Biểu đồ đường cho biết số lượt khách (đơn vị: trăm lượt) đến một khu vui chơi mỗi ngày. Trong 5 ngày đó có tất cả bao nhiêu trăm lượt khách? A. 182 B. 192 C. 202 D. 212 E. 222

Đáp án: C. 202. Nhận dạng: đọc biểu đồ đường. Ý tưởng: đọc số ở từng điểm rồi cộng. Bước 1 (cộng): 39 + 27 + 53 + 52 + 31 = 202. Vậy có 202 trăm lượt.

Trong hộp có 6 bi đen, 12 bi đỏ, 13 bi vàng. Không nhìn, lấy ra một số viên bi. Phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có 12 bi đỏ? A. 12 B. 29 C. 30 D. 31 E. 36

Đáp án: D. 31. Nhận dạng: trường hợp xấu nhất, cần đủ số lượng của một màu. Ý tưởng: xấu nhất là lấy hết các bi không phải màu đỏ trước, rồi mới đến bi đỏ. Bước 1 (lấy hết màu khác): 6 + 13 = 19. Bước 2 (lấy thêm màu đỏ): cần 12 bi đỏ: 19 + 12 = 31. Vậy phải lấy ít nhất 31 viên bi.

Ba đèn nháy sáng theo chu kỳ lần lượt 24 giây, 40 giây và 45 giây, và cùng nháy sáng lúc 0 giây. Trong 30 phút (từ giây 0 đến giây 1800, kể cả hai đầu) có bao nhiêu lần cả ba cùng nháy sáng? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 16

Đáp án: C. 6. Nhận dạng: ba chu kỳ trùng nhau, đếm số lần trùng. Ý tưởng: cả ba trùng nhau sau mỗi BCNN của ba chu kỳ. Bước 1: BCNN(24, 40, 45) = 360 (24 = 2³ × 3, 40 = 2³ × 5, 45 = 3² × 5 → lấy số mũ lớn nhất: 2³ × 3² × 5) giây. Bước 2: 30 phút = 30 × 60 = 1800 giây; 1800 : 360 = 5: sau giây 0 còn trùng 5 lần. Bước 3: Cộng lần ở giây 0: 5 + 1 = 6. Vậy có 6 lần.

Hai số a, b có tổng 24 và tích 119. Tìm (a − b)². A. 99 B. 100 C. 338 D. 457 E. 1052

Đáp án: B. 100. Nhận dạng: biết tổng và tích hai số, hỏi về hiệu. Ý tưởng: (a + b)² − (a − b)² = 4ab, nên (a − b)² = (a + b)² − 4ab. Bước 1: (a − b)² = (a + b)² − 4ab. Bước 2: = 24² − 4 × 119 = 576 − 476 = 100. Vậy (a − b)² = 100.

Các bạn xếp thành một đội hình chữ nhật, các hàng có số bạn bằng nhau. Trong hàng của An, bên trái An có 4 bạn, bên phải có 6 bạn; phía trước An có 3 bạn, phía sau có 1 bạn. Đội hình có bao nhiêu bạn? A. 40 B. 44 C. 50 D. 52 E. 55

Đáp án: E. 55. Nhận dạng: đội hình chữ nhật, số bạn = số hàng × số bạn mỗi hàng. Ý tưởng: tính số bạn trong hàng của An và số hàng, nhớ cộng cả An. Bước 1: Số bạn mỗi hàng: 4 + 6 + 1 = 11 (cộng An). Bước 2: Số hàng: 3 + 1 + 1 = 5 (cộng hàng của An). Bước 3: Số bạn: 5 × 11 = 55. Vậy đội hình có 55 bạn.

Có 12 quả bóng đánh số từ 1 đến 12. Lấy ra cùng lúc 2 quả bóng. Có bao nhiêu cách lấy mà tổng hai số là số lẻ? A. 26 B. 30 C. 36 D. 42 E. 72

Đáp án: C. 36. Nhận dạng: lấy 2 trong n số, đếm cách lấy theo tổng. Ý tưởng: tổng lẻ khi một số lẻ và một số chẵn. Bước 1 (chia nhóm): 6 số lẻ (1, 3, …, 11), 6 số chẵn (2, 4, …, 12). Bước 2 (một lẻ, một chẵn): 6 × 6 = 36. Vậy có 36 cách.

Tìm số nguyên m nhỏ nhất để phương trình x² − 2(m + 1)x + m² + 10 = 0 có nghiệm. A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9

Đáp án: C. 5. Nhận dạng: phương trình bậc hai có tham số m, hỏi điều kiện có nghiệm. Ý tưởng: đưa về (x − h)² = Δ' (Δ' là biệt thức thu gọn); bình phương ≥ 0 nên cần Δ' ≥ 0. Bước 1: Viết (x − (m + 1))² = (m + 1)² − (m² + 10) = m² + 2m + 1 − m² − 10 = 2m − 9. Bước 2: Có nghiệm khi 2m − 9 ≥ 0, tức là 2m ≥ 9. Bước 3: Chia cho 2 (số dương, giữ chiều): m ≥ 9/2. Bước 4: Số nguyên m nhỏ nhất thoả m ≥ 9/2 là 5. Vậy m = 5.

Có bao nhiêu số chính phương lớn hơn 554 và nhỏ hơn 1992? A. 1 B. 20 C. 21 D. 22 E. 41

Đáp án: C. 21. Nhận dạng: đếm số chính phương thoả điều kiện. Ý tưởng: số chính phương là n × n với n là số tự nhiên, nên đếm các giá trị của n. Bước 1: Số chính phương nhỏ nhất lớn hơn 554: 23² = 529 < 554 < 24² = 576. Bước 2: Số chính phương lớn nhất nhỏ hơn 1992: 44² = 1936 < 1992 < 45² = 2025. Bước 3: n chạy từ 24 đến 44: 44 − 24 + 1 = 21 số. Vậy có 21 số chính phương.

Cho số x khác 0 có x + 1/x = 3. Tính x² + 1/x². A. 4 B. 7 C. 9 D. 11 E. 17

Đáp án: B. 7. Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi x² + 1/x². Ý tưởng: bình phương hai vế; x × 1/x = 1 nên hạng tử giữa là 2. Bước 1: (x + 1/x)² = x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = x² + 1/x² + 2. Bước 2: 3² = 9 = x² + 1/x² + 2, nên x² + 1/x² = 9 − 2 = 7. Vậy x² + 1/x² = 7.

Cho x > 0 thoả mãn x = 6 + 27/(6 + 27/(6 + 27/(6 + …))) (lặp vô hạn). Tìm x. A. 3 B. 4 C. 9 D. 10 E. 27

Đáp án: C. 9. Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, mẫu số lặp lại đúng biểu thức ban đầu. Ý tưởng: mẫu của phân số đầu tiên chính là x; được phương trình bậc hai. Bước 1: x = 6 + 27/x. Bước 2: Nhân hai vế với x: x² = 6x + 27, tức là x² − 6x − 27 = 0. Bước 3: Hai số có tích −27, tổng 6: 9 và −3, nên (x − 9)(x + 3) = 0. Bước 4: x > 0 nên loại −3, x = 9. Vậy x = 9.

Trung bình cộng của 5 số là 36,2. Thay số 46 bằng một số mới thì trung bình cộng của 5 số trở thành 37,8. Tìm số mới. A. 8 B. 38 C. 46 D. 54 E. 59

Đáp án: D. 54. Nhận dạng: thay một số bằng số mới làm trung bình đổi, hỏi số mới. Ý tưởng: tổng đổi một lượng bằng (số mới − số cũ), mà tổng = trung bình × số lượng. Bước 1: Tổng cũ: 5 × 36,2 = 181. Tổng mới: 5 × 37,8 = 189. Bước 2: Tổng thay đổi: 189 − 181 = 8. Bước 3: Số mới = số cũ + phần thay đổi = 46 + 8 = 54. Vậy số mới là 54.

