Tổng các ước dương của 784 bằng bao nhiêu? A. 57 B. 66 C. 983 D. 1767

Đáp án: D. 1767. Nhận dạng: tổng các ước của một số lớn. Ý tưởng: tổng các ước bằng tích các tổng luỹ thừa của từng thừa số nguyên tố. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 784 : 2 = 392, 392 : 2 = 196, 196 : 2 = 98, 98 : 2 = 49, 49 : 7 = 7, 7 : 7 = 1. Vậy 784 = 2⁴ × 7². Bước 2: Mỗi ước là tích của một số trong mỗi nhóm (1, 2, 4, 8, 16), (1, 7, 49). Bước 3: Tổng = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) × (1 + 7 + 49) = 31 × 57 = 1767. Vậy tổng các ước của 784 là 1767. Mẹo: nhân phá các ngoặc thì mỗi ước xuất hiện đúng một lần.

Lúc 11 giờ 51 phút, góc lớn (lớn hơn 180°) giữa kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ có số đo bao nhiêu độ? A. 49,5° B. 24° C. 310,5° D. 75°

Đáp án: C. 310,5°. Nhận dạng: cho giờ và phút, hỏi góc giữa kim giờ và kim phút. Ý tưởng: tính số độ mỗi kim đã quay từ vạch 12, rồi lấy hiệu, kim phút quay 6° mỗi phút, kim giờ quay 30° mỗi giờ, tức 0,5° mỗi phút. Bước 1: Kim phút chỉ 51 phút: 6 × 51 = 306°. Bước 2: Kim giờ đã quay 11 giờ và 51 phút: 30 × 11 + 0,5 × 51 = 355,5°. Bước 3: Hiệu hai vị trí: 355,5 − 306 = 49,5°, không lớn hơn 180° nên đây là góc nhỏ. Bước 4: Góc lớn là 360° − 49,5° = 310,5°. Vậy góc lớn giữa hai kim là 310,5°.

Số 1103⁶⁴⁴ chia cho 19 dư bao nhiêu? A. 0 B. 1 C. 17 D. 18

Đáp án: B. 1. Nhận dạng: số dư khi chia một luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: viết cơ số thành bội của 19 cộng 1 hoặc trừ 1, rồi xem tích các thừa số như vậy. Bước 1: 1103 = 19 × 58 + 1: 1103 chia 19 dư 1. Bước 2: (bội của 19 + 1) × (bội của 19 + 1) = bội của 19 + 1, nên tích bao nhiêu thừa số 1103 cũng chia 19 dư 1. Bước 3: 1103⁶⁴⁴ là tích 644 thừa số 1103, chia 19 dư 1. Vậy 1103⁶⁴⁴ chia 19 dư 1.

Những hình sau xếp bằng que diêm: Hình 1 là lưới 1 × 2 ô (7 que), hình 2 là lưới 2 × 3 ô (17 que), hình 3 là lưới 3 × 4 ô (31 que), cứ thế tiếp tục. Hình thứ 29 dùng bao nhiêu que diêm? A. 841 B. 1681 C. 1799 D. 1921

Đáp án: C. 1799. Nhận dạng: dãy hình xếp bằng que diêm, số que tăng theo bậc hai (không tăng đều), hỏi hình ở xa. Ý tưởng: gọi n là số thứ tự của hình, đếm que theo từng hàng để tìm công thức theo n rồi thay n. Bước 1: Số que ba hình đầu là 7, 17, 31; hiệu 10 và 14 không bằng nhau nên số que không tăng đều. Bước 2: Đếm que: hình thứ n là lưới n × (n + 1) ô, có n + 1 hàng ngang, mỗi hàng n + 1 que, và n + 2 hàng dọc, mỗi hàng n que; số que = (n + 1) × (n + 1) + (n + 2) × n. Bước 3: Thử lại với hình 3: 4 × 4 + 5 × 3 = 31, khớp. Bước 4: Hình thứ 29: 30 × 30 + 31 × 29 = 1799. Vậy hình thứ 29 dùng 1799 que.

Vở loại nhỏ giá 4 nghìn đồng, vở loại lớn giá 23 nghìn đồng. Minh mua vở hết đúng 92 nghìn đồng (có thể không mua loại nào đó). Minh mua ít nhất bao nhiêu quyển vở? A. 3 B. 4 C. 5 D. 23

Đáp án: B. 4. Nhận dạng: phương trình px + qy = T với nghiệm nguyên không âm, hỏi tổng nhỏ nhất / lớn nhất. Ý tưởng: liệt kê mọi nghiệm (y tăng thì x giảm đều), rồi chọn. Bước 1: Gọi x, y là số vở nhỏ, lớn: 4x + 23y = 92, x, y ≥ 0. Bước 2: Thử y, cần 92 − 23y chia hết cho 4: x = 0, y = 4 (4 quyển); x = 23, y = 0 (23 quyển). Bước 3: Mua nhiều vở lớn (đắt) thì ít quyển: x = 0, y = 4. Vậy Minh mua ít nhất 4 quyển.

Gieo hai con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tích hai số chấm nhỏ hơn 8. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b. A. 5 B. 17 C. 25 D. 49

Đáp án: C. 25. Nhận dạng: gieo hai xúc xắc, xác suất. Ý tưởng: lập bảng 6 × 6 kết quả (con thứ nhất theo cột, con thứ hai theo hàng), đếm các ô thoả điều kiện. Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 = 36. Bước 2 (đếm ô thoả, theo con thứ nhất → các mặt hợp của con thứ hai): 1 → mọi mặt (6); 2 → 1, 2, 3 (3); 3 → 1, 2 (2); 4 → 1 (1); 5 → 1 (1); 6 → 1 (1); cộng: 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14. Bước 3 (xác suất): 14/36 = 7/18. Bước 4 (tính a + b): xác suất là 7/18, a = 7, b = 18; 7 + 18 = 25. Vậy a + b = 25.

Một bể nước được lấy ra dùng trong 2 lần. Biết lần thứ 1 lấy 1/5 tổng số, lần thứ 2 lấy 1/4 số còn lại thì còn lại 240 lít nước. Hỏi ban đầu có bao nhiêu lít nước? A. 395 B. 400 C. 405 D. 720

Đáp án: B. 400. Nhận dạng: nhiều lần lấy bớt một phần của số còn lại, hỏi tổng số ban đầu. Ý tưởng: mỗi lần còn lại một phân số của số trước, nhân các phân số 'còn lại' để biết phần còn lại cuối cùng so với tổng số. Bước 1: Lần thứ 1 lấy 1/5 tổng số, còn lại 1 − 1/5 = 4/5 tổng số. Bước 2: Lần thứ 2 lấy 1/4 số còn lại, còn lại 1 − 1/4 = 3/4 của 4/5: 4/5 × 3/4 = 3/5 tổng số. Bước 3: Phần 240 lít nước chiếm 3/5 tổng số, nên tổng số là 240 : 3/5 = 240 × 5/3 = 400. Vậy ban đầu có 400 lít nước.

