Số AB có hai chữ số khác 0. Tổng hai chữ số của AB là 9. Nếu đổi chỗ hai chữ số thì số mới giảm đi 45. Tính A × B. A. 9 B. 14 C. 27 D. 72

Đáp án: B. 14. Nhận dạng: số hai chữ số đổi chỗ thì tăng hoặc giảm một lượng, kèm điều kiện phụ. Ý tưởng: viết số bằng 10 × A + B, hiệu của số và số đảo luôn là bội của 9, suy ra hiệu hai chữ số rồi lọc theo điều kiện. Bước 1: Gọi A, B là chữ số hàng chục, hàng đơn vị. AB − BA = (10 × A + B) − (10 × B + A) = 9 × (A − B) = 45. Bước 2: A − B = 45 : 9 = 5. Bước 3: Ghép với A + B = 9: các số có A − B = 5 là 61, 72, 83, 94, trong đó chỉ 72 có tổng chữ số 9. Bước 4: Nên A = 7, B = 2. Vậy A × B bằng 14.

Một đồng hồ kim chạy đều. Bắt đầu từ lúc đúng 8 giờ 30 phút, trong 12 giờ liên tiếp tiếp theo, kim giờ và kim phút thẳng hàng (ngược hướng nhau) bao nhiêu lần? A. 10 B. 11 C. 12 D. 22

Đáp án: B. 11. Nhận dạng: đếm số lần hai kim thẳng hàng trong nhiều giờ liên tiếp. Ý tưởng: kim phút quay nhanh hơn kim giờ, mỗi lần kim phút hơn kim giờ trọn một vòng (360°) thì hai kim lặp lại đủ các vị trí. Bước 1: Trong 12 giờ kim phút quay 12 vòng, kim giờ quay 1 vòng, nên kim phút hơn kim giờ 12 − 1 = 11 vòng. Bước 2: Mỗi vòng hơn như vậy hai kim thẳng hàng 1 lần, nên trong 12 giờ có 11 lần. Bước 3: Mốc đầu và mốc cuối của 12 giờ này (lúc 8 giờ 30 phút) không có lần nào đúng ở mốc. Bước 4: Số lần đúng bằng số lần trong 12 giờ: 11. Vậy có 11 lần.

2026 người đứng thành hàng và được đánh số từ 1 đến 2026. Người thứ k (k = 1, 2, …, 2026) nói: “Trong hàng có đúng k người nói dối.” Mỗi người hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. Có bao nhiêu người nói dối? A. 1 B. 2024 C. 2025 D. 2026

Đáp án: C. 2025. Nhận dạng: các phát biểu tự nói về số người nói dối, hỏi số người nói dối (hoặc người nói thật). Ý tưởng: các phát biểu loại trừ nhau, đặt số người nói thật là t rồi thử từng giá trị của t. Bước 1: Hai người khác nhau nói hai số khác nhau về số người nói dối, nên nhiều nhất một người nói thật, t = 0 hoặc t = 1. Bước 2: Nếu t = 0 thì cả 2026 người nói dối, nghĩa là có 2026 người nói dối, và lời của người thứ 2026 lại đúng, mâu thuẫn. Bước 3: Nếu t = 1 thì có 2026 − 1 = 2025 người nói dối, lời người thứ 2025 là đúng, các lời khác sai: hợp lí. Vậy có 2025 người nói dối.

Nghĩ một số, nhân với 6, cộng 14, trừ 11, chia cho 3, rồi bình phương kết quả, được 729. Có hai số thoả đề. Tổng của hai số có thể nghĩ là bao nhiêu? A. −182 B. 182 C. 13 D. −1

Đáp án: D. −1. Nhận dạng: chuỗi phép tính kết thúc bằng bình phương, hỏi số ban đầu (có hai số). Ý tưởng: đi ngược từ kết quả, mỗi phép tính đổi thành phép ngược (cộng ↔ trừ, nhân ↔ chia), và bình phương cho hai giá trị đối nhau. Bước 1: Trước khi bình phương là số t có t² = 729, nên t = 27 hoặc t = −27. Bước 2: Nhánh t = 27, đi ngược: 27 × 3 = 81, 81 + 11 = 92, 92 − 14 = 78, 78 : 6 = 13. Số nghĩ là 13. Bước 3: Nhánh t = −27, đi ngược: −27 × 3 = −81, −81 + 11 = −70, −70 − 14 = −84, −84 : 6 = −14. Số nghĩ là −14. Bước 4: Hai số là 13 và −14. Vậy tổng là 13 + (−14) = −1.

Một đoạn đường thẳng dài 72 m, người ta trồng cây cách nhau 6 m và đặt cột đèn cách nhau 8 m, cả hai đều có ở hai đầu đoạn đường. Những chỗ vừa có cây vừa có cột đèn chỉ tính là một vị trí. Có tất cả bao nhiêu vị trí khác nhau? A. 13 B. 19 C. 20 D. 23

Đáp án: B. 19. Nhận dạng: hai loại đặt cách đều trên cùng đoạn, hỏi tổng số vị trí khác nhau. Ý tưởng: cộng số vị trí hai loại rồi trừ số vị trí trùng (bội của BCNN), vì vị trí trùng bị đếm hai lần. Bước 1: Cây: 72 : 6 + 1 = 13 vị trí. Cột đèn: 72 : 8 + 1 = 10 vị trí. Bước 2: BCNN(6, 8) = 24, số vị trí trùng 72 : 24 + 1 = 4. Bước 3: Tổng số vị trí khác nhau = 13 + 10 − 4 = 19. Vậy có 19 vị trí.

Tìm số dư khi chia P(x) = x³ + 7x² − 3x − 7 cho x + 2. A. −7 B. 19 C. 23 D. −19

Đáp án: B. 19. Nhận dạng: hỏi số dư khi chia đa thức cho x − r. Ý tưởng: định lí Bézout: số dư bằng P(r), khỏi phải chia. Bước 1: x + 2 = 0 khi x = −2, nên số dư là P(−2). Bước 2: P(−2) = (−2)³ + 7 × (−2)² − 3 × (−2) − 7. Bước 3: = −8 + 28 + 6 − 7 = 19. Vậy số dư là 19.