Dãy số có số thứ nhất là 7; mỗi số từ số thứ hai bằng 17 lần số đứng ngay trước cộng 15. Chữ số tận cùng của số thứ 2025 là chữ số nào? A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 E. 10

Đáp án: C. 7. Nhận dạng: dãy số cho bằng quy luật nhân rồi cộng, hỏi chữ số tận cùng của một số hạng rất xa. Ý tưởng: chữ số tận cùng của số sau chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của số trước, nên chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ. Bước 1: Chỉ cần tính với chữ số tận cùng, bắt đầu từ 7: 17 × 7 + 15 = 134 (tận cùng 4), 17 × 4 + 15 = 83 (tận cùng 3), 17 × 3 + 15 = 66 (tận cùng 6), 17 × 6 + 15 = 117 (tận cùng 7); chữ số 7 xuất hiện lại. Bước 2: Từ số thứ 1 trở đi chữ số tận cùng lặp lại theo nhóm 4 số: 7, 4, 3, 6. Bước 3: Số thứ 2025 nằm cách số thứ 1 là 2025 − 1 = 2024 vị trí; 2024 : 4 = 506 dư 0. Bước 4: Dư 0 nên số thứ 2025 có cùng chữ số tận cùng với vị trí thứ 1 của nhóm, là 7. Vậy chữ số tận cùng là 7.

Hình quạt bán kính 22 cm có diện tích 66 cm². Tính chu vi hình quạt. A. 40 B. 48 C. 50 D. 52 E. 60

Đáp án: C. 50. Nhận dạng: hình quạt bán kính R, cung dài d; chu vi hình quạt = d + 2R (cung và hai bán kính). Ý tưởng: diện tích hình quạt S = R × d : 2 (giống tam giác có đáy d, chiều cao R). Bước 1: Độ dài cung d = 2 × S : R = 2 × 66 : 22 = 6 (cm). Bước 2: Chu vi = 6 + 2 × 22 = 50 (cm). Vậy chu vi hình quạt là 50 cm.

Một cửa hàng bán quả quýt giá 2 nghìn đồng, quả táo giá 5 nghìn đồng, quả bưởi giá 12 nghìn đồng. Lan mua đúng 9 món, mỗi loại ít nhất một món, hết đúng 61 nghìn đồng. Lan mua bao nhiêu quả quýt? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 9

Đáp án: B. 4. Nhận dạng: ba ẩn nguyên dương, hai phương trình (số món, số tiền). Ý tưởng: trừ đi để mất một ẩn, còn một phương trình hai ẩn, rồi thử. Bước 1: Gọi x, y, z là số quả quýt, quả táo, quả bưởi: x + y + z = 9, 2x + 5y + 12z = 61. Bước 2: Lấy phương trình tiền trừ 2 lần phương trình món: 3y + 10z = 61 − 18 = 43. Bước 3: Thử z từ 1, cần 43 − 10z chia hết cho 3 và x = 9 − y − z ≥ 1: y = 1, z = 4, x = 4. Vậy Lan mua 4 quả quýt.

Ghép đủ 414 viên gạch vuông cạnh 1 dm (không chồng, không hở) thành một hình chữ nhật. Chu vi lớn nhất của hình chữ nhật là bao nhiêu dm? A. 820 B. 828 C. 830 D. 832 E. 840

Đáp án: C. 830. Nhận dạng: biết diện tích hình chữ nhật (số ô vuông), xét các cặp cạnh nguyên. Ý tưởng: hai cạnh là một cặp ước có tích bằng số ô; cùng diện tích thì hai cạnh càng gần nhau, chu vi càng nhỏ. Bước 1: Diện tích 414, các cặp cạnh (rộng × dài): 1 × 414, 2 × 207, 3 × 138, 6 × 69, 9 × 46, 18 × 23. Bước 2: Cặp xa nhau nhất là 1 × 414. Bước 3: Chu vi = 2 × (1 + 414) = 830 (dm). Vậy chu vi lớn nhất là 830 dm.

Một chiếc flycam bay 7 m về hướng Tây, rồi 12 m về hướng Bắc, rồi 2 m về hướng Đông. Lúc đó chiếc flycam cách chỗ xuất phát bao nhiêu m (theo đường thẳng)? A. 3 B. 11 C. 13 D. 15 E. 23

Đáp án: C. 13. Nhận dạng: đi nhiều đoạn theo các hướng Đông – Tây – Nam – Bắc, hỏi khoảng cách thẳng. Ý tưởng: gom các đoạn Đông – Tây thành một độ lệch ngang, Nam – Bắc thành một độ lệch dọc, rồi Pytago. Bước 1: Lệch ngang: 7 − 2 = 5 m (về hướng Tây); lệch dọc (Bắc – Nam): 12 m. Bước 2: Hai độ lệch vuông góc, khoảng cách là cạnh huyền d: d × d = 5 × 5 + 12 × 12 = 25 + 144 = 169. Bước 3: 13 × 13 = 169, nên d = 13 m. Vậy chiếc flycam cách chỗ xuất phát 13 m.

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 16 cm, trung đoạn 17 cm. Tính thể tích hình chóp. A. 1280 B. 1290 C. 1296 D. 1920 E. 3840

Đáp án: A. 1280. Nhận dạng: hình chóp tứ giác đều S.ABCD: đáy là hình vuông cạnh a, chân đường cao O là tâm đáy, trung đoạn SM (M là trung điểm một cạnh đáy) là đường cao của mặt bên. Ý tưởng: tam giác SOM vuông tại O (OM = a : 2) cho chiều cao SO; V = đáy × cao : 3. Bước 1: OM = 16 : 2 = 8; SO × SO = 17 × 17 − 8 × 8 = 225 = 15 × 15, nên SO = 15 (cm). Bước 2: Đáy = 16 × 16 = 256 (cm²). Bước 3: V = 256 × 15 : 3 = 1280 (cm³). Vậy thể tích hình chóp là 1280 cm³.

Giải bóng đá có 9 đội đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì đấu đúng một trận). Thắng được 3 điểm, hoà mỗi đội 1 điểm, thua 0 điểm. Cuối giải, tổng điểm của 9 đội là 104. Có bao nhiêu trận hoà? A. 4 B. 5 C. 9 D. 32 E. 36

Đáp án: A. 4. Nhận dạng: giải vòng tròn với điểm thắng, hoà, thua cho trước, biết tổng điểm, hỏi số trận hoà. Ý tưởng: trận phân thắng bại cho tổng 3 điểm, trận hoà cho tổng 1 + 1 = 2 điểm, nên mỗi trận hoà làm tổng điểm kém 3 − 2 = 1 so với giả sử mọi trận phân thắng bại. Bước 1: Số trận: 9 × 8 : 2 = 36 trận. Bước 2: Nếu mọi trận đều phân thắng bại thì tổng điểm là 3 × 36 = 108. Bước 3: Tổng điểm thực tế là 104, kém 108 − 104 = 4, mỗi trận hoà kém 1 điểm nên có 4 trận hoà. Vậy có 4 trận hoà.

Tìm số dư khi chia 246¹⁶⁰ cho 19. A. 0 B. 1 C. 5 D. 8 E. 18

Đáp án: B. 1. Nhận dạng: số dư khi chia một luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: viết cơ số thành bội của 19 cộng 1 hoặc trừ 1, rồi xem tích các thừa số như vậy. Bước 1: 246 = 19 × 13 − 1 (246 chia 19 dư 18, kém bội của 19 một đơn vị). Bước 2: (bội của 19 − 1) × (bội của 19 − 1) = bội của 19 + 1, nên 246² chia 19 dư 1. Bước 3: 160 chẵn: 246¹⁶⁰ = (246²)⁸⁰, tích các số chia 19 dư 1, nên dư 1. Vậy 246¹⁶⁰ chia 19 dư 1.