Chữ số hàng đơn vị của A = 2029²⁵⁷⁷ + 2023²⁵⁷⁴ là bao nhiêu? A. 0 B. 1 C. 8 D. 9

Đáp án: C. 8. Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng hai luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng từng luỹ thừa bằng chu kỳ, rồi cộng, chỉ giữ chữ số cuối. Bước 1: 2029²⁵⁷⁷: 2029 tận cùng 9, chu kỳ 9, 1; 2577 : 2 = 1288 (dư 1), nên tận cùng 9. Bước 2: 2023²⁵⁷⁴: 2023 tận cùng 3, chu kỳ 3, 9, 7, 1; 2574 : 4 = 643 (dư 2), nên tận cùng 9. Bước 3: 9 + 9 = 18, chữ số cuối là 8. Vậy chữ số tận cùng là 8. Mẹo: số mũ chia hết cho độ dài chu kỳ thì lấy số cuối chu kỳ.

Tìm số nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 8, 9 hoặc 12 đều dư 7. A. 144 B. 151 C. 223 D. 295

Đáp án: B. 151. Nhận dạng: số chia cho 8, 9 hoặc 12 đều dư 7. Ý tưởng: gọi N là số cần tìm; N − 7 chia hết cho cả 8, 9 và 12, tức là bội của BCNN. Bước 1: BCNN(8, 9, 12) = 72 (8 = 2³, 9 = 3², 12 = 2² × 3 → lấy số mũ lớn nhất: 2³ × 3²). Bước 2: N = 72 × t + 7 (t = 0, 1, 2, …). Bước 3: N ≥ 100 nên 72 × t ≥ 100 − 7 = 93; 93 : 72 = 1 (dư 21), t nhỏ nhất là 2: N = 72 × 2 + 7 = 151. Vậy số cần tìm là 151.

Một thanh đòn khối lượng không đáng kể, điểm tựa cách đầu trái 4 dm và cách đầu phải 8 dm. Ở đầu trái treo 10 kg. Phải treo ở đầu phải bao nhiêu ki-lô-gam để thanh cân bằng? A. 20 kg B. 5 kg C. 10 kg D. 6 kg

Đáp án: B. 5 kg. Nhận dạng: thanh đòn cân bằng, biết hai cánh tay đòn và một khối lượng, tìm khối lượng còn lại. Ý tưởng: cân bằng khi khối lượng nhân với cánh tay đòn hai bên bằng nhau. Bước 1: Bên trái: 10 × 4 = 40. Bước 2: Bên phải: m × 8, cân bằng nên m × 8 = 40. Bước 3: m = 40 : 8 = 5. Vậy phải treo 5 kg.

Mỗi chữ cái là một chữ số, A khác 0 và các chữ cái khác nhau là các chữ số khác nhau. Biết ABCD × 4 = DCBA (số DCBA là số ABCD viết ngược lại). Tính tổng các chữ số A, B, C và D. A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

Đáp án: B. 18. Nhận dạng: số nhân với k bằng chính số đó viết ngược, tìm số. Ý tưởng: tích vẫn có 4 chữ số nên chữ số đầu bị chặn trên; chữ số đầu của tích là chữ số cuối của số, rồi xét từng cột. Bước 1: Vì ABCD × 4 vẫn có 4 chữ số nên A × 4 < 10, suy ra A ≤ 2. Bước 2: Chữ số cuối của tích là A nên D × 4 tận cùng bằng A, do đó A chẵn. Bước 3: Tích DCBA ≥ 4 × A × 1000 nên D ≥ 4 × A. Chỉ A = 2 thoả: D ≥ 4 × 2 = 8, và D = 8 vì 8 × 4 = 32 tận cùng 2. Bước 4: Hàng nghìn: 2 × 4 = 8 đúng bằng D, nên hàng trăm không nhớ sang: B × 4 + nhớ < 10, suy ra B ≤ 2. Hàng đơn vị: 8 × 4 = 32, viết 2 nhớ 3. Hàng chục: C × 4 + 3 là số lẻ và tận cùng B, nên B lẻ, B = 1. C × 4 + 3 tận cùng 1 nên C = 2 hoặc C = 7, mà C ≠ A = 2 nên C = 7 (7 × 4 + 3 = 31, nhớ 3, hàng trăm 1 × 4 + 3 = 7 = C, khớp). Bước 5: Thử lại: 2178 × 4 = 8712. Bước 6: Tổng các chữ số: 2 + 1 + 7 + 8 = 18. Vậy tổng các chữ số là 18.

Chữ số hàng đơn vị của A = 1² + 2² + 3² + … + 147² là bao nhiêu? A. 0 B. 1 C. 5 D. 9

Đáp án: A. 0. Nhận dạng: tổng các bình phương liên tiếp. Ý tưởng: chữ số tận cùng của bình phương chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của cơ số, nên lặp lại sau mỗi 10 số; gom 10 số hạng thành một nhóm. Bước 1: Tận cùng của 1², 2², …, 10²: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0; một nhóm có tổng 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45. Bước 2: 147 = 10 × 14 + 7: 14 nhóm cho 45 × 14 = 630; còn 141² … 147² tận cùng 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 = 40. Bước 3: 630 + 40 = 670, chữ số cuối là 0. Vậy A có chữ số tận cùng là 0.

Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn 56 ≤ 160 − 8x ≤ 192? A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

Đáp án: B. 18. Nhận dạng: bất phương trình kép, hệ số của x âm, hỏi số nghiệm nguyên. Ý tưởng: làm cùng một phép ở cả ba vế để x đứng một mình (nhân, chia số âm thì đổi chiều), rồi đếm số nguyên. Bước 1: Trừ 160 ở ba vế: −104 ≤ −8x ≤ 32. Bước 2: Chia ba vế cho −8 (số âm, đổi chiều mọi dấu): 13 ≥ x ≥ −4, tức là −4 ≤ x ≤ 13. Bước 3: Đếm số nguyên x từ −4 đến 13: 13 − (−4) + 1 = 18. Vậy có 18 số.