Đa thức x² − (y + 2)² bằng tích nào sau đây? A. (x + y + 2)² B. (x − y − 2)(x + y + 2) C. (x − y + 2)(x + y + 2) D. (x − y + 2)²

Đáp án: B. (x − y − 2)(x + y + 2). Nhận dạng: hiệu của hai bình phương. Ý tưởng: A² − B² = (A − B)(A + B). Bước 1: x² là bình phương của x, nên biểu thức có dạng A² − B² với A = x, B = (y + 2). Bước 2: A² − B² = (A − B)(A + B) = (x − (y + 2))(x + (y + 2)). Bước 3: Bỏ ngoặc ở thừa số đầu: x − (y + 2) = x − y − 2 (dấu − trước ngoặc đổi dấu mọi số hạng). Vậy x² − (y + 2)² = (x − y − 2)(x + y + 2).

Hai số a, b thoả mãn a + b = 5, a² + b² = 73. Tìm tích a × b. A. −48 B. −24 C. 49 D. 24

Đáp án: B. −24. Nhận dạng: biết a + b và a² + b², hỏi tích ab. Ý tưởng: hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b² nối ba đại lượng. Bước 1: (a + b)² = a² + b² + 2ab. Bước 2: 5² = 73 + 2ab, tức là 25 = 73 + 2ab. Bước 3: 2ab = 25 − 73 = −48, ab = (−48) : 2 = −24. Vậy a × b = −24.

Giải hệ phương trình 6x − y = 111 (1); 11y − 3x = −87 (2). Tính 2xy. A. 108 B. 18 C. −107 D. −108

Đáp án: D. −108. Nhận dạng: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong (1) ẩn y có hệ số −1. Ý tưởng: rút y từ (1) rồi thế vào (2), còn phương trình một ẩn x. Bước 1: Từ (1): y = 6x − 111. Bước 2: Thế vào (2): −3x + 11(6x − 111) = −87. Bước 3: −3x + 66x − 1221 = −87, tức là 63x = 1134, x = 1134 : 63 = 18. Bước 4: y = 6 × 18 − 111 = −3. Bước 5: 2xy = 2 × 18 × (−3) = −108. Vậy 2xy = −108.

Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn 17 ≥ 3(8 − x)/5 ≥ −4? A. 34 B. 35 C. 36 D. 37

Đáp án: B. 35. Nhận dạng: bất phương trình kép có mẫu số, hỏi số nghiệm nguyên. Ý tưởng: làm cùng một phép ở cả ba vế để x đứng một mình (nhân, chia số âm thì đổi chiều), rồi đếm số nguyên. Bước 1: Viết lại theo chiều tăng: −4 ≤ 3(8 − x)/5 ≤ 17. Bước 2: Bỏ ngoặc ở tử: 3(8 − x) = −3x + 24. Bước 3: Nhân ba vế với 5 (số dương, giữ chiều): −20 ≤ −3x + 24 ≤ 85. Bước 4: Trừ 24 ở ba vế: −44 ≤ −3x ≤ 61. Bước 5: Chia ba vế cho −3 (số âm, đổi chiều mọi dấu): 44/3 ≥ x ≥ −61/3, tức là −61/3 ≤ x ≤ 44/3. Bước 6: Cận không nguyên, x nguyên: x ≥ −61/3 tức là 3x ≥ −61: 3 × (−21) = −63 không đủ, 3 × (−20) = −60 được, nên x ≥ −20; x ≤ 44/3 tức là 3x ≤ 44: 3 × 14 = 42 được, 3 × 15 = 45 quá lớn, nên x ≤ 14. Bước 7: Đếm số nguyên x từ −20 đến 14: 14 − (−20) + 1 = 35. Vậy có 35 số.

Các bạn xếp thành một đội hình chữ nhật, các hàng có số bạn bằng nhau. Trong hàng của Dũng, bên trái Dũng có 1 bạn, bên phải có 3 bạn; phía trước Dũng có 6 bạn, phía sau có 4 bạn. Đội hình có bao nhiêu bạn? A. 40 B. 44 C. 50 D. 55

Đáp án: D. 55. Nhận dạng: đội hình chữ nhật, số bạn = số hàng × số bạn mỗi hàng. Ý tưởng: tính số bạn trong hàng của Dũng và số hàng, nhớ cộng cả Dũng. Bước 1: Số bạn mỗi hàng: 1 + 3 + 1 = 5 (cộng Dũng). Bước 2: Số hàng: 6 + 4 + 1 = 11 (cộng hàng của Dũng). Bước 3: Số bạn: 11 × 5 = 55. Vậy đội hình có 55 bạn.

Tích 1 × 2 × 3 × … × 40 (kí hiệu 40!) có tận cùng bao nhiêu chữ số 0? A. 4 B. 8 C. 9 D. 10

Đáp án: C. 9. Nhận dạng: số chữ số 0 tận cùng của n!. Ý tưởng: mỗi chữ số 0 tận cùng do một cặp 2 × 5 = 10; trong 40! thừa số 2 nhiều hơn thừa số 5, nên chỉ cần đếm thừa số 5. Bước 1: Mỗi bội của 5 cho một thừa số 5: 40 : 5 = 8. Bước 2: Bội của 25 = 5 × 5 cho thêm một: 40 : 25 = 1 (dư 15). Bước 3: Số thừa số 5: 8 + 1 = 9. Vậy 40! có 9 chữ số 0 tận cùng.

Số 48² có bao nhiêu ước dương? A. 16 B. 20 C. 27 D. 100

Đáp án: C. 27. Nhận dạng: đếm số ước của một luỹ thừa. Ý tưởng: phân tích cơ số ra thừa số nguyên tố, nhân mỗi số mũ với số mũ của luỹ thừa. Bước 1: 48 = 2⁴ × 3, nên 48² = (2⁴ × 3)² = 2⁸ × 3². Bước 2: Số mũ của 2 chọn từ 0 đến 8: 9 cách; số mũ của 3 chọn từ 0 đến 2: 3 cách. Bước 3: Số ước = 9 × 3 = 27. Vậy 48² có 27 ước.

Có bao nhiêu số có năm chữ số chia hết cho 5 mà mọi chữ số đều chẵn? A. 500 B. 625 C. 1000 D. 2500

Đáp án: A. 500. Nhận dạng: đếm số có 5 chữ số, mọi chữ số chẵn, chia hết cho 5. Ý tưởng: chia hết cho 5 thì tận cùng 0 hoặc 5; 5 lẻ nên tận cùng phải là 0. Bước 1: Hàng đơn vị: 1 cách (chữ số 0); hàng đầu: 4 cách (2, 4, 6, 8). Bước 2: 3 hàng giữa mỗi hàng 5 cách: 4 × 5 × 5 × 5 = 500. Vậy có 500 số.

