Từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8, 9, lập các số có 5 chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số chia hết cho 5? A. 118 B. 120 C. 180 D. 240 E. 360

Đáp án: B. 120. Nhận dạng: lập số chia hết cho 5 có các chữ số khác nhau. Ý tưởng: trong các chữ số không có 5 nên chữ số cuối chỉ có thể là 0. Bước 1 (chữ số cuối): đề cho 6 chữ số; số chia hết cho 5 có chữ số cuối là 0. Bước 2 (cuối là 0): hàng chục nghìn: 6 − 1 = 5 cách, hàng nghìn: 6 − 2 = 4 cách, hàng trăm: 6 − 3 = 3 cách, hàng chục: 6 − 4 = 2 cách; 5 × 4 × 3 × 2 = 120 số. Vậy có 120 số.

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M(5; 36) và P(8; 51). Tính giá trị của y khi x = 19. A. 95 B. 96 C. 106 D. 111 E. 121

Đáp án: C. 106. Nhận dạng: tìm hàm số bậc nhất qua hai điểm. Ý tưởng: thay toạ độ hai điểm vào y = ax + b, tìm a rồi b. Bước 1 (tìm a): thay M: 5a + b = 36; thay P: 8a + b = 51; trừ vế: 3a = 15, a = 15 : 3 = 5. Bước 2 (tìm b): b = 36 − 5 × 5 = 11. Bước 3 (thay x = 19): y = 5 × 19 + 11 = 106. Vậy y = 106.

Đếm các số nguyên tố có hai chữ số chia cho 6 được số dư là 5. A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 E. 15

Đáp án: C. 11. Nhận dạng: đếm số nguyên tố có số dư cho trước. Ý tưởng: viết các số chia 6 dư 5 trong khoảng (cộng thêm 6 mỗi lần), rồi bỏ hợp số. Bước 1: Số nhỏ nhất thoả mãn là 11, cộng thêm 6 mỗi lần: 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95. Bước 2: Bỏ hợp số: 35 = 5 × 7; 65 = 5 × 13; 77 = 7 × 11; 95 = 5 × 19. Bước 3: Còn lại các số nguyên tố: 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89. Vậy có 11 số. Mẹo: số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ chia 6 dư 1 hoặc dư 5, vì dư 0, 2, 3, 4 thì chia hết cho 2 hoặc 3.

Mỗi góc ngoài của một đa giác đều n cạnh bằng (n + 67)°. Đa giác có bao nhiêu đường chéo? A. 0 B. 5 C. 8 D. 10 E. 15

Đáp án: B. 5. Nhận dạng: góc ngoài của đa giác đều viết bằng biểu thức của n. Ý tưởng: các góc ngoài bằng nhau, tổng 360°, nên góc ngoài × n = 360. Bước 1: (n + 67) × n = 360, tức n² + 67n − 360 = 0. Bước 2: Tìm hai số có tích −360 và tổng −67: 5 và −72, nên (n − 5)(n + 72) = 0. Bước 3: n = 5 hoặc n = −72; số cạnh phải dương nên n = 5. Bước 4: Số đường chéo = 5 × (5 − 3) : 2 = 5 × 2 : 2 = 5. Vậy đa giác có 5 đường chéo. Mẹo: phương trình bậc hai có một nghiệm âm, số cạnh phải là số tự nhiên ≥ 3 nên loại nghiệm âm.

Đổi chỗ các chữ cái của từ WINTER (mỗi chữ cái dùng đúng một lần, kể cả dãy không có nghĩa). Có bao nhiêu cách xếp sao cho hai đầu đều là nguyên âm (A, E, I, O, U)? A. 24 B. 28 C. 48 D. 72 E. 720

Đáp án: C. 48. Nhận dạng: xếp hàng có vị trí cố định. Ý tưởng: xếp những chỗ có điều kiện trước, rồi xếp phần còn lại; kí hiệu 4! là tích các số từ 1 đến 4, đọc là 4 giai thừa. Bước 1 (chỗ có điều kiện): WINTER có 2 nguyên âm I, E; đầu trái: 2 cách, đầu phải: 2 − 1 = 1 cách; 2 × 1 = 2 cách. Bước 2 (chỗ còn lại): 6 − 2 = 4 chữ cái còn lại xếp vào 4 chỗ: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cách. Bước 3 (nhân): 2 × 24 = 48. Vậy có 48 cách.

Hai đoàn tàu đều dài 200 m chạy ngược chiều trên hai đường song song với vận tốc 72 km/h và 108 km/h. Tính thời gian (giây) kể từ lúc đầu hai tàu ngang nhau đến lúc đuôi hai tàu rời nhau. A. 4 B. 7 C. 8 D. 13 E. 40

Đáp án: C. 8. Nhận dạng: hai tàu qua nhau hoàn toàn, hỏi thời gian. Ý tưởng: coi một tàu đứng yên, tàu kia đi với vận tốc tương đối (ngược chiều cộng, cùng chiều trừ) một quãng bằng tổng hai chiều dài. Bước 1: Tổng hai chiều dài: 200 + 200 = 400 m. Bước 2: Vận tốc tương đối: 72 + 108 = 180 km/h = 180 × 5/18 = 50 m/s. Bước 3: Thời gian = 400 : 50 = 8 giây. Vậy hai tàu qua nhau hết 8 giây.

Cửa hàng cho đổi 5 vỏ chai lấy 1 chai nước mới. Nam có 46 chai nước. Nếu đổi vỏ nhiều nhất có thể (không mượn vỏ), Nam uống được tất cả bao nhiêu chai? A. 46 B. 47 C. 55 D. 57 E. 58

Đáp án: D. 57. Nhận dạng: đổi vỏ lấy chai, chia liên tiếp có cộng phần dư. Ý tưởng: mỗi lần uống xong lại có thêm vỏ; đổi đến khi số vỏ ít hơn 5. Bước 1 (đổi từng lượt): 46 vỏ đổi 9 chai, dư 1 vỏ; 9 + 1 = 10 vỏ đổi 2 chai, dư 0 vỏ. Bước 2 (cộng): 46 chai ban đầu và 11 chai đổi được: 46 + 11 = 57. Vậy Nam uống được 57 chai.