Một đoàn tàu dài 250 m đi qua hết một người đi xe đạp (coi như một điểm) trong 10 giây, người đi xe đạp chạy ngược chiều với tàu và có vận tốc 18 km/h. Tính vận tốc của đoàn tàu (km/h). A. 25 km/h B. 90 km/h C. 108 km/h D. 72 km/h

Đáp án: D. 72 km/h. Nhận dạng: biết chiều dài tàu và thời gian đi qua, hỏi vận tốc tàu. Ý tưởng: vận tốc tương đối = chiều dài tàu : thời gian, ngược chiều thì vận tốc tương đối là tổng, cùng chiều là hiệu. Bước 1: Gọi v là vận tốc tàu (km/h), vận tốc tương đối là 250 : 10 = 25 m/s. Bước 2: Đổi sang km/h: 25 × 18/5 = 90 km/h. Bước 3: Ngược chiều nên v + 18 = 90. Bước 4: v = 90 − 18 = 72 km/h. Vậy vận tốc đoàn tàu là 72 km/h.

Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(10; −7), B(3; 0), C(−2; −5). Tính diện tích tam giác ABC. A. 35 B. 42 C. 70 D. 84

Đáp án: A. 35. Nhận dạng: tam giác biết toạ độ ba đỉnh. Ý tưởng: vẽ hình chữ nhật có cạnh song song hai trục bao quanh tam giác, rồi trừ phần thừa. Bước 1: Hình chữ nhật bao quanh: x từ −2 đến 10 (rộng 12), y từ −7 đến 0 (cao 7); diện tích 12 × 7 = 84. Bước 2: Phần thừa là các tam giác vuông dựng trên từng cạnh: cạnh AB: 7 × 7 : 2 = 24,5, cạnh BC: 5 × 5 : 2 = 12,5, cạnh CA: 12 × 2 : 2 = 12. Bước 3: Diện tích = 84 − (24,5 + 12,5 + 12) = 84 − 49 = 35. Vậy diện tích tam giác ABC là 35.

Một tàu thuỷ có vận tốc 18 km/h khi nước yên lặng, đi xuôi dòng từ A đến B rồi quay lại A. Vận tốc dòng nước là 2 km/h, AB dài 72 km, không kể thời gian nghỉ. Tính tổng thời gian đi và về (giờ). A. 8 giờ B. 8,1 giờ C. 4,5 giờ D. 3,6 giờ

Đáp án: B. 8,1 giờ. Nhận dạng: biết vận tốc khi nước yên lặng, vận tốc dòng nước và quãng đường, hỏi thời gian đi và về. Ý tưởng: xuôi dòng vận tốc tăng thêm vận tốc dòng nước, ngược dòng giảm đi, thời gian = quãng đường : vận tốc. Bước 1: Vận tốc xuôi dòng: 18 + 2 = 20 km/h. Vận tốc ngược dòng: 18 − 2 = 16 km/h. Bước 2: Thời gian xuôi: 72 : 20 = 3,6 giờ. Bước 3: Thời gian ngược: 72 : 16 = 4,5 giờ. Bước 4: Tổng thời gian: 3,6 + 4,5 = 8,1 giờ. Vậy tổng thời gian là 8,1 giờ.

Tính giá trị của xy − 6x − 4y + 24 tại x = 1004, y = 16. A. 10000 B. 10024 C. 11976 D. 22176

Đáp án: A. 10000. Nhận dạng: bốn hạng tử có xy, x, y và hằng số. Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc, số tròn sẽ hiện ra. Bước 1: Nhóm: (xy − 6x) + (−4y + 24) = x(y − 6) − 4(y − 6). Bước 2: = (x − 4)(y − 6). Bước 3: Tại x = 1004, y = 16: x − 4 = 1000, y − 6 = 10. Bước 4: 1000 × 10 = 10000. Vậy giá trị bằng 10000.

An có các tấm thẻ ghi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. An lấy 3 thẻ xếp thành một số có 3 chữ số. Có bao nhiêu số chia hết cho 3 mà An xếp được? A. 13 B. 18 C. 72 D. 78

Đáp án: D. 78. Nhận dạng: lập số chia hết cho 3 từ các chữ số khác nhau cho trước. Ý tưởng: số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số chia hết cho 3; chia các chữ số theo số dư khi chia cho 3, bộ hợp lệ là 3 số cùng nhóm hoặc mỗi nhóm một số. Bước 1 (chia nhóm theo số dư): dư 0: {3, 6, 9}; dư 1: {4, 7}; dư 2: {2, 5}. Bước 2 (đếm bộ ba): cả 3 số cùng nhóm dư 0: 1 bộ; mỗi nhóm một số: 3 × 2 × 2 = 12 bộ; tổng: 1 + 12 = 13 bộ. Bước 3 (xếp): không có chữ số 0, mỗi bộ xếp được 3 × 2 × 1 = 6 số. Bước 4 (cộng): 13 × 6 = 78. Vậy lập được 78 số.

Tam giác đều ABC có cạnh 4√3 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Đáp án: B. 4. Nhận dạng: tam giác đều với đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp. Ý tưởng: hai đường tròn chung tâm G là trọng tâm; G nằm trên đường cao, chia đường cao theo tỉ số 1 : 2 (r = h : 3, R = 2h : 3, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Bước 1: Nửa cạnh đáy 4√3 : 2 = 2√3; Pytago: h × h = (4√3)² − (2√3)² = 48 − 12 = 36, nên đường cao h = 6 (cm). Bước 2: R = 2h : 3 = 2 × 6 : 3 = 4 (cm). Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp là 4 cm.

Mỗi góc trong của một đa giác đều n cạnh bằng (2n + 122)°. Tìm giá trị lớn nhất của n. A. 9 B. 20 C. 29 D. 180

Đáp án: B. 20. Nhận dạng: góc trong của đa giác đều viết bằng biểu thức của n. Ý tưởng: viết góc trong theo n bằng góc ngoài, lập phương trình rồi đưa về bậc hai. Bước 1: Góc ngoài = 360° : n, nên góc trong = 180° − 360° : n. Bước 2: 180 − 360 : n = 2n + 122. Nhân hai vế với n: 180n − 360 = 2n² + 122n. Bước 3: Chuyển vế: 2n² − 58n + 360 = 0, chia hai vế cho 2: n² − 29n + 180 = 0. Bước 4: Tìm hai số có tích 180 và tổng 29: 9 và 20, nên (n − 9)(n − 20) = 0. Bước 5: n = 9 hoặc n = 20; cả hai đều ≥ 3 (thử lại: góc trong 140° và 162°). Vậy n lớn nhất là 20.

Một hình hộp chữ nhật có các cạnh là số tự nhiên và thể tích bằng 196. Diện tích toàn phần của nó có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?

