Dãy số có số thứ nhất là 5; mỗi số từ số thứ hai bằng 3 lần số đứng ngay trước cộng 9. Chữ số tận cùng của số thứ 150 là chữ số nào? A. 0 B. 1 C. 4 D. 5

Đáp án: C. 4. Nhận dạng: dãy số cho bằng quy luật nhân rồi cộng, hỏi chữ số tận cùng của một số hạng rất xa. Ý tưởng: chữ số tận cùng của số sau chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của số trước, nên chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ. Bước 1: Chỉ cần tính với chữ số tận cùng, bắt đầu từ 5: 3 × 5 + 9 = 24 (tận cùng 4), 3 × 4 + 9 = 21 (tận cùng 1), 3 × 1 + 9 = 12 (tận cùng 2), 3 × 2 + 9 = 15 (tận cùng 5); chữ số 5 xuất hiện lại. Bước 2: Từ số thứ 1 trở đi chữ số tận cùng lặp lại theo nhóm 4 số: 5, 4, 1, 2. Bước 3: Số thứ 150 nằm cách số thứ 1 là 150 − 1 = 149 vị trí; 149 : 4 = 37 dư 1. Bước 4: Dư 1 nên số thứ 150 có cùng chữ số tận cùng với vị trí thứ 2 của nhóm, là 4. Vậy chữ số tận cùng là 4.

Lúc 12 giờ 21 phút, góc lớn (lớn hơn 180°) giữa kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ có số đo bao nhiêu độ? A. 115,5° B. 244,5° C. 105° D. 126°

Đáp án: B. 244,5°. Nhận dạng: cho giờ và phút, hỏi góc giữa kim giờ và kim phút. Ý tưởng: tính số độ mỗi kim đã quay từ vạch 12, rồi lấy hiệu, kim phút quay 6° mỗi phút, kim giờ quay 30° mỗi giờ, tức 0,5° mỗi phút. Bước 1: Kim phút chỉ 21 phút: 6 × 21 = 126°. Bước 2: Lúc 12 giờ đúng kim giờ ở vạch 12, sau 21 phút quay thêm 0,5 × 21 = 10,5°. Bước 3: Hiệu hai vị trí: 126 − 10,5 = 115,5°, không lớn hơn 180° nên đây là góc nhỏ. Bước 4: Góc lớn là 360° − 115,5° = 244,5°. Vậy góc lớn giữa hai kim là 244,5°.

Bạn Lan đọc một quyển sách trong 3 ngày. Biết ngày thứ 1 đọc 3/10 tổng số, ngày thứ 2 đọc 2/3 số còn lại, ngày thứ 3 đọc 2/7 số còn lại thì còn lại 280 trang. Hỏi ban đầu có bao nhiêu trang? A. 1120 B. 1675 C. 1680 D. 1685

Đáp án: C. 1680. Nhận dạng: nhiều lần lấy bớt một phần của số còn lại, hỏi tổng số ban đầu. Ý tưởng: mỗi lần còn lại một phân số của số trước, nhân các phân số 'còn lại' để biết phần còn lại cuối cùng so với tổng số. Bước 1: Ngày thứ 1 đọc 3/10 tổng số, còn lại 1 − 3/10 = 7/10 tổng số. Bước 2: Ngày thứ 2 đọc 2/3 số còn lại, còn lại 1 − 2/3 = 1/3 của 7/10: 7/10 × 1/3 = 7/30 tổng số. Ngày thứ 3 đọc 2/7 số còn lại, còn lại 1 − 2/7 = 5/7 của 7/30: 7/30 × 5/7 = 1/6 tổng số. Bước 3: Phần 280 trang chiếm 1/6 tổng số, nên tổng số là 280 : 1/6 = 280 × 6 = 1680. Vậy ban đầu có 1680 trang.

Một đoàn tàu dài 450 m đi qua hết một người đi bộ (coi như một điểm) trong 27 giây, người đi bộ đi ngược chiều với tàu và có vận tốc 5 km/h. Tính vận tốc của đoàn tàu (km/h). A. 65 km/h B. 55 km/h C. 60 km/h D. 50/3 km/h

Đáp án: B. 55 km/h. Nhận dạng: biết chiều dài tàu và thời gian đi qua, hỏi vận tốc tàu. Ý tưởng: vận tốc tương đối = chiều dài tàu : thời gian, ngược chiều thì vận tốc tương đối là tổng, cùng chiều là hiệu. Bước 1: Gọi v là vận tốc tàu (km/h), vận tốc tương đối là 450 : 27 = 50/3 m/s. Bước 2: Đổi sang km/h: 50/3 × 18/5 = 60 km/h. Bước 3: Ngược chiều nên v + 5 = 60. Bước 4: v = 60 − 5 = 55 km/h. Vậy vận tốc đoàn tàu là 55 km/h.

Một tờ giấy hình chữ nhật được gập đôi 3 lần liên tiếp theo nếp dọc song song, rồi gập đôi tiếp 2 lần liên tiếp theo nếp ngang song song. Sau đó cắt 1 nhát dọc (song song nếp dọc) và 1 nhát ngang (song song nếp ngang), mỗi nhát cắt từ mép này sang mép kia của hình đã gập, các nhát cắt không trùng nếp và không trùng nhau. Khi mở ra, tờ giấy bị chia thành bao nhiêu mảnh? A. 14 B. 32 C. 44 D. 45

Đáp án: D. 45. Nhận dạng: gập giấy theo hai chiều rồi cắt song song với từng loại nếp, hỏi số mảnh. Ý tưởng: xét riêng từng chiều, các đường cắt dọc và đường cắt ngang tạo thành lưới, số mảnh = (số đường dọc + 1) × (số đường ngang + 1). Bước 1 (chiều dọc): gập 3 lần có 8 lớp, 1 nhát cắt dọc cho 8 đường cắt dọc. Bước 2 (chiều ngang): gập 2 lần có 4 lớp, 1 nhát cắt ngang cho 4 đường cắt ngang. Bước 3: 8 đường dọc chia tờ giấy thành 9 cột, 4 đường ngang chia thành 5 hàng. Bước 4: Số mảnh = 9 × 5 = 45. Vậy tờ giấy bị chia thành 45 mảnh.

Tìm số dư khi chia P(x) = x³ + 4x² − 4x − 39 cho x − 2. A. −19 B. 23 C. −23 D. −39

Đáp án: C. −23. Nhận dạng: hỏi số dư khi chia đa thức cho x − r. Ý tưởng: định lí Bézout: số dư bằng P(r), khỏi phải chia. Bước 1: x − 2 = 0 khi x = 2, nên số dư là P(2). Bước 2: P(2) = 2³ + 4 × 2² − 4 × 2 − 39. Bước 3: = 8 + 16 − 8 − 39 = −23. Vậy số dư là −23.