Có 40 tấm thẻ ghi các số từ 1 đến 40, mỗi thẻ một số. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 2 thẻ. Tính xác suất để có đúng một thẻ là bội của 7. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b. A. 9 B. 65 C. 71 D. 191 E. 194

Đáp án: D. 191. Nhận dạng: rút thẻ, xác suất theo bội của một số. Ý tưởng: 1 thẻ trong nhóm bội của 7, 1 thẻ trong nhóm còn lại (quy tắc nhân). Bước 1 (số cách rút): chọn 2 trong 40 thẻ: (40 × 39) : (2 × 1) = 780. Bước 2 (đếm bội của 7): từ 1 đến 40 có 7, 14, 21, 28, 35: 5 thẻ; còn lại 40 − 5 = 35 thẻ. Bước 3 (thoả): 5 × 35 = 175. Bước 4 (xác suất): 175/780 = 35/156. Bước 5 (tính a + b): xác suất là 35/156, a = 35, b = 156; 35 + 156 = 191. Vậy a + b = 191.

Một đoạn đường thẳng dài 225 m, người ta trồng cây cách đều nhau 25 m, có cây không có ở hai đầu đoạn. Cần tất cả bao nhiêu cây? A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11

Đáp án: B. 8. Nhận dạng: trồng cách đều trên đoạn thẳng, hỏi tổng số cây hay cọc. Ý tưởng: số khoảng = chiều dài : khoảng cách, có cả hai đầu thì số cây = số khoảng + 1, một đầu thì bằng số khoảng, không đầu nào thì ít hơn số khoảng 1. Bước 1: Số khoảng: 225 : 25 = 9. Bước 2: Không có ở hai đầu: 9 − 1 = 8. Vậy cần 8 cây.

Một bài thi có 24 câu. Mỗi câu đúng được 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, bỏ trống không có điểm. Bạn Lan đạt 78 điểm. Hỏi số câu sai nhiều nhất của Lan có thể là bao nhiêu? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

Đáp án: C. 6. Nhận dạng: ba loại câu (đúng, sai, bỏ trống) với tổng số điểm cho trước, hỏi cực trị hoặc số cách. Ý tưởng: gọi a là số câu đúng, b là số câu sai, điểm 5 × a − 2 × b = 78, b phải là số tự nhiên và a + b không vượt quá 24, rồi liệt kê. Bước 1: Gọi a, b là số câu đúng, sai: 5 × a − 2 × b = 78, suy ra b = (5 × a − 78) : 2. Bước 2: b nguyên không âm nên 5 × a ≥ 78 (a ≥ 16) và 5 × a − 78 chia hết cho 2. Bước 3: Các cặp thoả a + b ≤ 24: a = 16: b = (5 × 16 − 78) : 2 = 1, trống 7; a = 18: b = (5 × 18 − 78) : 2 = 6, trống 0. Loại a = 20: b = 11 thì a + b = 31 lớn hơn 24. Bước 4: Có 2 cặp (a, b): (16, 1), (18, 6). Vậy số câu sai nhiều nhất là 6.

Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Diện tích tam giác OAB là 4, diện tích tam giác OAD là 6. Tính diện tích tam giác OCD. A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 E. 14

Đáp án: C. 9. Nhận dạng: hình thang ABCD (AB ∥ CD) có hai đường chéo cắt nhau ở O, S(OAB) là diện tích tam giác OAB. Ý tưởng: AB ∥ CD nên ΔOAB ∼ ΔOCD theo tỉ số AB : CD; hai tam giác chung đường cao thì diện tích tỉ lệ với đáy. Bước 1: ΔOAD và ΔOAB chung đường cao từ A: OD : OB = S(OAD) : S(OAB) = 6 : 4 = 3/2. Bước 2: ΔOCD ∼ ΔOAB theo tỉ số OD : OB = 3/2, diện tích gấp (3/2) × (3/2) lần. Bước 3: S(OCD) = 4 × 9/4 = 9. Vậy diện tích tam giác OCD là 9.

Cho 14 số lẻ liên tiếp, số lớn nhất là 347. Tổng của 14 số đó bằng bao nhiêu? A. 4662 B. 4673 C. 4676 D. 4690 E. 9352

Đáp án: C. 4676. Nhận dạng: tổng 14 số lẻ liên tiếp (dãy cách đều), biết số lớn nhất. Ý tưởng: tìm số ở đầu kia rồi ghép số đầu với số cuối. Bước 1: Từ số đầu tới số cuối có 14 − 1 = 13 khoảng cách, mỗi khoảng 2 (hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2). Bước 2: Số nhỏ nhất: 347 − 13 × 2 = 321. Bước 3: Ghép số đầu với số cuối: 321 + 347 = 668; 14 số tạo thành 14 : 2 = 7 cặp. Bước 4: Tổng: 668 × 7 = 4676. Vậy tổng bằng 4676.

Tìm chữ số tận cùng của A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁶²⁴. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 5

Đáp án: A. 0. Nhận dạng: tổng các luỹ thừa liên tiếp của cùng một số. Ý tưởng: chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ; gom mỗi chu kỳ thành một nhóm có tổng tận cùng 0. Bước 1: Chữ số tận cùng của 3, 3², 3³, … lặp lại chu kỳ 4 số: 3, 9, 7, 1; mỗi nhóm 4 số hạng có tổng 3 + 9 + 7 + 1 = 20, tận cùng 0. Bước 2: 624 = 4 × 156: 156 nhóm đủ (tận cùng 0). Vậy A có chữ số tận cùng là 0.

Có bao nhiêu số có 7 chữ số gồm đúng 4 chữ số 8 và 3 chữ số 6? A. 35 B. 36 C. 70 D. 105 E. 210

Đáp án: A. 35. Nhận dạng: hoán vị có lặp, các vật giống nhau xếp thành hàng. Ý tưởng: xếp như thể các vật đều khác nhau, rồi chia cho số cách đổi chỗ các vật giống nhau; kí hiệu 7! là tích các số từ 1 đến 7, đọc là 7 giai thừa. Bước 1 (đếm vật): 4 + 3 = 7 chữ số; chữ số 8 lặp 4 lần, chữ số 6 lặp 3 lần. Bước 2 (coi như khác nhau): 7! cách. Bước 3 (chia cho số cách đổi chỗ vật giống nhau): 7! : 4! = 7 × 6 × 5 = 210; 210 : 3! = 210 : 6 = 35. Vậy có 35 số.

