Số bốn chữ số abcd (a khác 0) cộng với ba số hoán vị vòng bcda, cdab, dabc được 16665. Tính a + b + c + d. A. 14 B. 15 C. 16 D. 166

Đáp án: B. 15. Nhận dạng: tổng các số hoán vị vòng của số nhiều chữ số, hỏi tổng các chữ số. Ý tưởng: trong bốn số, mỗi chữ số xuất hiện đúng một lần ở mỗi hàng, nên tổng bằng tổng các chữ số nhân 1111. Bước 1: Hàng nghìn của bốn số lần lượt là a, b, c, d, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị cũng đủ a, b, c, d (mỗi chữ số một lần). Bước 2: Tổng = 1000 × (a + b + c + d) + 100 × (a + b + c + d) + 10 × (a + b + c + d) + (a + b + c + d) = 1111 × (a + b + c + d). Bước 3: a + b + c + d = 16665 : 1111 = 15. Vậy a + b + c + d = 15.

Hai số tự nhiên a < b có ƯCLN(a, b) = 3 và BCNN(a, b) = 54. Tìm giá trị lớn nhất của b − a. A. 21 B. 51 C. 52 D. 54

Đáp án: B. 51. Nhận dạng: hai số biết ƯCLN = 3 và BCNN = 54. Ý tưởng: viết hai số là 3 × m và 3 × n với m, n không có ước chung khác 1; khi đó BCNN = 3 × m × n. Bước 1: m × n = 54 : 3 = 18 = 2 × 3². Bước 2: Mỗi phần 2, 9 phải nằm trọn bên m hoặc bên n (không được tách), các cặp m < n: (1, 18), (2, 9). Bước 3: b − a = 3 × (n − m), lớn nhất khi m = 1, n = 18: b − a = 3 × 17 = 51. Vậy giá trị cần tìm là 51.

Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là 60, 36, 48 (dm). A. 864 B. 1080 C. 1440 D. 1728

Đáp án: A. 864. Nhận dạng: tam giác biết ba cạnh, thử xem có phải tam giác vuông không. Ý tưởng: Pytago đảo — nếu bình phương cạnh dài nhất bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác vuông, cạnh dài nhất là cạnh huyền. Bước 1: Cạnh dài nhất là 60: 60 × 60 = 3600. Bước 2: 36 × 36 + 48 × 48 = 1296 + 2304 = 3600 = 60 × 60, nên tam giác vuông, hai cạnh góc vuông là 36 và 48. Bước 3: Diện tích = 36 × 48 : 2 = 864 (dm²). Vậy diện tích tam giác là 864 dm².

Đổi chỗ các chữ cái của từ ASSESS được bao nhiêu dãy chữ khác nhau (kể cả chính từ ASSESS và các dãy không có nghĩa)? A. 30 B. 60 C. 180 D. 720

Đáp án: A. 30. Nhận dạng: hoán vị có lặp, xếp các chữ cái có chữ giống nhau. Ý tưởng: xếp như thể các vật đều khác nhau, rồi chia cho số cách đổi chỗ các chữ giống nhau; kí hiệu 6! là tích các số từ 1 đến 6, đọc là 6 giai thừa. Bước 1 (đếm vật): ASSESS có 6 chữ cái; S lặp 4 lần. Bước 2 (coi như khác nhau): 6! cách. Bước 3 (chia cho số cách đổi chỗ chữ giống nhau): 6! : 4! = 6 × 5 = 30. Vậy có 30 cách. Mẹo: chỉ tính 6! = 720 là sai, vì đổi chỗ các chữ giống nhau không tạo dãy mới.

Đa thức (x − 3)² − y² bằng tích nào sau đây? A. (x − 3 − y)(x − 3 + y) B. (x + 3 − y)(x + 3 + y) C. (x − 3 − y)(x − 3 − y) D. (x − 3 − y)²

Đáp án: A. (x − 3 − y)(x − 3 + y). Nhận dạng: hiệu của hai bình phương. Ý tưởng: A² − B² = (A − B)(A + B). Bước 1: y² là bình phương của y, nên biểu thức có dạng A² − B² với A = x − 3, B = y. Bước 2: A² − B² = (A − B)(A + B) = (x − 3 − y)(x − 3 + y). Vậy (x − 3)² − y² = (x − 3 − y)(x − 3 + y).