Số lập phương là số bằng a × a × a với a là số tự nhiên. Tìm số tự nhiên X nhỏ nhất để 9625 × X là một số lập phương. A. 77 B. 385 C. 5929 D. 11858

Đáp án: C. 5929. Nhận dạng: nhân thêm để được số lập phương. Ý tưởng: số lập phương có mọi số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố đều chia hết cho 3. Bước 1: Chia liên tiếp: 9625 : 5 = 1925, 1925 : 5 = 385, 385 : 5 = 77, 77 : 7 = 11, 11 : 11 = 1. Vậy 9625 = 5³ × 7 × 11. Bước 2: Bù số mũ lên bội của 3 gần nhất: 7 cần thêm 7² (mũ thành 3); 11 cần thêm 11² (mũ thành 3). Bước 3: X nhỏ nhất = 7² × 11² = 5929. Vậy X = 5929.

Hình quạt bán kính 4 cm có chu vi 13 cm. Tính diện tích hình quạt. A. 10 B. 18 C. 20 D. 26

Đáp án: A. 10. Nhận dạng: hình quạt bán kính R, cung dài d; chu vi hình quạt = d + 2R (cung và hai bán kính). Ý tưởng: diện tích hình quạt S = R × d : 2 (giống tam giác có đáy d, chiều cao R). Bước 1: Độ dài cung d = 13 − 2 × 4 = 5 (cm). Bước 2: S = 4 × 5 : 2 = 10 (cm²). Vậy diện tích hình quạt là 10 cm².

Chữ M được vẽ trên giấy ô vuông, mỗi ô cạnh 1 cm, nằm vừa khung 6 × 6 ô: mỗi chân rộng 1 ô, chỗ khuyết hình tam giác phía trên sâu 3 ô; khe trống giữa hai chân cao 3 ô sát hai chân, mép trên khe hình chữ V có điểm thấp nhất cách đáy 1 ô (xem hình). Tính diện tích chữ M. A. 22 B. 24 C. 26 D. 30

Đáp án: A. 22. Nhận dạng: hình vẽ trên giấy ô vuông, mỗi ô 1 cm, các đỉnh nằm ở nút lưới. Ý tưởng: lấy hình chữ nhật bao quanh trừ các phần trống (bù hình). Bước 1: Khung bao quanh 6 × 6 = 36 (cm²). Bước 2: Chỗ khuyết phía trên là tam giác đáy 4, cao 6 − 3 = 3: 4 × 3 : 2 = 6 (cm²). Bước 3: Khe giữa hai chân: hình chữ nhật 4 × 3 = 12, bớt tam giác đáy 4, cao 3 − 1 = 2: 4 × 2 : 2 = 4; khe = 12 − 4 = 8 (cm²). Bước 4: Diện tích = 36 − 6 − 8 = 22 (cm²). Vậy diện tích chữ M là 22 cm².

Trong các tứ giác có chu vi 76 cm, tứ giác có diện tích lớn nhất có diện tích bao nhiêu cm²? A. 360 B. 361 C. 722 D. 1444

Đáp án: B. 361. Nhận dạng: chu vi không đổi, tìm diện tích lớn nhất. Ý tưởng: với hình chữ nhật cạnh a, b: 4ab = (a + b)² − (a − b)² ≤ (a + b)², lớn nhất khi a = b. Bước 1: Nửa chu vi a + b = 76 : 2 = 38. Bước 2: ab ≤ (38 × 38) : 4 = 361, đạt khi a = b = 38 : 2 = 19. Bước 3: Trong các tứ giác cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất: 19 × 19 = 361. Vậy diện tích lớn nhất là 361 cm².

Hình chữ nhật 38 cm × 27 cm, ở mỗi góc cắt đi một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 15 cm (dọc cạnh dài) và 8 cm (dọc cạnh ngắn). Tính chu vi phần còn lại. A. 38 B. 106 C. 130 D. 198

Đáp án: B. 106. Nhận dạng: cắt góc hình chữ nhật bằng tam giác vuông, chu vi thay đổi. Ý tưởng: ở mỗi góc bỏ đi hai cạnh góc vuông, thêm cạnh huyền (tính bằng Pytago). Bước 1: Chu vi ban đầu 2 × (38 + 27) = 130 (cm). Bước 2: Cạnh huyền: 15 × 15 + 8 × 8 = 225 + 64 = 289 = 17 × 17, nên dài 17 (cm). Bước 3: Mỗi góc bớt 15 + 8 = 23, thêm 17: chu vi = 130 − 4 × 23 + 4 × 17 = 106 (cm). Vậy chu vi phần còn lại là 106 cm.

Mỗi góc ngoài của một đa giác đều n cạnh bằng (n + 37)°. Đa giác có bao nhiêu đường chéo? A. 12 B. 20 C. 28 D. 40

Đáp án: B. 20. Nhận dạng: góc ngoài của đa giác đều viết bằng biểu thức của n. Ý tưởng: các góc ngoài bằng nhau, tổng 360°, nên góc ngoài × n = 360. Bước 1: (n + 37) × n = 360, tức n² + 37n − 360 = 0. Bước 2: Tìm hai số có tích −360 và tổng −37: 8 và −45, nên (n − 8)(n + 45) = 0. Bước 3: n = 8 hoặc n = −45; số cạnh phải dương nên n = 8. Bước 4: Số đường chéo = 8 × (8 − 3) : 2 = 8 × 5 : 2 = 20. Vậy đa giác có 20 đường chéo. Mẹo: phương trình bậc hai có một nghiệm âm, số cạnh phải là số tự nhiên ≥ 3 nên loại nghiệm âm.

Trong một trò chơi, cứ 6 trang phục cùng cấp tự ghép thành 1 trang phục cấp cao hơn (ghép được thì ghép ngay, đến cấp 4 thì dừng). Lúc đầu có 711 trang phục cấp 1. Cuối cùng có bao nhiêu trang phục cấp 4? A. 3 B. 4 C. 39 D. 118

Đáp án: A. 3. Nhận dạng: ghép gộp theo nhóm 6, chia liên tiếp. Ý tưởng: số trang phục cấp trên = thương khi chia số trang phục cấp dưới cho 6; phần dư ở lại cấp dưới. Bước 1 (chia liên tiếp): 711 : 6 = 118 dư 3 → 118 trang phục cấp 2; 118 : 6 = 19 dư 4 → 19 trang phục cấp 3; 19 : 6 = 3 dư 1 → 3 trang phục cấp 4. Vậy có 3 trang phục cấp 4.