Phân số nào lớn nhất trong các phân số 101/102, 115/116, 114/115, 120/121? A. 120/121 B. 101/102 C. 115/116 D. 114/115

Đáp án: A. 120/121. Nhận dạng: các phân số đều nhỏ hơn 1 một chút, tử kém mẫu 1 đơn vị. Ý tưởng: so phần bù tới 1; phần bù càng nhỏ thì phân số càng lớn. Bước 1: Phần bù: 1 − 101/102 = 1/102, 1 − 115/116 = 1/116, 1 − 114/115 = 1/115, 1 − 120/121 = 1/121. Bước 2: Mẫu lớn thì 1/mẫu nhỏ: phần bù nhỏ nhất là 1/121. Vậy phân số lớn nhất là 120/121.

Giải phương trình |x − 7| − |x − 21| = 4. A. 2 B. 17 C. −16 D. 16

Đáp án: D. 16. Nhận dạng: hiệu hai giá trị tuyệt đối bằng một số. Ý tưởng: hai mốc (chỗ mỗi biểu thức trong |…| bằng 0) chia trục số thành ba khoảng; bỏ dấu |…| ở từng khoảng rồi giải. Bước 1: Hai mốc là 7 và 21. Bước 2: x 21: biểu thức bằng (x − 7) − (x − 21) = 14 ≠ 4. Bước 3: 7 ≤ x ≤ 21: (x − 7) − (21 − x) = 2x − 28 = 4, 2x = 4 + 28 = 32, x = 32 : 2 = 16 (nằm giữa hai mốc, nhận). Vậy x = 16.

Cho x > 0 thoả mãn x = 26/(4 + 26/(4 + 26/(4 + …))) (lặp vô hạn). Tìm x. A. √30 − 4 B. 2 − √30 C. √30 + 2 D. √30 − 2

Đáp án: D. √30 − 2. Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, phần sau dấu + lặp lại x. Ý tưởng: thay phần lặp bằng x, được phương trình bậc hai; nghiệm không nguyên nên hoàn thành bình phương. Bước 1: x = 26/(4 + x). Bước 2: Nhân chéo: x² + 4x = 26. Bước 3: Cộng 4 hai vế: x² + 4x + 4 = 30, tức là (x + 2)² = 30. Bước 4: x + 2 > 0 nên x + 2 = √30, x = √30 − 2. Vậy x = √30 − 2.

Tìm giá trị lớn nhất của E = √(x − 25) + √(33 − x). A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

Đáp án: B. 4. Nhận dạng: tổng hai căn bậc hai, tổng hai biểu thức dưới căn không đổi. Ý tưởng: bình phương E; dùng 2uv ≤ u² + v² (vì (u − v)² ≥ 0). Bước 1: Đặt u = √(x − 25), v = √(33 − x); u² + v² = (x − 25) + (33 − x) = 8. Bước 2: E² = u² + v² + 2uv ≤ 2(u² + v²) = 2 × 8 = 16. Bước 3: 4 × 4 = 16, nên E ≤ 4; dấu bằng khi u = v, tức là x − 25 = 33 − x, 2x = 58, x = 58 : 2 = 29. Vậy giá trị lớn nhất của E là 4.

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 10? A. 56 B. 57 C. 63 D. 84

Đáp án: A. 56. Nhận dạng: đếm số có 3 chữ số khác nhau lập từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, điều kiện ở chữ số tận cùng. Ý tưởng: chọn chữ số hàng đơn vị trước, rồi hàng đầu (không được là 0), rồi các hàng giữa. Bước 1: Tận cùng 0: hàng đầu chọn 1 trong 8 chữ số còn lại, các hàng giữa 7 cách: 8 × 7 = 56 số. Bước 2: Chữ số cuối khác 0 thì không chia hết cho 10, nên chỉ có trường hợp trên. Vậy lập được 56 số.

Tìm chữ số tận cùng của 27¹⁴⁷⁸ + 12¹⁴⁷⁶. A. 3 B. 4 C. 5 D. 9

Đáp án: C. 5. Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng hai luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng từng luỹ thừa bằng chu kỳ, rồi cộng, chỉ giữ chữ số cuối. Bước 1: 27¹⁴⁷⁸: 27 tận cùng 7, chu kỳ 7, 9, 3, 1; 1478 : 4 = 369 (dư 2), nên tận cùng 9. Bước 2: 12¹⁴⁷⁶: 12 tận cùng 2, chu kỳ 2, 4, 8, 6; 1476 : 4 = 369 (dư 0, lấy số cuối chu kỳ), nên tận cùng 6. Bước 3: 9 + 6 = 15, chữ số cuối là 5. Vậy chữ số tận cùng là 5. Mẹo: số mũ chia hết cho độ dài chu kỳ thì lấy số cuối chu kỳ.

Số lập phương là số bằng a × a × a với a là số tự nhiên. Tìm số tự nhiên X nhỏ nhất để 4563 × X là một số lập phương. A. 3 B. 13 C. 16 D. 26

Đáp án: B. 13. Nhận dạng: nhân thêm để được số lập phương. Ý tưởng: số lập phương có mọi số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố đều chia hết cho 3. Bước 1: Chia liên tiếp: 4563 : 3 = 1521, 1521 : 3 = 507, 507 : 3 = 169, 169 : 13 = 13, 13 : 13 = 1. Vậy 4563 = 3³ × 13². Bước 2: Bù số mũ lên bội của 3 gần nhất: 13² cần thêm 13 (mũ thành 3). Bước 3: X nhỏ nhất = 13. Vậy X = 13.

Tích các số chẵn A = 2 × 4 × 6 × … × 468 có tận cùng bao nhiêu chữ số 0? A. 46 B. 56 C. 57 D. 114

Đáp án: B. 56. Nhận dạng: số chữ số 0 tận cùng của tích các số chẵn liên tiếp. Ý tưởng: rút thừa số 2 ở mỗi số chẵn, đưa về tích 1 × 2 × … × n, rồi đếm thừa số 5. Bước 1: Mỗi số chẵn 2 × k: A = (2 × 1) × (2 × 2) × … × (2 × 234) = 2²³⁴ × (1 × 2 × … × 234). Bước 2: Thừa số 5 chỉ nằm trong 1 × 2 × … × 234: 234 : 5 = 46 (dư 4), 234 : 25 = 9 (dư 9), 234 : 125 = 1 (dư 109); cộng: 46 + 9 + 1 = 56. Bước 3: Thừa số 2 có rất nhiều (ít nhất 234), nên số chữ số 0 bằng số thừa số 5 là 56. Vậy A có 56 chữ số 0 tận cùng.