Điền các số 1, 2, 3, 4 vào bảng 4 × 4 (dấu _ là ô trống) sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi hình vuông 2 × 2 ở góc đều có đủ bốn số 1, 2, 3, 4. Hàng 1: _ 4 3 _. Hàng 2: _ 2 _ 4. Hàng 3: 2 _ _ 1. Hàng 4: 4 _ 2 _. Số ở ô hàng 2, cột 1 (ô trống) là bao nhiêu? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Đáp án: C. 3. Nhận dạng: sudoku 4 × 4, điền số sao cho mỗi hàng, cột, ô vuông 2 × 2 có đủ 1 đến 4. Ý tưởng: tìm ô mà hàng, cột và ô vuông của nó đã có ba số, ô đó chỉ còn một số. Bước 1: Ô hàng 1, cột 1: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 2, 3, 4, nên chỉ còn 1. Bước 2: Ô hàng 1, cột 4: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 3, 4, nên chỉ còn 2. Bước 3: Ô hàng 2, cột 1: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 4, nên chỉ còn 3. Vậy ô hàng 2, cột 1 là 3.

Bình dùng tiền tiết kiệm mua đồ trong 2 lần. Biết lần thứ 1 tiêu 3/5 tổng số, lần thứ 2 tiêu 1/3 số còn lại thì còn lại 28 nghìn đồng. Hỏi ban đầu có bao nhiêu nghìn đồng? A. 84 B. 100 C. 105 D. 110

Đáp án: C. 105. Nhận dạng: nhiều lần lấy bớt một phần của số còn lại, hỏi tổng số ban đầu. Ý tưởng: mỗi lần còn lại một phân số của số trước, nhân các phân số 'còn lại' để biết phần còn lại cuối cùng so với tổng số. Bước 1: Lần thứ 1 tiêu 3/5 tổng số, còn lại 1 − 3/5 = 2/5 tổng số. Bước 2: Lần thứ 2 tiêu 1/3 số còn lại, còn lại 1 − 1/3 = 2/3 của 2/5: 2/5 × 2/3 = 4/15 tổng số. Bước 3: Phần 28 nghìn đồng chiếm 4/15 tổng số, nên tổng số là 28 : 4/15 = 28 × 15/4 = 105. Vậy ban đầu có 105 nghìn đồng.

Tìm số lẻ nhỏ nhất có 3 chữ số mà chia cho 15 dư 4. A. 109 B. 110 C. 124 D. 139

Đáp án: A. 109. Nhận dạng: số chia 15 dư 4, thêm điều kiện là số lẻ. Ý tưởng: gọi x là số cần tìm, viết x = 15 × t + 4 (t = 0, 1, 2, …), rồi chọn t để x lẻ. Bước 1: x ≥ 100 nên 15 × t ≥ 100 − 4 = 96; 96 : 15 = 6 (dư 6), t nhỏ nhất là 7. Bước 2: 15 lẻ nên 15 × t cùng chẵn lẻ với t; 4 là số chẵn, nên x lẻ khi t lẻ. Bước 3: t lẻ nhỏ nhất là 7: x = 15 × 7 + 4 = 109. Vậy số cần tìm là 109.

Chữ số hàng đơn vị của A = 1² + 2² + 3² + … + 109² là bao nhiêu? A. 0 B. 1 C. 5 D. 6

Đáp án: C. 5. Nhận dạng: tổng các bình phương liên tiếp. Ý tưởng: chữ số tận cùng của bình phương chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của cơ số, nên lặp lại sau mỗi 10 số; gom 10 số hạng thành một nhóm. Bước 1: Tận cùng của 1², 2², …, 10²: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0; một nhóm có tổng 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45. Bước 2: 109 = 10 × 10 + 9: 10 nhóm cho 45 × 10 = 450; còn 101² … 109² tận cùng 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 = 45. Bước 3: 450 + 45 = 495, chữ số cuối là 5. Vậy A có chữ số tận cùng là 5.

Phân số nào nhỏ nhất trong các phân số 1023/1024, 1015/1016, 1011/1012, 1022/1023? A. 1011/1012 B. 1023/1024 C. 1022/1023 D. 1015/1016

Đáp án: A. 1011/1012. Nhận dạng: các phân số đều nhỏ hơn 1 một chút, tử kém mẫu 1 đơn vị. Ý tưởng: so phần bù tới 1; phần bù càng nhỏ thì phân số càng lớn. Bước 1: Phần bù: 1 − 1023/1024 = 1/1024, 1 − 1015/1016 = 1/1016, 1 − 1011/1012 = 1/1012, 1 − 1022/1023 = 1/1023. Bước 2: Mẫu lớn thì 1/mẫu nhỏ: phần bù lớn nhất là 1/1012. Vậy phân số nhỏ nhất là 1011/1012.