Cho 9 điểm nằm trên một đường tròn. Có bao nhiêu tứ giác mà mọi đỉnh đều là các điểm đã cho? A. 84 B. 126 C. 252 D. 3024

Đáp án: B. 126. Nhận dạng: đếm đa giác có đỉnh là các điểm trên đường tròn. Ý tưởng: mỗi bộ 4 điểm trên đường tròn nối theo thứ tự quanh đường tròn cho đúng một tứ giác lồi. Bước 1 (đổi về chọn nhóm): đếm số bộ 4 điểm; chọn 4 trong 9 điểm. Bước 2 (chọn có thứ tự rồi chia cho số cách đổi chỗ): (9 × 8 × 7 × 6) : (4 × 3 × 2 × 1) = 126. Vậy vẽ được 126 tứ giác.

Có 11 quả bóng đánh số từ 1 đến 11. Lấy ra cùng lúc 2 quả bóng. Có bao nhiêu cách lấy mà tổng hai số chia hết cho 3? A. 19 B. 24 C. 36 D. 38

Đáp án: A. 19. Nhận dạng: lấy 2 trong n số, đếm cách lấy theo tổng. Ý tưởng: chia các số theo số dư khi chia cho 3; tổng chia hết cho 3 khi hai số cùng dư 0, hoặc một số dư 1 với một số dư 2. Bước 1 (chia nhóm): dư 0: 3 số (3, 6, 9), dư 1: 4 số (1, 4, 7, 10), dư 2: 4 số (2, 5, 8, 11). Bước 2 (cùng dư 0): (3 × 2) : (2 × 1) = 3; dư 1 với dư 2: 4 × 4 = 16; cộng: 3 + 16 = 19. Vậy có 19 cách.

Gieo cùng lúc 5 con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tích 5 số chấm là số chẵn. A. 1/32 B. 1/2 C. 31/32 D. 5/6

Đáp án: C. 31/32. Nhận dạng: gieo xúc xắc nhiều lần, xác suất theo tích các số chấm. Ý tưởng: dùng phần bù: đếm các kết quả mà mọi lần đều ra số lẻ, rồi lấy tất cả trừ đi. Bước 1 (số kết quả có thể): mỗi lần 6 mặt: 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7776. Bước 2 (trường hợp ngược lại): mỗi lần ra 1, 3 hoặc 5: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. Bước 3 (thoả): 7776 − 243 = 7533. Bước 4 (xác suất): 7533/7776 = 31/32. Vậy xác suất là 31/32.

Rô-bốt đi theo các đường kẻ của lưới 3 × 6 ô vuông (3 hàng, 6 cột) từ A (góc dưới bên trái) đến B (góc trên bên phải), mỗi bước đi lên hoặc sang phải một cạnh ô. Điểm M cách A 4 ô sang phải và 2 ô lên trên bị ngập nước, không được đi qua. Có bao nhiêu đường đi? A. 39 B. 45 C. 66 D. 84

Đáp án: A. 39. Nhận dạng: đếm đường đi trên lưới có chỗ cấm. Ý tưởng: lấy tất cả đường đi trừ các đường đi qua điểm cấm; đường qua M = (cách A đến M) × (cách M đến B). Bước 1 (tất cả đường đi): chọn 3 lượt đi lên trong 3 + 6 = 9 lượt: (9 × 8 × 7) : (3 × 2 × 1) = 84. Bước 2 (đường qua M): A đến M: chọn 2 lượt đi lên trong 2 + 4 = 6 lượt: (6 × 5) : (2 × 1) = 15; M đến B: chọn 1 lượt đi lên trong 1 + 2 = 3 lượt: 3 cách; nhân: 15 × 3 = 45. Bước 3 (trừ): 84 − 45 = 39. Vậy có 39 đường đi.

Đề thi HKIMO lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử HKIMO lớp 8 (vòng loại) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 5 câu tư duy logic × 4 điểm; 5 câu số học & đại số × 4 điểm; 5 câu lý thuyết số × 4 điểm; 5 câu hình học × 4 điểm; 5 câu tổ hợp × 4 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi HKIMO.

Phần 1: Tư duy logic (5 câu × 4 điểm)

Câu 14 điểm

Số AB có hai chữ số khác 0. Tổng hai chữ số của AB là 9. Nếu đổi chỗ hai chữ số thì số mới giảm đi 45. Tính A × B.
AB is a two-digit number with non-zero digits. The digits of AB add up to 9. Swapping its two digits makes the number decrease by 45. Find A × B.
1. A. 9
2. B. 14
3. C. 27
4. D. 72
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 14

Nhận dạng: số hai chữ số đổi chỗ thì tăng hoặc giảm một lượng, kèm điều kiện phụ.
Ý tưởng: viết số bằng 10 × A + B, hiệu của số và số đảo luôn là bội của 9, suy ra hiệu hai chữ số rồi lọc theo điều kiện.
Bước 1: Gọi A, B là chữ số hàng chục, hàng đơn vị.
AB − BA = (10 × A + B) − (10 × B + A) = 9 × (A − B) = 45.
Bước 2: A − B = 45 : 9 = 5.
Bước 3: Ghép với A + B = 9: các số có A − B = 5 là 61, 72, 83, 94, trong đó chỉ 72 có tổng chữ số 9.
Bước 4: Nên A = 7, B = 2.
Vậy A × B bằng 14.
Câu 24 điểm

Một đồng hồ kim chạy đều. Bắt đầu từ lúc đúng 8 giờ 30 phút, trong 12 giờ liên tiếp tiếp theo, kim giờ và kim phút thẳng hàng (ngược hướng nhau) bao nhiêu lần?
A clock with hour and minute hands runs uniformly. Starting at exactly 8:30, during the next 12 consecutive hours, how many times do the hour hand and the minute hand point in exactly opposite directions?
1. A. 10
2. B. 11
3. C. 12
4. D. 22
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. 11

Nhận dạng: đếm số lần hai kim thẳng hàng trong nhiều giờ liên tiếp.
Ý tưởng: kim phút quay nhanh hơn kim giờ, mỗi lần kim phút hơn kim giờ trọn một vòng (360°) thì hai kim lặp lại đủ các vị trí.
Bước 1: Trong 12 giờ kim phút quay 12 vòng, kim giờ quay 1 vòng, nên kim phút hơn kim giờ 12 − 1 = 11 vòng.
Bước 2: Mỗi vòng hơn như vậy hai kim thẳng hàng 1 lần, nên trong 12 giờ có 11 lần.
Bước 3: Mốc đầu và mốc cuối của 12 giờ này (lúc 8 giờ 30 phút) không có lần nào đúng ở mốc.
Bước 4: Số lần đúng bằng số lần trong 12 giờ: 11.
Vậy có 11 lần.
Câu 34 điểm