Tìm chữ số tận cùng của A = (8 + 3) + (8² + 6) + (8³ + 9) + … + (8⁵³ + 159). A. 1 B. 3 C. 6 D. 8

Đáp án: A. 1. Nhận dạng: tổng các số hạng dạng 8ᵏ + 3 × k với k = 1, 2, …, 53. Ý tưởng: tách thành tổng các luỹ thừa (gom theo chu kỳ) và tổng phần cộng thêm, rồi cộng hai chữ số tận cùng. Bước 1: Phần cộng thêm: 3 + 6 + … + 159 = 3 × (1 + 2 + … + 53) = 3 × 53 × 54 : 2 = 3 × 1431 = 4293. Bước 2: Tổng luỹ thừa: chữ số tận cùng của 8, 8², 8³, … lặp lại chu kỳ 4 số: 8, 4, 2, 6; mỗi nhóm 4 số hạng có tổng 8 + 4 + 2 + 6 = 20, tận cùng 0. 53 = 4 × 13 + 1: 13 nhóm đủ (tận cùng 0), còn 1 số hạng cuối 8⁵³ tận cùng 8; tổng luỹ thừa tận cùng 8. Bước 3: 4293 + 8 = 4301, chữ số cuối là 1. Vậy A có chữ số tận cùng là 1.

Tam giác ABC có AB = 6, AC = 14, BC = 14. Phân giác góc A cắt BC tại D. Tính độ dài BD. A. 7 B. 4,2 C. 5,2 D. 9,8

Đáp án: B. 4,2. Nhận dạng: AD là phân giác của góc A, D nằm trên cạnh BC. Ý tưởng: tính chất đường phân giác: BD : DC = AB : AC (phân giác chia cạnh đối theo tỉ lệ hai cạnh kề). Bước 1: BD : DC = AB : AC = 6 : 14 = 3 : 7. Bước 2: BC = 14 chia theo tỉ lệ đó: BD = 14 × 6 : (6 + 14) = 4,2. Vậy BD = 4,2.

Tính độ dài cung của hình quạt bán kính 30 cm, góc ở tâm 144° (để kết quả theo π). A. 24π B. 360π C. 48π D. 60π

Đáp án: A. 24π. Nhận dạng: hình quạt biết bán kính và góc ở tâm, hỏi độ dài cung. Ý tưởng: cung n° dài bằng n/360 chu vi hình tròn. Bước 1: Chu vi hình tròn: 2 × π × 30 = 60π (cm). Bước 2: Cung: 60π × 144 : 360 = 24π (cm). Vậy độ dài cung là 24π cm.

Một tam giác vuông có diện tích 30 cm², cạnh huyền 13 cm. Tính chu vi tam giác. A. 17 B. 30 C. 31 D. 40

Đáp án: B. 30. Nhận dạng: tam giác vuông biết diện tích và cạnh huyền. Ý tưởng: diện tích cho tích ab, Pytago cho a² + b²; ghép bằng hằng đẳng thức. Bước 1: Gọi a, b là hai cạnh góc vuông, c = 13 là cạnh huyền: ab = 2 × 30 = 60. Bước 2: Pytago: a² + b² = 13 × 13 = 169. Bước 3: (a + b)² = a² + b² + 2ab = 169 + 2 × 60 = 289 = 17 × 17. Bước 4: a + b = 17. Bước 5: Chu vi = a + b + c = 17 + 13 = 30 (cm). Vậy chu vi tam giác là 30 cm.

Khối lập phương cạnh 11 cm được khoét một lỗ vuông 5 cm × 5 cm xuyên suốt từ mặt này sang mặt đối diện, đi qua tâm hai mặt. Tính diện tích toàn phần của khối còn lại. A. 676 B. 726 C. 896 D. 946

Đáp án: C. 896. Nhận dạng: khối lập phương khoét lỗ xuyên, hỏi diện tích toàn phần. Ý tưởng: mất hai ô vuông ở hai mặt có lỗ, nhưng thêm bốn mặt trong của đường hầm. Bước 1: Lập phương ban đầu: 6 × 11 × 11 = 726 (cm²). Bước 2: Hai lỗ mất 2 × 5 × 5 = 50; bốn mặt trong mỗi mặt 5 × 11: 4 × 5 × 11 = 220 (cm²). Bước 3: Diện tích = 726 − 50 + 220 = 896 (cm²). Vậy diện tích toàn phần là 896 cm².

Một đa giác 12 cạnh không đều (có một góc lõm lớn hơn 180°) có 10 góc trong là 154°, 143°, 101°, 157°, 222°, 160°, 129°, 167°, 114°, 170°. Tính tổng hai góc trong còn lại. A. 103 B. 283 C. 293 D. 463

Đáp án: B. 283. Nhận dạng: biết gần hết các góc trong, tìm phần còn thiếu. Ý tưởng: tính tổng các góc trong trước, rồi trừ tổng các góc đã biết. Bước 1: Từ một đỉnh kẻ các đường chéo, đa giác 12 cạnh chia thành 12 − 2 = 10 tam giác. Bước 2: Tổng các góc trong: 10 × 180° = 1800°. Bước 3: Tổng 10 góc đã biết: 154 + 143 + 101 + 157 + 222 + 160 + 129 + 167 + 114 + 170 = 1517 (độ). Bước 4: Tổng hai góc còn lại: 1800° − 1517° = 283°. Vậy tổng hai góc còn lại là 283°. Mẹo: có góc lõm thì tổng góc trong vẫn là (n − 2) × 180°.

Một hộp có các viên bi vàng, xanh, trắng, đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên, ghi màu rồi trả lại hộp; làm như vậy 80 lần, kết quả ghi ở bảng. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "không lấy được bi đỏ". A. 13/20 B. 5/8 C. 3/16 D. 13/16

Đáp án: D. 13/16. Nhận dạng: có bảng kết quả thử nghiệm, hỏi xác suất thực nghiệm. Ý tưởng: xác suất thực nghiệm = số lần biến cố xảy ra : tổng số lần thử. Bước 1 (đếm số lần biến cố xảy ra): không phải bi đỏ: bi vàng 20 lần, bi xanh 13 lần, bi trắng 32 lần; cộng: 20 + 13 + 32 = 65. Bước 2 (chia cho số lần thử): 65/80 = 13/16. Vậy xác suất thực nghiệm là 13/16.

Biểu đồ cột cho biết số sách một cửa hàng bán được trong các tháng. Số sách bán trong tháng 3 tăng bao nhiêu phần trăm so với tháng 2? A. 55 B. 73 C. 275 D. 375

Đáp án: C. 275. Nhận dạng: đọc biểu đồ cột, tính phần trăm tăng. Ý tưởng: phần trăm tăng = phần tăng thêm : số lúc đầu × 100 (so với tháng 2 nên chia cho số của tháng 2). Bước 1 (đọc số liệu): tháng 2: 20; tháng 3: 75. Bước 2 (phần tăng): 75 − 20 = 55. Bước 3 (phần trăm): 55 : 20 × 100 = 275. Vậy tăng 275%.

