Một tam giác có hai cạnh dài 28 cm và 13 cm, cạnh thứ ba dài x cm với x là số nguyên và x là số chẵn. Có bao nhiêu giá trị của x? A. 13 B. 26 C. 27 D. 40

Đáp án: A. 13. Nhận dạng: đếm cạnh nguyên của tam giác biết hai cạnh. Ý tưởng: gọi x là độ dài cạnh thứ ba; trong tam giác, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai cạnh kia. Bước 1 (bất đẳng thức tam giác): 28 − 13 < x < 28 + 13, tức là 15 < x < 41. Bước 2 (đếm số chẵn): x từ 16 đến 40, cách nhau 2: (40 − 16) : 2 + 1 = 13 giá trị. Vậy có 13 giá trị của x.

Trung bình cộng của 5 số là 41. Biết 4 số trong đó là 41, 59, 37, 49. Tìm số còn lại. A. 18 B. 19 C. 24 D. 37

Đáp án: B. 19. Nhận dạng: biết trung bình cộng và các số còn lại, hỏi số chưa biết. Ý tưởng: tổng tất cả các số = trung bình × số lượng, số còn lại = tổng trừ tổng các số đã biết. Bước 1: Tổng của 5 số: 5 × 41 = 205. Bước 2: Tổng các số đã biết: 41 + 59 + 37 + 49 = 186. Bước 3: Số còn lại: 205 − 186 = 19. Vậy số còn lại là 19.

Điểm M(5; y) là trung điểm của đoạn thẳng nối A(x; −10) và B(−1; −2). Tính x × y. A. −66 B. 66 C. −72 D. −30

Đáp án: A. −66. Nhận dạng: biết trung điểm, thiếu toạ độ ở cả trung điểm và đầu mút. Ý tưởng: hoành độ trung điểm là trung bình cộng hai hoành độ, tung độ cũng vậy. Bước 1: Hoành độ: 5 = (x + (−1)) : 2, nên x = 2 × 5 − (−1) = 11. Bước 2: Tung độ: y = (−10 + (−2)) : 2 = −12 : 2 = −6. Bước 3: x × y = 11 × (−6) = −66. Vậy x × y = −66.

Vở loại nhỏ giá 3 nghìn đồng, vở loại lớn giá 20 nghìn đồng. Minh mua vở hết đúng 260 nghìn đồng (có thể không mua loại nào đó). Minh mua ít nhất bao nhiêu quyển vở? A. 12 B. 13 C. 14 D. 81

Đáp án: B. 13. Nhận dạng: phương trình px + qy = T với nghiệm nguyên không âm, hỏi tổng nhỏ nhất / lớn nhất. Ý tưởng: liệt kê mọi nghiệm (y tăng thì x giảm đều), rồi chọn. Bước 1: Gọi x, y là số vở nhỏ, lớn: 3x + 20y = 260, x, y ≥ 0. Bước 2: Thử y, cần 260 − 20y chia hết cho 3: x = 0, y = 13 (13 quyển); x = 20, y = 10 (30 quyển); x = 40, y = 7 (47 quyển); x = 60, y = 4 (64 quyển); x = 80, y = 1 (81 quyển). Bước 3: Mua nhiều vở lớn (đắt) thì ít quyển: x = 0, y = 13. Vậy Minh mua ít nhất 13 quyển.

Đường tròn nội tiếp một tam giác đều có diện tích 4π cm². Tính diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. A. 12π B. 36π C. 8π D. 16π

Đáp án: D. 16π. Nhận dạng: tam giác đều với đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp. Ý tưởng: hai đường tròn chung tâm G là trọng tâm; G nằm trên đường cao, chia đường cao theo tỉ số 1 : 2 (r = h : 3, R = 2h : 3, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Bước 1: Diện tích hình tròn nội tiếp = π × r × r = 4π, nên r × r = 4, r = 2 (cm). Bước 2: R = 2r = 2 × 2 = 4 (cm). Bước 3: Diện tích hình tròn ngoại tiếp = π × 4 × 4 = 16π (cm²). Vậy diện tích đường tròn ngoại tiếp là 16π cm². Mẹo: bán kính gấp 2 lần thì diện tích gấp 2 × 2 = 4 lần.

