỏi tổng nhỏ nhất / lớn nhất. Ý tưởng: liệt kê mọi nghiệm (y tăng thì x giảm đều), rồi chọn. Bước 1: Gọi x, y là số vở nhỏ, lớn: 6x + 23y = 268, x, y ≥ 1. Bước 2: Thử y, cần 268 − 23y chia hết cho 6: x = 14, y = 8 (22 quyển); x = 37, y = 2 (39 quyển). Bước 3: Mua nhiều vở lớn (đắt) thì ít quyển: x = 14, y = 8. Vậy Minh mua ít nhất 22 quyển.

Khi xoay một trang giấy 180° (lộn ngược cả số), các chữ số 0, 1, 8 vẫn đọc là 0, 1, 8, còn 6 đọc thành 9 và 9 đọc thành 6. Số 1986 được viết trên trang giấy rồi xoay 180° thì đọc ra một số mới. Tổng của hai số đó là bao nhiêu? A. 4905 B. 8877 C. 11847 D. 11867 E. 11937

Đáp án: C. 11847. Nhận dạng: xoay một số 180°, hỏi số mới hoặc hiệu, tổng của hai số. Ý tưởng: xoay 180° thì thứ tự chữ số bị đảo ngược (chữ số đầu xuống cuối) và mỗi chữ số đổi theo quy tắc: 0, 1, 8 giữ nguyên, 6 thành 9, 9 thành 6. Bước 1: Đảo thứ tự các chữ số của 1986: 6891. Bước 2: Đổi từng chữ số (6 thành 9, 9 thành 6, các chữ số khác giữ nguyên): 9861. Bước 3: Tổng hai số: 1986 + 9861 = 11847. Vậy tổng là 11847.

Số 2030 có bao nhiêu ước dương? A. 1 B. 5 C. 8 D. 16 E. 26

Đáp án: D. 16. Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn. Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 2030 : 2 = 1015, 1015 : 5 = 203, 203 : 7 = 29, 29 : 29 = 1. Vậy 2030 = 2 × 5 × 7 × 29. Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn: số mũ của 2 chọn từ 0 đến 1: 2 cách; số mũ của 5 chọn từ 0 đến 1: 2 cách; số mũ của 7 chọn từ 0 đến 1: 2 cách; số mũ của 29 chọn từ 0 đến 1: 2 cách. Bước 3: Số ước = (1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Vậy 2030 có 16 ước. Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.

Điền các số 1, 2, 3, 4 vào bảng 4 × 4 (dấu _ là ô trống) sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi hình vuông 2 × 2 ở góc đều có đủ bốn số 1, 2, 3, 4. Hàng 1: 1 _ 4 2. Hàng 2: _ 2 1 _. Hàng 3: _ _ _ 1. Hàng 4: 3 _ 2 _. Số ở ô hàng 3, cột 3 (ô trống) là bao nhiêu? A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 E. 13

Đáp án: B. 3. Nhận dạng: sudoku 4 × 4, điền số sao cho mỗi hàng, cột, ô vuông 2 × 2 có đủ 1 đến 4. Ý tưởng: tìm ô mà hàng, cột và ô vuông của nó đã có ba số, ô đó chỉ còn một số. Bước 1: Ô hàng 1, cột 2: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 4, nên chỉ còn 3. Bước 2: Ô hàng 2, cột 1: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 3, nên chỉ còn 4. Bước 3: Ô hàng 2, cột 4: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 4, nên chỉ còn 3. Bước 4: Ô hàng 3, cột 1: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 3, 4, nên chỉ còn 2. Bước 5: Ô hàng 3, cột 2: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 3, nên chỉ còn 4. Bước 6: Ô hàng 3, cột 3: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 4, nên chỉ còn 3. Vậy ô hàng 3, cột 3 là 3.

Có bao nhiêu số nguyên tố có hai chữ số mà chia cho 6 dư 1? A. 6 B. 9 C. 10 D. 11 E. 15

Đáp án: C. 10. Nhận dạng: đếm số nguyên tố có số dư cho trước. Ý tưởng: viết các số chia 6 dư 1 trong khoảng (cộng thêm 6 mỗi lần), rồi bỏ hợp số. Bước 1: Số nhỏ nhất thoả mãn là 13, cộng thêm 6 mỗi lần: 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97. Bước 2: Bỏ hợp số: 25 = 5 × 5; 49 = 7 × 7; 55 = 5 × 11; 85 = 5 × 17; 91 = 7 × 13. Bước 3: Còn lại các số nguyên tố: 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97. Vậy có 10 số. Mẹo: số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ chia 6 dư 1 hoặc dư 5, vì dư 0, 2, 3, 4 thì chia hết cho 2 hoặc 3.

Số 134²⁰²⁵ chia cho 9 dư bao nhiêu? A. 0 B. 1 C. 4 D. 8 E. 12

Đáp án: D. 8. Nhận dạng: số dư khi chia một luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: viết cơ số thành bội của 9 cộng 1 hoặc trừ 1, rồi xem tích các thừa số như vậy. Bước 1: 134 = 9 × 15 − 1 (134 chia 9 dư 8, kém bội của 9 một đơn vị). Bước 2: (bội của 9 − 1) × (bội của 9 − 1) = bội của 9 + 1, nên 134² chia 9 dư 1. Bước 3: 2025 lẻ: 134²⁰²⁵ = (134²)¹⁰¹² × 134; phần đầu chia 9 dư 1, nhân thêm 134 nên dư 8. Vậy 134²⁰²⁵ chia 9 dư 8.

Có 312 viên gạch hình vuông giống nhau. Xếp hết số gạch thành một hình chữ nhật đặc. Có bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau về kích thước? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 16

Đáp án: C. 8. Nhận dạng: hình chữ nhật biết diện tích, cạnh là số tự nhiên. Ý tưởng: gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (a ≥ b), a × b = 312; mỗi hình là một cặp ước của 312. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 312 : 2 = 156, 156 : 2 = 78, 78 : 2 = 39, 39 : 3 = 13, 13 : 13 = 1. Vậy 312 = 2³ × 3 × 13. Các cặp: 312 × 1, 156 × 2, 104 × 3, 78 × 4, …. Bước 2: 312 có 4 × 2 × 2 = 16 ước. Bước 3: Số cặp (a, b): mỗi cặp dùng hai ước khác nhau: 16 : 2 = 8 cặp. Vậy có 8 hình chữ nhật khác nhau.