Với hai số a và b, ta định nghĩa a ⊕ b = a × b − 3 × a − 3 × b + 12. Biết x ⊕ 6 = 24. Tìm x. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 18

Đáp án: B. 10. Nhận dạng: phép toán mới, biết kết quả, tìm số chưa biết. Ý tưởng: viết a ⊕ b = (a − 3) × (b − 3) + 3, đưa về phương trình bậc nhất của x. Bước 1: x ⊕ 6 = (x − 3) × (6 − 3) + 3 = (x − 3) × 3 + 3. Bước 2: (x − 3) × 3 + 3 = 24, nên (x − 3) × 3 = 21. Bước 3: x − 3 = 21 : 3 = 7, nên x = 10. Vậy x = 10.

Gieo hai con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tích hai số chấm là bội của 9. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.

Đáp án: 10. Nhận dạng: gieo hai xúc xắc, xác suất. Ý tưởng: lập bảng 6 × 6 kết quả (con thứ nhất theo cột, con thứ hai theo hàng), đếm các ô thoả điều kiện. Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 = 36. Bước 2 (đếm ô thoả, theo con thứ nhất → các mặt hợp của con thứ hai): 1 → không có (0); 2 → không có (0); 3 → 3, 6 (2); 4 → không có (0); 5 → không có (0); 6 → 3, 6 (2); cộng: 2 + 2 = 4. Bước 3 (xác suất): 4/36 = 1/9. Bước 4 (tính a + b): xác suất là 1/9, a = 1, b = 9; 1 + 9 = 10. Vậy a + b = 10.

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) thoả mãn xy − 6x − 2y = 8?

Đáp án: 12. Nhận dạng: phương trình có xy, x, y, hỏi mọi nghiệm nguyên (cả âm). Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc bằng một số; mỗi ước của số đó cho đúng một nghiệm. Bước 1: Cộng 12 hai vế: xy − 6x − 2y + 12 = 20. Bước 2: Nhóm: x(y − 6) − 2(y − 6) = (x − 2)(y − 6) = 20. Bước 3: x − 2 là một ước của 20 (dương hoặc âm), y − 6 là thương; mỗi ước cho một cặp (x, y) nguyên. Bước 4: 20 có 6 ước dương (1, 2, 4, 5, 10, 20), thêm 6 ước âm: 6 × 2 = 12. Vậy có 12 cặp.

Tính giá trị của xy + 4x + y + 4 tại x = 99, y = 6.

Đáp án: 1000. Nhận dạng: bốn hạng tử có xy, x, y và hằng số. Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc, số tròn sẽ hiện ra. Bước 1: Nhóm: (xy + 4x) + (y + 4) = x(y + 4) + (y + 4). Bước 2: = (x + 1)(y + 4). Bước 3: Tại x = 99, y = 6: x + 1 = 100, y + 4 = 10. Bước 4: 100 × 10 = 1000. Vậy giá trị bằng 1000.

Có bao nhiêu số nguyên dương x thoả mãn 103 < 116 − 2x?

Đáp án: 6. Nhận dạng: bất phương trình có hệ số của x âm, hỏi số nghiệm nguyên. Ý tưởng: làm cùng một phép ở cả ba vế để x đứng một mình (nhân, chia số âm thì đổi chiều), rồi đếm số nguyên. Bước 1: Trừ 116 ở hai vế: −13 −13. Bước 2: Chia hai vế cho −2 (số âm, đổi chiều): x < 13/2. Bước 3: Cận không nguyên, x nguyên: x < 13/2 tức là 2x < 13: 2 × 6 = 12 được, 2 × 7 = 14 quá lớn, nên x ≤ 6. Bước 4: Đếm số nguyên dương x từ 1 đến 6: 6 − 1 + 1 = 6. Vậy có 6 số.

Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 200 chia hết cho 5 hoặc 8?

Đáp án: 60. Nhận dạng: đếm số chia hết cho 5 hoặc 8 (bao hàm – loại trừ). Ý tưởng: đếm từng loại, rồi bớt phần chia hết cho cả hai vì phần đó bị đếm hai lần. Bước 1: Chia hết cho 5: từ 5 đến 200, có (200 − 5) : 5 + 1 = 40 số. Bước 2: Chia hết cho 8: từ 8 đến 200, có (200 − 8) : 8 + 1 = 25 số. Bước 3: Chia hết cho cả 5 và 8, tức chia hết cho BCNN(5, 8) = 40: từ 40 đến 200, có (200 − 40) : 40 + 1 = 5 số. Bước 4: Số chia hết cho cả hai bị đếm hai lần, bớt một lần: 40 + 25 − 5 = 60. Vậy có 60 số.

Số A = 103²⁰²³ + 33²⁰²⁴ chia cho 17 dư bao nhiêu?

Đáp án: 2. Nhận dạng: số dư khi chia tổng hai luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: tìm số dư từng luỹ thừa (cơ số là bội của 17 cộng hoặc trừ 1), rồi cộng hai số dư. Bước 1: 103 = 17 × 6 + 1: 103 chia 17 dư 1, nên mọi luỹ thừa của 103 chia 17 dư 1: 103²⁰²³ dư 1. Bước 2: 33 = 17 × 2 − 1 (33 chia 17 dư 16, kém bội của 17 một đơn vị); 33² chia 17 dư 1, số mũ 2024 chẵn nên 33²⁰²⁴ dư 1. Bước 3: Cộng hai số dư: 1 + 1 = 2. Vậy số dư là 2.

Cho S = 2/(3 × 8) + 2/(8 × 13) + 2/(13 × 18) + … + 2/(178 × 183). Viết S dạng phân số tối giản p/q, tính p + q.