2026 người đứng thành hàng và được đánh số từ 1 đến 2026. Người thứ k (k = 1, 2, …, 2026) nói: “Trong hàng có đúng k người nói dối.” Mỗi người hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. Có bao nhiêu người nói dối?
2026 people stand in a row, numbered 1 to 2026. Person k (k = 1, 2, …, 2026) says: “There are exactly k liars in the row.” Each person either always tells the truth or always lies. How many of them are lying?
1. A. 1
2. B. 2024
3. C. 2025
4. D. 2026
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 2025

Nhận dạng: các phát biểu tự nói về số người nói dối, hỏi số người nói dối (hoặc người nói thật).
Ý tưởng: các phát biểu loại trừ nhau, đặt số người nói thật là t rồi thử từng giá trị của t.
Bước 1: Hai người khác nhau nói hai số khác nhau về số người nói dối, nên nhiều nhất một người nói thật, t = 0 hoặc t = 1.
Bước 2: Nếu t = 0 thì cả 2026 người nói dối, nghĩa là có 2026 người nói dối, và lời của người thứ 2026 lại đúng, mâu thuẫn.
Bước 3: Nếu t = 1 thì có 2026 − 1 = 2025 người nói dối, lời người thứ 2025 là đúng, các lời khác sai: hợp lí.
Vậy có 2025 người nói dối.
Câu 44 điểm

Nghĩ một số, nhân với 6, cộng 14, trừ 11, chia cho 3, rồi bình phương kết quả, được 729. Có hai số thoả đề. Tổng của hai số có thể nghĩ là bao nhiêu?
Think of a number, multiply by 6, add 14, subtract 11, divide by 3, then square the result to get 729. There are two such numbers. What is the sum of the two possible numbers?
1. A. −182
2. B. 182
3. C. 13
4. D. −1
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: D. −1

Nhận dạng: chuỗi phép tính kết thúc bằng bình phương, hỏi số ban đầu (có hai số).
Ý tưởng: đi ngược từ kết quả, mỗi phép tính đổi thành phép ngược (cộng ↔ trừ, nhân ↔ chia), và bình phương cho hai giá trị đối nhau.
Bước 1: Trước khi bình phương là số t có t² = 729, nên t = 27 hoặc t = −27.
Bước 2: Nhánh t = 27, đi ngược: 27 × 3 = 81, 81 + 11 = 92, 92 − 14 = 78, 78 : 6 = 13.
Số nghĩ là 13.
Bước 3: Nhánh t = −27, đi ngược: −27 × 3 = −81, −81 + 11 = −70, −70 − 14 = −84, −84 : 6 = −14.
Số nghĩ là −14.
Bước 4: Hai số là 13 và −14.
Vậy tổng là 13 + (−14) = −1.
Câu 54 điểm

Một đoạn đường thẳng dài 72 m, người ta trồng cây cách nhau 6 m và đặt cột đèn cách nhau 8 m, cả hai đều có ở hai đầu đoạn đường. Những chỗ vừa có cây vừa có cột đèn chỉ tính là một vị trí. Có tất cả bao nhiêu vị trí khác nhau?
A straight road stretch is 72 m long. Trees are planted 6 m apart and lamp posts are placed 8 m apart, both at the two ends of the stretch. A place that has both a tree and a lamp post counts as one spot. How many different spots are there?
1. A. 13
2. B. 19
3. C. 20
4. D. 23
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. 19

Nhận dạng: hai loại đặt cách đều trên cùng đoạn, hỏi tổng số vị trí khác nhau.
Ý tưởng: cộng số vị trí hai loại rồi trừ số vị trí trùng (bội của BCNN), vì vị trí trùng bị đếm hai lần.
Bước 1: Cây: 72 : 6 + 1 = 13 vị trí.
Cột đèn: 72 : 8 + 1 = 10 vị trí.
Bước 2: BCNN(6, 8) = 24, số vị trí trùng 72 : 24 + 1 = 4.
Bước 3: Tổng số vị trí khác nhau = 13 + 10 − 4 = 19.
Vậy có 19 vị trí.

Phần 2: Số học & Đại số (5 câu × 4 điểm)

Câu 64 điểm

Tìm số dư khi chia P(x) = x³ + 7x² − 3x − 7 cho x + 2.
Find the remainder when P(x) = x³ + 7x² − 3x − 7 is divided by x + 2.
1. A. −7
2. B. 19
3. C. 23
4. D. −19
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 19

Nhận dạng: hỏi số dư khi chia đa thức cho x − r.
Ý tưởng: định lí Bézout: số dư bằng P(r), khỏi phải chia.
Bước 1: x + 2 = 0 khi x = −2, nên số dư là P(−2).
Bước 2: P(−2) = (−2)³ + 7 × (−2)² − 3 × (−2) − 7.
Bước 3: = −8 + 28 + 6 − 7 = 19.
Vậy số dư là 19.
Câu 74 điểm

Đa thức x² − (y + 2)² bằng tích nào sau đây?
Factor x² − (y + 2)².
1. A. (x + y + 2)²
2. B. (x − y − 2)(x + y + 2)
3. C. (x − y + 2)(x + y + 2)
4. D. (x − y + 2)²
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: B. (x − y − 2)(x + y + 2)

Nhận dạng: hiệu của hai bình phương.
Ý tưởng: A² − B² = (A − B)(A + B).
Bước 1: x² là bình phương của x, nên biểu thức có dạng A² − B² với A = x, B = (y + 2).
Bước 2: A² − B² = (A − B)(A + B) = (x − (y + 2))(x + (y + 2)).
Bước 3: Bỏ ngoặc ở thừa số đầu: x − (y + 2) = x − y − 2 (dấu − trước ngoặc đổi dấu mọi số hạng).
Vậy x² − (y + 2)² = (x − y − 2)(x + y + 2).
Câu 84 điểm

Hai số a, b thoả mãn a + b = 5, a² + b² = 73. Tìm tích a × b.
Numbers a and b satisfy a + b = 5 and a² + b² = 73. Find a × b.
1. A. −48
2. B. −24
3. C. 49
4. D. 24
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: B. −24

Nhận dạng: biết a + b và a² + b², hỏi tích ab.
Ý tưởng: hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b² nối ba đại lượng.
Bước 1: (a + b)² = a² + b² + 2ab.
Bước 2: 5² = 73 + 2ab, tức là 25 = 73 + 2ab.
Bước 3: 2ab = 25 − 73 = −48, ab = (−48) : 2 = −24.
Vậy a × b = −24.
Câu 94 điểm