Hai số a, b có a + b = 31, a² + b² = 493. Tính a³ + b³. A. 8029 B. 8031 C. 15283 D. 22537 E. 29791

Đáp án: A. 8029. Nhận dạng: biết a + b và a² + b², hỏi tổng hai lập phương. Ý tưởng: tìm ab trước, rồi dùng a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Bước 1: (a + b)² = a² + b² + 2ab: 31² = 961 = 493 + 2ab, 2ab = 961 − 493 = 468, ab = 468 : 2 = 234. Bước 2: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Bước 3: = 31 × (493 − 234) = 31 × 259 = 8029. Vậy a³ + b³ = 8029.

Ngày 26 tháng 10 năm 2039 là Thứ Tư. Sau ít nhất bao nhiêu năm thì ngày 26 tháng 10 lại là Thứ Tư? A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 E. 11

Đáp án: B. 5. Nhận dạng: hỏi sau bao nhiêu năm cùng ngày tháng lại cùng thứ. Ý tưởng: mỗi năm thường lệch 1 thứ, năm nhuận lệch 2 thứ, cộng dồn cho đến khi tổng chia hết cho 7. Bước 1: Từ ngày 26/10/2039 sang năm sau cùng ngày tháng, thứ lệch 1 (năm thường, 365 = 7 × 52 + 1) hoặc 2 (năm nhuận, 366 = 7 × 52 + 2). Bước 2: Các năm nhuận từ 2040 đến 2044 là 2040, 2044 (lệch 2), các năm còn lại lệch 1. Bước 3: Cộng dồn độ lệch từng năm 2040, 2041, …, 2044: 2, 3, 4, 5, 7. Bước 4: 7 = 7 × 1 là số đầu tiên chia hết cho 7, ở năm 2044, sau 2044 − 2039 = 5 năm. Vậy sau ít nhất 5 năm.

Một bài thi có 36 câu. Mỗi câu đúng được 4 điểm, mỗi câu sai bị trừ 3 điểm, bỏ trống không có điểm. Bạn Phúc đạt 109 điểm. Hỏi số câu sai nhiều nhất của Phúc có thể là bao nhiêu? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

Đáp án: C. 5. Nhận dạng: ba loại câu (đúng, sai, bỏ trống) với tổng số điểm cho trước, hỏi cực trị hoặc số cách. Ý tưởng: gọi a là số câu đúng, b là số câu sai, điểm 4 × a − 3 × b = 109, b phải là số tự nhiên và a + b không vượt quá 36, rồi liệt kê. Bước 1: Gọi a, b là số câu đúng, sai: 4 × a − 3 × b = 109, suy ra b = (4 × a − 109) : 3. Bước 2: b nguyên không âm nên 4 × a ≥ 109 (a ≥ 28) và 4 × a − 109 chia hết cho 3. Bước 3: Các cặp thoả a + b ≤ 36: a = 28: b = (4 × 28 − 109) : 3 = 1, trống 7; a = 31: b = (4 × 31 − 109) : 3 = 5, trống 0. Loại a = 34: b = 9 thì a + b = 43 lớn hơn 36. Bước 4: Có 2 cặp (a, b): (28, 1), (31, 5). Vậy số câu sai nhiều nhất là 5.

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) thoả mãn xy + 4x − 4y = 58? A. 11 B. 14 C. 16 D. 18 E. 21

Đáp án: C. 16. Nhận dạng: phương trình có xy, x, y, hỏi mọi nghiệm nguyên (cả âm). Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc bằng một số; mỗi ước của số đó cho đúng một nghiệm. Bước 1: Trừ 16 hai vế: xy + 4x − 4y − 16 = 42. Bước 2: Nhóm: x(y + 4) − 4(y + 4) = (x − 4)(y + 4) = 42. Bước 3: x − 4 là một ước của 42 (dương hoặc âm), y + 4 là thương; mỗi ước cho một cặp (x, y) nguyên. Bước 4: 42 có 8 ước dương (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42), thêm 8 ước âm: 8 × 2 = 16. Vậy có 16 cặp.

Xếp 5 lá cờ khác màu và 4 cọc trắng giống nhau thành một hàng. Có bao nhiêu cách xếp? A. 120 B. 126 C. 252 D. 15110 E. 15120

Đáp án: E. 15120. Nhận dạng: hoán vị có lặp, có vật khác nhau và vật giống nhau. Ý tưởng: xếp như thể các vật đều khác nhau, rồi chia cho số cách đổi chỗ 4 vật giống nhau; kí hiệu 9! là tích các số từ 1 đến 9, đọc là 9 giai thừa. Bước 1 (đếm vật): 5 + 4 = 9 vật; 4 vật giống nhau. Bước 2 (coi như khác nhau): 9! cách. Bước 3 (chia cho 4! cách đổi chỗ vật giống nhau): 9! : 4! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 15120. Vậy có 15120 cách. Mẹo: cũng là chọn chỗ có thứ tự cho 5 vật khác nhau trong 9 chỗ: 9 × 8 × 7 × 6 × 5.

Dãy số có số thứ nhất là 8; mỗi số từ số thứ hai bằng 8 lần số đứng ngay trước cộng 12. Chữ số tận cùng của số thứ 2025 là chữ số nào? A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 E. 18

Đáp án: D. 8. Nhận dạng: dãy số cho bằng quy luật nhân rồi cộng, hỏi chữ số tận cùng của một số hạng rất xa. Ý tưởng: chữ số tận cùng của số sau chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của số trước, nên chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ. Bước 1: Chỉ cần tính với chữ số tận cùng, bắt đầu từ 8: 8 × 8 + 12 = 76 (tận cùng 6), 8 × 6 + 12 = 60 (tận cùng 0), 8 × 0 + 12 = 12 (tận cùng 2), 8 × 2 + 12 = 28 (tận cùng 8); chữ số 8 xuất hiện lại. Bước 2: Từ số thứ 1 trở đi chữ số tận cùng lặp lại theo nhóm 4 số: 8, 6, 0, 2. Bước 3: Số thứ 2025 nằm cách số thứ 1 là 2025 − 1 = 2024 vị trí; 2024 : 4 = 506 dư 0. Bước 4: Dư 0 nên số thứ 2025 có cùng chữ số tận cùng với vị trí thứ 1 của nhóm, là 8. Vậy chữ số tận cùng là 8.

Tìm chữ số tận cùng của A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁸⁴. A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 E. 6

Đáp án: A. 0. Nhận dạng: tổng các luỹ thừa liên tiếp của cùng một số. Ý tưởng: chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ; gom mỗi chu kỳ thành một nhóm có tổng tận cùng 0. Bước 1: Chữ số tận cùng của 2, 2², 2³, … lặp lại chu kỳ 4 số: 2, 4, 8, 6; mỗi nhóm 4 số hạng có tổng 2 + 4 + 8 + 6 = 20, tận cùng 0. Bước 2: 284 = 4 × 71: 71 nhóm đủ (tận cùng 0). Vậy A có chữ số tận cùng là 0.