Một số được gọi là "số đẹp" nếu tổng các chữ số của nó chia cho 5 dư 4. Trong các số có 4 chữ số lớn hơn hoặc bằng 5000, có bao nhiêu số đẹp? A. 500 B. 1000 C. 1500 D. 5000

Đáp án: B. 1000. Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số theo điều kiện của tổng các chữ số. Ý tưởng: chọn tự do các chữ số đầu, rồi đếm số cách chọn chữ số cuối cho đúng điều kiện. Bước 1 (các chữ số đầu): hàng nghìn từ 5 đến 9: 9 − 5 + 1 = 5 cách, hàng trăm 10 cách, hàng chục 10 cách: 5 × 10 × 10 = 500 cách. Bước 2 (chữ số cuối): với mỗi cách, tổng các chữ số đầu đã biết; chữ số cuối phải có một số dư xác định khi chia cho 5; trong 0 đến 9 mỗi số dư có đúng 2 chữ số (như 0 và 5, 2 và 7): 2 cách. Bước 3 (nhân): 500 × 2 = 1000. Vậy có 1000 số.

Một bài thi có 15 câu: mỗi câu đúng được 4 điểm, mỗi câu sai bị trừ 1 điểm, bỏ trống được 0 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có 3 thí sinh bằng điểm nhau? A. 33 B. 140 C. 141 D. 153

Đáp án: C. 141. Nhận dạng: chuồng bồ câu, chuồng là các mức điểm, có điểm trừ. Ý tưởng: tìm điểm cao nhất, thấp nhất, rồi bỏ các điểm ở giữa không thể đạt được (thường nằm sát điểm cao nhất). Bước 1 (điểm cao nhất, thấp nhất): đúng hết: 4 × 15 = 60; sai hết: −15; từ −15 đến 60 có 60 − (−15) + 1 = 76 số nguyên. Bước 2 (xét điểm cao, theo số câu đúng): 15 câu đúng: 60; 14 câu đúng: 56, 55; 13 câu đúng: 52, 51, 50; 12 câu đúng trở xuống: không quá 4 × 12 = 48. Bước 3 (đếm mức điểm): không đạt được 49, 53, 54, 57, 58, 59: 76 − 6 = 70 mức. Bước 4 (xấu nhất): mỗi mức điểm có 2 người, chưa mức điểm nào có 3: 2 × 70 = 140; thêm 1 người: 141. Vậy cần ít nhất 141 thí sinh.

Xếp 4 bạn nam và 3 bạn nữ (trong đó có Linh) thành một hàng sao cho 3 bạn nữ đứng liền nhau và Linh đứng giữa hai bạn nữ kia. Có bao nhiêu cách xếp? A. 120 B. 240 C. 720 D. 5040

Đáp án: B. 240. Nhận dạng: xếp hàng có nhóm đứng liền nhau. Ý tưởng: gộp nhóm thành một khối, xếp các khối, rồi xếp bên trong khối; kí hiệu 5! là tích các số từ 1 đến 5, đọc là 5 giai thừa. Bước 1 (gộp khối): 3 bạn nữ thành 1 khối, cùng 4 bạn nam: 4 + 1 = 5 khối. Bước 2 (xếp các khối): 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cách. Bước 3 (trong khối): Linh đứng giữa, hai bạn nữ kia đổi chỗ hai bên: 2 × 1 = 2 cách. Bước 4 (nhân): 120 × 2 = 240. Vậy có 240 cách.

Đề thi TIMO lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử TIMO lớp 8 (vòng loại) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 5 câu tư duy logic × 4 điểm; 5 câu số học & đại số × 4 điểm; 5 câu lý thuyết số × 4 điểm; 5 câu hình học × 4 điểm; 5 câu tổ hợp × 4 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi TIMO.

Phần 1: Tư duy logic (5 câu × 4 điểm)

Câu 14 điểm

Dãy số có số thứ nhất là 5; mỗi số từ số thứ hai bằng 3 lần số đứng ngay trước cộng 9. Chữ số tận cùng của số thứ 150 là chữ số nào?
In a sequence the first term is 5, and each term from the 2nd on equals 3 times the term before it plus 9. What is the last digit of the 150th term?
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 4
4. D. 5
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: C. 4

Nhận dạng: dãy số cho bằng quy luật nhân rồi cộng, hỏi chữ số tận cùng của một số hạng rất xa.
Ý tưởng: chữ số tận cùng của số sau chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của số trước, nên chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ.
Bước 1: Chỉ cần tính với chữ số tận cùng, bắt đầu từ 5: 3 × 5 + 9 = 24 (tận cùng 4), 3 × 4 + 9 = 21 (tận cùng 1), 3 × 1 + 9 = 12 (tận cùng 2), 3 × 2 + 9 = 15 (tận cùng 5);
chữ số 5 xuất hiện lại.
Bước 2: Từ số thứ 1 trở đi chữ số tận cùng lặp lại theo nhóm 4 số: 5, 4, 1, 2.
Bước 3: Số thứ 150 nằm cách số thứ 1 là 150 − 1 = 149 vị trí;
149 : 4 = 37 dư 1.
Bước 4: Dư 1 nên số thứ 150 có cùng chữ số tận cùng với vị trí thứ 2 của nhóm, là 4.
Vậy chữ số tận cùng là 4.
Câu 24 điểm

Lúc 12 giờ 21 phút, góc lớn (lớn hơn 180°) giữa kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ có số đo bao nhiêu độ?
At 12:21, what is the larger angle (greater than 180°) between the hour hand and the minute hand of a clock?
1. A. 115,5°
2. B. 244,5°
3. C. 105°
4. D. 126°
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. 244,5°

Nhận dạng: cho giờ và phút, hỏi góc giữa kim giờ và kim phút.
Ý tưởng: tính số độ mỗi kim đã quay từ vạch 12, rồi lấy hiệu, kim phút quay 6° mỗi phút, kim giờ quay 30° mỗi giờ, tức 0,5° mỗi phút.
Bước 1: Kim phút chỉ 21 phút: 6 × 21 = 126°.
Bước 2: Lúc 12 giờ đúng kim giờ ở vạch 12, sau 21 phút quay thêm 0,5 × 21 = 10,5°.
Bước 3: Hiệu hai vị trí: 126 − 10,5 = 115,5°, không lớn hơn 180° nên đây là góc nhỏ.
Bước 4: Góc lớn là 360° − 115,5° = 244,5°.
Vậy góc lớn giữa hai kim là 244,5°.
Câu 34 điểm