Đáp án: 8. Nhận dạng: hình hộp chữ nhật biết thể tích, cạnh là số tự nhiên. Ý tưởng: gọi a ≤ b ≤ c là ba cạnh, a × b × c = 196; liệt kê theo a từ nhỏ đến lớn. Bước 1: Phân tích 196 = 2² × 7². Bước 2: a × a × a ≤ a × b × c = 196, nên a ≤ 5. Các bộ (a, b, c): a = 1: (1, 1, 196), (1, 2, 98), (1, 4, 49), (1, 7, 28), (1, 14, 14); a = 2: (2, 2, 49), (2, 7, 14); a = 4: (4, 7, 7). Bước 3: Diện tích toàn phần S = 2 × (a × b + b × c + c × a): 786, 592, 498, 462, 448, 400, 280, 210. Vậy có 8 giá trị khác nhau.

Tìm giá trị lớn nhất của E = √(x + 16) + √(56 − x).

Đáp án: 12. Nhận dạng: tổng hai căn bậc hai, tổng hai biểu thức dưới căn không đổi. Ý tưởng: bình phương E; dùng 2uv ≤ u² + v² (vì (u − v)² ≥ 0). Bước 1: Đặt u = √(x + 16), v = √(56 − x); u² + v² = (x + 16) + (56 − x) = 72. Bước 2: E² = u² + v² + 2uv ≤ 2(u² + v²) = 2 × 72 = 144. Bước 3: 12 × 12 = 144, nên E ≤ 12; dấu bằng khi u = v, tức là x + 16 = 56 − x, 2x = 40, x = 40 : 2 = 20. Vậy giá trị lớn nhất của E là 12.

Tính giá trị của biểu thức (lặp vô hạn) A = √(306 − √(306 − √(306 − …))).

Đáp án: 17. Nhận dạng: căn lồng vô hạn, phần bên trong lặp lại biểu thức ban đầu. Ý tưởng: đặt A là cả biểu thức, phần dưới dấu căn đầu tiên chứa lại A; được phương trình bậc hai. Bước 1: A = √(306 − A), A > 0. Bước 2: Bình phương: A² = 306 − A, tức là A² + A − 306 = 0. Bước 3: Hai số có tích −306, tổng −1: 17 và −18, nên (A − 17)(A + 18) = 0. Bước 4: A > 0 nên loại −18, A = 17. Vậy A = 17.

Một hộp có 6 viên bi vàng và một số bi xanh lá. Lấy ngẫu nhiên một viên, xem màu rồi trả lại; làm như vậy 60 lần thì có 18 lần lấy được bi vàng. Hãy ước lượng số bi xanh lá trong hộp.

Đáp án: 14. Nhận dạng: dùng kết quả thử nghiệm để ước lượng số lượng. Ý tưởng: tỉ lệ bi vàng trong hộp xấp xỉ xác suất thực nghiệm; biết số bi vàng thì tìm được tổng số bi. Bước 1 (xác suất thực nghiệm): 18/60 = 3/10. Bước 2 (tổng số bi): 6 : 3/10 = 20. Bước 3 (bi xanh lá): 20 − 6 = 14. Vậy trong hộp có khoảng 14 viên bi xanh lá.

Tìm x thoả mãn |x − 5| − |x − 13| = 2.

Đáp án: 10. Nhận dạng: hiệu hai giá trị tuyệt đối bằng một số. Ý tưởng: hai mốc (chỗ mỗi biểu thức trong |…| bằng 0) chia trục số thành ba khoảng; bỏ dấu |…| ở từng khoảng rồi giải. Bước 1: Hai mốc là 5 và 13. Bước 2: x 13: biểu thức bằng (x − 5) − (x − 13) = 8 ≠ 2. Bước 3: 5 ≤ x ≤ 13: (x − 5) − (13 − x) = 2x − 18 = 2, 2x = 2 + 18 = 20, x = 20 : 2 = 10 (nằm giữa hai mốc, nhận). Vậy x = 10.

Đề thi ASMO lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử ASMO lớp 8 (vòng khu vực) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 120 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu 1–10 × 3 điểm; 10 câu 11–20 × 4 điểm; 5 câu 21–25 × 6 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi ASMO.

Phần 1: Câu 1–10 (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

Tổng các ước dương của 784 bằng bao nhiêu?
Find the sum of all positive divisors of 784.
1. A. 57
2. B. 66
3. C. 983
4. D. 1767
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: D. 1767

Nhận dạng: tổng các ước của một số lớn.
Ý tưởng: tổng các ước bằng tích các tổng luỹ thừa của từng thừa số nguyên tố.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 784 : 2 = 392, 392 : 2 = 196, 196 : 2 = 98, 98 : 2 = 49, 49 : 7 = 7, 7 : 7 = 1.
Vậy 784 = 2⁴ × 7².
Bước 2: Mỗi ước là tích của một số trong mỗi nhóm (1, 2, 4, 8, 16), (1, 7, 49).
Bước 3: Tổng = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) × (1 + 7 + 49) = 31 × 57 = 1767.
Vậy tổng các ước của 784 là 1767.
Mẹo: nhân phá các ngoặc thì mỗi ước xuất hiện đúng một lần.
Câu 23 điểm

Lúc 11 giờ 51 phút, góc lớn (lớn hơn 180°) giữa kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ có số đo bao nhiêu độ?
At 11:51, what is the larger angle (greater than 180°) between the hour hand and the minute hand of a clock?
1. A. 49,5°
2. B. 24°
3. C. 310,5°
4. D. 75°
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. 310,5°

Nhận dạng: cho giờ và phút, hỏi góc giữa kim giờ và kim phút.
Ý tưởng: tính số độ mỗi kim đã quay từ vạch 12, rồi lấy hiệu, kim phút quay 6° mỗi phút, kim giờ quay 30° mỗi giờ, tức 0,5° mỗi phút.
Bước 1: Kim phút chỉ 51 phút: 6 × 51 = 306°.
Bước 2: Kim giờ đã quay 11 giờ và 51 phút: 30 × 11 + 0,5 × 51 = 355,5°.
Bước 3: Hiệu hai vị trí: 355,5 − 306 = 49,5°, không lớn hơn 180° nên đây là góc nhỏ.
Bước 4: Góc lớn là 360° − 49,5° = 310,5°.
Vậy góc lớn giữa hai kim là 310,5°.
Câu 33 điểm

Số 1103⁶⁴⁴ chia cho 19 dư bao nhiêu?
Find the remainder when 1103⁶⁴⁴ is divided by 19.
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 17
4. D. 18
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: B. 1