12 người đứng thành hàng và được đánh số từ 1 đến 12. Người thứ k (k = 1, 2, …, 12) nói: “Trong hàng có đúng k người nói dối.” Mỗi người hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. Có bao nhiêu người nói dối? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 13

Đáp án: C. 11. Nhận dạng: các phát biểu tự nói về số người nói dối, hỏi số người nói dối (hoặc người nói thật). Ý tưởng: các phát biểu loại trừ nhau, đặt số người nói thật là t rồi thử từng giá trị của t. Bước 1: Hai người khác nhau nói hai số khác nhau về số người nói dối, nên nhiều nhất một người nói thật, t = 0 hoặc t = 1. Bước 2: Nếu t = 0 thì cả 12 người nói dối, nghĩa là có 12 người nói dối, và lời của người thứ 12 lại đúng, mâu thuẫn. Bước 3: Nếu t = 1 thì có 12 − 1 = 11 người nói dối, lời người thứ 11 là đúng, các lời khác sai: hợp lí. Vậy có 11 người nói dối.

Một hộp có lẫn lộn 9 chiếc đũa vàng, 15 chiếc đũa trắng, 12 chiếc đũa đỏ, 15 chiếc đũa xanh; hai chiếc cùng màu tạo thành một đôi. Lấy trong bóng tối (không nhìn thấy màu). Cần có 3 đôi đũa màu vàng và tổng cộng 8 đôi đũa không phải màu xanh (tính cả các đôi màu vàng). Phải lấy ít nhất bao nhiêu chiếc đũa?

Đáp án: 48. Nhận dạng: trường hợp xấu nhất theo đôi, hai điều kiện. Ý tưởng: điều kiện khó đủ hơn là 3 đôi màu vàng; xấu nhất là màu vàng chỉ có 5 chiếc (thiếu một chiếc để đủ 3 đôi), các màu khác lấy hết. Bước 1 (lấy hết màu khác): xanh 15, trắng 15, đỏ 12; thêm 5 chiếc vàng: 15 + 15 + 12 + 5 = 47. Bước 2 (kiểm tra điều kiện kia): trắng 15 chiếc: 7 đôi, đỏ 12 chiếc: 6 đôi, vàng 5 chiếc: 2 đôi; 7 + 6 + 2 = 15 đôi không phải màu xanh, đủ 8 đôi. Bước 3 (lấy thêm 1): chiếc tiếp theo là màu vàng, đủ 3 đôi: 47 + 1 = 48. Vậy phải lấy ít nhất 48 chiếc đũa.

Nghĩ một số, cộng 11, chia cho 2, trừ 11, trừ 3, rồi bình phương kết quả, được 9. Có hai số thoả đề. Số nhỏ hơn trong hai số có thể nghĩ là số nào?

Đáp án: 11. Nhận dạng: chuỗi phép tính kết thúc bằng bình phương, hỏi số ban đầu (có hai số). Ý tưởng: đi ngược từ kết quả, mỗi phép tính đổi thành phép ngược (cộng ↔ trừ, nhân ↔ chia), và bình phương cho hai giá trị đối nhau. Bước 1: Trước khi bình phương là số t có t² = 9, nên t = 3 hoặc t = −3. Bước 2: Nhánh t = 3, đi ngược: 3 + 3 = 6, 6 + 11 = 17, 17 × 2 = 34, 34 − 11 = 23. Số nghĩ là 23. Bước 3: Nhánh t = −3, đi ngược: −3 + 3 = 0, 0 + 11 = 11, 11 × 2 = 22, 22 − 11 = 11. Số nghĩ là 11. Bước 4: Hai số là 23 và 11. Vậy số nhỏ hơn là 11.

Tìm giá trị lớn nhất của E = √(x + 8) + √(0 − x).

Đáp án: 4. Nhận dạng: tổng hai căn bậc hai, tổng hai biểu thức dưới căn không đổi. Ý tưởng: bình phương E; dùng 2uv ≤ u² + v² (vì (u − v)² ≥ 0). Bước 1: Đặt u = √(x + 8), v = √(0 − x); u² + v² = (x + 8) + (0 − x) = 8. Bước 2: E² = u² + v² + 2uv ≤ 2(u² + v²) = 2 × 8 = 16. Bước 3: 4 × 4 = 16, nên E ≤ 4; dấu bằng khi u = v, tức là x + 8 = 0 − x, 2x = −8, x = (−8) : 2 = −4. Vậy giá trị lớn nhất của E là 4.

Chi xếp 1275 quả bóng thành hình tam giác: hàng trên cùng 1 quả, mỗi hàng dưới nhiều hơn hàng ngay trên 1 quả, xếp vừa hết bóng. Có bao nhiêu hàng?

Đáp án: 50. Nhận dạng: gọi n là số hàng, số bóng là 1 + 2 + … + n, biết tổng tìm n. Ý tưởng: cộng tổng xuôi với tổng ngược, mỗi cột bằng n + 1. Bước 1: Viết 1 + 2 + … + n và n + … + 2 + 1 thẳng cột rồi cộng: mỗi cột bằng n + 1, có n cột, nên 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2. Bước 2: n × (n + 1) = 2 × 1275 = 2550. Bước 3: n × (n + 1) là tích hai số liên tiếp; 50 × 50 = 2500 < 2550 < 51 × 51 = 2601, thử 50 × 51 = 2550. Vậy có 50 hàng.

Trong phép cộng MATH + TEACH = 34870, mỗi chữ cái là một chữ số, các chữ cái khác nhau là các chữ số khác nhau, M và T khác 0. Có bao nhiêu giá trị khác nhau của số MATH?