Bạn Lan đọc một quyển sách trong 3 ngày. Biết ngày thứ 1 đọc 3/10 tổng số, ngày thứ 2 đọc 2/3 số còn lại, ngày thứ 3 đọc 2/7 số còn lại thì còn lại 280 trang. Hỏi ban đầu có bao nhiêu trang?
Lan reads a book over 3 days. Day 1: 3/10 of the total is read; day 2: 2/3 of what is left is read; day 3: 2/7 of what is left is read. After that, 280 pages remain. How many pages were there at the start?
1. A. 1120
2. B. 1675
3. C. 1680
4. D. 1685
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 1680

Nhận dạng: nhiều lần lấy bớt một phần của số còn lại, hỏi tổng số ban đầu.
Ý tưởng: mỗi lần còn lại một phân số của số trước, nhân các phân số 'còn lại' để biết phần còn lại cuối cùng so với tổng số.
Bước 1: Ngày thứ 1 đọc 3/10 tổng số, còn lại 1 − 3/10 = 7/10 tổng số.
Bước 2: Ngày thứ 2 đọc 2/3 số còn lại, còn lại 1 − 2/3 = 1/3 của 7/10: 7/10 × 1/3 = 7/30 tổng số.
Ngày thứ 3 đọc 2/7 số còn lại, còn lại 1 − 2/7 = 5/7 của 7/30: 7/30 × 5/7 = 1/6 tổng số.
Bước 3: Phần 280 trang chiếm 1/6 tổng số, nên tổng số là 280 : 1/6 = 280 × 6 = 1680.
Vậy ban đầu có 1680 trang.
Câu 44 điểm

Một đoàn tàu dài 450 m đi qua hết một người đi bộ (coi như một điểm) trong 27 giây, người đi bộ đi ngược chiều với tàu và có vận tốc 5 km/h. Tính vận tốc của đoàn tàu (km/h).
A train 450 m long passes a pedestrian (treat as a point) completely in 27 seconds. The pedestrian travels in the opposite direction to the train, at 5 km/h. Find the speed of the train in km/h.
1. A. 65 km/h
2. B. 55 km/h
3. C. 60 km/h
4. D. 50/3 km/h
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 55 km/h

Nhận dạng: biết chiều dài tàu và thời gian đi qua, hỏi vận tốc tàu.
Ý tưởng: vận tốc tương đối = chiều dài tàu : thời gian, ngược chiều thì vận tốc tương đối là tổng, cùng chiều là hiệu.
Bước 1: Gọi v là vận tốc tàu (km/h), vận tốc tương đối là 450 : 27 = 50/3 m/s.
Bước 2: Đổi sang km/h: 50/3 × 18/5 = 60 km/h.
Bước 3: Ngược chiều nên v + 5 = 60.
Bước 4: v = 60 − 5 = 55 km/h.
Vậy vận tốc đoàn tàu là 55 km/h.
Câu 54 điểm

Một tờ giấy hình chữ nhật được gập đôi 3 lần liên tiếp theo nếp dọc song song, rồi gập đôi tiếp 2 lần liên tiếp theo nếp ngang song song. Sau đó cắt 1 nhát dọc (song song nếp dọc) và 1 nhát ngang (song song nếp ngang), mỗi nhát cắt từ mép này sang mép kia của hình đã gập, các nhát cắt không trùng nếp và không trùng nhau. Khi mở ra, tờ giấy bị chia thành bao nhiêu mảnh?
A rectangular sheet is folded in half 3 times in a row along vertical folds, then folded in half 2 more times along horizontal folds. Then 1 vertical cut (parallel to the vertical folds) and 1 horizontal cut (parallel to the horizontal folds) are made, each running from edge to edge of the folded shape, none on a fold or on another cut. When unfolded, how many pieces is the sheet cut into?
1. A. 14
2. B. 32
3. C. 44
4. D. 45
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: D. 45

Nhận dạng: gập giấy theo hai chiều rồi cắt song song với từng loại nếp, hỏi số mảnh.
Ý tưởng: xét riêng từng chiều, các đường cắt dọc và đường cắt ngang tạo thành lưới, số mảnh = (số đường dọc + 1) × (số đường ngang + 1).
Bước 1 (chiều dọc): gập 3 lần có 8 lớp, 1 nhát cắt dọc cho 8 đường cắt dọc.
Bước 2 (chiều ngang): gập 2 lần có 4 lớp, 1 nhát cắt ngang cho 4 đường cắt ngang.
Bước 3: 8 đường dọc chia tờ giấy thành 9 cột, 4 đường ngang chia thành 5 hàng.
Bước 4: Số mảnh = 9 × 5 = 45.
Vậy tờ giấy bị chia thành 45 mảnh.

Phần 2: Số học & Đại số (5 câu × 4 điểm)

Câu 64 điểm

Tìm số dư khi chia P(x) = x³ + 4x² − 4x − 39 cho x − 2.
Find the remainder when P(x) = x³ + 4x² − 4x − 39 is divided by x − 2.
1. A. −19
2. B. 23
3. C. −23
4. D. −39
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: C. −23

Nhận dạng: hỏi số dư khi chia đa thức cho x − r.
Ý tưởng: định lí Bézout: số dư bằng P(r), khỏi phải chia.
Bước 1: x − 2 = 0 khi x = 2, nên số dư là P(2).
Bước 2: P(2) = 2³ + 4 × 2² − 4 × 2 − 39.
Bước 3: = 8 + 16 − 8 − 39 = −23.
Vậy số dư là −23.
Câu 74 điểm

Phân số nào lớn nhất trong các phân số 101/102, 115/116, 114/115, 120/121?
Which fraction is the largest: 101/102, 115/116, 114/115, 120/121?
1. A. 120/121
2. B. 101/102
3. C. 115/116
4. D. 114/115
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: A. 120/121

Nhận dạng: các phân số đều nhỏ hơn 1 một chút, tử kém mẫu 1 đơn vị.
Ý tưởng: so phần bù tới 1;
phần bù càng nhỏ thì phân số càng lớn.
Bước 1: Phần bù: 1 − 101/102 = 1/102, 1 − 115/116 = 1/116, 1 − 114/115 = 1/115, 1 − 120/121 = 1/121.
Bước 2: Mẫu lớn thì 1/mẫu nhỏ: phần bù nhỏ nhất là 1/121.
Vậy phân số lớn nhất là 120/121.
Câu 84 điểm

Giải phương trình |x − 7| − |x − 21| = 4.
Find x such that |x − 7| − |x − 21| = 4.
1. A. 2
2. B. 17
3. C. −16
4. D. 16
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: D. 16