Nhận dạng: số dư khi chia một luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: viết cơ số thành bội của 19 cộng 1 hoặc trừ 1, rồi xem tích các thừa số như vậy.
Bước 1: 1103 = 19 × 58 + 1: 1103 chia 19 dư 1.
Bước 2: (bội của 19 + 1) × (bội của 19 + 1) = bội của 19 + 1, nên tích bao nhiêu thừa số 1103 cũng chia 19 dư 1.
Bước 3: 1103⁶⁴⁴ là tích 644 thừa số 1103, chia 19 dư 1.
Vậy 1103⁶⁴⁴ chia 19 dư 1.
Câu 43 điểm

Những hình sau xếp bằng que diêm: Hình 1 là lưới 1 × 2 ô (7 que), hình 2 là lưới 2 × 3 ô (17 que), hình 3 là lưới 3 × 4 ô (31 que), cứ thế tiếp tục. Hình thứ 29 dùng bao nhiêu que diêm?
These figures are made of matchsticks: Figure 1 is a 1 × 2 grid (7 sticks), figure 2 is a 2 × 3 grid (17 sticks), figure 3 is a 3 × 4 grid (31 sticks), and so on. How many matchsticks does figure 29 use?
1. A. 841
2. B. 1681
3. C. 1799
4. D. 1921
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: C. 1799

Nhận dạng: dãy hình xếp bằng que diêm, số que tăng theo bậc hai (không tăng đều), hỏi hình ở xa.
Ý tưởng: gọi n là số thứ tự của hình, đếm que theo từng hàng để tìm công thức theo n rồi thay n.
Bước 1: Số que ba hình đầu là 7, 17, 31;
hiệu 10 và 14 không bằng nhau nên số que không tăng đều.
Bước 2: Đếm que: hình thứ n là lưới n × (n + 1) ô, có n + 1 hàng ngang, mỗi hàng n + 1 que, và n + 2 hàng dọc, mỗi hàng n que;
số que = (n + 1) × (n + 1) + (n + 2) × n.
Bước 3: Thử lại với hình 3: 4 × 4 + 5 × 3 = 31, khớp.
Bước 4: Hình thứ 29: 30 × 30 + 31 × 29 = 1799.
Vậy hình thứ 29 dùng 1799 que.
Câu 53 điểm

Vở loại nhỏ giá 4 nghìn đồng, vở loại lớn giá 23 nghìn đồng. Minh mua vở hết đúng 92 nghìn đồng (có thể không mua loại nào đó). Minh mua ít nhất bao nhiêu quyển vở?
Small notebooks cost 4 thousand dong, large ones 23 thousand. Minh spends exactly 92 thousand (possibly none of one kind). What is the least number of notebooks he can buy?
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 23
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. 4

Nhận dạng: phương trình px + qy = T với nghiệm nguyên không âm, hỏi tổng nhỏ nhất / lớn nhất.
Ý tưởng: liệt kê mọi nghiệm (y tăng thì x giảm đều), rồi chọn.
Bước 1: Gọi x, y là số vở nhỏ, lớn: 4x + 23y = 92, x, y ≥ 0.
Bước 2: Thử y, cần 92 − 23y chia hết cho 4: x = 0, y = 4 (4 quyển);
x = 23, y = 0 (23 quyển).
Bước 3: Mua nhiều vở lớn (đắt) thì ít quyển: x = 0, y = 4.
Vậy Minh mua ít nhất 4 quyển.
Câu 63 điểm

Gieo hai con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tích hai số chấm nhỏ hơn 8. Viết xác suất đó thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.
Two fair dice (faces 1 to 6) are rolled. Find the probability that the product is less than 8. Write this probability as a fraction a/b in lowest terms. Find a + b.
1. A. 5
2. B. 17
3. C. 25
4. D. 49
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: C. 25

Nhận dạng: gieo hai xúc xắc, xác suất.
Ý tưởng: lập bảng 6 × 6 kết quả (con thứ nhất theo cột, con thứ hai theo hàng), đếm các ô thoả điều kiện.
Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 = 36.
Bước 2 (đếm ô thoả, theo con thứ nhất → các mặt hợp của con thứ hai): 1 → mọi mặt (6);
2 → 1, 2, 3 (3);
3 → 1, 2 (2);
4 → 1 (1);
5 → 1 (1);
6 → 1 (1);
cộng: 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14.
Bước 3 (xác suất): 14/36 = 7/18.
Bước 4 (tính a + b): xác suất là 7/18, a = 7, b = 18;
7 + 18 = 25.
Vậy a + b = 25.
Câu 73 điểm

Một bể nước được lấy ra dùng trong 2 lần. Biết lần thứ 1 lấy 1/5 tổng số, lần thứ 2 lấy 1/4 số còn lại thì còn lại 240 lít nước. Hỏi ban đầu có bao nhiêu lít nước?
Water is taken from a tank in 2 rounds. Round 1: 1/5 of the total is taken; round 2: 1/4 of what is left is taken. After that, 240 litres of water remain. How many litres of water were there at the start?
1. A. 395
2. B. 400
3. C. 405
4. D. 720
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: B. 400

Nhận dạng: nhiều lần lấy bớt một phần của số còn lại, hỏi tổng số ban đầu.
Ý tưởng: mỗi lần còn lại một phân số của số trước, nhân các phân số 'còn lại' để biết phần còn lại cuối cùng so với tổng số.
Bước 1: Lần thứ 1 lấy 1/5 tổng số, còn lại 1 − 1/5 = 4/5 tổng số.
Bước 2: Lần thứ 2 lấy 1/4 số còn lại, còn lại 1 − 1/4 = 3/4 của 4/5: 4/5 × 3/4 = 3/5 tổng số.
Bước 3: Phần 240 lít nước chiếm 3/5 tổng số, nên tổng số là 240 : 3/5 = 240 × 5/3 = 400.
Vậy ban đầu có 400 lít nước.
Câu 83 điểm

Chữ số hàng đơn vị của A = 2029²⁵⁷⁷ + 2023²⁵⁷⁴ là bao nhiêu?
Find the units digit of 2029²⁵⁷⁷ + 2023²⁵⁷⁴.
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 8
4. D. 9
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: C. 8

Nhận dạng: chữ số tận cùng của tổng hai luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: tìm chữ số tận cùng từng luỹ thừa bằng chu kỳ, rồi cộng, chỉ giữ chữ số cuối.
Bước 1: 2029²⁵⁷⁷: 2029 tận cùng 9, chu kỳ 9, 1;
2577 : 2 = 1288 (dư 1), nên tận cùng 9.
Bước 2: 2023²⁵⁷⁴: 2023 tận cùng 3, chu kỳ 3, 9, 7, 1;
2574 : 4 = 643 (dư 2), nên tận cùng 9.
Bước 3: 9 + 9 = 18, chữ số cuối là 8.
Vậy chữ số tận cùng là 8.
Mẹo: số mũ chia hết cho độ dài chu kỳ thì lấy số cuối chu kỳ.
Câu 93 điểm