Đáp án: 69. Nhận dạng: tổng phân số, mẫu là tích hai số hơn kém nhau cùng một lượng, thừa số sau của số hạng này là thừa số đầu của số hạng tiếp theo. Ý tưởng: tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số, các số ở giữa mất đi. Bước 1: Hai thừa số ở mẫu hơn kém nhau 5: 2/(3 × 8) = 2/5 × (1/3 − 1/8) (vì 1/3 − 1/8 = 5/(3 × 8)). Bước 2: Tách mọi số hạng: S = 2/5 × (1/3 − 1/8 + 1/8 − 1/13 + … + 1/178 − 1/183). Bước 3: Các phân số ở giữa mất đi: S = 2/5 × (1/3 − 1/183); 1/3 − 1/183 = 61/183 − 1/183 = 60/183 = 20/61, S = 2/5 × 20/61 = 8/61. Bước 4: p = 8, q = 61. Vậy p + q = 8 + 61 = 69.

Một hình hộp chữ nhật có thể tích 285 cm³, các cạnh là số tự nhiên (tính theo cm). Diện tích toàn phần nhỏ nhất có thể là bao nhiêu cm²?

Đáp án: 334. Nhận dạng: hình hộp chữ nhật biết thể tích, cạnh là số tự nhiên. Ý tưởng: gọi a ≤ b ≤ c là ba cạnh, a × b × c = 285; liệt kê theo a từ nhỏ đến lớn. Bước 1: Phân tích 285 = 3 × 5 × 19. Bước 2: a × a × a ≤ a × b × c = 285, nên a ≤ 6. Các bộ (a, b, c): a = 1: (1, 1, 285), (1, 3, 95), (1, 5, 57), (1, 15, 19); a = 3: (3, 5, 19). Bước 3: Diện tích toàn phần S = 2 × (a × b + b × c + c × a): 1142, 766, 694, 638, 334. Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất là 334 cm².

Một hình hộp chữ nhật có tổng độ dài 12 cạnh là 60 cm và đường chéo dài 9 cm. Tính diện tích toàn phần của hình hộp.

Đáp án: 144. Nhận dạng: biết tổng các cạnh và đường chéo, không biết từng kích thước a, b, c. Ý tưởng: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca); a² + b² + c² = d², 2(ab + bc + ca) là diện tích toàn phần. Bước 1: a + b + c = 60 : 4 = 15; d × d = 81. Bước 2: Diện tích toàn phần = 15 × 15 − 81 = 225 − 81 = 144 (cm²). Bước 3: Kiểm: một bộ kích thước hợp là 3, 6, 6: 2 × (18 + 36 + 18) = 144. Vậy diện tích toàn phần là 144 cm².

Ba chữ số a, b, c khác nhau và khác 0. Lập tất cả các số ba chữ số khác nhau từ ba chữ số đó (có sáu số). Tổng sáu số bằng 3552. Tính a + b + c.

Đáp án: 16. Nhận dạng: tổng tất cả các số lập từ ba chữ số khác nhau, hỏi tổng các chữ số. Ý tưởng: mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng đúng hai lần trong sáu số, nên tổng bằng tổng các chữ số nhân 2 × 111 = 222. Bước 1: Có 6 số, ở hàng trăm mỗi chữ số a, b, c xuất hiện 2 lần (6 : 3 = 2), hàng chục và hàng đơn vị cũng vậy. Bước 2: Tổng = 2 × (a + b + c) × (100 + 10 + 1) = 222 × (a + b + c). Bước 3: a + b + c = 3552 : 222 = 16. Vậy a + b + c = 16.

Đề thi AMO lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Q: Đề thi AMO lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia AMO lớp 8 có 25 câu, làm trong 90 phút, tối đa 100 điểm.

Q: Làm đề thi thử AMO lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề AMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.

Đề thi thử AMO lớp 8 (vòng quốc gia) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 15 câu phần a — trắc nghiệm × 3 điểm; 5 câu phần b — điền đáp án × 5 điểm; 5 câu phần c — điền đáp án × 6 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi AMO.

Phần 1: Phần A — trắc nghiệm (15 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

Using the digits 0, 2, 4, 6, 8, 9, 5-digit numbers with all different digits are formed. How many of them are divisible by 5?
Từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8, 9, lập các số có 5 chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số chia hết cho 5?
1. A. 118
2. B. 120
3. C. 180
4. D. 240
5. E. 360
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 120

Nhận dạng: lập số chia hết cho 5 có các chữ số khác nhau.
Ý tưởng: trong các chữ số không có 5 nên chữ số cuối chỉ có thể là 0.
Bước 1 (chữ số cuối): đề cho 6 chữ số;
số chia hết cho 5 có chữ số cuối là 0.
Bước 2 (cuối là 0): hàng chục nghìn: 6 − 1 = 5 cách, hàng nghìn: 6 − 2 = 4 cách, hàng trăm: 6 − 3 = 3 cách, hàng chục: 6 − 4 = 2 cách;
5 × 4 × 3 × 2 = 120 số.
Vậy có 120 số.
Câu 23 điểm

The graph of y = ax + b passes through M(5; 36) and P(8; 51). Find y when x = 19.
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm M(5; 36) và P(8; 51). Tính giá trị của y khi x = 19.
1. A. 95
2. B. 96
3. C. 106
4. D. 111
5. E. 121
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. 106

Nhận dạng: tìm hàm số bậc nhất qua hai điểm.
Ý tưởng: thay toạ độ hai điểm vào y = ax + b, tìm a rồi b.
Bước 1 (tìm a): thay M: 5a + b = 36;
thay P: 8a + b = 51;
trừ vế: 3a = 15, a = 15 : 3 = 5.
Bước 2 (tìm b): b = 36 − 5 × 5 = 11.
Bước 3 (thay x = 19): y = 5 × 19 + 11 = 106.
Vậy y = 106.
Câu 33 điểm

How many two-digit primes leave remainder 5 when divided by 6?
Đếm các số nguyên tố có hai chữ số chia cho 6 được số dư là 5.
1. A. 7
2. B. 10
3. C. 11
4. D. 12
5. E. 15
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 11