Hình thoi có cạnh 26 cm và một đường chéo dài 48 cm. Tính diện tích hình thoi. A. 240 B. 475 C. 480 D. 624 E. 960

Đáp án: C. 480. Nhận dạng: hình thoi — bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường. Ý tưởng: tìm đường chéo còn lại bằng Pytago trong tam giác OBC, rồi diện tích = tích hai đường chéo : 2. Bước 1: Nửa đường chéo đã biết: 48 : 2 = 24. Bước 2: Nửa đường chéo kia: 26 × 26 − 24 × 24 = 100 = 10 × 10, nên bằng 10; đường chéo dài 20 (cm). Bước 3: Diện tích = 48 × 20 : 2 = 480 (cm²). Vậy diện tích hình thoi là 480 cm².

Điền số vào bảng 3 × 3 sao cho tích ba số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau. Hàng 1: 54, 144, 6. Hàng 2: ?, ?, ?. Hàng 3: ?, 9, ?. Số ở ô hàng 3, cột 3 (ô có dấu ?) là bao nhiêu? A. 4 B. 19 C. 24 D. 29 E. 44

Đáp án: C. 24. Nhận dạng: ma phương nhân, ba số trên mỗi đường có tích bằng nhau, biết một số ô. Ý tưởng: tìm tích chung từ một đường đã đủ ba số, rồi mỗi đường chỉ thiếu một ô thì chia tích chung cho hai ô đã biết. Bước 1: Hàng 1 đã đủ ba số, tích chung là 54 × 144 × 6 = 46656. Bước 2: Cột 2 chỉ thiếu ô hàng 2, cột 2: ô đó là 46656 : (144 × 9) = 36. Bước 3: Đường chéo từ góc trên trái chỉ thiếu ô hàng 3, cột 3: ô đó là 46656 : (54 × 36) = 24. Vậy ô hàng 3, cột 3 là 24.

Một số được gọi là "số đẹp" nếu tổng các chữ số của nó là số chẵn. Trong các số có 4 chữ số nhỏ hơn 4000, có bao nhiêu số đẹp? A. 1200 B. 1500 C. 1510 D. 1800 E. 3000

Đáp án: B. 1500. Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số theo điều kiện của tổng các chữ số. Ý tưởng: chọn tự do các chữ số đầu, rồi đếm số cách chọn chữ số cuối cho đúng điều kiện. Bước 1 (các chữ số đầu): hàng nghìn từ 1 đến 3: 3 cách, hàng trăm 10 cách, hàng chục 10 cách: 3 × 10 × 10 = 300 cách. Bước 2 (chữ số cuối): với mỗi cách, tổng các chữ số đầu đã biết; chữ số cuối phải cùng tính chẵn lẻ với tổng các chữ số đầu: trong 0 đến 9 có đúng 5 chữ số như vậy: 5 cách. Bước 3 (nhân): 300 × 5 = 1500. Vậy có 1500 số.

Một bài thi có 23 câu: mỗi câu đúng được 3 điểm, mỗi câu sai bị trừ 1 điểm, bỏ trống được 0 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có 3 thí sinh bằng điểm nhau? A. 176 B. 179 C. 181 D. 183 E. 186

Đáp án: C. 181. Nhận dạng: chuồng bồ câu, chuồng là các mức điểm, có điểm trừ. Ý tưởng: tìm điểm cao nhất, thấp nhất, rồi bỏ các điểm ở giữa không thể đạt được (thường nằm sát điểm cao nhất). Bước 1 (điểm cao nhất, thấp nhất): đúng hết: 3 × 23 = 69; sai hết: −23; từ −23 đến 69 có 69 − (−23) + 1 = 93 số nguyên. Bước 2 (xét điểm cao, theo số câu đúng): 23 câu đúng: 69; 22 câu đúng: 66, 65; 21 câu đúng trở xuống: không quá 3 × 21 = 63. Bước 3 (đếm mức điểm): không đạt được 64, 67, 68: 93 − 3 = 90 mức. Bước 4 (xấu nhất): mỗi mức điểm có 2 người, chưa mức điểm nào có 3: 2 × 90 = 180; thêm 1 người: 181. Vậy cần ít nhất 181 thí sinh.

Có bao nhiêu số có năm chữ số mà các chữ số giảm dần (chữ số sau nhỏ hơn chữ số trước)? A. 247 B. 250 C. 252 D. 254 E. 257

Đáp án: C. 252. Nhận dạng: đếm số có 5 chữ số giảm dần. Ý tưởng: mỗi bộ 5 chữ số khác nhau chỉ xếp được đúng một cách giảm dần, nên đếm số bộ chữ số. Bước 1: Chữ số 0 dùng được (nó luôn đứng cuối), nên chọn từ 0 đến 9 (10 chữ số). Bước 2: Chọn lần lượt có thứ tự: 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240 cách; mỗi bộ 5 chữ số bị đếm 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 lần (số cách xếp 5 chữ số). Bước 3: Số bộ: 30240 : 120 = 252. Vậy có 252 số.

Có bao nhiêu số tự nhiên n để n! (tích 1 × 2 × 3 × … × n) có tận cùng đúng 32 chữ số 0? A. 1 B. 2 C. 5 D. 8 E. 9

Đáp án: C. 5. Nhận dạng: biết n! có tận cùng đúng 32 chữ số 0, tìm n. Ý tưởng: số chữ số 0 bằng số thừa số 5; nó chỉ tăng khi n đi qua một bội của 5 (qua bội của 25 tăng 2 trở lên), nên ước lượng rồi thử các bội của 5. Bước 1: Mỗi 5 số cho khoảng 1 thừa số 5 (thêm chút ở bội của 25), nên n gần 32 × 4 = 128. Bước 2: n = 125: 125 : 5 = 25, 125 : 25 = 5, 125 : 125 = 1; cộng: 25 + 5 + 1 = 31, được 31; n = 130: 130 : 5 = 26, 130 : 25 = 5 (dư 5), 130 : 125 = 1 (dư 5); cộng: 26 + 5 + 1 = 32, được 32. Bước 3: n! có đúng 32 chữ số 0 khi n = 130, 131, 132, 133, 134 (tới 135 lại tăng lên 33: 135 : 5 = 27, 135 : 25 = 5 (dư 10), 135 : 125 = 1 (dư 10); cộng: 27 + 5 + 1 = 33). Vậy có 5 số.

Tính diện tích hình giới hạn bởi trục Ox và hai đường thẳng x + 2y − 3 = 0 và 3x − 2y + 15 = 0. A. 2 B. 8 C. 12 D. 16 E. 22

Đáp án: C. 12. Nhận dạng: tam giác tạo bởi hai đường thẳng và trục Ox. Ý tưởng: hai đỉnh nằm trên Ox (cho y = 0), đỉnh thứ ba là giao điểm hai đường thẳng; đáy nằm trên Ox, chiều cao là tung độ giao điểm. Bước 1: Cho y = 0: đường thứ nhất x = 3; đường thứ hai 3x = −15, x = −15 : 3 = −5. Bước 2: Viết hai phương trình thành x + 2y = 3 và 3x − 2y = −15; cộng lại (mất y): 4x = −12, x = −3. Thay x = −3: 2y = 3 − 1 × (−3) = 6, y = 6 : 2 = 3. Bước 3: Đáy = 3 − (−5) = 8, chiều cao = 3: diện tích = 8 × 3 : 2 = 12. Vậy diện tích là 12.