Đáp án: 8. Nhận dạng: phép cộng chữ có số cho sẵn ở kết quả, hỏi số giá trị hoặc giá trị lớn nhất của một số. Ý tưởng: xét cột đơn vị và cột chữ số đầu để tìm H, T, rồi lần lượt các cột còn lại, đếm các cách còn khớp. Bước 1: Cột đơn vị: H + H tận cùng 0, nên H ∈ {0, 5}. Bước 2: Chữ số hàng chục nghìn của tổng là 3, nên T = 3 hoặc T = 2 (tuỳ có nhớ từ cột nghìn). Bước 3: Với H = 0, T = 2, các cột chục và trăm cho A = 4, C = 5, cột nghìn cho M + E = 14 (M, E khác các chữ số đã dùng): (M, E) = (6, 8), (8, 6), có 2 cách. Bước 4: Với H = 0, T = 2, các cột chục và trăm cho A = 9, C = 5, cột nghìn cho M + E = 13 (M, E khác các chữ số đã dùng): (M, E) = (6, 7), (7, 6), có 2 cách. Bước 5: Với H = 0, T = 3, các cột chục và trăm cho A = 9, C = 4, cột nghìn cho M + E = 3 (M, E khác các chữ số đã dùng): (M, E) = (1, 2), (2, 1), có 2 cách. Bước 6: Với H = 5, T = 2, các cột chục và trăm cho A = 9, C = 4, cột nghìn cho M + E = 13 (M, E khác các chữ số đã dùng): (M, E) = (6, 7), (7, 6), có 2 cách. Bước 7: Các trường hợp (H, T) khác không cho chữ số hợp lệ. Mỗi cách chọn cho một giá trị MATH khác nhau, tổng cộng 8 giá trị. Vậy số MATH nhận 8 giá trị khác nhau.

Đề thi IMAS lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Q: Đề thi IMAS lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng 1 (junior secondary) IMAS lớp 8 có 25 câu, làm trong 75 phút, tối đa 100 điểm.

Q: Làm đề thi thử IMAS lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề IMAS mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.

Đề thi thử IMAS lớp 8 (vòng 1 (junior secondary)) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 75 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu trắc nghiệm dễ × 3 điểm; 10 câu trắc nghiệm trung bình × 4 điểm; 5 câu đáp số nguyên 0–999 × 6 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi IMAS.

Phần 1: Trắc nghiệm dễ (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

A regular square pyramid has base edge 3 cm and slant height 25 cm. Find its total surface area.
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 3 cm, trung đoạn 25 cm. Tính diện tích toàn phần.
1. A. 150
2. B. 159
3. C. 160
4. D. 162
5. E. 309
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 159

Nhận dạng: hình chóp tứ giác đều S.ABCD: đáy là hình vuông cạnh a, chân đường cao O là tâm đáy, trung đoạn SM (M là trung điểm một cạnh đáy) là đường cao của mặt bên.
Ý tưởng: bốn mặt bên là tam giác cân đáy a, cao là trung đoạn: Sxq (diện tích xung quanh) = nửa chu vi đáy × trung đoạn;
Stp (toàn phần) = Sxq + đáy.
Bước 1: Sxq = (4 × 3 : 2) × 25 = 6 × 25 = 150 (cm²).
Bước 2: Đáy = 3 × 3 = 9 (cm²).
Bước 3: Stp = 150 + 9 = 159 (cm²).
Vậy diện tích toàn phần là 159 cm².
Câu 23 điểm

For two numbers a and b, define a ⊕ b = a × b − a − b + 2. Find 7 ⊕ 6.
Với hai số a và b, ta định nghĩa a ⊕ b = a × b − a − b + 2. Tính 7 ⊕ 6.
1. A. 28
2. B. 29
3. C. 31
4. D. 32
5. E. 42
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. 31

Nhận dạng: phép toán mới định nghĩa bằng công thức, hỏi giá trị với hai số cụ thể.
Ý tưởng: thay a, b vào công thức, có thể nhận ra dạng tích để tính gọn.
Bước 1: Công thức a ⊕ b = a × b − a − b + 2 cũng viết được là (a − 1) × (b − 1) + 1.
Bước 2: Thay a = 7, b = 6: (7 − 1) × (6 − 1) + 1.
Bước 3: Kết quả: 6 × 5 + 1 = 31.
Vậy 7 ⊕ 6 = 31.
Câu 33 điểm

Find the size of each interior angle of a regular 40-sided polygon.
Tính số đo mỗi góc trong của đa giác đều 40 cạnh.
1. A. 169
2. B. 170
3. C. 171
4. D. 172
5. E. 173
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 171

Nhận dạng: đa giác đều, các góc trong bằng nhau.
Ý tưởng: từ một đỉnh kẻ các đường chéo, chia đa giác thành các tam giác;
mỗi tam giác có tổng ba góc 180°.
Bước 1: Từ một đỉnh kẻ các đường chéo, đa giác 40 cạnh chia thành 40 − 2 = 38 tam giác.
Bước 2: Tổng các góc trong: 38 × 180° = 6840°.
Bước 3: 40 góc bằng nhau, mỗi góc: 6840° : 40 = 171°.
Vậy mỗi góc trong bằng 171°.
Mẹo: thử lại bằng góc ngoài: 360° : 40 = 9°, 180° − 9° = 171°.
Câu 43 điểm

Inside a square of side 28 cm, a semicircle is drawn on the bottom side as diameter. Find the area of the part of the square outside the semicircle (use π = 22/7).
Hình vuông cạnh 28 cm, bên trong vẽ nửa hình tròn có đường kính là cạnh đáy. Tính diện tích phần hình vuông nằm ngoài nửa hình tròn (lấy π = 22/7).
1. A. 168
2. B. 308
3. C. 476
4. D. 477
5. E. 483
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: C. 476

Nhận dạng: hình vuông trừ nửa hình tròn có đường kính bằng cạnh.
Ý tưởng: bán kính bằng nửa cạnh;
phần cần tìm = hình vuông − nửa hình tròn.
Bước 1: Bán kính = 28 : 2 = 14 (cm);
hình vuông 28 × 28 = 784 (cm²).
Bước 2: Nửa hình tròn: 22/7 × 14 × 14 : 2 = 308 (cm²).
Bước 3: Phần ngoài = 784 − 308 = 476 (cm²).
Vậy diện tích phần đó là 476 cm².
Câu 53 điểm

How many integers x satisfy |x − 11| + |x − 4| = 7?
Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn |x − 11| + |x − 4| = 7?
1. A. 2
2. B. 7
3. C. 8
4. D. 9
5. E. 12
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: C. 8

Nhận dạng: tổng hai giá trị tuyệt đối bằng một số.
Ý tưởng: |x − m| là khoảng cách từ x tới m trên trục số;
so vế phải với khoảng cách hai mốc.
Bước 1: |x − 4| là khoảng cách từ x tới 4, |x − 11| là khoảng cách từ x tới 11.
Bước 2: Hai mốc cách nhau 11 − 4 = 7, đúng bằng vế phải: mọi x nằm giữa hai mốc đều thoả (x ở ngoài thì tổng lớn hơn 7).
Bước 3: Số nguyên từ 4 đến 11: 11 − 4 + 1 = 8.
Vậy có 8 số.
Câu 63 điểm