Đề thi IMEC lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Q: Đề thi IMEC lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia IMEC lớp 8 có 25 câu, làm trong 60 phút, tối đa 100 điểm.

Q: Làm đề thi thử IMEC lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề IMEC mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.

Đề thi thử IMEC lớp 8 (vòng quốc gia) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh (có chú thích tiếng việt cho từ khoá). Trang này hiện 10 câu đầu; mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu 1–10 × 4 điểm; 10 câu 11–20 × 4 điểm; 5 câu 21–25 × 4 điểm. Trả lời sai bị trừ: câu 1–10 −1; câu 11–20 −1; câu 21–25 −1; bỏ trống không trừ. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi IMEC.

Phần 1: Câu 1–10 (10 câu × 4 điểm)

Câu 14 điểm · sai trừ 1

The four-digit number abcd (a is not 0) plus its three cyclic rearrangements bcda, cdab, dabc gives 16665. Find a + b + c + d.
Số bốn chữ số abcd (a khác 0) cộng với ba số hoán vị vòng bcda, cdab, dabc được 16665. Tính a + b + c + d.
1. A. 14
2. B. 15
3. C. 16
4. D. 166
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 15

Nhận dạng: tổng các số hoán vị vòng của số nhiều chữ số, hỏi tổng các chữ số.
Ý tưởng: trong bốn số, mỗi chữ số xuất hiện đúng một lần ở mỗi hàng, nên tổng bằng tổng các chữ số nhân 1111.
Bước 1: Hàng nghìn của bốn số lần lượt là a, b, c, d, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị cũng đủ a, b, c, d (mỗi chữ số một lần).
Bước 2: Tổng = 1000 × (a + b + c + d) + 100 × (a + b + c + d) + 10 × (a + b + c + d) + (a + b + c + d) = 1111 × (a + b + c + d).
Bước 3: a + b + c + d = 16665 : 1111 = 15.
Vậy a + b + c + d = 15.
Câu 24 điểm · sai trừ 1

Two whole numbers (số tự nhiên) a < b have gcd(a, b) = 3 and lcm(a, b) = 54. Find the largest possible value of b − a.
Hai số tự nhiên a < b có ƯCLN(a, b) = 3 và BCNN(a, b) = 54. Tìm giá trị lớn nhất của b − a.
1. A. 21
2. B. 51
3. C. 52
4. D. 54
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. 51

Nhận dạng: hai số biết ƯCLN = 3 và BCNN = 54.
Ý tưởng: viết hai số là 3 × m và 3 × n với m, n không có ước chung khác 1;
khi đó BCNN = 3 × m × n.
Bước 1: m × n = 54 : 3 = 18 = 2 × 3².
Bước 2: Mỗi phần 2, 9 phải nằm trọn bên m hoặc bên n (không được tách), các cặp m < n: (1, 18), (2, 9).
Bước 3: b − a = 3 × (n − m), lớn nhất khi m = 1, n = 18: b − a = 3 × 17 = 51.
Vậy giá trị cần tìm là 51.
Câu 34 điểm · sai trừ 1

Find the area (diện tích) of a triangle (hình tam giác) with sides 60, 36, 48 (dm).
Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là 60, 36, 48 (dm).
1. A. 864
2. B. 1080
3. C. 1440
4. D. 1728
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: A. 864

Nhận dạng: tam giác biết ba cạnh, thử xem có phải tam giác vuông không.
Ý tưởng: Pytago đảo — nếu bình phương cạnh dài nhất bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác vuông, cạnh dài nhất là cạnh huyền.
Bước 1: Cạnh dài nhất là 60: 60 × 60 = 3600.
Bước 2: 36 × 36 + 48 × 48 = 1296 + 2304 = 3600 = 60 × 60, nên tam giác vuông, hai cạnh góc vuông là 36 và 48.
Bước 3: Diện tích = 36 × 48 : 2 = 864 (dm²).
Vậy diện tích tam giác là 864 dm².
Câu 44 điểm · sai trừ 1