Nhận dạng: hiệu hai giá trị tuyệt đối bằng một số.
Ý tưởng: hai mốc (chỗ mỗi biểu thức trong |…| bằng 0) chia trục số thành ba khoảng;
bỏ dấu |…| ở từng khoảng rồi giải.
Bước 1: Hai mốc là 7 và 21.
Bước 2: x < 7: |x − 7| − |x − 21| = (7 − x) − (21 − x) = −14 ≠ 4;
x > 21: biểu thức bằng (x − 7) − (x − 21) = 14 ≠ 4.
Bước 3: 7 ≤ x ≤ 21: (x − 7) − (21 − x) = 2x − 28 = 4, 2x = 4 + 28 = 32, x = 32 : 2 = 16 (nằm giữa hai mốc, nhận).
Vậy x = 16.
Câu 94 điểm

Cho x > 0 thoả mãn x = 26/(4 + 26/(4 + 26/(4 + …))) (lặp vô hạn). Tìm x.
Let x > 0 with x = 26/(4 + 26/(4 + 26/(4 + …))) (repeating forever). Find x.
1. A. √30 − 4
2. B. 2 − √30
3. C. √30 + 2
4. D. √30 − 2
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: D. √30 − 2

Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, phần sau dấu + lặp lại x.
Ý tưởng: thay phần lặp bằng x, được phương trình bậc hai;
nghiệm không nguyên nên hoàn thành bình phương.
Bước 1: x = 26/(4 + x).
Bước 2: Nhân chéo: x² + 4x = 26.
Bước 3: Cộng 4 hai vế: x² + 4x + 4 = 30, tức là (x + 2)² = 30.
Bước 4: x + 2 > 0 nên x + 2 = √30, x = √30 − 2.
Vậy x = √30 − 2.
Câu 104 điểm

Tìm giá trị lớn nhất của E = √(x − 25) + √(33 − x).
Find the maximum value of E = √(x − 25) + √(33 − x).
1. A. 2
2. B. 4
3. C. 8
4. D. 16
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: B. 4

Nhận dạng: tổng hai căn bậc hai, tổng hai biểu thức dưới căn không đổi.
Ý tưởng: bình phương E;
dùng 2uv ≤ u² + v² (vì (u − v)² ≥ 0).
Bước 1: Đặt u = √(x − 25), v = √(33 − x);
u² + v² = (x − 25) + (33 − x) = 8.
Bước 2: E² = u² + v² + 2uv ≤ 2(u² + v²) = 2 × 8 = 16.
Bước 3: 4 × 4 = 16, nên E ≤ 4;
dấu bằng khi u = v, tức là x − 25 = 33 − x, 2x = 58, x = 58 : 2 = 29.
Vậy giá trị lớn nhất của E là 4.

Phần 3: Lý thuyết số (5 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 10?
Using the digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, how many three-digit numbers with distinct digits are divisible by 10?
1. A. 56
2. B. 57
3. C. 63
4. D. 84
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: A. 56

Nhận dạng: đếm số có 3 chữ số khác nhau lập từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, điều kiện ở chữ số tận cùng.
Ý tưởng: chọn chữ số hàng đơn vị trước, rồi hàng đầu (không được là 0), rồi các hàng giữa.
Bước 1: Tận cùng 0: hàng đầu chọn 1 trong 8 chữ số còn lại, các hàng giữa 7 cách: 8 × 7 = 56 số.
Bước 2: Chữ số cuối khác 0 thì không chia hết cho 10, nên chỉ có trường hợp trên.
Vậy lập được 56 số.
Câu 124 điểm

Tìm chữ số tận cùng của 27¹⁴⁷⁸ + 12¹⁴⁷⁶.
Find the units digit of 27¹⁴⁷⁸ + 12¹⁴⁷⁶.
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 9
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 5

Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng hai luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng từng luỹ thừa bằng chu kỳ, rồi cộng, chỉ giữ chữ số cuối.
Bước 1: 27¹⁴⁷⁸: 27 tận cùng 7, chu kỳ 7, 9, 3, 1;
1478 : 4 = 369 (dư 2), nên tận cùng 9.
Bước 2: 12¹⁴⁷⁶: 12 tận cùng 2, chu kỳ 2, 4, 8, 6;
1476 : 4 = 369 (dư 0, lấy số cuối chu kỳ), nên tận cùng 6.
Bước 3: 9 + 6 = 15, chữ số cuối là 5.
Vậy chữ số tận cùng là 5.
Mẹo: số mũ chia hết cho độ dài chu kỳ thì lấy số cuối chu kỳ.
Câu 134 điểm

Số lập phương là số bằng a × a × a với a là số tự nhiên. Tìm số tự nhiên X nhỏ nhất để 4563 × X là một số lập phương.
A perfect cube is a number equal to a × a × a for a whole number a. Find the smallest X such that 4563 × X is a perfect cube.
1. A. 3
2. B. 13
3. C. 16
4. D. 26
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: B. 13

Nhận dạng: nhân thêm để được số lập phương.
Ý tưởng: số lập phương có mọi số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố đều chia hết cho 3.
Bước 1: Chia liên tiếp: 4563 : 3 = 1521, 1521 : 3 = 507, 507 : 3 = 169, 169 : 13 = 13, 13 : 13 = 1.
Vậy 4563 = 3³ × 13².
Bước 2: Bù số mũ lên bội của 3 gần nhất: 13² cần thêm 13 (mũ thành 3).
Bước 3: X nhỏ nhất = 13.
Vậy X = 13.
Câu 144 điểm

Tích các số chẵn A = 2 × 4 × 6 × … × 468 có tận cùng bao nhiêu chữ số 0?
How many zeros does the product of even numbers A = 2 × 4 × 6 × … × 468 end with?
1. A. 46
2. B. 56
3. C. 57
4. D. 114
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: B. 56

Nhận dạng: số chữ số 0 tận cùng của tích các số chẵn liên tiếp.
Ý tưởng: rút thừa số 2 ở mỗi số chẵn, đưa về tích 1 × 2 × … × n, rồi đếm thừa số 5.
Bước 1: Mỗi số chẵn 2 × k: A = (2 × 1) × (2 × 2) × … × (2 × 234) = 2²³⁴ × (1 × 2 × … × 234).
Bước 2: Thừa số 5 chỉ nằm trong 1 × 2 × … × 234: 234 : 5 = 46 (dư 4), 234 : 25 = 9 (dư 9), 234 : 125 = 1 (dư 109);
cộng: 46 + 9 + 1 = 56.
Bước 3: Thừa số 2 có rất nhiều (ít nhất 234), nên số chữ số 0 bằng số thừa số 5 là 56.
Vậy A có 56 chữ số 0 tận cùng.
Câu 154 điểm

Tìm chữ số tận cùng của A = (8 + 3) + (8² + 6) + (8³ + 9) + … + (8⁵³ + 159).
Find the units digit of A = (8 + 3) + (8² + 6) + (8³ + 9) + … + (8⁵³ + 159).
1. A. 1
2. B. 3
3. C. 6
4. D. 8
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: A. 1