Nhận dạng: đếm số nguyên tố có số dư cho trước.
Ý tưởng: viết các số chia 6 dư 5 trong khoảng (cộng thêm 6 mỗi lần), rồi bỏ hợp số.
Bước 1: Số nhỏ nhất thoả mãn là 11, cộng thêm 6 mỗi lần: 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95.
Bước 2: Bỏ hợp số: 35 = 5 × 7;
65 = 5 × 13;
77 = 7 × 11;
95 = 5 × 19.
Bước 3: Còn lại các số nguyên tố: 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89.
Vậy có 11 số.
Mẹo: số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ chia 6 dư 1 hoặc dư 5, vì dư 0, 2, 3, 4 thì chia hết cho 2 hoặc 3.
Câu 43 điểm

Each exterior angle of a regular polygon with n sides is (n + 67)°. How many diagonals does it have?
Mỗi góc ngoài của một đa giác đều n cạnh bằng (n + 67)°. Đa giác có bao nhiêu đường chéo?
1. A. 0
2. B. 5
3. C. 8
4. D. 10
5. E. 15
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 5

Nhận dạng: góc ngoài của đa giác đều viết bằng biểu thức của n.
Ý tưởng: các góc ngoài bằng nhau, tổng 360°, nên góc ngoài × n = 360.
Bước 1: (n + 67) × n = 360, tức n² + 67n − 360 = 0.
Bước 2: Tìm hai số có tích −360 và tổng −67: 5 và −72, nên (n − 5)(n + 72) = 0.
Bước 3: n = 5 hoặc n = −72;
số cạnh phải dương nên n = 5.
Bước 4: Số đường chéo = 5 × (5 − 3) : 2 = 5 × 2 : 2 = 5.
Vậy đa giác có 5 đường chéo.
Mẹo: phương trình bậc hai có một nghiệm âm, số cạnh phải là số tự nhiên ≥ 3 nên loại nghiệm âm.
Câu 53 điểm

The letters of WINTER are rearranged (each used once, meaningless strings count). How many arrangements have a vowel (A, E, I, O, U) at both ends?
Đổi chỗ các chữ cái của từ WINTER (mỗi chữ cái dùng đúng một lần, kể cả dãy không có nghĩa). Có bao nhiêu cách xếp sao cho hai đầu đều là nguyên âm (A, E, I, O, U)?
1. A. 24
2. B. 28
3. C. 48
4. D. 72
5. E. 720
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: C. 48

Nhận dạng: xếp hàng có vị trí cố định.
Ý tưởng: xếp những chỗ có điều kiện trước, rồi xếp phần còn lại;
kí hiệu 4! là tích các số từ 1 đến 4, đọc là 4 giai thừa.
Bước 1 (chỗ có điều kiện): WINTER có 2 nguyên âm I, E;
đầu trái: 2 cách, đầu phải: 2 − 1 = 1 cách;
2 × 1 = 2 cách.
Bước 2 (chỗ còn lại): 6 − 2 = 4 chữ cái còn lại xếp vào 4 chỗ: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cách.
Bước 3 (nhân): 2 × 24 = 48.
Vậy có 48 cách.
Câu 63 điểm

Two trains each 200 m long run in opposite directions on parallel tracks at 72 km/h and 108 km/h. Find the time in seconds from the moment the fronts are level to the moment the rears pass each other.
Hai đoàn tàu đều dài 200 m chạy ngược chiều trên hai đường song song với vận tốc 72 km/h và 108 km/h. Tính thời gian (giây) kể từ lúc đầu hai tàu ngang nhau đến lúc đuôi hai tàu rời nhau.
1. A. 4
2. B. 7
3. C. 8
4. D. 13
5. E. 40
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: C. 8

Nhận dạng: hai tàu qua nhau hoàn toàn, hỏi thời gian.
Ý tưởng: coi một tàu đứng yên, tàu kia đi với vận tốc tương đối (ngược chiều cộng, cùng chiều trừ) một quãng bằng tổng hai chiều dài.
Bước 1: Tổng hai chiều dài: 200 + 200 = 400 m.
Bước 2: Vận tốc tương đối: 72 + 108 = 180 km/h = 180 × 5/18 = 50 m/s.
Bước 3: Thời gian = 400 : 50 = 8 giây.
Vậy hai tàu qua nhau hết 8 giây.
Câu 73 điểm

A shop swaps 5 empty bottles for 1 full bottle. Nam has 46 full bottles. Swapping as much as possible (no borrowing), how many bottles can he drink in total?
Cửa hàng cho đổi 5 vỏ chai lấy 1 chai nước mới. Nam có 46 chai nước. Nếu đổi vỏ nhiều nhất có thể (không mượn vỏ), Nam uống được tất cả bao nhiêu chai?
1. A. 46
2. B. 47
3. C. 55
4. D. 57
5. E. 58
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: D. 57

Nhận dạng: đổi vỏ lấy chai, chia liên tiếp có cộng phần dư.
Ý tưởng: mỗi lần uống xong lại có thêm vỏ;
đổi đến khi số vỏ ít hơn 5.
Bước 1 (đổi từng lượt): 46 vỏ đổi 9 chai, dư 1 vỏ;
9 + 1 = 10 vỏ đổi 2 chai, dư 0 vỏ.
Bước 2 (cộng): 46 chai ban đầu và 11 chai đổi được: 46 + 11 = 57.
Vậy Nam uống được 57 chai.
Câu 83 điểm

There are 40 cards numbered 1 to 40, one number per card. Two cards are drawn at random at the same time. Find the probability that exactly one card is a multiple of 7. Write this probability as a fraction a/b in lowest terms. Find a + b.
Có 40 tấm thẻ ghi các số từ 1 đến 40, mỗi thẻ một số. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 2 thẻ. Tính xác suất để có đúng một thẻ là bội của 7. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.
1. A. 9
2. B. 65
3. C. 71
4. D. 191
5. E. 194
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: D. 191

Nhận dạng: rút thẻ, xác suất theo bội của một số.
Ý tưởng: 1 thẻ trong nhóm bội của 7, 1 thẻ trong nhóm còn lại (quy tắc nhân).
Bước 1 (số cách rút): chọn 2 trong 40 thẻ: (40 × 39) : (2 × 1) = 780.
Bước 2 (đếm bội của 7): từ 1 đến 40 có 7, 14, 21, 28, 35: 5 thẻ;
còn lại 40 − 5 = 35 thẻ.
Bước 3 (thoả): 5 × 35 = 175.
Bước 4 (xác suất): 175/780 = 35/156.
Bước 5 (tính a + b): xác suất là 35/156, a = 35, b = 156;
35 + 156 = 191.
Vậy a + b = 191.
Câu 93 điểm