Tìm số nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 8, 9 hoặc 12 đều dư 7.
Find the smallest 3-digit number that leaves remainder 7 when divided by 8, 9 or 12.
1. A. 144
2. B. 151
3. C. 223
4. D. 295
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 151

Nhận dạng: số chia cho 8, 9 hoặc 12 đều dư 7.
Ý tưởng: gọi N là số cần tìm;
N − 7 chia hết cho cả 8, 9 và 12, tức là bội của BCNN.
Bước 1: BCNN(8, 9, 12) = 72 (8 = 2³, 9 = 3², 12 = 2² × 3 → lấy số mũ lớn nhất: 2³ × 3²).
Bước 2: N = 72 × t + 7 (t = 0, 1, 2, …).
Bước 3: N ≥ 100 nên 72 × t ≥ 100 − 7 = 93;
93 : 72 = 1 (dư 21), t nhỏ nhất là 2: N = 72 × 2 + 7 = 151.
Vậy số cần tìm là 151.
Câu 103 điểm

Một thanh đòn khối lượng không đáng kể, điểm tựa cách đầu trái 4 dm và cách đầu phải 8 dm. Ở đầu trái treo 10 kg. Phải treo ở đầu phải bao nhiêu ki-lô-gam để thanh cân bằng?
A lever bar of negligible mass has its pivot 4 dm from the left end and 8 dm from the right end. 10 kg hangs at the left end. How many kilograms must hang at the right end to balance the bar?
1. A. 20 kg
2. B. 5 kg
3. C. 10 kg
4. D. 6 kg
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: B. 5 kg

Nhận dạng: thanh đòn cân bằng, biết hai cánh tay đòn và một khối lượng, tìm khối lượng còn lại.
Ý tưởng: cân bằng khi khối lượng nhân với cánh tay đòn hai bên bằng nhau.
Bước 1: Bên trái: 10 × 4 = 40.
Bước 2: Bên phải: m × 8, cân bằng nên m × 8 = 40.
Bước 3: m = 40 : 8 = 5.
Vậy phải treo 5 kg.

Phần 2: Câu 11–20 (10 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

Mỗi chữ cái là một chữ số, A khác 0 và các chữ cái khác nhau là các chữ số khác nhau. Biết ABCD × 4 = DCBA (số DCBA là số ABCD viết ngược lại). Tính tổng các chữ số A, B, C và D.
Each letter is a digit, A is not 0 and different letters are different digits. Given ABCD × 4 = DCBA (DCBA is ABCD written backwards). Find the sum of the digits A, B, C and D.
1. A. 17
2. B. 18
3. C. 19
4. D. 20
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: B. 18

Nhận dạng: số nhân với k bằng chính số đó viết ngược, tìm số.
Ý tưởng: tích vẫn có 4 chữ số nên chữ số đầu bị chặn trên;
chữ số đầu của tích là chữ số cuối của số, rồi xét từng cột.
Bước 1: Vì ABCD × 4 vẫn có 4 chữ số nên A × 4 < 10, suy ra A ≤ 2.
Bước 2: Chữ số cuối của tích là A nên D × 4 tận cùng bằng A, do đó A chẵn.
Bước 3: Tích DCBA ≥ 4 × A × 1000 nên D ≥ 4 × A.
Chỉ A = 2 thoả: D ≥ 4 × 2 = 8, và D = 8 vì 8 × 4 = 32 tận cùng 2.
Bước 4: Hàng nghìn: 2 × 4 = 8 đúng bằng D, nên hàng trăm không nhớ sang: B × 4 + nhớ < 10, suy ra B ≤ 2.
Hàng đơn vị: 8 × 4 = 32, viết 2 nhớ 3.
Hàng chục: C × 4 + 3 là số lẻ và tận cùng B, nên B lẻ, B = 1.
C × 4 + 3 tận cùng 1 nên C = 2 hoặc C = 7, mà C ≠ A = 2 nên C = 7 (7 × 4 + 3 = 31, nhớ 3, hàng trăm 1 × 4 + 3 = 7 = C, khớp).
Bước 5: Thử lại: 2178 × 4 = 8712.
Bước 6: Tổng các chữ số: 2 + 1 + 7 + 8 = 18.
Vậy tổng các chữ số là 18.
Câu 124 điểm

Chữ số hàng đơn vị của A = 1² + 2² + 3² + … + 147² là bao nhiêu?
Find the units digit of A = 1² + 2² + 3² + … + 147².
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 5
4. D. 9
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: A. 0

Nhận dạng: tổng các bình phương liên tiếp.
Ý tưởng: chữ số tận cùng của bình phương chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của cơ số, nên lặp lại sau mỗi 10 số;
gom 10 số hạng thành một nhóm.
Bước 1: Tận cùng của 1², 2², …, 10²: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0;
một nhóm có tổng 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45.
Bước 2: 147 = 10 × 14 + 7: 14 nhóm cho 45 × 14 = 630;
còn 141² … 147² tận cùng 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 = 40.
Bước 3: 630 + 40 = 670, chữ số cuối là 0.
Vậy A có chữ số tận cùng là 0.
Câu 134 điểm

Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn 56 ≤ 160 − 8x ≤ 192?
How many integer values of x satisfy 56 ≤ 160 − 8x ≤ 192?
1. A. 17
2. B. 18
3. C. 19
4. D. 20
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: B. 18

Nhận dạng: bất phương trình kép, hệ số của x âm, hỏi số nghiệm nguyên.
Ý tưởng: làm cùng một phép ở cả ba vế để x đứng một mình (nhân, chia số âm thì đổi chiều), rồi đếm số nguyên.
Bước 1: Trừ 160 ở ba vế: −104 ≤ −8x ≤ 32.
Bước 2: Chia ba vế cho −8 (số âm, đổi chiều mọi dấu): 13 ≥ x ≥ −4, tức là −4 ≤ x ≤ 13.
Bước 3: Đếm số nguyên x từ −4 đến 13: 13 − (−4) + 1 = 18.
Vậy có 18 số.
Câu 144 điểm

Một đoàn tàu dài 250 m đi qua hết một người đi xe đạp (coi như một điểm) trong 10 giây, người đi xe đạp chạy ngược chiều với tàu và có vận tốc 18 km/h. Tính vận tốc của đoàn tàu (km/h).
A train 250 m long passes a cyclist (treat as a point) completely in 10 seconds. The cyclist travels in the opposite direction to the train, at 18 km/h. Find the speed of the train in km/h.
1. A. 25 km/h
2. B. 90 km/h
3. C. 108 km/h
4. D. 72 km/h
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: D. 72 km/h