Nhận dạng: tổng các số hạng dạng 8ᵏ + 3 × k với k = 1, 2, …, 53.
Ý tưởng: tách thành tổng các luỹ thừa (gom theo chu kỳ) và tổng phần cộng thêm, rồi cộng hai chữ số tận cùng.
Bước 1: Phần cộng thêm: 3 + 6 + … + 159 = 3 × (1 + 2 + … + 53) = 3 × 53 × 54 : 2 = 3 × 1431 = 4293.
Bước 2: Tổng luỹ thừa: chữ số tận cùng của 8, 8², 8³, … lặp lại chu kỳ 4 số: 8, 4, 2, 6;
mỗi nhóm 4 số hạng có tổng 8 + 4 + 2 + 6 = 20, tận cùng 0.
53 = 4 × 13 + 1: 13 nhóm đủ (tận cùng 0), còn 1 số hạng cuối 8⁵³ tận cùng 8;
tổng luỹ thừa tận cùng 8.
Bước 3: 4293 + 8 = 4301, chữ số cuối là 1.
Vậy A có chữ số tận cùng là 1.

Phần 4: Hình học (5 câu × 4 điểm)

Câu 164 điểm

Tam giác ABC có AB = 6, AC = 14, BC = 14. Phân giác góc A cắt BC tại D. Tính độ dài BD.
Triangle ABC has AB = 6, AC = 14, BC = 14. The bisector of angle A meets BC at D. Find BD.
1. A. 7
2. B. 4,2
3. C. 5,2
4. D. 9,8
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: B. 4,2

Nhận dạng: AD là phân giác của góc A, D nằm trên cạnh BC.
Ý tưởng: tính chất đường phân giác: BD : DC = AB : AC (phân giác chia cạnh đối theo tỉ lệ hai cạnh kề).
Bước 1: BD : DC = AB : AC = 6 : 14 = 3 : 7.
Bước 2: BC = 14 chia theo tỉ lệ đó: BD = 14 × 6 : (6 + 14) = 4,2.
Vậy BD = 4,2.
Câu 174 điểm

Tính độ dài cung của hình quạt bán kính 30 cm, góc ở tâm 144° (để kết quả theo π).
Find the arc length of a sector of radius 30 cm with central angle 144° (answer in terms of π).
1. A. 24π
2. B. 360π
3. C. 48π
4. D. 60π
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: A. 24π

Nhận dạng: hình quạt biết bán kính và góc ở tâm, hỏi độ dài cung.
Ý tưởng: cung n° dài bằng n/360 chu vi hình tròn.
Bước 1: Chu vi hình tròn: 2 × π × 30 = 60π (cm).
Bước 2: Cung: 60π × 144 : 360 = 24π (cm).
Vậy độ dài cung là 24π cm.
Câu 184 điểm

Một tam giác vuông có diện tích 30 cm², cạnh huyền 13 cm. Tính chu vi tam giác.
A right triangle has area 30 cm² and hypotenuse 13 cm. Find its perimeter in cm.
1. A. 17
2. B. 30
3. C. 31
4. D. 40
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: B. 30

Nhận dạng: tam giác vuông biết diện tích và cạnh huyền.
Ý tưởng: diện tích cho tích ab, Pytago cho a² + b²;
ghép bằng hằng đẳng thức.
Bước 1: Gọi a, b là hai cạnh góc vuông, c = 13 là cạnh huyền: ab = 2 × 30 = 60.
Bước 2: Pytago: a² + b² = 13 × 13 = 169.
Bước 3: (a + b)² = a² + b² + 2ab = 169 + 2 × 60 = 289 = 17 × 17.
Bước 4: a + b = 17.
Bước 5: Chu vi = a + b + c = 17 + 13 = 30 (cm).
Vậy chu vi tam giác là 30 cm.
Câu 194 điểm

Khối lập phương cạnh 11 cm được khoét một lỗ vuông 5 cm × 5 cm xuyên suốt từ mặt này sang mặt đối diện, đi qua tâm hai mặt. Tính diện tích toàn phần của khối còn lại.
A cube of edge 11 cm has a 5 cm × 5 cm square hole drilled straight through from one face to the opposite face through their centres. Find the total surface area of the remaining solid.
1. A. 676
2. B. 726
3. C. 896
4. D. 946
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: C. 896

Nhận dạng: khối lập phương khoét lỗ xuyên, hỏi diện tích toàn phần.
Ý tưởng: mất hai ô vuông ở hai mặt có lỗ, nhưng thêm bốn mặt trong của đường hầm.
Bước 1: Lập phương ban đầu: 6 × 11 × 11 = 726 (cm²).
Bước 2: Hai lỗ mất 2 × 5 × 5 = 50;
bốn mặt trong mỗi mặt 5 × 11: 4 × 5 × 11 = 220 (cm²).
Bước 3: Diện tích = 726 − 50 + 220 = 896 (cm²).
Vậy diện tích toàn phần là 896 cm².
Câu 204 điểm

Một đa giác 12 cạnh không đều (có một góc lõm lớn hơn 180°) có 10 góc trong là 154°, 143°, 101°, 157°, 222°, 160°, 129°, 167°, 114°, 170°. Tính tổng hai góc trong còn lại.
A non-regular polygon (one reflex angle, greater than 180°) with 12 sides has 10 interior angles 154°, 143°, 101°, 157°, 222°, 160°, 129°, 167°, 114°, 170°. Find the sum of the other two interior angles.
1. A. 103
2. B. 283
3. C. 293
4. D. 463
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: B. 283

Nhận dạng: biết gần hết các góc trong, tìm phần còn thiếu.
Ý tưởng: tính tổng các góc trong trước, rồi trừ tổng các góc đã biết.
Bước 1: Từ một đỉnh kẻ các đường chéo, đa giác 12 cạnh chia thành 12 − 2 = 10 tam giác.
Bước 2: Tổng các góc trong: 10 × 180° = 1800°.
Bước 3: Tổng 10 góc đã biết: 154 + 143 + 101 + 157 + 222 + 160 + 129 + 167 + 114 + 170 = 1517 (độ).
Bước 4: Tổng hai góc còn lại: 1800° − 1517° = 283°.
Vậy tổng hai góc còn lại là 283°.
Mẹo: có góc lõm thì tổng góc trong vẫn là (n − 2) × 180°.