How many different strings can be made by rearranging the letters of ASSESS (including ASSESS itself and meaningless strings)?
Đổi chỗ các chữ cái của từ ASSESS được bao nhiêu dãy chữ khác nhau (kể cả chính từ ASSESS và các dãy không có nghĩa)?
1. A. 30
2. B. 60
3. C. 180
4. D. 720
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: A. 30

Nhận dạng: hoán vị có lặp, xếp các chữ cái có chữ giống nhau.
Ý tưởng: xếp như thể các vật đều khác nhau, rồi chia cho số cách đổi chỗ các chữ giống nhau;
kí hiệu 6! là tích các số từ 1 đến 6, đọc là 6 giai thừa.
Bước 1 (đếm vật): ASSESS có 6 chữ cái;
S lặp 4 lần.
Bước 2 (coi như khác nhau): 6! cách.
Bước 3 (chia cho số cách đổi chỗ chữ giống nhau): 6! : 4! = 6 × 5 = 30.
Vậy có 30 cách.
Mẹo: chỉ tính 6! = 720 là sai, vì đổi chỗ các chữ giống nhau không tạo dãy mới.
Câu 54 điểm · sai trừ 1

Factor (x − 3)² − y².
Đa thức (x − 3)² − y² bằng tích nào sau đây?
1. A. (x − 3 − y)(x − 3 + y)
2. B. (x + 3 − y)(x + 3 + y)
3. C. (x − 3 − y)(x − 3 − y)
4. D. (x − 3 − y)²
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: A. (x − 3 − y)(x − 3 + y)

Nhận dạng: hiệu của hai bình phương.
Ý tưởng: A² − B² = (A − B)(A + B).
Bước 1: y² là bình phương của y, nên biểu thức có dạng A² − B² với A = x − 3, B = y.
Bước 2: A² − B² = (A − B)(A + B) = (x − 3 − y)(x − 3 + y).
Vậy (x − 3)² − y² = (x − 3 − y)(x − 3 + y).
Câu 64 điểm · sai trừ 1

Fill the 4 × 4 grid (_ is a blank cell) with 1, 2, 3, 4 so that every row, column and each 2 × 2 corner (góc) square (hình vuông) contains 1, 2, 3 and 4. Row 1: _ 4 3 _. Row 2: _ 2 _ 4. Row 3: 2 _ _ 1. Row 4: 4 _ 2 _. What number goes in the blank cell in row 2, column 1?
Điền các số 1, 2, 3, 4 vào bảng 4 × 4 (dấu _ là ô trống) sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi hình vuông 2 × 2 ở góc đều có đủ bốn số 1, 2, 3, 4. Hàng 1: _ 4 3 _. Hàng 2: _ 2 _ 4. Hàng 3: 2 _ _ 1. Hàng 4: 4 _ 2 _. Số ở ô hàng 2, cột 1 (ô trống) là bao nhiêu?
1. A. 1
2. B. 2
3. C. 3
4. D. 4
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: C. 3

Nhận dạng: sudoku 4 × 4, điền số sao cho mỗi hàng, cột, ô vuông 2 × 2 có đủ 1 đến 4.
Ý tưởng: tìm ô mà hàng, cột và ô vuông của nó đã có ba số, ô đó chỉ còn một số.
Bước 1: Ô hàng 1, cột 1: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 2, 3, 4, nên chỉ còn 1.
Bước 2: Ô hàng 1, cột 4: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 3, 4, nên chỉ còn 2.
Bước 3: Ô hàng 2, cột 1: hàng, cột và ô vuông chứa nó đã có 1, 2, 4, nên chỉ còn 3.
Vậy ô hàng 2, cột 1 là 3.
Câu 74 điểm · sai trừ 1

Binh spends his savings over 2 purchases. Purchase 1: 3/5 of the total (tổng) is spent; purchase 2: 1/3 of what is left is spent. After that, 28 thousand dong remain. How many thousand dong were there at the start?
Bình dùng tiền tiết kiệm mua đồ trong 2 lần. Biết lần thứ 1 tiêu 3/5 tổng số, lần thứ 2 tiêu 1/3 số còn lại thì còn lại 28 nghìn đồng. Hỏi ban đầu có bao nhiêu nghìn đồng?
1. A. 84
2. B. 100
3. C. 105
4. D. 110
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 105