Một đoạn đường thẳng dài 180 m, người ta trồng cây cách nhau 6 m và đặt cột đèn cách nhau 10 m, cả hai đều có ở hai đầu đoạn đường. Những chỗ vừa có cây vừa có cột đèn chỉ tính là một vị trí. Có tất cả bao nhiêu vị trí khác nhau? A. 31 B. 41 C. 43 D. 44 E. 50

Đáp án: C. 43. Nhận dạng: hai loại đặt cách đều trên cùng đoạn, hỏi tổng số vị trí khác nhau. Ý tưởng: cộng số vị trí hai loại rồi trừ số vị trí trùng (bội của BCNN), vì vị trí trùng bị đếm hai lần. Bước 1: Cây: 180 : 6 + 1 = 31 vị trí. Cột đèn: 180 : 10 + 1 = 19 vị trí. Bước 2: BCNN(6, 10) = 30, số vị trí trùng 180 : 30 + 1 = 7. Bước 3: Tổng số vị trí khác nhau = 31 + 19 − 7 = 43. Vậy có 43 vị trí.

Tìm số tự nhiên n, biết 1 + 2 + 3 + … + n = 1891. A. 59 B. 60 C. 61 D. 62 E. 63

Đáp án: C. 61. Nhận dạng: biết tổng 1 + 2 + … + n, tìm n. Ý tưởng: cộng tổng xuôi với tổng ngược, mỗi cột bằng n + 1. Bước 1: Viết 1 + 2 + … + n và n + … + 2 + 1 thẳng cột rồi cộng: mỗi cột bằng n + 1, có n cột, nên 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2. Bước 2: n × (n + 1) = 2 × 1891 = 3782. Bước 3: n × (n + 1) là tích hai số liên tiếp; 61 × 61 = 3721 < 3782 < 62 × 62 = 3844, thử 61 × 62 = 3782. Vậy n = 61.

Số 49⁷⁹³ chia cho 100 dư bao nhiêu? A. 9 B. 29 C. 49 D. 51 E. 99

Đáp án: C. 49. Nhận dạng: hai chữ số tận cùng (số dư khi chia cho 100) của luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: hai chữ số tận cùng của các luỹ thừa cũng lặp lại theo chu kỳ; nhân dần, chỉ giữ hai chữ số cuối. Bước 1: Bắt đầu từ 49¹ = 49, mỗi lần nhân thêm 49. Bước 2: Nhân dần, giữ hai chữ số cuối: 49 × 49 = 2401 → 01, 01 × 49 = 49 → 49 (lặp lại). Chu kỳ 2 số: 49, 01. Bước 3: 793 : 2 = 396 (dư 1, giống 49¹), nên hai chữ số tận cùng là 49. Vậy số dư là 49.

Số tự nhiên x thoả mãn 8 × x − 102 chia hết cho 13. Tìm x nhỏ nhất có ba chữ số. A. 107 B. 112 C. 115 D. 120 E. 133

Đáp án: A. 107. Nhận dạng: tìm x biết 8 × x − 102 chia hết cho 13. Ý tưởng: tìm số dư của x khi chia cho 13 trước: thử các số 11, 11 + 13, … tới số chia hết cho 8. Bước 1: 102 chia 13 dư 11, nên 8 × x chia 13 dư 11. 8 × x có dạng 13 × k + 11: thử 11, 24; 24 = 8 × 3 chia hết cho 8. Bước 2: x chia 13 dư 3 (từ x = 3), nên x = 13 × t + 3 (t = 0, 1, 2, …). Bước 3: x ≥ 100 nên 13 × t ≥ 100 − 3 = 97; 97 : 13 = 7 (dư 6), t nhỏ nhất là 8: x = 13 × 8 + 3 = 107. Vậy x = 107.

Đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Q: Đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề cadet Kangaroo (IKMC) lớp 8 có 30 câu, làm trong 75 phút, tối đa 150 điểm.

Q: Làm đề thi thử Kangaroo (IKMC) lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề Kangaroo (IKMC) mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.

Đề thi thử Kangaroo (IKMC) lớp 8 (cadet) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 30 câu, làm trong 75 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu 3 điểm × 3 điểm; 10 câu 4 điểm × 4 điểm; 10 câu 5 điểm × 5 điểm. Cho sẵn 30 điểm. Trả lời sai bị trừ: câu 3 điểm −0,75; câu 4 điểm −1; câu 5 điểm −1,25; bỏ trống không trừ. Tối đa 150 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi Kangaroo (IKMC).

Phần 1: Câu 3 điểm (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm · sai trừ 0,75

Biểu đồ đường cho biết số lượt khách (đơn vị: trăm lượt) đến một khu vui chơi mỗi ngày. Trong 5 ngày đó có tất cả bao nhiêu trăm lượt khách?
The line chart shows visitors (in hundreds) each day. How many hundreds of visitors came over the 5 days?
1. A. 182
2. B. 192
3. C. 202
4. D. 212
5. E. 222
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: C. 202

Nhận dạng: đọc biểu đồ đường.
Ý tưởng: đọc số ở từng điểm rồi cộng.
Bước 1 (cộng): 39 + 27 + 53 + 52 + 31 = 202.
Vậy có 202 trăm lượt.
Câu 23 điểm · sai trừ 0,75

Trong hộp có 6 bi đen, 12 bi đỏ, 13 bi vàng. Không nhìn, lấy ra một số viên bi. Phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có 12 bi đỏ?
A box has 6 black marbles, 12 red marbles, 13 yellow marbles. Without looking, some are taken out. At least how many must be taken to be sure of getting 12 red marbles?
1. A. 12
2. B. 29
3. C. 30
4. D. 31
5. E. 36
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: D. 31

Nhận dạng: trường hợp xấu nhất, cần đủ số lượng của một màu.
Ý tưởng: xấu nhất là lấy hết các bi không phải màu đỏ trước, rồi mới đến bi đỏ.
Bước 1 (lấy hết màu khác): 6 + 13 = 19.
Bước 2 (lấy thêm màu đỏ): cần 12 bi đỏ: 19 + 12 = 31.
Vậy phải lấy ít nhất 31 viên bi.
Câu 33 điểm · sai trừ 0,75

Ba đèn nháy sáng theo chu kỳ lần lượt 24 giây, 40 giây và 45 giây, và cùng nháy sáng lúc 0 giây. Trong 30 phút (từ giây 0 đến giây 1800, kể cả hai đầu) có bao nhiêu lần cả ba cùng nháy sáng?
Three lights flash every 24, 40 and 45 seconds, all at second 0. In 30 minutes (from second 0 to second 1800, both included), how many times do all three flash together?
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 7
5. E. 16
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 6

Nhận dạng: ba chu kỳ trùng nhau, đếm số lần trùng.
Ý tưởng: cả ba trùng nhau sau mỗi BCNN của ba chu kỳ.
Bước 1: BCNN(24, 40, 45) = 360 (24 = 2³ × 3, 40 = 2³ × 5, 45 = 3² × 5 → lấy số mũ lớn nhất: 2³ × 3² × 5) giây.
Bước 2: 30 phút = 30 × 60 = 1800 giây;
1800 : 360 = 5: sau giây 0 còn trùng 5 lần.
Bước 3: Cộng lần ở giây 0: 5 + 1 = 6.
Vậy có 6 lần.
Câu 43 điểm · sai trừ 0,75

Hai số a, b có tổng 24 và tích 119. Tìm (a − b)².
Numbers a and b have sum 24 and product 119. Find (a − b)².
1. A. 99
2. B. 100
3. C. 338
4. D. 457
5. E. 1052
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 100