Nhận dạng: biết chiều dài tàu và thời gian đi qua, hỏi vận tốc tàu.
Ý tưởng: vận tốc tương đối = chiều dài tàu : thời gian, ngược chiều thì vận tốc tương đối là tổng, cùng chiều là hiệu.
Bước 1: Gọi v là vận tốc tàu (km/h), vận tốc tương đối là 250 : 10 = 25 m/s.
Bước 2: Đổi sang km/h: 25 × 18/5 = 90 km/h.
Bước 3: Ngược chiều nên v + 18 = 90.
Bước 4: v = 90 − 18 = 72 km/h.
Vậy vận tốc đoàn tàu là 72 km/h.
Câu 154 điểm

Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(10; −7), B(3; 0), C(−2; −5). Tính diện tích tam giác ABC.
On the coordinate plane, A(10; −7), B(3; 0), C(−2; −5). Find the area of triangle ABC.
1. A. 35
2. B. 42
3. C. 70
4. D. 84
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: A. 35

Nhận dạng: tam giác biết toạ độ ba đỉnh.
Ý tưởng: vẽ hình chữ nhật có cạnh song song hai trục bao quanh tam giác, rồi trừ phần thừa.
Bước 1: Hình chữ nhật bao quanh: x từ −2 đến 10 (rộng 12), y từ −7 đến 0 (cao 7);
diện tích 12 × 7 = 84.
Bước 2: Phần thừa là các tam giác vuông dựng trên từng cạnh: cạnh AB: 7 × 7 : 2 = 24,5, cạnh BC: 5 × 5 : 2 = 12,5, cạnh CA: 12 × 2 : 2 = 12.
Bước 3: Diện tích = 84 − (24,5 + 12,5 + 12) = 84 − 49 = 35.
Vậy diện tích tam giác ABC là 35.
Câu 164 điểm

Một tàu thuỷ có vận tốc 18 km/h khi nước yên lặng, đi xuôi dòng từ A đến B rồi quay lại A. Vận tốc dòng nước là 2 km/h, AB dài 72 km, không kể thời gian nghỉ. Tính tổng thời gian đi và về (giờ).
A ship with speed 18 km/h in still water goes downstream from A to B and then returns to A. The current is 2 km/h, AB is 72 km, and stops are ignored. Find the total time for the round trip in hours.
1. A. 8 giờ
2. B. 8,1 giờ
3. C. 4,5 giờ
4. D. 3,6 giờ
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: B. 8,1 giờ

Nhận dạng: biết vận tốc khi nước yên lặng, vận tốc dòng nước và quãng đường, hỏi thời gian đi và về.
Ý tưởng: xuôi dòng vận tốc tăng thêm vận tốc dòng nước, ngược dòng giảm đi, thời gian = quãng đường : vận tốc.
Bước 1: Vận tốc xuôi dòng: 18 + 2 = 20 km/h.
Vận tốc ngược dòng: 18 − 2 = 16 km/h.
Bước 2: Thời gian xuôi: 72 : 20 = 3,6 giờ.
Bước 3: Thời gian ngược: 72 : 16 = 4,5 giờ.
Bước 4: Tổng thời gian: 3,6 + 4,5 = 8,1 giờ.
Vậy tổng thời gian là 8,1 giờ.
Câu 174 điểm

Tính giá trị của xy − 6x − 4y + 24 tại x = 1004, y = 16.
Evaluate xy − 6x − 4y + 24 at x = 1004, y = 16.
1. A. 10000
2. B. 10024
3. C. 11976
4. D. 22176
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: A. 10000

Nhận dạng: bốn hạng tử có xy, x, y và hằng số.
Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc, số tròn sẽ hiện ra.
Bước 1: Nhóm: (xy − 6x) + (−4y + 24) = x(y − 6) − 4(y − 6).
Bước 2: = (x − 4)(y − 6).
Bước 3: Tại x = 1004, y = 16: x − 4 = 1000, y − 6 = 10.
Bước 4: 1000 × 10 = 10000.
Vậy giá trị bằng 10000.
Câu 184 điểm

An có các tấm thẻ ghi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. An lấy 3 thẻ xếp thành một số có 3 chữ số. Có bao nhiêu số chia hết cho 3 mà An xếp được?
An has cards showing 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. An uses 3 of the cards to make a 3-digit number. How many of the numbers An can make are divisible by 3?
1. A. 13
2. B. 18
3. C. 72
4. D. 78
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: D. 78

Nhận dạng: lập số chia hết cho 3 từ các chữ số khác nhau cho trước.
Ý tưởng: số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số chia hết cho 3;
chia các chữ số theo số dư khi chia cho 3, bộ hợp lệ là 3 số cùng nhóm hoặc mỗi nhóm một số.
Bước 1 (chia nhóm theo số dư): dư 0: {3, 6, 9};
dư 1: {4, 7};
dư 2: {2, 5}.
Bước 2 (đếm bộ ba): cả 3 số cùng nhóm dư 0: 1 bộ;
mỗi nhóm một số: 3 × 2 × 2 = 12 bộ;
tổng: 1 + 12 = 13 bộ.
Bước 3 (xếp): không có chữ số 0, mỗi bộ xếp được 3 × 2 × 1 = 6 số.
Bước 4 (cộng): 13 × 6 = 78.
Vậy lập được 78 số.
Câu 194 điểm

Tam giác đều ABC có cạnh 4√3 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Equilateral triangle ABC has side 4√3 cm. Find the radius of its circumscribed circle.
1. A. 2
2. B. 4
3. C. 6
4. D. 8
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: B. 4

Nhận dạng: tam giác đều với đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp.
Ý tưởng: hai đường tròn chung tâm G là trọng tâm;
G nằm trên đường cao, chia đường cao theo tỉ số 1 : 2 (r = h : 3, R = 2h : 3, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
Bước 1: Nửa cạnh đáy 4√3 : 2 = 2√3;
Pytago: h × h = (4√3)² − (2√3)² = 48 − 12 = 36, nên đường cao h = 6 (cm).
Bước 2: R = 2h : 3 = 2 × 6 : 3 = 4 (cm).
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp là 4 cm.
Câu 204 điểm

Mỗi góc trong của một đa giác đều n cạnh bằng (2n + 122)°. Tìm giá trị lớn nhất của n.
Each interior angle of a regular polygon with n sides is (2n + 122)°. Find the largest possible value of n.
1. A. 9
2. B. 20
3. C. 29
4. D. 180
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: B. 20

Nhận dạng: góc trong của đa giác đều viết bằng biểu thức của n.
Ý tưởng: viết góc trong theo n bằng góc ngoài, lập phương trình rồi đưa về bậc hai.
Bước 1: Góc ngoài = 360° : n, nên góc trong = 180° − 360° : n.
Bước 2: 180 − 360 : n = 2n + 122.
Nhân hai vế với n: 180n − 360 = 2n² + 122n.
Bước 3: Chuyển vế: 2n² − 58n + 360 = 0, chia hai vế cho 2: n² − 29n + 180 = 0.
Bước 4: Tìm hai số có tích 180 và tổng 29: 9 và 20, nên (n − 9)(n − 20) = 0.
Bước 5: n = 9 hoặc n = 20;
cả hai đều ≥ 3 (thử lại: góc trong 140° và 162°).
Vậy n lớn nhất là 20.