Small notebooks cost 6 thousand dong, large ones 23 thousand. Minh spends exactly 268 thousand (at least one of each). What is the least number of notebooks he can buy?
Vở loại nhỏ giá 6 nghìn đồng, vở loại lớn giá 23 nghìn đồng. Minh mua vở hết đúng 268 nghìn đồng (mỗi loại ít nhất một quyển). Minh mua ít nhất bao nhiêu quyển vở?
1. A. 11
2. B. 22
3. C. 23
4. D. 25
5. E. 39
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 22

Nhận dạng: phương trình px + qy = T với nghiệm nguyên không âm, hỏi tổng nhỏ nhất / lớn nhất.
Ý tưởng: liệt kê mọi nghiệm (y tăng thì x giảm đều), rồi chọn.
Bước 1: Gọi x, y là số vở nhỏ, lớn: 6x + 23y = 268, x, y ≥ 1.
Bước 2: Thử y, cần 268 − 23y chia hết cho 6: x = 14, y = 8 (22 quyển);
x = 37, y = 2 (39 quyển).
Bước 3: Mua nhiều vở lớn (đắt) thì ít quyển: x = 14, y = 8.
Vậy Minh mua ít nhất 22 quyển.
Câu 73 điểm

When a sheet of paper is turned 180° (the whole number upside down), the digits 0, 1, 8 are still read as 0, 1, 8, while 6 is read as 9 and 9 as 6. The number 1986 is written on a sheet which is then turned 180°, and a new number is read. What is the sum of the two numbers?
Khi xoay một trang giấy 180° (lộn ngược cả số), các chữ số 0, 1, 8 vẫn đọc là 0, 1, 8, còn 6 đọc thành 9 và 9 đọc thành 6. Số 1986 được viết trên trang giấy rồi xoay 180° thì đọc ra một số mới. Tổng của hai số đó là bao nhiêu?
1. A. 4905
2. B. 8877
3. C. 11847
4. D. 11867
5. E. 11937
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 11847

Nhận dạng: xoay một số 180°, hỏi số mới hoặc hiệu, tổng của hai số.
Ý tưởng: xoay 180° thì thứ tự chữ số bị đảo ngược (chữ số đầu xuống cuối) và mỗi chữ số đổi theo quy tắc: 0, 1, 8 giữ nguyên, 6 thành 9, 9 thành 6.
Bước 1: Đảo thứ tự các chữ số của 1986: 6891.
Bước 2: Đổi từng chữ số (6 thành 9, 9 thành 6, các chữ số khác giữ nguyên): 9861.
Bước 3: Tổng hai số: 1986 + 9861 = 11847.
Vậy tổng là 11847.
Câu 83 điểm

How many positive divisors does 2030 have?
Số 2030 có bao nhiêu ước dương?
1. A. 1
2. B. 5
3. C. 8
4. D. 16
5. E. 26
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: D. 16

Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn.
Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 2030 : 2 = 1015, 1015 : 5 = 203, 203 : 7 = 29, 29 : 29 = 1.
Vậy 2030 = 2 × 5 × 7 × 29.
Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn: số mũ của 2 chọn từ 0 đến 1: 2 cách;
số mũ của 5 chọn từ 0 đến 1: 2 cách;
số mũ của 7 chọn từ 0 đến 1: 2 cách;
số mũ của 29 chọn từ 0 đến 1: 2 cách.
Bước 3: Số ước = (1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
Vậy 2030 có 16 ước.
Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.
Câu 93 điểm

Fill the 4 × 4 grid (_ is a blank cell) with 1, 2, 3, 4 so that every row, column and each 2 × 2 corner square contains 1, 2, 3 and 4. Row 1: 1 _ 4 2. Row 2: _ 2 1 _. Row 3: _ _ _ 1. Row 4: 3 _ 2 _. What number goes in the blank cell in row 3, column 3?
Điền các số 1, 2, 3, 4 vào bảng 4 × 4 (dấu _ là ô trống) sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi hình vuông 2 × 2 ở góc đều có đủ bốn số 1, 2, 3, 4. Hàng 1: 1 _ 4 2. Hàng 2: _ 2 1 _. Hàng 3: _ _ _ 1. Hàng 4: 3 _ 2 _. Số ở ô hàng 3, cột 3 (ô trống) là bao nhiêu?
1. A. 0
2. B. 3
3. C. 6
4. D. 8
5. E. 13
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 3

Nhận dạng: sudoku 4 × 4, điền số sao cho mỗi hàng, cột, ô vuông 2 × 2 có đủ 1 đến 4.
Ý tưởng: tìm ô mà hàng, cột và ô vuông của nó đã có ba số, ô đó chỉ còn một số.
Bước 1: Ô hàng 1, cột 2: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 4, nên chỉ còn 3.
Bước 2: Ô hàng 2, cột 1: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 3, nên chỉ còn 4.
Bước 3: Ô hàng 2, cột 4: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 4, nên chỉ còn 3.
Bước 4: Ô hàng 3, cột 1: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 3, 4, nên chỉ còn 2.
Bước 5: Ô hàng 3, cột 2: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 3, nên chỉ còn 4.
Bước 6: Ô hàng 3, cột 3: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 4, nên chỉ còn 3.
Vậy ô hàng 3, cột 3 là 3.
Câu 103 điểm

How many two-digit primes leave remainder 1 when divided by 6?
Có bao nhiêu số nguyên tố có hai chữ số mà chia cho 6 dư 1?
1. A. 6
2. B. 9
3. C. 10
4. D. 11
5. E. 15
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 10

Nhận dạng: đếm số nguyên tố có số dư cho trước.
Ý tưởng: viết các số chia 6 dư 1 trong khoảng (cộng thêm 6 mỗi lần), rồi bỏ hợp số.
Bước 1: Số nhỏ nhất thoả mãn là 13, cộng thêm 6 mỗi lần: 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97.
Bước 2: Bỏ hợp số: 25 = 5 × 5;
49 = 7 × 7;
55 = 5 × 11;
85 = 5 × 17;
91 = 7 × 13.
Bước 3: Còn lại các số nguyên tố: 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97.
Vậy có 10 số.
Mẹo: số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ chia 6 dư 1 hoặc dư 5, vì dư 0, 2, 3, 4 thì chia hết cho 2 hoặc 3.