Nhận dạng: biết tổng và tích hai số, hỏi về hiệu.
Ý tưởng: (a + b)² − (a − b)² = 4ab, nên (a − b)² = (a + b)² − 4ab.
Bước 1: (a − b)² = (a + b)² − 4ab.
Bước 2: = 24² − 4 × 119 = 576 − 476 = 100.
Vậy (a − b)² = 100.
Câu 53 điểm · sai trừ 0,75

Các bạn xếp thành một đội hình chữ nhật, các hàng có số bạn bằng nhau. Trong hàng của An, bên trái An có 4 bạn, bên phải có 6 bạn; phía trước An có 3 bạn, phía sau có 1 bạn. Đội hình có bao nhiêu bạn?
Students stand in a rectangular formation with the same number in each row. In An's row, there are 4 students to An's left, and there are 6 students to the right. There are 3 students in front of An. There is 1 student behind An. How many students are in the formation?
1. A. 40
2. B. 44
3. C. 50
4. D. 52
5. E. 55
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: E. 55

Nhận dạng: đội hình chữ nhật, số bạn = số hàng × số bạn mỗi hàng.
Ý tưởng: tính số bạn trong hàng của An và số hàng, nhớ cộng cả An.
Bước 1: Số bạn mỗi hàng: 4 + 6 + 1 = 11 (cộng An).
Bước 2: Số hàng: 3 + 1 + 1 = 5 (cộng hàng của An).
Bước 3: Số bạn: 5 × 11 = 55.
Vậy đội hình có 55 bạn.
Câu 63 điểm · sai trừ 0,75

Có 12 quả bóng đánh số từ 1 đến 12. Lấy ra cùng lúc 2 quả bóng. Có bao nhiêu cách lấy mà tổng hai số là số lẻ?
There are 12 balls numbered 1 to 12. Two of them are taken at the same time. In how many ways can this be done so that the sum is odd?
1. A. 26
2. B. 30
3. C. 36
4. D. 42
5. E. 72
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: C. 36

Nhận dạng: lấy 2 trong n số, đếm cách lấy theo tổng.
Ý tưởng: tổng lẻ khi một số lẻ và một số chẵn.
Bước 1 (chia nhóm): 6 số lẻ (1, 3, …, 11), 6 số chẵn (2, 4, …, 12).
Bước 2 (một lẻ, một chẵn): 6 × 6 = 36.
Vậy có 36 cách.
Câu 73 điểm · sai trừ 0,75

Tìm số nguyên m nhỏ nhất để phương trình x² − 2(m + 1)x + m² + 10 = 0 có nghiệm.
Find the smallest integer m such that x² − 2(m + 1)x + m² + 10 = 0 has a real root.
1. A. 1
2. B. 3
3. C. 5
4. D. 7
5. E. 9
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 5

Nhận dạng: phương trình bậc hai có tham số m, hỏi điều kiện có nghiệm.
Ý tưởng: đưa về (x − h)² = Δ' (Δ' là biệt thức thu gọn);
bình phương ≥ 0 nên cần Δ' ≥ 0.
Bước 1: Viết (x − (m + 1))² = (m + 1)² − (m² + 10) = m² + 2m + 1 − m² − 10 = 2m − 9.
Bước 2: Có nghiệm khi 2m − 9 ≥ 0, tức là 2m ≥ 9.
Bước 3: Chia cho 2 (số dương, giữ chiều): m ≥ 9/2.
Bước 4: Số nguyên m nhỏ nhất thoả m ≥ 9/2 là 5.
Vậy m = 5.
Câu 83 điểm · sai trừ 0,75

Có bao nhiêu số chính phương lớn hơn 554 và nhỏ hơn 1992?
How many perfect squares are greater than 554 and less than 1992?
1. A. 1
2. B. 20
3. C. 21
4. D. 22
5. E. 41
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: C. 21

Nhận dạng: đếm số chính phương thoả điều kiện.
Ý tưởng: số chính phương là n × n với n là số tự nhiên, nên đếm các giá trị của n.
Bước 1: Số chính phương nhỏ nhất lớn hơn 554: 23² = 529 < 554 < 24² = 576.
Bước 2: Số chính phương lớn nhất nhỏ hơn 1992: 44² = 1936 < 1992 < 45² = 2025.
Bước 3: n chạy từ 24 đến 44: 44 − 24 + 1 = 21 số.
Vậy có 21 số chính phương.
Câu 93 điểm · sai trừ 0,75

Cho số x khác 0 có x + 1/x = 3. Tính x² + 1/x².
A nonzero number x has x + 1/x = 3. Find x² + 1/x².
1. A. 4
2. B. 7
3. C. 9
4. D. 11
5. E. 17
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 7

Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi x² + 1/x².
Ý tưởng: bình phương hai vế;
x × 1/x = 1 nên hạng tử giữa là 2.
Bước 1: (x + 1/x)² = x² + 2 × x × 1/x + 1/x² = x² + 1/x² + 2.
Bước 2: 3² = 9 = x² + 1/x² + 2, nên x² + 1/x² = 9 − 2 = 7.
Vậy x² + 1/x² = 7.
Câu 103 điểm · sai trừ 0,75

Cho x > 0 thoả mãn x = 6 + 27/(6 + 27/(6 + 27/(6 + …))) (lặp vô hạn). Tìm x.
Let x > 0 with x = 6 + 27/(6 + 27/(6 + 27/(6 + …))) (repeating forever). Find x.
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 9
4. D. 10
5. E. 27
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 9

Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, mẫu số lặp lại đúng biểu thức ban đầu.
Ý tưởng: mẫu của phân số đầu tiên chính là x;
được phương trình bậc hai.
Bước 1: x = 6 + 27/x.
Bước 2: Nhân hai vế với x: x² = 6x + 27, tức là x² − 6x − 27 = 0.
Bước 3: Hai số có tích −27, tổng 6: 9 và −3, nên (x − 9)(x + 3) = 0.
Bước 4: x > 0 nên loại −3, x = 9.
Vậy x = 9.

Phần 2: Câu 4 điểm (10 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm · sai trừ 1

Trung bình cộng của 5 số là 36,2. Thay số 46 bằng một số mới thì trung bình cộng của 5 số trở thành 37,8. Tìm số mới.
The mean of 5 numbers is 36.2. If the number 46 is replaced by a new number, the mean becomes 37.8. Find the new number.
1. A. 8
2. B. 38
3. C. 46
4. D. 54
5. E. 59
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: D. 54

Nhận dạng: thay một số bằng số mới làm trung bình đổi, hỏi số mới.
Ý tưởng: tổng đổi một lượng bằng (số mới − số cũ), mà tổng = trung bình × số lượng.
Bước 1: Tổng cũ: 5 × 36,2 = 181.
Tổng mới: 5 × 37,8 = 189.
Bước 2: Tổng thay đổi: 189 − 181 = 8.
Bước 3: Số mới = số cũ + phần thay đổi = 46 + 8 = 54.
Vậy số mới là 54.
Câu 124 điểm · sai trừ 1

Dãy số có số thứ nhất là 7; mỗi số từ số thứ hai bằng 17 lần số đứng ngay trước cộng 15. Chữ số tận cùng của số thứ 2025 là chữ số nào?
In a sequence the first term is 7, and each term from the 2nd on equals 17 times the term before it plus 15. What is the last digit of the 2025th term?
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 7
4. D. 9
5. E. 10
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 7