Biểu thức A = x² + 16x + 98 nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu? A. −8 B. 16 C. 8 D. −16

Đáp án: A. −8. Nhận dạng: tam thức bậc hai, hệ số của x² dương, hỏi nhỏ nhất. Ý tưởng: hoàn thành bình phương A = a(x − h)² + m; bình phương ≥ 0 nên A ≥ m. Bước 1: Tách: x² + 16x + 64 là (x + 8)² (vì 8 × 8 = 64, 2 × 8 = 16). Bước 2: A = (x + 8)² + 98 − 64 = (x + 8)² + 34. Bước 3: (x + 8)² ≥ 0, bằng 0 khi x = −8; nên A ≥ 34. Vậy A nhỏ nhất khi x = −8.

Tổng của n số tự nhiên đầu tiên (bắt đầu từ 1) bằng 190. Tìm n. A. 18 B. 19 C. 20 D. 21

Đáp án: B. 19. Nhận dạng: biết tổng 1 + 2 + … + n, tìm n. Ý tưởng: cộng tổng xuôi với tổng ngược, mỗi cột bằng n + 1. Bước 1: Viết 1 + 2 + … + n và n + … + 2 + 1 thẳng cột rồi cộng: mỗi cột bằng n + 1, có n cột, nên 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2. Bước 2: n × (n + 1) = 2 × 190 = 380. Bước 3: n × (n + 1) là tích hai số liên tiếp; 19 × 19 = 361 < 380 < 20 × 20 = 400, thử 19 × 20 = 380. Vậy n = 19.

Khi xoay một trang giấy 180° (lộn ngược cả số), các chữ số 0, 1, 8 vẫn đọc là 0, 1, 8, còn 6 đọc thành 9 và 9 đọc thành 6. Số 6808 được viết trên trang giấy rồi xoay 180° thì đọc ra một số mới. Hiệu của số lớn và số bé trong hai số đó là bao nhiêu? A. 1278 B. 1281 C. 1368 D. 1371

Đáp án: B. 1281. Nhận dạng: xoay một số 180°, hỏi số mới hoặc hiệu, tổng của hai số. Ý tưởng: xoay 180° thì thứ tự chữ số bị đảo ngược (chữ số đầu xuống cuối) và mỗi chữ số đổi theo quy tắc: 0, 1, 8 giữ nguyên, 6 thành 9, 9 thành 6. Bước 1: Đảo thứ tự các chữ số của 6808: 8086. Bước 2: Đổi từng chữ số (6 thành 9, 9 thành 6, các chữ số khác giữ nguyên): 8089. Bước 3: Hiệu hai số: 8089 − 6808 = 1281. Vậy hiệu là 1281.

Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của 4500? A. 8 B. 10 C. 12 D. 36

Đáp án: D. 36. Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn. Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 4500 : 2 = 2250, 2250 : 2 = 1125, 1125 : 3 = 375, 375 : 3 = 125, 125 : 5 = 25, 25 : 5 = 5, 5 : 5 = 1. Vậy 4500 = 2² × 3² × 5³. Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn: số mũ của 2 chọn từ 0 đến 2: 3 cách; số mũ của 3 chọn từ 0 đến 2: 3 cách; số mũ của 5 chọn từ 0 đến 3: 4 cách. Bước 3: Số ước = (2 + 1) × (2 + 1) × (3 + 1) = 3 × 3 × 4 = 36. Vậy 4500 có 36 ước. Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.