Giải hệ phương trình 6x − y = 111 (1); 11y − 3x = −87 (2). Tính 2xy.
x and y satisfy the system 6x − y = 111 (1) and 11y − 3x = −87 (2). Find 2xy.
1. A. 108
2. B. 18
3. C. −107
4. D. −108
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: D. −108

Nhận dạng: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong (1) ẩn y có hệ số −1.
Ý tưởng: rút y từ (1) rồi thế vào (2), còn phương trình một ẩn x.
Bước 1: Từ (1): y = 6x − 111.
Bước 2: Thế vào (2): −3x + 11(6x − 111) = −87.
Bước 3: −3x + 66x − 1221 = −87, tức là 63x = 1134, x = 1134 : 63 = 18.
Bước 4: y = 6 × 18 − 111 = −3.
Bước 5: 2xy = 2 × 18 × (−3) = −108.
Vậy 2xy = −108.
Câu 104 điểm

Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn 17 ≥ 3(8 − x)/5 ≥ −4?
How many integer values of x satisfy 17 ≥ 3(8 − x)/5 ≥ −4?
1. A. 34
2. B. 35
3. C. 36
4. D. 37
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: B. 35

Nhận dạng: bất phương trình kép có mẫu số, hỏi số nghiệm nguyên.
Ý tưởng: làm cùng một phép ở cả ba vế để x đứng một mình (nhân, chia số âm thì đổi chiều), rồi đếm số nguyên.
Bước 1: Viết lại theo chiều tăng: −4 ≤ 3(8 − x)/5 ≤ 17.
Bước 2: Bỏ ngoặc ở tử: 3(8 − x) = −3x + 24.
Bước 3: Nhân ba vế với 5 (số dương, giữ chiều): −20 ≤ −3x + 24 ≤ 85.
Bước 4: Trừ 24 ở ba vế: −44 ≤ −3x ≤ 61.
Bước 5: Chia ba vế cho −3 (số âm, đổi chiều mọi dấu): 44/3 ≥ x ≥ −61/3, tức là −61/3 ≤ x ≤ 44/3.
Bước 6: Cận không nguyên, x nguyên: x ≥ −61/3 tức là 3x ≥ −61: 3 × (−21) = −63 không đủ, 3 × (−20) = −60 được, nên x ≥ −20;
x ≤ 44/3 tức là 3x ≤ 44: 3 × 14 = 42 được, 3 × 15 = 45 quá lớn, nên x ≤ 14.
Bước 7: Đếm số nguyên x từ −20 đến 14: 14 − (−20) + 1 = 35.
Vậy có 35 số.

Phần 3: Lý thuyết số (5 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

Các bạn xếp thành một đội hình chữ nhật, các hàng có số bạn bằng nhau. Trong hàng của Dũng, bên trái Dũng có 1 bạn, bên phải có 3 bạn; phía trước Dũng có 6 bạn, phía sau có 4 bạn. Đội hình có bao nhiêu bạn?
Students stand in a rectangular formation with the same number in each row. In Dung's row, there is 1 student to Dung's left, and there are 3 students to the right. There are 6 students in front of Dung. There are 4 students behind Dung. How many students are in the formation?
1. A. 40
2. B. 44
3. C. 50
4. D. 55
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: D. 55

Nhận dạng: đội hình chữ nhật, số bạn = số hàng × số bạn mỗi hàng.
Ý tưởng: tính số bạn trong hàng của Dũng và số hàng, nhớ cộng cả Dũng.
Bước 1: Số bạn mỗi hàng: 1 + 3 + 1 = 5 (cộng Dũng).
Bước 2: Số hàng: 6 + 4 + 1 = 11 (cộng hàng của Dũng).
Bước 3: Số bạn: 11 × 5 = 55.
Vậy đội hình có 55 bạn.
Câu 124 điểm

Tích 1 × 2 × 3 × … × 40 (kí hiệu 40!) có tận cùng bao nhiêu chữ số 0?
How many zeros does 40! = 1 × 2 × 3 × … × 40 end with?
1. A. 4
2. B. 8
3. C. 9
4. D. 10
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 9

Nhận dạng: số chữ số 0 tận cùng của n!.
Ý tưởng: mỗi chữ số 0 tận cùng do một cặp 2 × 5 = 10;
trong 40! thừa số 2 nhiều hơn thừa số 5, nên chỉ cần đếm thừa số 5.
Bước 1: Mỗi bội của 5 cho một thừa số 5: 40 : 5 = 8.
Bước 2: Bội của 25 = 5 × 5 cho thêm một: 40 : 25 = 1 (dư 15).
Bước 3: Số thừa số 5: 8 + 1 = 9.
Vậy 40! có 9 chữ số 0 tận cùng.
Câu 134 điểm

Số 48² có bao nhiêu ước dương?
How many positive divisors does 48² have?
1. A. 16
2. B. 20
3. C. 27
4. D. 100
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 27

Nhận dạng: đếm số ước của một luỹ thừa.
Ý tưởng: phân tích cơ số ra thừa số nguyên tố, nhân mỗi số mũ với số mũ của luỹ thừa.
Bước 1: 48 = 2⁴ × 3, nên 48² = (2⁴ × 3)² = 2⁸ × 3².
Bước 2: Số mũ của 2 chọn từ 0 đến 8: 9 cách;
số mũ của 3 chọn từ 0 đến 2: 3 cách.
Bước 3: Số ước = 9 × 3 = 27.
Vậy 48² có 27 ước.
Câu 144 điểm

Có bao nhiêu số có năm chữ số chia hết cho 5 mà mọi chữ số đều chẵn?
How many five-digit numbers divisible by 5 have only even digits?
1. A. 500
2. B. 625
3. C. 1000
4. D. 2500
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: A. 500

Nhận dạng: đếm số có 5 chữ số, mọi chữ số chẵn, chia hết cho 5.
Ý tưởng: chia hết cho 5 thì tận cùng 0 hoặc 5;
5 lẻ nên tận cùng phải là 0.
Bước 1: Hàng đơn vị: 1 cách (chữ số 0);
hàng đầu: 4 cách (2, 4, 6, 8).
Bước 2: 3 hàng giữa mỗi hàng 5 cách: 4 × 5 × 5 × 5 = 500.
Vậy có 500 số.
Câu 154 điểm

Số lập phương là số bằng a × a × a với a là số tự nhiên. Tìm số tự nhiên X nhỏ nhất để 9625 × X là một số lập phương.
A perfect cube is a number equal to a × a × a for a whole number a. Find the smallest X such that 9625 × X is a perfect cube.
1. A. 77
2. B. 385
3. C. 5929
4. D. 11858
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: C. 5929

Nhận dạng: nhân thêm để được số lập phương.
Ý tưởng: số lập phương có mọi số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố đều chia hết cho 3.
Bước 1: Chia liên tiếp: 9625 : 5 = 1925, 1925 : 5 = 385, 385 : 5 = 77, 77 : 7 = 11, 11 : 11 = 1.
Vậy 9625 = 5³ × 7 × 11.
Bước 2: Bù số mũ lên bội của 3 gần nhất: 7 cần thêm 7² (mũ thành 3);
11 cần thêm 11² (mũ thành 3).
Bước 3: X nhỏ nhất = 7² × 11² = 5929.
Vậy X = 5929.