Nhận dạng: nhiều lần lấy bớt một phần của số còn lại, hỏi tổng số ban đầu.
Ý tưởng: mỗi lần còn lại một phân số của số trước, nhân các phân số 'còn lại' để biết phần còn lại cuối cùng so với tổng số.
Bước 1: Lần thứ 1 tiêu 3/5 tổng số, còn lại 1 − 3/5 = 2/5 tổng số.
Bước 2: Lần thứ 2 tiêu 1/3 số còn lại, còn lại 1 − 1/3 = 2/3 của 2/5: 2/5 × 2/3 = 4/15 tổng số.
Bước 3: Phần 28 nghìn đồng chiếm 4/15 tổng số, nên tổng số là 28 : 4/15 = 28 × 15/4 = 105.
Vậy ban đầu có 105 nghìn đồng.
Câu 84 điểm · sai trừ 1

Find the smallest odd 3-digit number that leaves remainder (số dư) 4 when divided by 15.
Tìm số lẻ nhỏ nhất có 3 chữ số mà chia cho 15 dư 4.
1. A. 109
2. B. 110
3. C. 124
4. D. 139
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: A. 109

Nhận dạng: số chia 15 dư 4, thêm điều kiện là số lẻ.
Ý tưởng: gọi x là số cần tìm, viết x = 15 × t + 4 (t = 0, 1, 2, …), rồi chọn t để x lẻ.
Bước 1: x ≥ 100 nên 15 × t ≥ 100 − 4 = 96;
96 : 15 = 6 (dư 6), t nhỏ nhất là 7.
Bước 2: 15 lẻ nên 15 × t cùng chẵn lẻ với t;
4 là số chẵn, nên x lẻ khi t lẻ.
Bước 3: t lẻ nhỏ nhất là 7: x = 15 × 7 + 4 = 109.
Vậy số cần tìm là 109.
Câu 94 điểm · sai trừ 1

Find the units digit (chữ số hàng đơn vị) of A = 1² + 2² + 3² + … + 109².
Chữ số hàng đơn vị của A = 1² + 2² + 3² + … + 109² là bao nhiêu?
1. A. 0
2. B. 1
3. C. 5
4. D. 6
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: C. 5

Nhận dạng: tổng các bình phương liên tiếp.
Ý tưởng: chữ số tận cùng của bình phương chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của cơ số, nên lặp lại sau mỗi 10 số;
gom 10 số hạng thành một nhóm.
Bước 1: Tận cùng của 1², 2², …, 10²: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0;
một nhóm có tổng 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45.
Bước 2: 109 = 10 × 10 + 9: 10 nhóm cho 45 × 10 = 450;
còn 101² … 109² tận cùng 1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 = 45.
Bước 3: 450 + 45 = 495, chữ số cuối là 5.
Vậy A có chữ số tận cùng là 5.
Câu 104 điểm · sai trừ 1

Which fraction (phân số) is the smallest: 1023/1024, 1015/1016, 1011/1012, 1022/1023?
Phân số nào nhỏ nhất trong các phân số 1023/1024, 1015/1016, 1011/1012, 1022/1023?
1. A. 1011/1012
2. B. 1023/1024
3. C. 1022/1023
4. D. 1015/1016
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: A. 1011/1012

Nhận dạng: các phân số đều nhỏ hơn 1 một chút, tử kém mẫu 1 đơn vị.
Ý tưởng: so phần bù tới 1;
phần bù càng nhỏ thì phân số càng lớn.
Bước 1: Phần bù: 1 − 1023/1024 = 1/1024, 1 − 1015/1016 = 1/1016, 1 − 1011/1012 = 1/1012, 1 − 1022/1023 = 1/1023.
Bước 2: Mẫu lớn thì 1/mẫu nhỏ: phần bù lớn nhất là 1/1012.
Vậy phân số nhỏ nhất là 1011/1012.

Phần 2: Câu 11–20 (10 câu × 4 điểm)

Câu 11–20 (10 câu) có trong đề thi thử trên app.

Phần 3: Câu 21–25 (5 câu × 4 điểm)

Câu 21–25 (5 câu) có trong đề thi thử trên app.

Đáp án đề thi IMEC lớp 8 (10 câu đầu)

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 15
Câu 2	B. 51
Câu 3	A. 864
Câu 4	A. 30
Câu 5	A. (x − 3 − y)(x − 3 + y)
Câu 6	C. 3
Câu 7	C. 105
Câu 8	A. 109
Câu 9	C. 5
Câu 10	A. 1011/1012

Đề thi khác

Đề IMEC khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức IMEC.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi IMEC lớp 8 có bao nhiêu câu?