Nhận dạng: dãy số cho bằng quy luật nhân rồi cộng, hỏi chữ số tận cùng của một số hạng rất xa.
Ý tưởng: chữ số tận cùng của số sau chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của số trước, nên chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ.
Bước 1: Chỉ cần tính với chữ số tận cùng, bắt đầu từ 7: 17 × 7 + 15 = 134 (tận cùng 4), 17 × 4 + 15 = 83 (tận cùng 3), 17 × 3 + 15 = 66 (tận cùng 6), 17 × 6 + 15 = 117 (tận cùng 7);
chữ số 7 xuất hiện lại.
Bước 2: Từ số thứ 1 trở đi chữ số tận cùng lặp lại theo nhóm 4 số: 7, 4, 3, 6.
Bước 3: Số thứ 2025 nằm cách số thứ 1 là 2025 − 1 = 2024 vị trí;
2024 : 4 = 506 dư 0.
Bước 4: Dư 0 nên số thứ 2025 có cùng chữ số tận cùng với vị trí thứ 1 của nhóm, là 7.
Vậy chữ số tận cùng là 7.
Câu 134 điểm · sai trừ 1

Hình quạt bán kính 22 cm có diện tích 66 cm². Tính chu vi hình quạt.
A sector of radius 22 cm has area 66 cm². Find its perimeter.
1. A. 40
2. B. 48
3. C. 50
4. D. 52
5. E. 60
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 50

Nhận dạng: hình quạt bán kính R, cung dài d;
chu vi hình quạt = d + 2R (cung và hai bán kính).
Ý tưởng: diện tích hình quạt S = R × d : 2 (giống tam giác có đáy d, chiều cao R).
Bước 1: Độ dài cung d = 2 × S : R = 2 × 66 : 22 = 6 (cm).
Bước 2: Chu vi = 6 + 2 × 22 = 50 (cm).
Vậy chu vi hình quạt là 50 cm.
Câu 144 điểm · sai trừ 1

Một cửa hàng bán quả quýt giá 2 nghìn đồng, quả táo giá 5 nghìn đồng, quả bưởi giá 12 nghìn đồng. Lan mua đúng 9 món, mỗi loại ít nhất một món, hết đúng 61 nghìn đồng. Lan mua bao nhiêu quả quýt?
A shop sells tangerines at 2 thousand dong, apples at 5 thousand, pomelos at 12 thousand. Lan buys exactly 9 items, at least one of each kind, for exactly 61 thousand dong. How many tangerines does she buy?
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 6
5. E. 9
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: B. 4

Nhận dạng: ba ẩn nguyên dương, hai phương trình (số món, số tiền).
Ý tưởng: trừ đi để mất một ẩn, còn một phương trình hai ẩn, rồi thử.
Bước 1: Gọi x, y, z là số quả quýt, quả táo, quả bưởi: x + y + z = 9, 2x + 5y + 12z = 61.
Bước 2: Lấy phương trình tiền trừ 2 lần phương trình món: 3y + 10z = 61 − 18 = 43.
Bước 3: Thử z từ 1, cần 43 − 10z chia hết cho 3 và x = 9 − y − z ≥ 1: y = 1, z = 4, x = 4.
Vậy Lan mua 4 quả quýt.
Câu 154 điểm · sai trừ 1

Ghép đủ 414 viên gạch vuông cạnh 1 dm (không chồng, không hở) thành một hình chữ nhật. Chu vi lớn nhất của hình chữ nhật là bao nhiêu dm?
All 414 square tiles of side 1 dm are put together, without overlaps or gaps, to form one rectangle. What is the largest possible perimeter, in dm?
1. A. 820
2. B. 828
3. C. 830
4. D. 832
5. E. 840
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: C. 830

Nhận dạng: biết diện tích hình chữ nhật (số ô vuông), xét các cặp cạnh nguyên.
Ý tưởng: hai cạnh là một cặp ước có tích bằng số ô;
cùng diện tích thì hai cạnh càng gần nhau, chu vi càng nhỏ.
Bước 1: Diện tích 414, các cặp cạnh (rộng × dài): 1 × 414, 2 × 207, 3 × 138, 6 × 69, 9 × 46, 18 × 23.
Bước 2: Cặp xa nhau nhất là 1 × 414.
Bước 3: Chu vi = 2 × (1 + 414) = 830 (dm).
Vậy chu vi lớn nhất là 830 dm.
Câu 164 điểm · sai trừ 1

Một chiếc flycam bay 7 m về hướng Tây, rồi 12 m về hướng Bắc, rồi 2 m về hướng Đông. Lúc đó chiếc flycam cách chỗ xuất phát bao nhiêu m (theo đường thẳng)?
A drone flies 7 m west, then 12 m north, then 2 m east. How far from the starting point is the drone now, in a straight line, in m?
1. A. 3
2. B. 11
3. C. 13
4. D. 15
5. E. 23
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: C. 13

Nhận dạng: đi nhiều đoạn theo các hướng Đông – Tây – Nam – Bắc, hỏi khoảng cách thẳng.
Ý tưởng: gom các đoạn Đông – Tây thành một độ lệch ngang, Nam – Bắc thành một độ lệch dọc, rồi Pytago.
Bước 1: Lệch ngang: 7 − 2 = 5 m (về hướng Tây);
lệch dọc (Bắc – Nam): 12 m.
Bước 2: Hai độ lệch vuông góc, khoảng cách là cạnh huyền d: d × d = 5 × 5 + 12 × 12 = 25 + 144 = 169.
Bước 3: 13 × 13 = 169, nên d = 13 m.
Vậy chiếc flycam cách chỗ xuất phát 13 m.
Câu 174 điểm · sai trừ 1

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 16 cm, trung đoạn 17 cm. Tính thể tích hình chóp.
A regular square pyramid has base edge 16 cm and slant height 17 cm. Find its volume.
1. A. 1280
2. B. 1290
3. C. 1296
4. D. 1920
5. E. 3840
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: A. 1280

Nhận dạng: hình chóp tứ giác đều S.ABCD: đáy là hình vuông cạnh a, chân đường cao O là tâm đáy, trung đoạn SM (M là trung điểm một cạnh đáy) là đường cao của mặt bên.
Ý tưởng: tam giác SOM vuông tại O (OM = a : 2) cho chiều cao SO;
V = đáy × cao : 3.
Bước 1: OM = 16 : 2 = 8;
SO × SO = 17 × 17 − 8 × 8 = 225 = 15 × 15, nên SO = 15 (cm).
Bước 2: Đáy = 16 × 16 = 256 (cm²).
Bước 3: V = 256 × 15 : 3 = 1280 (cm³).
Vậy thể tích hình chóp là 1280 cm³.
Câu 184 điểm · sai trừ 1

Giải bóng đá có 9 đội đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì đấu đúng một trận). Thắng được 3 điểm, hoà mỗi đội 1 điểm, thua 0 điểm. Cuối giải, tổng điểm của 9 đội là 104. Có bao nhiêu trận hoà?
9 football teams play a single round robin (any two teams play exactly once). A win gives 3 points, a draw gives each team 1 point, a loss gives 0. At the end the 9 teams have 104 points in total. How many matches were draws?
1. A. 4
2. B. 5
3. C. 9
4. D. 32
5. E. 36
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: A. 4

Nhận dạng: giải vòng tròn với điểm thắng, hoà, thua cho trước, biết tổng điểm, hỏi số trận hoà.
Ý tưởng: trận phân thắng bại cho tổng 3 điểm, trận hoà cho tổng 1 + 1 = 2 điểm, nên mỗi trận hoà làm tổng điểm kém 3 − 2 = 1 so với giả sử mọi trận phân thắng bại.
Bước 1: Số trận: 9 × 8 : 2 = 36 trận.
Bước 2: Nếu mọi trận đều phân thắng bại thì tổng điểm là 3 × 36 = 108.
Bước 3: Tổng điểm thực tế là 104, kém 108 − 104 = 4, mỗi trận hoà kém 1 điểm nên có 4 trận hoà.
Vậy có 4 trận hoà.
Câu 194 điểm · sai trừ 1

Tìm số dư khi chia 246¹⁶⁰ cho 19.
Find the remainder when 246¹⁶⁰ is divided by 19.
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 5
4. D. 8
5. E. 18
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: B. 1