Phần 4: Hình học (5 câu × 4 điểm)

Câu 164 điểm

Hình quạt bán kính 4 cm có chu vi 13 cm. Tính diện tích hình quạt.
A sector of radius 4 cm has perimeter 13 cm. Find its area.
1. A. 10
2. B. 18
3. C. 20
4. D. 26
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: A. 10

Nhận dạng: hình quạt bán kính R, cung dài d;
chu vi hình quạt = d + 2R (cung và hai bán kính).
Ý tưởng: diện tích hình quạt S = R × d : 2 (giống tam giác có đáy d, chiều cao R).
Bước 1: Độ dài cung d = 13 − 2 × 4 = 5 (cm).
Bước 2: S = 4 × 5 : 2 = 10 (cm²).
Vậy diện tích hình quạt là 10 cm².
Câu 174 điểm

Chữ M được vẽ trên giấy ô vuông, mỗi ô cạnh 1 cm, nằm vừa khung 6 × 6 ô: mỗi chân rộng 1 ô, chỗ khuyết hình tam giác phía trên sâu 3 ô; khe trống giữa hai chân cao 3 ô sát hai chân, mép trên khe hình chữ V có điểm thấp nhất cách đáy 1 ô (xem hình). Tính diện tích chữ M.
The letter M is drawn on squared paper with 1 cm squares, fitting a 6 × 6 frame: each leg is 1 wide, the triangular notch at the top is 3 deep; the gap between the legs is 3 high next to the legs and its V-shaped top dips to 1 above the bottom (see the figure). Find its area.
1. A. 22
2. B. 24
3. C. 26
4. D. 30
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: A. 22

Nhận dạng: hình vẽ trên giấy ô vuông, mỗi ô 1 cm, các đỉnh nằm ở nút lưới.
Ý tưởng: lấy hình chữ nhật bao quanh trừ các phần trống (bù hình).
Bước 1: Khung bao quanh 6 × 6 = 36 (cm²).
Bước 2: Chỗ khuyết phía trên là tam giác đáy 4, cao 6 − 3 = 3: 4 × 3 : 2 = 6 (cm²).
Bước 3: Khe giữa hai chân: hình chữ nhật 4 × 3 = 12, bớt tam giác đáy 4, cao 3 − 1 = 2: 4 × 2 : 2 = 4;
khe = 12 − 4 = 8 (cm²).
Bước 4: Diện tích = 36 − 6 − 8 = 22 (cm²).
Vậy diện tích chữ M là 22 cm².
Câu 184 điểm

Trong các tứ giác có chu vi 76 cm, tứ giác có diện tích lớn nhất có diện tích bao nhiêu cm²?
Among all quadrilaterals with perimeter 76 cm, what is the largest possible area, in cm²?
1. A. 360
2. B. 361
3. C. 722
4. D. 1444
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: B. 361

Nhận dạng: chu vi không đổi, tìm diện tích lớn nhất.
Ý tưởng: với hình chữ nhật cạnh a, b: 4ab = (a + b)² − (a − b)² ≤ (a + b)², lớn nhất khi a = b.
Bước 1: Nửa chu vi a + b = 76 : 2 = 38.
Bước 2: ab ≤ (38 × 38) : 4 = 361, đạt khi a = b = 38 : 2 = 19.
Bước 3: Trong các tứ giác cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất: 19 × 19 = 361.
Vậy diện tích lớn nhất là 361 cm².
Câu 194 điểm

Hình chữ nhật 38 cm × 27 cm, ở mỗi góc cắt đi một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 15 cm (dọc cạnh dài) và 8 cm (dọc cạnh ngắn). Tính chu vi phần còn lại.
From a 38 cm × 27 cm rectangle, a right triangle with legs 15 cm (along the long side) and 8 cm (along the short side) is cut off at each corner. Find the perimeter of what remains.
1. A. 38
2. B. 106
3. C. 130
4. D. 198
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: B. 106

Nhận dạng: cắt góc hình chữ nhật bằng tam giác vuông, chu vi thay đổi.
Ý tưởng: ở mỗi góc bỏ đi hai cạnh góc vuông, thêm cạnh huyền (tính bằng Pytago).
Bước 1: Chu vi ban đầu 2 × (38 + 27) = 130 (cm).
Bước 2: Cạnh huyền: 15 × 15 + 8 × 8 = 225 + 64 = 289 = 17 × 17, nên dài 17 (cm).
Bước 3: Mỗi góc bớt 15 + 8 = 23, thêm 17: chu vi = 130 − 4 × 23 + 4 × 17 = 106 (cm).
Vậy chu vi phần còn lại là 106 cm.
Câu 204 điểm

Mỗi góc ngoài của một đa giác đều n cạnh bằng (n + 37)°. Đa giác có bao nhiêu đường chéo?
Each exterior angle of a regular polygon with n sides is (n + 37)°. How many diagonals does it have?
1. A. 12
2. B. 20
3. C. 28
4. D. 40
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: B. 20

Nhận dạng: góc ngoài của đa giác đều viết bằng biểu thức của n.
Ý tưởng: các góc ngoài bằng nhau, tổng 360°, nên góc ngoài × n = 360.
Bước 1: (n + 37) × n = 360, tức n² + 37n − 360 = 0.
Bước 2: Tìm hai số có tích −360 và tổng −37: 8 và −45, nên (n − 8)(n + 45) = 0.
Bước 3: n = 8 hoặc n = −45;
số cạnh phải dương nên n = 8.
Bước 4: Số đường chéo = 8 × (8 − 3) : 2 = 8 × 5 : 2 = 20.
Vậy đa giác có 20 đường chéo.
Mẹo: phương trình bậc hai có một nghiệm âm, số cạnh phải là số tự nhiên ≥ 3 nên loại nghiệm âm.