Phần 3: Câu 21–25 (5 câu × 6 điểm)

Câu 216 điểm

Một hình hộp chữ nhật có các cạnh là số tự nhiên và thể tích bằng 196. Diện tích toàn phần của nó có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?
A rectangular box has whole-number edges and volume 196. How many different values can its total surface area take?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 8

Nhận dạng: hình hộp chữ nhật biết thể tích, cạnh là số tự nhiên.
Ý tưởng: gọi a ≤ b ≤ c là ba cạnh, a × b × c = 196;
liệt kê theo a từ nhỏ đến lớn.
Bước 1: Phân tích 196 = 2² × 7².
Bước 2: a × a × a ≤ a × b × c = 196, nên a ≤ 5.
Các bộ (a, b, c): a = 1: (1, 1, 196), (1, 2, 98), (1, 4, 49), (1, 7, 28), (1, 14, 14);
a = 2: (2, 2, 49), (2, 7, 14);
a = 4: (4, 7, 7).
Bước 3: Diện tích toàn phần S = 2 × (a × b + b × c + c × a): 786, 592, 498, 462, 448, 400, 280, 210.
Vậy có 8 giá trị khác nhau.
Câu 226 điểm

Tìm giá trị lớn nhất của E = √(x + 16) + √(56 − x).
Find the maximum value of E = √(x + 16) + √(56 − x).
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 12

Nhận dạng: tổng hai căn bậc hai, tổng hai biểu thức dưới căn không đổi.
Ý tưởng: bình phương E;
dùng 2uv ≤ u² + v² (vì (u − v)² ≥ 0).
Bước 1: Đặt u = √(x + 16), v = √(56 − x);
u² + v² = (x + 16) + (56 − x) = 72.
Bước 2: E² = u² + v² + 2uv ≤ 2(u² + v²) = 2 × 72 = 144.
Bước 3: 12 × 12 = 144, nên E ≤ 12;
dấu bằng khi u = v, tức là x + 16 = 56 − x, 2x = 40, x = 40 : 2 = 20.
Vậy giá trị lớn nhất của E là 12.
Câu 236 điểm

Tính giá trị của biểu thức (lặp vô hạn) A = √(306 − √(306 − √(306 − …))).
Find the value of the infinite expression A = √(306 − √(306 − √(306 − …))).
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 17

Nhận dạng: căn lồng vô hạn, phần bên trong lặp lại biểu thức ban đầu.
Ý tưởng: đặt A là cả biểu thức, phần dưới dấu căn đầu tiên chứa lại A;
được phương trình bậc hai.
Bước 1: A = √(306 − A), A > 0.
Bước 2: Bình phương: A² = 306 − A, tức là A² + A − 306 = 0.
Bước 3: Hai số có tích −306, tổng −1: 17 và −18, nên (A − 17)(A + 18) = 0.
Bước 4: A > 0 nên loại −18, A = 17.
Vậy A = 17.
Câu 246 điểm

Một hộp có 6 viên bi vàng và một số bi xanh lá. Lấy ngẫu nhiên một viên, xem màu rồi trả lại; làm như vậy 60 lần thì có 18 lần lấy được bi vàng. Hãy ước lượng số bi xanh lá trong hộp.
A box has 6 yellow marbles and some green ones. A marble is drawn, its colour noted and it is put back; in 60 draws a yellow marble came up 18 times. Estimate the number of green marbles.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 14

Nhận dạng: dùng kết quả thử nghiệm để ước lượng số lượng.
Ý tưởng: tỉ lệ bi vàng trong hộp xấp xỉ xác suất thực nghiệm;
biết số bi vàng thì tìm được tổng số bi.
Bước 1 (xác suất thực nghiệm): 18/60 = 3/10.
Bước 2 (tổng số bi): 6 : 3/10 = 20.
Bước 3 (bi xanh lá): 20 − 6 = 14.
Vậy trong hộp có khoảng 14 viên bi xanh lá.
Câu 256 điểm

Tìm x thoả mãn |x − 5| − |x − 13| = 2.
Find x such that |x − 5| − |x − 13| = 2.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 10

Nhận dạng: hiệu hai giá trị tuyệt đối bằng một số.
Ý tưởng: hai mốc (chỗ mỗi biểu thức trong |…| bằng 0) chia trục số thành ba khoảng;
bỏ dấu |…| ở từng khoảng rồi giải.
Bước 1: Hai mốc là 5 và 13.
Bước 2: x < 5: |x − 5| − |x − 13| = (5 − x) − (13 − x) = −8 ≠ 2;
x > 13: biểu thức bằng (x − 5) − (x − 13) = 8 ≠ 2.
Bước 3: 5 ≤ x ≤ 13: (x − 5) − (13 − x) = 2x − 18 = 2, 2x = 2 + 18 = 20, x = 20 : 2 = 10 (nằm giữa hai mốc, nhận).
Vậy x = 10.

Đáp án đề thi ASMO lớp 8

Câu	Đáp án
Câu 1	D. 1767
Câu 2	C. 310,5°
Câu 3	B. 1
Câu 4	C. 1799
Câu 5	B. 4
Câu 6	C. 25
Câu 7	B. 400
Câu 8	C. 8
Câu 9	B. 151
Câu 10	B. 5 kg
Câu 11	B. 18
Câu 12	A. 0
Câu 13	B. 18
Câu 14	D. 72 km/h
Câu 15	A. 35
Câu 16	B. 8,1 giờ
Câu 17	A. 10000
Câu 18	D. 78
Câu 19	B. 4
Câu 20	B. 20
Câu 21	8
Câu 22	12
Câu 23	17
Câu 24	14
Câu 25	10

Đề thi khác

Đề ASMO khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức ASMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi ASMO lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng khu vực ASMO lớp 8 có 25 câu, làm trong 120 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử ASMO lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề ASMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.