Nhận dạng: số dư khi chia một luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: viết cơ số thành bội của 19 cộng 1 hoặc trừ 1, rồi xem tích các thừa số như vậy.
Bước 1: 246 = 19 × 13 − 1 (246 chia 19 dư 18, kém bội của 19 một đơn vị).
Bước 2: (bội của 19 − 1) × (bội của 19 − 1) = bội của 19 + 1, nên 246² chia 19 dư 1.
Bước 3: 160 chẵn: 246¹⁶⁰ = (246²)⁸⁰, tích các số chia 19 dư 1, nên dư 1.
Vậy 246¹⁶⁰ chia 19 dư 1.
Câu 204 điểm · sai trừ 1

Hình thoi có cạnh 26 cm và một đường chéo dài 48 cm. Tính diện tích hình thoi.
A rhombus has side 26 cm and one diagonal 48 cm. Find its area.
1. A. 240
2. B. 475
3. C. 480
4. D. 624
5. E. 960
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: C. 480

Nhận dạng: hình thoi — bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường.
Ý tưởng: tìm đường chéo còn lại bằng Pytago trong tam giác OBC, rồi diện tích = tích hai đường chéo : 2.
Bước 1: Nửa đường chéo đã biết: 48 : 2 = 24.
Bước 2: Nửa đường chéo kia: 26 × 26 − 24 × 24 = 100 = 10 × 10, nên bằng 10;
đường chéo dài 20 (cm).
Bước 3: Diện tích = 48 × 20 : 2 = 480 (cm²).
Vậy diện tích hình thoi là 480 cm².

Phần 3: Câu 5 điểm (10 câu × 5 điểm)

Câu 215 điểm · sai trừ 1,25

Điền số vào bảng 3 × 3 sao cho tích ba số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau. Hàng 1: 54, 144, 6. Hàng 2: ?, ?, ?. Hàng 3: ?, 9, ?. Số ở ô hàng 3, cột 3 (ô có dấu ?) là bao nhiêu?
Numbers are put in a 3 × 3 grid so that the product of the three numbers in every row, column and diagonal is the same. Row 1: 54, 144, 6. Row 2: ?, ?, ?. Row 3: ?, 9, ?. What number is in row 3, column 3 (a cell marked ?)?
1. A. 4
2. B. 19
3. C. 24
4. D. 29
5. E. 44
Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: C. 24

Nhận dạng: ma phương nhân, ba số trên mỗi đường có tích bằng nhau, biết một số ô.
Ý tưởng: tìm tích chung từ một đường đã đủ ba số, rồi mỗi đường chỉ thiếu một ô thì chia tích chung cho hai ô đã biết.
Bước 1: Hàng 1 đã đủ ba số, tích chung là 54 × 144 × 6 = 46656.
Bước 2: Cột 2 chỉ thiếu ô hàng 2, cột 2: ô đó là 46656 : (144 × 9) = 36.
Bước 3: Đường chéo từ góc trên trái chỉ thiếu ô hàng 3, cột 3: ô đó là 46656 : (54 × 36) = 24.
Vậy ô hàng 3, cột 3 là 24.
Câu 225 điểm · sai trừ 1,25

Một số được gọi là "số đẹp" nếu tổng các chữ số của nó là số chẵn. Trong các số có 4 chữ số nhỏ hơn 4000, có bao nhiêu số đẹp?
A number is called "nice" if its digit sum is even. How many of the 4-digit numbers less than 4000 are nice?
1. A. 1200
2. B. 1500
3. C. 1510
4. D. 1800
5. E. 3000
Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: B. 1500

Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số theo điều kiện của tổng các chữ số.
Ý tưởng: chọn tự do các chữ số đầu, rồi đếm số cách chọn chữ số cuối cho đúng điều kiện.
Bước 1 (các chữ số đầu): hàng nghìn từ 1 đến 3: 3 cách, hàng trăm 10 cách, hàng chục 10 cách: 3 × 10 × 10 = 300 cách.
Bước 2 (chữ số cuối): với mỗi cách, tổng các chữ số đầu đã biết;
chữ số cuối phải cùng tính chẵn lẻ với tổng các chữ số đầu: trong 0 đến 9 có đúng 5 chữ số như vậy: 5 cách.
Bước 3 (nhân): 300 × 5 = 1500.
Vậy có 1500 số.
Câu 235 điểm · sai trừ 1,25

Một bài thi có 23 câu: mỗi câu đúng được 3 điểm, mỗi câu sai bị trừ 1 điểm, bỏ trống được 0 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có 3 thí sinh bằng điểm nhau?
A test has 23 questions: a correct answer scores 3, a wrong answer loses 1, a blank scores 0. At least how many candidates are needed to be sure that 3 of them have the same score?
1. A. 176
2. B. 179
3. C. 181
4. D. 183
5. E. 186
Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: C. 181

Nhận dạng: chuồng bồ câu, chuồng là các mức điểm, có điểm trừ.
Ý tưởng: tìm điểm cao nhất, thấp nhất, rồi bỏ các điểm ở giữa không thể đạt được (thường nằm sát điểm cao nhất).
Bước 1 (điểm cao nhất, thấp nhất): đúng hết: 3 × 23 = 69;
sai hết: −23;
từ −23 đến 69 có 69 − (−23) + 1 = 93 số nguyên.
Bước 2 (xét điểm cao, theo số câu đúng): 23 câu đúng: 69;
22 câu đúng: 66, 65;
21 câu đúng trở xuống: không quá 3 × 21 = 63.
Bước 3 (đếm mức điểm): không đạt được 64, 67, 68: 93 − 3 = 90 mức.
Bước 4 (xấu nhất): mỗi mức điểm có 2 người, chưa mức điểm nào có 3: 2 × 90 = 180;
thêm 1 người: 181.
Vậy cần ít nhất 181 thí sinh.
Câu 245 điểm · sai trừ 1,25

Có bao nhiêu số có năm chữ số mà các chữ số giảm dần (chữ số sau nhỏ hơn chữ số trước)?
How many five-digit numbers have strictly decreasing digits from left to right?
1. A. 247
2. B. 250
3. C. 252
4. D. 254
5. E. 257
Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: C. 252

Nhận dạng: đếm số có 5 chữ số giảm dần.
Ý tưởng: mỗi bộ 5 chữ số khác nhau chỉ xếp được đúng một cách giảm dần, nên đếm số bộ chữ số.
Bước 1: Chữ số 0 dùng được (nó luôn đứng cuối), nên chọn từ 0 đến 9 (10 chữ số).
Bước 2: Chọn lần lượt có thứ tự: 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240 cách;
mỗi bộ 5 chữ số bị đếm 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 lần (số cách xếp 5 chữ số).
Bước 3: Số bộ: 30240 : 120 = 252.
Vậy có 252 số.
Câu 255 điểm · sai trừ 1,25

Có bao nhiêu số tự nhiên n để n! (tích 1 × 2 × 3 × … × n) có tận cùng đúng 32 chữ số 0?
How many whole numbers n are there such that n! = 1 × 2 × 3 × … × n ends with exactly 32 zeros?
1. A. 1
2. B. 2
3. C. 5
4. D. 8
5. E. 9
Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: C. 5