Phần 2: Trắc nghiệm trung bình (10 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

Find the remainder when 134²⁰²⁵ is divided by 9.
Số 134²⁰²⁵ chia cho 9 dư bao nhiêu?
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 4
4. D. 8
5. E. 12
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: D. 8

Nhận dạng: số dư khi chia một luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: viết cơ số thành bội của 9 cộng 1 hoặc trừ 1, rồi xem tích các thừa số như vậy.
Bước 1: 134 = 9 × 15 − 1 (134 chia 9 dư 8, kém bội của 9 một đơn vị).
Bước 2: (bội của 9 − 1) × (bội của 9 − 1) = bội của 9 + 1, nên 134² chia 9 dư 1.
Bước 3: 2025 lẻ: 134²⁰²⁵ = (134²)¹⁰¹² × 134;
phần đầu chia 9 dư 1, nhân thêm 134 nên dư 8.
Vậy 134²⁰²⁵ chia 9 dư 8.
Câu 124 điểm

312 identical square tiles are arranged, all of them, into a solid rectangle. How many rectangles of different sizes are possible?
Có 312 viên gạch hình vuông giống nhau. Xếp hết số gạch thành một hình chữ nhật đặc. Có bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau về kích thước?
1. A. 6
2. B. 7
3. C. 8
4. D. 9
5. E. 16
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 8

Nhận dạng: hình chữ nhật biết diện tích, cạnh là số tự nhiên.
Ý tưởng: gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (a ≥ b), a × b = 312;
mỗi hình là một cặp ước của 312.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 312 : 2 = 156, 156 : 2 = 78, 78 : 2 = 39, 39 : 3 = 13, 13 : 13 = 1.
Vậy 312 = 2³ × 3 × 13.
Các cặp: 312 × 1, 156 × 2, 104 × 3, 78 × 4, ….
Bước 2: 312 có 4 × 2 × 2 = 16 ước.
Bước 3: Số cặp (a, b): mỗi cặp dùng hai ước khác nhau: 16 : 2 = 8 cặp.
Vậy có 8 hình chữ nhật khác nhau.
Câu 134 điểm

Numbers a and b satisfy a + b = 31 and a² + b² = 493. Find a³ + b³.
Hai số a, b có a + b = 31, a² + b² = 493. Tính a³ + b³.
1. A. 8029
2. B. 8031
3. C. 15283
4. D. 22537
5. E. 29791
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: A. 8029

Nhận dạng: biết a + b và a² + b², hỏi tổng hai lập phương.
Ý tưởng: tìm ab trước, rồi dùng a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
Bước 1: (a + b)² = a² + b² + 2ab: 31² = 961 = 493 + 2ab, 2ab = 961 − 493 = 468, ab = 468 : 2 = 234.
Bước 2: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
Bước 3: = 31 × (493 − 234) = 31 × 259 = 8029.
Vậy a³ + b³ = 8029.
Câu 144 điểm

26 October 2039 is a Wednesday. After how many years at the earliest is 26 October a Wednesday again?
Ngày 26 tháng 10 năm 2039 là Thứ Tư. Sau ít nhất bao nhiêu năm thì ngày 26 tháng 10 lại là Thứ Tư?
1. A. 0
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 7
5. E. 11
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: B. 5

Nhận dạng: hỏi sau bao nhiêu năm cùng ngày tháng lại cùng thứ.
Ý tưởng: mỗi năm thường lệch 1 thứ, năm nhuận lệch 2 thứ, cộng dồn cho đến khi tổng chia hết cho 7.
Bước 1: Từ ngày 26/10/2039 sang năm sau cùng ngày tháng, thứ lệch 1 (năm thường, 365 = 7 × 52 + 1) hoặc 2 (năm nhuận, 366 = 7 × 52 + 2).
Bước 2: Các năm nhuận từ 2040 đến 2044 là 2040, 2044 (lệch 2), các năm còn lại lệch 1.
Bước 3: Cộng dồn độ lệch từng năm 2040, 2041, …, 2044: 2, 3, 4, 5, 7.
Bước 4: 7 = 7 × 1 là số đầu tiên chia hết cho 7, ở năm 2044, sau 2044 − 2039 = 5 năm.
Vậy sau ít nhất 5 năm.
Câu 154 điểm

An exam has 36 questions. A correct answer scores 4 points, a wrong answer loses 3 points, a blank scores 0. Phuc gets 109 points. What is the largest possible number of wrong answers?
Một bài thi có 36 câu. Mỗi câu đúng được 4 điểm, mỗi câu sai bị trừ 3 điểm, bỏ trống không có điểm. Bạn Phúc đạt 109 điểm. Hỏi số câu sai nhiều nhất của Phúc có thể là bao nhiêu?
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 6
5. E. 7
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: C. 5

Nhận dạng: ba loại câu (đúng, sai, bỏ trống) với tổng số điểm cho trước, hỏi cực trị hoặc số cách.
Ý tưởng: gọi a là số câu đúng, b là số câu sai, điểm 4 × a − 3 × b = 109, b phải là số tự nhiên và a + b không vượt quá 36, rồi liệt kê.
Bước 1: Gọi a, b là số câu đúng, sai: 4 × a − 3 × b = 109, suy ra b = (4 × a − 109) : 3.
Bước 2: b nguyên không âm nên 4 × a ≥ 109 (a ≥ 28) và 4 × a − 109 chia hết cho 3.
Bước 3: Các cặp thoả a + b ≤ 36: a = 28: b = (4 × 28 − 109) : 3 = 1, trống 7;
a = 31: b = (4 × 31 − 109) : 3 = 5, trống 0.
Loại a = 34: b = 9 thì a + b = 43 lớn hơn 36.
Bước 4: Có 2 cặp (a, b): (28, 1), (31, 5).
Vậy số câu sai nhiều nhất là 5.
Câu 164 điểm

How many pairs of integers (x, y) satisfy xy + 4x − 4y = 58?
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) thoả mãn xy + 4x − 4y = 58?
1. A. 11
2. B. 14
3. C. 16
4. D. 18
5. E. 21
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: C. 16

Nhận dạng: phương trình có xy, x, y, hỏi mọi nghiệm nguyên (cả âm).
Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc bằng một số;
mỗi ước của số đó cho đúng một nghiệm.
Bước 1: Trừ 16 hai vế: xy + 4x − 4y − 16 = 42.
Bước 2: Nhóm: x(y + 4) − 4(y + 4) = (x − 4)(y + 4) = 42.
Bước 3: x − 4 là một ước của 42 (dương hoặc âm), y + 4 là thương;
mỗi ước cho một cặp (x, y) nguyên.
Bước 4: 42 có 8 ước dương (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42), thêm 8 ước âm: 8 × 2 = 16.
Vậy có 16 cặp.
Câu 174 điểm