A straight road stretch is 225 m long. Trees are placed 25 m apart, with trees at neither end of the stretch. How many trees are needed in total?
Một đoạn đường thẳng dài 225 m, người ta trồng cây cách đều nhau 25 m, có cây không có ở hai đầu đoạn. Cần tất cả bao nhiêu cây?
1. A. 4
2. B. 8
3. C. 9
4. D. 10
5. E. 11
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 8

Nhận dạng: trồng cách đều trên đoạn thẳng, hỏi tổng số cây hay cọc.
Ý tưởng: số khoảng = chiều dài : khoảng cách, có cả hai đầu thì số cây = số khoảng + 1, một đầu thì bằng số khoảng, không đầu nào thì ít hơn số khoảng 1.
Bước 1: Số khoảng: 225 : 25 = 9.
Bước 2: Không có ở hai đầu: 9 − 1 = 8.
Vậy cần 8 cây.
Câu 103 điểm

An exam has 24 questions. A correct answer scores 5 points, a wrong answer loses 2 points, a blank scores 0. Lan gets 78 points. What is the largest possible number of wrong answers?
Một bài thi có 24 câu. Mỗi câu đúng được 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, bỏ trống không có điểm. Bạn Lan đạt 78 điểm. Hỏi số câu sai nhiều nhất của Lan có thể là bao nhiêu?
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 7
5. E. 8
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 6

Nhận dạng: ba loại câu (đúng, sai, bỏ trống) với tổng số điểm cho trước, hỏi cực trị hoặc số cách.
Ý tưởng: gọi a là số câu đúng, b là số câu sai, điểm 5 × a − 2 × b = 78, b phải là số tự nhiên và a + b không vượt quá 24, rồi liệt kê.
Bước 1: Gọi a, b là số câu đúng, sai: 5 × a − 2 × b = 78, suy ra b = (5 × a − 78) : 2.
Bước 2: b nguyên không âm nên 5 × a ≥ 78 (a ≥ 16) và 5 × a − 78 chia hết cho 2.
Bước 3: Các cặp thoả a + b ≤ 24: a = 16: b = (5 × 16 − 78) : 2 = 1, trống 7;
a = 18: b = (5 × 18 − 78) : 2 = 6, trống 0.
Loại a = 20: b = 11 thì a + b = 31 lớn hơn 24.
Bước 4: Có 2 cặp (a, b): (16, 1), (18, 6).
Vậy số câu sai nhiều nhất là 6.
Câu 113 điểm

Trapezoid ABCD (AB ∥ CD) has diagonals meeting at O. Triangles OAB and OAD have areas 4 and 6. Find the area of triangle OCD.
Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Diện tích tam giác OAB là 4, diện tích tam giác OAD là 6. Tính diện tích tam giác OCD.
1. A. 4
2. B. 8
3. C. 9
4. D. 10
5. E. 14
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: C. 9

Nhận dạng: hình thang ABCD (AB ∥ CD) có hai đường chéo cắt nhau ở O, S(OAB) là diện tích tam giác OAB.
Ý tưởng: AB ∥ CD nên ΔOAB ∼ ΔOCD theo tỉ số AB : CD;
hai tam giác chung đường cao thì diện tích tỉ lệ với đáy.
Bước 1: ΔOAD và ΔOAB chung đường cao từ A: OD : OB = S(OAD) : S(OAB) = 6 : 4 = 3/2.
Bước 2: ΔOCD ∼ ΔOAB theo tỉ số OD : OB = 3/2, diện tích gấp (3/2) × (3/2) lần.
Bước 3: S(OCD) = 4 × 9/4 = 9.
Vậy diện tích tam giác OCD là 9.
Câu 123 điểm

Find the sum of 14 consecutive odd numbers if the largest of them is 347.
Cho 14 số lẻ liên tiếp, số lớn nhất là 347. Tổng của 14 số đó bằng bao nhiêu?
1. A. 4662
2. B. 4673
3. C. 4676
4. D. 4690
5. E. 9352
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 4676

Nhận dạng: tổng 14 số lẻ liên tiếp (dãy cách đều), biết số lớn nhất.
Ý tưởng: tìm số ở đầu kia rồi ghép số đầu với số cuối.
Bước 1: Từ số đầu tới số cuối có 14 − 1 = 13 khoảng cách, mỗi khoảng 2 (hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2).
Bước 2: Số nhỏ nhất: 347 − 13 × 2 = 321.
Bước 3: Ghép số đầu với số cuối: 321 + 347 = 668;
14 số tạo thành 14 : 2 = 7 cặp.
Bước 4: Tổng: 668 × 7 = 4676.
Vậy tổng bằng 4676.
Câu 133 điểm

Find the units digit of A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁶²⁴.
Tìm chữ số tận cùng của A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁶²⁴.
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 2
4. D. 3
5. E. 5
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: A. 0

Nhận dạng: tổng các luỹ thừa liên tiếp của cùng một số.
Ý tưởng: chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ;
gom mỗi chu kỳ thành một nhóm có tổng tận cùng 0.
Bước 1: Chữ số tận cùng của 3, 3², 3³, … lặp lại chu kỳ 4 số: 3, 9, 7, 1;
mỗi nhóm 4 số hạng có tổng 3 + 9 + 7 + 1 = 20, tận cùng 0.
Bước 2: 624 = 4 × 156: 156 nhóm đủ (tận cùng 0).
Vậy A có chữ số tận cùng là 0.
Câu 143 điểm

How many 7-digit numbers consist of exactly 4 digits 8 and 3 digits 6?
Có bao nhiêu số có 7 chữ số gồm đúng 4 chữ số 8 và 3 chữ số 6?
1. A. 35
2. B. 36
3. C. 70
4. D. 105
5. E. 210
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: A. 35