Phần 5: Tổ hợp (5 câu × 4 điểm)

Câu 214 điểm

Một hộp có các viên bi vàng, xanh, trắng, đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên, ghi màu rồi trả lại hộp; làm như vậy 80 lần, kết quả ghi ở bảng. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "không lấy được bi đỏ".
A box holds yellow, blue, white, red marbles. A marble is drawn, its colour noted and it is put back; this is done 80 times with results in the table. Find the experimental probability of not drawing a red marble.
1. A. 13/20
2. B. 5/8
3. C. 3/16
4. D. 13/16
Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: D. 13/16

Nhận dạng: có bảng kết quả thử nghiệm, hỏi xác suất thực nghiệm.
Ý tưởng: xác suất thực nghiệm = số lần biến cố xảy ra : tổng số lần thử.
Bước 1 (đếm số lần biến cố xảy ra): không phải bi đỏ: bi vàng 20 lần, bi xanh 13 lần, bi trắng 32 lần;
cộng: 20 + 13 + 32 = 65.
Bước 2 (chia cho số lần thử): 65/80 = 13/16.
Vậy xác suất thực nghiệm là 13/16.
Câu 224 điểm

Biểu đồ cột cho biết số sách một cửa hàng bán được trong các tháng. Số sách bán trong tháng 3 tăng bao nhiêu phần trăm so với tháng 2?
The bar chart shows books sold each month. By what percentage did sales in month 3 increase compared with month 2?
1. A. 55
2. B. 73
3. C. 275
4. D. 375
Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: C. 275

Nhận dạng: đọc biểu đồ cột, tính phần trăm tăng.
Ý tưởng: phần trăm tăng = phần tăng thêm : số lúc đầu × 100 (so với tháng 2 nên chia cho số của tháng 2).
Bước 1 (đọc số liệu): tháng 2: 20;
tháng 3: 75.
Bước 2 (phần tăng): 75 − 20 = 55.
Bước 3 (phần trăm): 55 : 20 × 100 = 275.
Vậy tăng 275%.
Câu 234 điểm

Một số được gọi là "số đẹp" nếu tổng các chữ số của nó chia cho 5 dư 4. Trong các số có 4 chữ số lớn hơn hoặc bằng 5000, có bao nhiêu số đẹp?
A number is called "nice" if its digit sum leaves remainder 4 when divided by 5. How many of the 4-digit numbers greater than or equal to 5000 are nice?
1. A. 500
2. B. 1000
3. C. 1500
4. D. 5000
Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: B. 1000

Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số theo điều kiện của tổng các chữ số.
Ý tưởng: chọn tự do các chữ số đầu, rồi đếm số cách chọn chữ số cuối cho đúng điều kiện.
Bước 1 (các chữ số đầu): hàng nghìn từ 5 đến 9: 9 − 5 + 1 = 5 cách, hàng trăm 10 cách, hàng chục 10 cách: 5 × 10 × 10 = 500 cách.
Bước 2 (chữ số cuối): với mỗi cách, tổng các chữ số đầu đã biết;
chữ số cuối phải có một số dư xác định khi chia cho 5;
trong 0 đến 9 mỗi số dư có đúng 2 chữ số (như 0 và 5, 2 và 7): 2 cách.
Bước 3 (nhân): 500 × 2 = 1000.
Vậy có 1000 số.
Câu 244 điểm

Một bài thi có 15 câu: mỗi câu đúng được 4 điểm, mỗi câu sai bị trừ 1 điểm, bỏ trống được 0 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có 3 thí sinh bằng điểm nhau?
A test has 15 questions: a correct answer scores 4, a wrong answer loses 1, a blank scores 0. At least how many candidates are needed to be sure that 3 of them have the same score?
1. A. 33
2. B. 140
3. C. 141
4. D. 153
Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: C. 141

Nhận dạng: chuồng bồ câu, chuồng là các mức điểm, có điểm trừ.
Ý tưởng: tìm điểm cao nhất, thấp nhất, rồi bỏ các điểm ở giữa không thể đạt được (thường nằm sát điểm cao nhất).
Bước 1 (điểm cao nhất, thấp nhất): đúng hết: 4 × 15 = 60;
sai hết: −15;
từ −15 đến 60 có 60 − (−15) + 1 = 76 số nguyên.
Bước 2 (xét điểm cao, theo số câu đúng): 15 câu đúng: 60;
14 câu đúng: 56, 55;
13 câu đúng: 52, 51, 50;
12 câu đúng trở xuống: không quá 4 × 12 = 48.
Bước 3 (đếm mức điểm): không đạt được 49, 53, 54, 57, 58, 59: 76 − 6 = 70 mức.
Bước 4 (xấu nhất): mỗi mức điểm có 2 người, chưa mức điểm nào có 3: 2 × 70 = 140;
thêm 1 người: 141.
Vậy cần ít nhất 141 thí sinh.
Câu 254 điểm

Xếp 4 bạn nam và 3 bạn nữ (trong đó có Linh) thành một hàng sao cho 3 bạn nữ đứng liền nhau và Linh đứng giữa hai bạn nữ kia. Có bao nhiêu cách xếp?
4 boys and 3 girls (including Linh) stand in a row so that the 3 girls are together and Linh stands between the other two girls. How many arrangements are there?
1. A. 120
2. B. 240
3. C. 720
4. D. 5040
Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: B. 240

Nhận dạng: xếp hàng có nhóm đứng liền nhau.
Ý tưởng: gộp nhóm thành một khối, xếp các khối, rồi xếp bên trong khối;
kí hiệu 5! là tích các số từ 1 đến 5, đọc là 5 giai thừa.
Bước 1 (gộp khối): 3 bạn nữ thành 1 khối, cùng 4 bạn nam: 4 + 1 = 5 khối.
Bước 2 (xếp các khối): 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cách.
Bước 3 (trong khối): Linh đứng giữa, hai bạn nữ kia đổi chỗ hai bên: 2 × 1 = 2 cách.
Bước 4 (nhân): 120 × 2 = 240.
Vậy có 240 cách.

Đáp án đề thi TIMO lớp 8

Câu	Đáp án
Câu 1	C. 4
Câu 2	B. 244,5°
Câu 3	C. 1680
Câu 4	B. 55 km/h
Câu 5	D. 45
Câu 6	C. −23
Câu 7	A. 120/121
Câu 8	D. 16
Câu 9	D. √30 − 2
Câu 10	B. 4
Câu 11	A. 56
Câu 12	C. 5
Câu 13	B. 13
Câu 14	B. 56
Câu 15	A. 1
Câu 16	B. 4,2
Câu 17	A. 24π
Câu 18	B. 30
Câu 19	C. 896
Câu 20	B. 283
Câu 21	D. 13/16
Câu 22	C. 275
Câu 23	B. 1000
Câu 24	C. 141
Câu 25	B. 240

Đề thi khác

Đề TIMO khối khác: Mầm non · Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức TIMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi TIMO lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng loại TIMO lớp 8 có 25 câu, làm trong 60 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử TIMO lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề TIMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.