5 flags of different colours and 4 identical white posts are put in a row. In how many ways can this be done?
Xếp 5 lá cờ khác màu và 4 cọc trắng giống nhau thành một hàng. Có bao nhiêu cách xếp?
1. A. 120
2. B. 126
3. C. 252
4. D. 15110
5. E. 15120
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: E. 15120

Nhận dạng: hoán vị có lặp, có vật khác nhau và vật giống nhau.
Ý tưởng: xếp như thể các vật đều khác nhau, rồi chia cho số cách đổi chỗ 4 vật giống nhau;
kí hiệu 9! là tích các số từ 1 đến 9, đọc là 9 giai thừa.
Bước 1 (đếm vật): 5 + 4 = 9 vật;
4 vật giống nhau.
Bước 2 (coi như khác nhau): 9! cách.
Bước 3 (chia cho 4! cách đổi chỗ vật giống nhau): 9! : 4! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 15120.
Vậy có 15120 cách.
Mẹo: cũng là chọn chỗ có thứ tự cho 5 vật khác nhau trong 9 chỗ: 9 × 8 × 7 × 6 × 5.
Câu 184 điểm

In a sequence the first term is 8, and each term from the 2nd on equals 8 times the term before it plus 12. What is the last digit of the 2025th term?
Dãy số có số thứ nhất là 8; mỗi số từ số thứ hai bằng 8 lần số đứng ngay trước cộng 12. Chữ số tận cùng của số thứ 2025 là chữ số nào?
1. A. 0
2. B. 2
3. C. 6
4. D. 8
5. E. 18
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: D. 8

Nhận dạng: dãy số cho bằng quy luật nhân rồi cộng, hỏi chữ số tận cùng của một số hạng rất xa.
Ý tưởng: chữ số tận cùng của số sau chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của số trước, nên chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ.
Bước 1: Chỉ cần tính với chữ số tận cùng, bắt đầu từ 8: 8 × 8 + 12 = 76 (tận cùng 6), 8 × 6 + 12 = 60 (tận cùng 0), 8 × 0 + 12 = 12 (tận cùng 2), 8 × 2 + 12 = 28 (tận cùng 8);
chữ số 8 xuất hiện lại.
Bước 2: Từ số thứ 1 trở đi chữ số tận cùng lặp lại theo nhóm 4 số: 8, 6, 0, 2.
Bước 3: Số thứ 2025 nằm cách số thứ 1 là 2025 − 1 = 2024 vị trí;
2024 : 4 = 506 dư 0.
Bước 4: Dư 0 nên số thứ 2025 có cùng chữ số tận cùng với vị trí thứ 1 của nhóm, là 8.
Vậy chữ số tận cùng là 8.
Câu 194 điểm

Find the units digit of A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁸⁴.
Tìm chữ số tận cùng của A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁸⁴.
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 3
4. D. 5
5. E. 6
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: A. 0

Nhận dạng: tổng các luỹ thừa liên tiếp của cùng một số.
Ý tưởng: chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ;
gom mỗi chu kỳ thành một nhóm có tổng tận cùng 0.
Bước 1: Chữ số tận cùng của 2, 2², 2³, … lặp lại chu kỳ 4 số: 2, 4, 8, 6;
mỗi nhóm 4 số hạng có tổng 2 + 4 + 8 + 6 = 20, tận cùng 0.
Bước 2: 284 = 4 × 71: 71 nhóm đủ (tận cùng 0).
Vậy A có chữ số tận cùng là 0.
Câu 204 điểm

12 people stand in a row, numbered 1 to 12. Person k (k = 1, 2, …, 12) says: “There are exactly k liars in the row.” Each person either always tells the truth or always lies. How many of them are lying?
12 người đứng thành hàng và được đánh số từ 1 đến 12. Người thứ k (k = 1, 2, …, 12) nói: “Trong hàng có đúng k người nói dối.” Mỗi người hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. Có bao nhiêu người nói dối?
1. A. 9
2. B. 10
3. C. 11
4. D. 12
5. E. 13
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: C. 11

Nhận dạng: các phát biểu tự nói về số người nói dối, hỏi số người nói dối (hoặc người nói thật).
Ý tưởng: các phát biểu loại trừ nhau, đặt số người nói thật là t rồi thử từng giá trị của t.
Bước 1: Hai người khác nhau nói hai số khác nhau về số người nói dối, nên nhiều nhất một người nói thật, t = 0 hoặc t = 1.
Bước 2: Nếu t = 0 thì cả 12 người nói dối, nghĩa là có 12 người nói dối, và lời của người thứ 12 lại đúng, mâu thuẫn.
Bước 3: Nếu t = 1 thì có 12 − 1 = 11 người nói dối, lời người thứ 11 là đúng, các lời khác sai: hợp lí.
Vậy có 11 người nói dối.

Phần 3: Đáp số nguyên 0–999 (5 câu × 6 điểm)

Câu 216 điểm

A box holds a mix of 9 yellow chopsticks, 15 white chopsticks, 12 red chopsticks, 15 blue chopsticks; two of the same colour make a pair. They are taken out in the dark. We need 3 yellow pairs and, in total, 8 pairs that are not blue (the yellow pairs count). At least how many must be taken?
Một hộp có lẫn lộn 9 chiếc đũa vàng, 15 chiếc đũa trắng, 12 chiếc đũa đỏ, 15 chiếc đũa xanh; hai chiếc cùng màu tạo thành một đôi. Lấy trong bóng tối (không nhìn thấy màu). Cần có 3 đôi đũa màu vàng và tổng cộng 8 đôi đũa không phải màu xanh (tính cả các đôi màu vàng). Phải lấy ít nhất bao nhiêu chiếc đũa?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 48

Nhận dạng: trường hợp xấu nhất theo đôi, hai điều kiện.
Ý tưởng: điều kiện khó đủ hơn là 3 đôi màu vàng;
xấu nhất là màu vàng chỉ có 5 chiếc (thiếu một chiếc để đủ 3 đôi), các màu khác lấy hết.
Bước 1 (lấy hết màu khác): xanh 15, trắng 15, đỏ 12;
thêm 5 chiếc vàng: 15 + 15 + 12 + 5 = 47.
Bước 2 (kiểm tra điều kiện kia): trắng 15 chiếc: 7 đôi, đỏ 12 chiếc: 6 đôi, vàng 5 chiếc: 2 đôi;
7 + 6 + 2 = 15 đôi không phải màu xanh, đủ 8 đôi.
Bước 3 (lấy thêm 1): chiếc tiếp theo là màu vàng, đủ 3 đôi: 47 + 1 = 48.
Vậy phải lấy ít nhất 48 chiếc đũa.
Câu 226 điểm