Nhận dạng: hoán vị có lặp, các vật giống nhau xếp thành hàng.
Ý tưởng: xếp như thể các vật đều khác nhau, rồi chia cho số cách đổi chỗ các vật giống nhau;
kí hiệu 7! là tích các số từ 1 đến 7, đọc là 7 giai thừa.
Bước 1 (đếm vật): 4 + 3 = 7 chữ số;
chữ số 8 lặp 4 lần, chữ số 6 lặp 3 lần.
Bước 2 (coi như khác nhau): 7! cách.
Bước 3 (chia cho số cách đổi chỗ vật giống nhau): 7! : 4! = 7 × 6 × 5 = 210;
210 : 3! = 210 : 6 = 35.
Vậy có 35 số.
Câu 153 điểm

For two numbers a and b, define a ⊕ b = a × b − 3 × a − 3 × b + 12. Given x ⊕ 6 = 24, find x.
Với hai số a và b, ta định nghĩa a ⊕ b = a × b − 3 × a − 3 × b + 12. Biết x ⊕ 6 = 24. Tìm x.
1. A. 9
2. B. 10
3. C. 11
4. D. 12
5. E. 18
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: B. 10

Nhận dạng: phép toán mới, biết kết quả, tìm số chưa biết.
Ý tưởng: viết a ⊕ b = (a − 3) × (b − 3) + 3, đưa về phương trình bậc nhất của x.
Bước 1: x ⊕ 6 = (x − 3) × (6 − 3) + 3 = (x − 3) × 3 + 3.
Bước 2: (x − 3) × 3 + 3 = 24, nên (x − 3) × 3 = 21.
Bước 3: x − 3 = 21 : 3 = 7, nên x = 10.
Vậy x = 10.

Phần 2: Phần B — điền đáp án (5 câu × 5 điểm)

Câu 165 điểm

Two fair dice (faces 1 to 6) are rolled. Find the probability that the product is a multiple of 9. Write this probability as a fraction a/b in lowest terms. Find a + b.
Gieo hai con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tích hai số chấm là bội của 9. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: 10

Nhận dạng: gieo hai xúc xắc, xác suất.
Ý tưởng: lập bảng 6 × 6 kết quả (con thứ nhất theo cột, con thứ hai theo hàng), đếm các ô thoả điều kiện.
Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 = 36.
Bước 2 (đếm ô thoả, theo con thứ nhất → các mặt hợp của con thứ hai): 1 → không có (0);
2 → không có (0);
3 → 3, 6 (2);
4 → không có (0);
5 → không có (0);
6 → 3, 6 (2);
cộng: 2 + 2 = 4.
Bước 3 (xác suất): 4/36 = 1/9.
Bước 4 (tính a + b): xác suất là 1/9, a = 1, b = 9;
1 + 9 = 10.
Vậy a + b = 10.
Câu 175 điểm

How many pairs of integers (x, y) satisfy xy − 6x − 2y = 8?
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) thoả mãn xy − 6x − 2y = 8?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: 12

Nhận dạng: phương trình có xy, x, y, hỏi mọi nghiệm nguyên (cả âm).
Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc bằng một số;
mỗi ước của số đó cho đúng một nghiệm.
Bước 1: Cộng 12 hai vế: xy − 6x − 2y + 12 = 20.
Bước 2: Nhóm: x(y − 6) − 2(y − 6) = (x − 2)(y − 6) = 20.
Bước 3: x − 2 là một ước của 20 (dương hoặc âm), y − 6 là thương;
mỗi ước cho một cặp (x, y) nguyên.
Bước 4: 20 có 6 ước dương (1, 2, 4, 5, 10, 20), thêm 6 ước âm: 6 × 2 = 12.
Vậy có 12 cặp.
Câu 185 điểm

Evaluate xy + 4x + y + 4 at x = 99, y = 6.
Tính giá trị của xy + 4x + y + 4 tại x = 99, y = 6.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: 1000

Nhận dạng: bốn hạng tử có xy, x, y và hằng số.
Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc, số tròn sẽ hiện ra.
Bước 1: Nhóm: (xy + 4x) + (y + 4) = x(y + 4) + (y + 4).
Bước 2: = (x + 1)(y + 4).
Bước 3: Tại x = 99, y = 6: x + 1 = 100, y + 4 = 10.
Bước 4: 100 × 10 = 1000.
Vậy giá trị bằng 1000.
Câu 195 điểm

How many positive integer values of x satisfy 103 < 116 − 2x?
Có bao nhiêu số nguyên dương x thoả mãn 103 < 116 − 2x?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: 6

Nhận dạng: bất phương trình có hệ số của x âm, hỏi số nghiệm nguyên.
Ý tưởng: làm cùng một phép ở cả ba vế để x đứng một mình (nhân, chia số âm thì đổi chiều), rồi đếm số nguyên.
Bước 1: Trừ 116 ở hai vế: −13 < −2x, tức là −2x > −13.
Bước 2: Chia hai vế cho −2 (số âm, đổi chiều): x < 13/2.
Bước 3: Cận không nguyên, x nguyên: x < 13/2 tức là 2x < 13: 2 × 6 = 12 được, 2 × 7 = 14 quá lớn, nên x ≤ 6.
Bước 4: Đếm số nguyên dương x từ 1 đến 6: 6 − 1 + 1 = 6.
Vậy có 6 số.
Câu 205 điểm

How many whole numbers from 1 to 200 are divisible by 5 or 8?
Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 200 chia hết cho 5 hoặc 8?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: 60

Nhận dạng: đếm số chia hết cho 5 hoặc 8 (bao hàm – loại trừ).
Ý tưởng: đếm từng loại, rồi bớt phần chia hết cho cả hai vì phần đó bị đếm hai lần.
Bước 1: Chia hết cho 5: từ 5 đến 200, có (200 − 5) : 5 + 1 = 40 số.
Bước 2: Chia hết cho 8: từ 8 đến 200, có (200 − 8) : 8 + 1 = 25 số.
Bước 3: Chia hết cho cả 5 và 8, tức chia hết cho BCNN(5, 8) = 40: từ 40 đến 200, có (200 − 40) : 40 + 1 = 5 số.
Bước 4: Số chia hết cho cả hai bị đếm hai lần, bớt một lần: 40 + 25 − 5 = 60.
Vậy có 60 số.