Nhận dạng: biết n! có tận cùng đúng 32 chữ số 0, tìm n.
Ý tưởng: số chữ số 0 bằng số thừa số 5;
nó chỉ tăng khi n đi qua một bội của 5 (qua bội của 25 tăng 2 trở lên), nên ước lượng rồi thử các bội của 5.
Bước 1: Mỗi 5 số cho khoảng 1 thừa số 5 (thêm chút ở bội của 25), nên n gần 32 × 4 = 128.
Bước 2: n = 125: 125 : 5 = 25, 125 : 25 = 5, 125 : 125 = 1;
cộng: 25 + 5 + 1 = 31, được 31;
n = 130: 130 : 5 = 26, 130 : 25 = 5 (dư 5), 130 : 125 = 1 (dư 5);
cộng: 26 + 5 + 1 = 32, được 32.
Bước 3: n! có đúng 32 chữ số 0 khi n = 130, 131, 132, 133, 134 (tới 135 lại tăng lên 33: 135 : 5 = 27, 135 : 25 = 5 (dư 10), 135 : 125 = 1 (dư 10); cộng: 27 + 5 + 1 = 33).
Vậy có 5 số.
Câu 265 điểm · sai trừ 1,25

Tính diện tích hình giới hạn bởi trục Ox và hai đường thẳng x + 2y − 3 = 0 và 3x − 2y + 15 = 0.
Find the area of the region bounded by the x-axis and the lines x + 2y − 3 = 0 and 3x − 2y + 15 = 0.
1. A. 2
2. B. 8
3. C. 12
4. D. 16
5. E. 22
Đáp án và lời giải câu 26

Đáp án: C. 12

Nhận dạng: tam giác tạo bởi hai đường thẳng và trục Ox.
Ý tưởng: hai đỉnh nằm trên Ox (cho y = 0), đỉnh thứ ba là giao điểm hai đường thẳng;
đáy nằm trên Ox, chiều cao là tung độ giao điểm.
Bước 1: Cho y = 0: đường thứ nhất x = 3;
đường thứ hai 3x = −15, x = −15 : 3 = −5.
Bước 2: Viết hai phương trình thành x + 2y = 3 và 3x − 2y = −15;
cộng lại (mất y): 4x = −12, x = −3.
Thay x = −3: 2y = 3 − 1 × (−3) = 6, y = 6 : 2 = 3.
Bước 3: Đáy = 3 − (−5) = 8, chiều cao = 3: diện tích = 8 × 3 : 2 = 12.
Vậy diện tích là 12.
Câu 275 điểm · sai trừ 1,25

Một đoạn đường thẳng dài 180 m, người ta trồng cây cách nhau 6 m và đặt cột đèn cách nhau 10 m, cả hai đều có ở hai đầu đoạn đường. Những chỗ vừa có cây vừa có cột đèn chỉ tính là một vị trí. Có tất cả bao nhiêu vị trí khác nhau?
A straight road stretch is 180 m long. Trees are planted 6 m apart and lamp posts are placed 10 m apart, both at the two ends of the stretch. A place that has both a tree and a lamp post counts as one spot. How many different spots are there?
1. A. 31
2. B. 41
3. C. 43
4. D. 44
5. E. 50
Đáp án và lời giải câu 27

Đáp án: C. 43

Nhận dạng: hai loại đặt cách đều trên cùng đoạn, hỏi tổng số vị trí khác nhau.
Ý tưởng: cộng số vị trí hai loại rồi trừ số vị trí trùng (bội của BCNN), vì vị trí trùng bị đếm hai lần.
Bước 1: Cây: 180 : 6 + 1 = 31 vị trí.
Cột đèn: 180 : 10 + 1 = 19 vị trí.
Bước 2: BCNN(6, 10) = 30, số vị trí trùng 180 : 30 + 1 = 7.
Bước 3: Tổng số vị trí khác nhau = 31 + 19 − 7 = 43.
Vậy có 43 vị trí.
Câu 285 điểm · sai trừ 1,25

Tìm số tự nhiên n, biết 1 + 2 + 3 + … + n = 1891.
Find the whole number n such that 1 + 2 + 3 + … + n = 1891.
1. A. 59
2. B. 60
3. C. 61
4. D. 62
5. E. 63
Đáp án và lời giải câu 28

Đáp án: C. 61

Nhận dạng: biết tổng 1 + 2 + … + n, tìm n.
Ý tưởng: cộng tổng xuôi với tổng ngược, mỗi cột bằng n + 1.
Bước 1: Viết 1 + 2 + … + n và n + … + 2 + 1 thẳng cột rồi cộng: mỗi cột bằng n + 1, có n cột, nên 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2.
Bước 2: n × (n + 1) = 2 × 1891 = 3782.
Bước 3: n × (n + 1) là tích hai số liên tiếp;
61 × 61 = 3721 < 3782 < 62 × 62 = 3844, thử 61 × 62 = 3782.
Vậy n = 61.
Câu 295 điểm · sai trừ 1,25

Số 49⁷⁹³ chia cho 100 dư bao nhiêu?
Find the remainder when 49⁷⁹³ is divided by 100.
1. A. 9
2. B. 29
3. C. 49
4. D. 51
5. E. 99
Đáp án và lời giải câu 29

Đáp án: C. 49

Nhận dạng: hai chữ số tận cùng (số dư khi chia cho 100) của luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: hai chữ số tận cùng của các luỹ thừa cũng lặp lại theo chu kỳ;
nhân dần, chỉ giữ hai chữ số cuối.
Bước 1: Bắt đầu từ 49¹ = 49, mỗi lần nhân thêm 49.
Bước 2: Nhân dần, giữ hai chữ số cuối: 49 × 49 = 2401 → 01, 01 × 49 = 49 → 49 (lặp lại).
Chu kỳ 2 số: 49, 01.
Bước 3: 793 : 2 = 396 (dư 1, giống 49¹), nên hai chữ số tận cùng là 49.
Vậy số dư là 49.
Câu 305 điểm · sai trừ 1,25

Số tự nhiên x thoả mãn 8 × x − 102 chia hết cho 13. Tìm x nhỏ nhất có ba chữ số.
x is a whole number such that 8 × x − 102 is divisible by 13. Find the smallest three-digit such x.
1. A. 107
2. B. 112
3. C. 115
4. D. 120
5. E. 133
Đáp án và lời giải câu 30

Đáp án: A. 107

Nhận dạng: tìm x biết 8 × x − 102 chia hết cho 13.
Ý tưởng: tìm số dư của x khi chia cho 13 trước: thử các số 11, 11 + 13, … tới số chia hết cho 8.
Bước 1: 102 chia 13 dư 11, nên 8 × x chia 13 dư 11.
8 × x có dạng 13 × k + 11: thử 11, 24;
24 = 8 × 3 chia hết cho 8.
Bước 2: x chia 13 dư 3 (từ x = 3), nên x = 13 × t + 3 (t = 0, 1, 2, …).
Bước 3: x ≥ 100 nên 13 × t ≥ 100 − 3 = 97;
97 : 13 = 7 (dư 6), t nhỏ nhất là 8: x = 13 × 8 + 3 = 107.
Vậy x = 107.

Đáp án đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 8

Câu	Đáp án
Câu 1	C. 202
Câu 2	D. 31
Câu 3	C. 6
Câu 4	B. 100
Câu 5	E. 55
Câu 6	C. 36
Câu 7	C. 5
Câu 8	C. 21
Câu 9	B. 7
Câu 10	C. 9
Câu 11	D. 54
Câu 12	C. 7
Câu 13	C. 50
Câu 14	B. 4
Câu 15	C. 830
Câu 16	C. 13
Câu 17	A. 1280
Câu 18	A. 4
Câu 19	B. 1
Câu 20	C. 480
Câu 21	C. 24
Câu 22	B. 1500
Câu 23	C. 181
Câu 24	C. 252
Câu 25	C. 5
Câu 26	C. 12
Câu 27	C. 43
Câu 28	C. 61
Câu 29	C. 49
Câu 30	A. 107

Đề thi khác

Đề Kangaroo (IKMC) khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức Kangaroo (IKMC).

Câu hỏi thường gặp

Đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 8 có bao nhiêu câu?