Think of a number, add 11, divide by 2, subtract 11, subtract 3, then square the result to get 9. There are two such numbers. Which is the smaller of the two possible numbers?
Nghĩ một số, cộng 11, chia cho 2, trừ 11, trừ 3, rồi bình phương kết quả, được 9. Có hai số thoả đề. Số nhỏ hơn trong hai số có thể nghĩ là số nào?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 11

Nhận dạng: chuỗi phép tính kết thúc bằng bình phương, hỏi số ban đầu (có hai số).
Ý tưởng: đi ngược từ kết quả, mỗi phép tính đổi thành phép ngược (cộng ↔ trừ, nhân ↔ chia), và bình phương cho hai giá trị đối nhau.
Bước 1: Trước khi bình phương là số t có t² = 9, nên t = 3 hoặc t = −3.
Bước 2: Nhánh t = 3, đi ngược: 3 + 3 = 6, 6 + 11 = 17, 17 × 2 = 34, 34 − 11 = 23.
Số nghĩ là 23.
Bước 3: Nhánh t = −3, đi ngược: −3 + 3 = 0, 0 + 11 = 11, 11 × 2 = 22, 22 − 11 = 11.
Số nghĩ là 11.
Bước 4: Hai số là 23 và 11.
Vậy số nhỏ hơn là 11.
Câu 236 điểm

Find the maximum value of E = √(x + 8) + √(0 − x).
Tìm giá trị lớn nhất của E = √(x + 8) + √(0 − x).
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 4

Nhận dạng: tổng hai căn bậc hai, tổng hai biểu thức dưới căn không đổi.
Ý tưởng: bình phương E;
dùng 2uv ≤ u² + v² (vì (u − v)² ≥ 0).
Bước 1: Đặt u = √(x + 8), v = √(0 − x);
u² + v² = (x + 8) + (0 − x) = 8.
Bước 2: E² = u² + v² + 2uv ≤ 2(u² + v²) = 2 × 8 = 16.
Bước 3: 4 × 4 = 16, nên E ≤ 4;
dấu bằng khi u = v, tức là x + 8 = 0 − x, 2x = −8, x = (−8) : 2 = −4.
Vậy giá trị lớn nhất của E là 4.
Câu 246 điểm

Chi arranges 1275 balls into a triangle: 1 ball in the top row, and each row has 1 more ball than the row above. All the balls are used. How many rows are there?
Chi xếp 1275 quả bóng thành hình tam giác: hàng trên cùng 1 quả, mỗi hàng dưới nhiều hơn hàng ngay trên 1 quả, xếp vừa hết bóng. Có bao nhiêu hàng?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 50

Nhận dạng: gọi n là số hàng, số bóng là 1 + 2 + … + n, biết tổng tìm n.
Ý tưởng: cộng tổng xuôi với tổng ngược, mỗi cột bằng n + 1.
Bước 1: Viết 1 + 2 + … + n và n + … + 2 + 1 thẳng cột rồi cộng: mỗi cột bằng n + 1, có n cột, nên 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2.
Bước 2: n × (n + 1) = 2 × 1275 = 2550.
Bước 3: n × (n + 1) là tích hai số liên tiếp;
50 × 50 = 2500 < 2550 < 51 × 51 = 2601, thử 50 × 51 = 2550.
Vậy có 50 hàng.
Câu 256 điểm

In the addition MATH + TEACH = 34870, each letter is a digit, different letters are different digits, and M and T are not 0. How many different values can the number MATH take?
Trong phép cộng MATH + TEACH = 34870, mỗi chữ cái là một chữ số, các chữ cái khác nhau là các chữ số khác nhau, M và T khác 0. Có bao nhiêu giá trị khác nhau của số MATH?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 8

Nhận dạng: phép cộng chữ có số cho sẵn ở kết quả, hỏi số giá trị hoặc giá trị lớn nhất của một số.
Ý tưởng: xét cột đơn vị và cột chữ số đầu để tìm H, T, rồi lần lượt các cột còn lại, đếm các cách còn khớp.
Bước 1: Cột đơn vị: H + H tận cùng 0, nên H ∈ {0, 5}.
Bước 2: Chữ số hàng chục nghìn của tổng là 3, nên T = 3 hoặc T = 2 (tuỳ có nhớ từ cột nghìn).
Bước 3: Với H = 0, T = 2, các cột chục và trăm cho A = 4, C = 5, cột nghìn cho M + E = 14 (M, E khác các chữ số đã dùng): (M, E) = (6, 8), (8, 6), có 2 cách.
Bước 4: Với H = 0, T = 2, các cột chục và trăm cho A = 9, C = 5, cột nghìn cho M + E = 13 (M, E khác các chữ số đã dùng): (M, E) = (6, 7), (7, 6), có 2 cách.
Bước 5: Với H = 0, T = 3, các cột chục và trăm cho A = 9, C = 4, cột nghìn cho M + E = 3 (M, E khác các chữ số đã dùng): (M, E) = (1, 2), (2, 1), có 2 cách.
Bước 6: Với H = 5, T = 2, các cột chục và trăm cho A = 9, C = 4, cột nghìn cho M + E = 13 (M, E khác các chữ số đã dùng): (M, E) = (6, 7), (7, 6), có 2 cách.
Bước 7: Các trường hợp (H, T) khác không cho chữ số hợp lệ.
Mỗi cách chọn cho một giá trị MATH khác nhau, tổng cộng 8 giá trị.
Vậy số MATH nhận 8 giá trị khác nhau.

Đáp án đề thi IMAS lớp 8

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 159
Câu 2	C. 31
Câu 3	C. 171
Câu 4	C. 476
Câu 5	C. 8
Câu 6	B. 22
Câu 7	C. 11847
Câu 8	D. 16
Câu 9	B. 3
Câu 10	C. 10
Câu 11	D. 8
Câu 12	C. 8
Câu 13	A. 8029
Câu 14	B. 5
Câu 15	C. 5
Câu 16	C. 16
Câu 17	E. 15120
Câu 18	D. 8
Câu 19	A. 0
Câu 20	C. 11
Câu 21	48
Câu 22	11
Câu 23	4
Câu 24	50
Câu 25	8

Đề thi khác

Đề IMAS khối khác: Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức IMAS.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi IMAS lớp 8 có bao nhiêu câu?