Phần 5: Tổ hợp (5 câu × 4 điểm)

Câu 214 điểm

Trong một trò chơi, cứ 6 trang phục cùng cấp tự ghép thành 1 trang phục cấp cao hơn (ghép được thì ghép ngay, đến cấp 4 thì dừng). Lúc đầu có 711 trang phục cấp 1. Cuối cùng có bao nhiêu trang phục cấp 4?
In a game, every 6 outfits of the same level merge into 1 outfit of the next level (merging whenever possible, stopping at level 4). At first there are 711 level-1 outfits. How many level-4 outfits are there in the end?
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 39
4. D. 118
Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: A. 3

Nhận dạng: ghép gộp theo nhóm 6, chia liên tiếp.
Ý tưởng: số trang phục cấp trên = thương khi chia số trang phục cấp dưới cho 6;
phần dư ở lại cấp dưới.
Bước 1 (chia liên tiếp): 711 : 6 = 118 dư 3 → 118 trang phục cấp 2;
118 : 6 = 19 dư 4 → 19 trang phục cấp 3;
19 : 6 = 3 dư 1 → 3 trang phục cấp 4.
Vậy có 3 trang phục cấp 4.
Câu 224 điểm

Cho 9 điểm nằm trên một đường tròn. Có bao nhiêu tứ giác mà mọi đỉnh đều là các điểm đã cho?
There are 9 different points on a circle. How many quadrilaterals have all their vertices among these points?
1. A. 84
2. B. 126
3. C. 252
4. D. 3024
Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: B. 126

Nhận dạng: đếm đa giác có đỉnh là các điểm trên đường tròn.
Ý tưởng: mỗi bộ 4 điểm trên đường tròn nối theo thứ tự quanh đường tròn cho đúng một tứ giác lồi.
Bước 1 (đổi về chọn nhóm): đếm số bộ 4 điểm;
chọn 4 trong 9 điểm.
Bước 2 (chọn có thứ tự rồi chia cho số cách đổi chỗ): (9 × 8 × 7 × 6) : (4 × 3 × 2 × 1) = 126.
Vậy vẽ được 126 tứ giác.
Câu 234 điểm

Có 11 quả bóng đánh số từ 1 đến 11. Lấy ra cùng lúc 2 quả bóng. Có bao nhiêu cách lấy mà tổng hai số chia hết cho 3?
There are 11 balls numbered 1 to 11. Two of them are taken at the same time. In how many ways can this be done so that the sum is divisible by 3?
1. A. 19
2. B. 24
3. C. 36
4. D. 38
Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: A. 19

Nhận dạng: lấy 2 trong n số, đếm cách lấy theo tổng.
Ý tưởng: chia các số theo số dư khi chia cho 3;
tổng chia hết cho 3 khi hai số cùng dư 0, hoặc một số dư 1 với một số dư 2.
Bước 1 (chia nhóm): dư 0: 3 số (3, 6, 9), dư 1: 4 số (1, 4, 7, 10), dư 2: 4 số (2, 5, 8, 11).
Bước 2 (cùng dư 0): (3 × 2) : (2 × 1) = 3;
dư 1 với dư 2: 4 × 4 = 16;
cộng: 3 + 16 = 19.
Vậy có 19 cách.
Câu 244 điểm

Gieo cùng lúc 5 con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tích 5 số chấm là số chẵn.
5 fair dice (faces 1 to 6) are rolled together. Find the probability that the product of the 5 numbers is even.
1. A. 1/32
2. B. 1/2
3. C. 31/32
4. D. 5/6
Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: C. 31/32

Nhận dạng: gieo xúc xắc nhiều lần, xác suất theo tích các số chấm.
Ý tưởng: dùng phần bù: đếm các kết quả mà mọi lần đều ra số lẻ, rồi lấy tất cả trừ đi.
Bước 1 (số kết quả có thể): mỗi lần 6 mặt: 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7776.
Bước 2 (trường hợp ngược lại): mỗi lần ra 1, 3 hoặc 5: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243.
Bước 3 (thoả): 7776 − 243 = 7533.
Bước 4 (xác suất): 7533/7776 = 31/32.
Vậy xác suất là 31/32.
Câu 254 điểm

Rô-bốt đi theo các đường kẻ của lưới 3 × 6 ô vuông (3 hàng, 6 cột) từ A (góc dưới bên trái) đến B (góc trên bên phải), mỗi bước đi lên hoặc sang phải một cạnh ô. Điểm M cách A 4 ô sang phải và 2 ô lên trên bị ngập nước, không được đi qua. Có bao nhiêu đường đi?
A robot walks along the lines of a 3 × 6 grid (3 rows, 6 columns) from A (bottom left) to B (top right), each step going up or right along one side of a square. Point M, 4 squares right and 2 squares up from A, is flooded and cannot be passed. How many routes are there?
1. A. 39
2. B. 45
3. C. 66
4. D. 84
Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: A. 39

Nhận dạng: đếm đường đi trên lưới có chỗ cấm.
Ý tưởng: lấy tất cả đường đi trừ các đường đi qua điểm cấm;
đường qua M = (cách A đến M) × (cách M đến B).
Bước 1 (tất cả đường đi): chọn 3 lượt đi lên trong 3 + 6 = 9 lượt: (9 × 8 × 7) : (3 × 2 × 1) = 84.
Bước 2 (đường qua M): A đến M: chọn 2 lượt đi lên trong 2 + 4 = 6 lượt: (6 × 5) : (2 × 1) = 15;
M đến B: chọn 1 lượt đi lên trong 1 + 2 = 3 lượt: 3 cách;
nhân: 15 × 3 = 45.
Bước 3 (trừ): 84 − 45 = 39.
Vậy có 39 đường đi.

Đáp án đề thi HKIMO lớp 8

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 14
Câu 2	B. 11
Câu 3	C. 2025
Câu 4	D. −1
Câu 5	B. 19
Câu 6	B. 19
Câu 7	B. (x − y − 2)(x + y + 2)
Câu 8	B. −24
Câu 9	D. −108
Câu 10	B. 35
Câu 11	D. 55
Câu 12	C. 9
Câu 13	C. 27
Câu 14	A. 500
Câu 15	C. 5929
Câu 16	A. 10
Câu 17	A. 22
Câu 18	B. 361
Câu 19	B. 106
Câu 20	B. 20
Câu 21	A. 3
Câu 22	B. 126
Câu 23	A. 19
Câu 24	C. 31/32
Câu 25	A. 39

Đề thi khác

Đề HKIMO khối khác: Mầm non · Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: TIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức HKIMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi HKIMO lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng loại HKIMO lớp 8 có 25 câu, làm trong 60 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử HKIMO lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề HKIMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.