Phần 3: Phần C — điền đáp án (5 câu × 6 điểm)

Câu 216 điểm

Find the remainder when 103²⁰²³ + 33²⁰²⁴ is divided by 17.
Số A = 103²⁰²³ + 33²⁰²⁴ chia cho 17 dư bao nhiêu?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 2

Nhận dạng: số dư khi chia tổng hai luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: tìm số dư từng luỹ thừa (cơ số là bội của 17 cộng hoặc trừ 1), rồi cộng hai số dư.
Bước 1: 103 = 17 × 6 + 1: 103 chia 17 dư 1, nên mọi luỹ thừa của 103 chia 17 dư 1: 103²⁰²³ dư 1.
Bước 2: 33 = 17 × 2 − 1 (33 chia 17 dư 16, kém bội của 17 một đơn vị);
33² chia 17 dư 1, số mũ 2024 chẵn nên 33²⁰²⁴ dư 1.
Bước 3: Cộng hai số dư: 1 + 1 = 2.
Vậy số dư là 2.
Câu 226 điểm

Let S = 2/(3 × 8) + 2/(8 × 13) + 2/(13 × 18) + … + 2/(178 × 183). Write S as a fraction p/q in lowest terms and find p + q.
Cho S = 2/(3 × 8) + 2/(8 × 13) + 2/(13 × 18) + … + 2/(178 × 183). Viết S dạng phân số tối giản p/q, tính p + q.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 69

Nhận dạng: tổng phân số, mẫu là tích hai số hơn kém nhau cùng một lượng, thừa số sau của số hạng này là thừa số đầu của số hạng tiếp theo.
Ý tưởng: tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số, các số ở giữa mất đi.
Bước 1: Hai thừa số ở mẫu hơn kém nhau 5: 2/(3 × 8) = 2/5 × (1/3 − 1/8) (vì 1/3 − 1/8 = 5/(3 × 8)).
Bước 2: Tách mọi số hạng: S = 2/5 × (1/3 − 1/8 + 1/8 − 1/13 + … + 1/178 − 1/183).
Bước 3: Các phân số ở giữa mất đi: S = 2/5 × (1/3 − 1/183);
1/3 − 1/183 = 61/183 − 1/183 = 60/183 = 20/61, S = 2/5 × 20/61 = 8/61.
Bước 4: p = 8, q = 61.
Vậy p + q = 8 + 61 = 69.
Câu 236 điểm

A rectangular box has volume 285 cm³ and whole-number edges (in cm). What is the smallest possible total surface area in cm²?
Một hình hộp chữ nhật có thể tích 285 cm³, các cạnh là số tự nhiên (tính theo cm). Diện tích toàn phần nhỏ nhất có thể là bao nhiêu cm²?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 334

Nhận dạng: hình hộp chữ nhật biết thể tích, cạnh là số tự nhiên.
Ý tưởng: gọi a ≤ b ≤ c là ba cạnh, a × b × c = 285;
liệt kê theo a từ nhỏ đến lớn.
Bước 1: Phân tích 285 = 3 × 5 × 19.
Bước 2: a × a × a ≤ a × b × c = 285, nên a ≤ 6.
Các bộ (a, b, c): a = 1: (1, 1, 285), (1, 3, 95), (1, 5, 57), (1, 15, 19);
a = 3: (3, 5, 19).
Bước 3: Diện tích toàn phần S = 2 × (a × b + b × c + c × a): 1142, 766, 694, 638, 334.
Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất là 334 cm².
Câu 246 điểm

A cuboid has a total edge length of 60 cm and a space diagonal of 9 cm. Find its total surface area.
Một hình hộp chữ nhật có tổng độ dài 12 cạnh là 60 cm và đường chéo dài 9 cm. Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 144

Nhận dạng: biết tổng các cạnh và đường chéo, không biết từng kích thước a, b, c.
Ý tưởng: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca);
a² + b² + c² = d², 2(ab + bc + ca) là diện tích toàn phần.
Bước 1: a + b + c = 60 : 4 = 15;
d × d = 81.
Bước 2: Diện tích toàn phần = 15 × 15 − 81 = 225 − 81 = 144 (cm²).
Bước 3: Kiểm: một bộ kích thước hợp là 3, 6, 6: 2 × (18 + 36 + 18) = 144.
Vậy diện tích toàn phần là 144 cm².
Câu 256 điểm

The digits a, b, c are distinct and non-zero. Form all six three-digit numbers using each of them once. The six numbers add up to 3552. Find a + b + c.
Ba chữ số a, b, c khác nhau và khác 0. Lập tất cả các số ba chữ số khác nhau từ ba chữ số đó (có sáu số). Tổng sáu số bằng 3552. Tính a + b + c.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 16

Nhận dạng: tổng tất cả các số lập từ ba chữ số khác nhau, hỏi tổng các chữ số.
Ý tưởng: mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng đúng hai lần trong sáu số, nên tổng bằng tổng các chữ số nhân 2 × 111 = 222.
Bước 1: Có 6 số, ở hàng trăm mỗi chữ số a, b, c xuất hiện 2 lần (6 : 3 = 2), hàng chục và hàng đơn vị cũng vậy.
Bước 2: Tổng = 2 × (a + b + c) × (100 + 10 + 1) = 222 × (a + b + c).
Bước 3: a + b + c = 3552 : 222 = 16.
Vậy a + b + c = 16.

Đáp án đề thi AMO lớp 8

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 120
Câu 2	C. 106
Câu 3	C. 11
Câu 4	B. 5
Câu 5	C. 48
Câu 6	C. 8
Câu 7	D. 57
Câu 8	D. 191
Câu 9	B. 8
Câu 10	C. 6
Câu 11	C. 9
Câu 12	C. 4676
Câu 13	A. 0
Câu 14	A. 35
Câu 15	B. 10
Câu 16	10
Câu 17	12
Câu 18	1000
Câu 19	6
Câu 20	60
Câu 21	2
Câu 22	69
Câu 23	334
Câu 24	144
Câu 25	16

Đề thi khác

Đề AMO khối khác: Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức AMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi AMO lớp 8 có bao nhiêu câu?