Dãy số lặp lại mãi như sau: −2, −7, −7, 4, −2, −7, −7, … Tính tổng của 2026 số hạng đầu tiên. A. −6081 B. −6088 C. −6084 D. −6072

Đáp án: A. −6081. Nhận dạng: dãy số lặp theo chu kỳ, hỏi tổng của rất nhiều số hạng đầu. Ý tưởng: tìm nhóm số lặp lại, tính tổng một nhóm, chia số số hạng thành các nhóm đủ và phần dư. Bước 1: Số thứ 5 bằng số thứ nhất (−2), số thứ 6 bằng số thứ hai, … nên dãy lặp lại theo nhóm 4 số: −2, −7, −7, 4. Bước 2: Tổng một nhóm: −2 − 7 − 7 + 4 = −12. Bước 3: 2026 : 4 = 506 dư 2, tức là 506 nhóm đủ rồi thêm 2 số đầu của nhóm. Bước 4: 2 số đầu của nhóm có tổng −2 − 7 = −9. Tổng cần tìm: 506 × (−12) − 9 = −6072 − 9 = −6081. Vậy tổng của 2026 số hạng đầu là −6081.

Cho x, y thoả mãn hệ: 9x − y = 127 (1) và −7y + 6x = 91 (2). Tính 2xy. A. 14 B. −27 C. −28 D. 28

Đáp án: C. −28. Nhận dạng: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong (1) ẩn y có hệ số −1. Ý tưởng: rút y từ (1) rồi thế vào (2), còn phương trình một ẩn x. Bước 1: Từ (1): y = 9x − 127. Bước 2: Thế vào (2): 6x − 7(9x − 127) = 91. Bước 3: 6x − 63x + 889 = 91, tức là −57x = −798, x = (−798) : (−57) = 14. Bước 4: y = 9 × 14 − 127 = −1. Bước 5: 2xy = 2 × 14 × (−1) = −28. Vậy 2xy = −28.

Một đoàn tàu dài 250 m đi qua hết một người đi bộ (coi như một điểm) trong 25 giây, người đi bộ đi cùng chiều với tàu (tàu nhanh hơn) và có vận tốc 4 km/h. Tính vận tốc của đoàn tàu (km/h). A. 10 km/h B. 36 km/h C. 40 km/h D. 32 km/h

Đáp án: C. 40 km/h. Nhận dạng: biết chiều dài tàu và thời gian đi qua, hỏi vận tốc tàu. Ý tưởng: vận tốc tương đối = chiều dài tàu : thời gian, ngược chiều thì vận tốc tương đối là tổng, cùng chiều là hiệu. Bước 1: Gọi v là vận tốc tàu (km/h), vận tốc tương đối là 250 : 25 = 10 m/s. Bước 2: Đổi sang km/h: 10 × 18/5 = 36 km/h. Bước 3: Cùng chiều, tàu nhanh hơn nên v − 4 = 36. Bước 4: v = 36 + 4 = 40 km/h. Vậy vận tốc đoàn tàu là 40 km/h.

Tính giá trị dương của phân số liên tục vô hạn x = 9 + 90/(9 + 90/(9 + 90/(9 + …))). A. 6 B. 15 C. 16 D. 90

Đáp án: B. 15. Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, mẫu số lặp lại đúng biểu thức ban đầu. Ý tưởng: mẫu của phân số đầu tiên chính là x; được phương trình bậc hai. Bước 1: x = 9 + 90/x. Bước 2: Nhân hai vế với x: x² = 9x + 90, tức là x² − 9x − 90 = 0. Bước 3: Hai số có tích −90, tổng 9: 15 và −6, nên (x − 15)(x + 6) = 0. Bước 4: x > 0 nên loại −6, x = 15. Vậy x = 15.

Những hình sau xếp bằng que diêm: Hình 1 là một tam giác nhỏ (3 que), hình 2 là tam giác lớn gồm 2 hàng tam giác nhỏ (9 que), hình 3 gồm 3 hàng (18 que), cứ thế tiếp tục. Hình thứ 17 dùng bao nhiêu que diêm? A. 289 B. 408 C. 459 D. 513

Đáp án: C. 459. Nhận dạng: dãy hình xếp bằng que diêm, số que tăng theo bậc hai (không tăng đều), hỏi hình ở xa. Ý tưởng: gọi n là số thứ tự của hình, đếm que theo từng hàng để tìm công thức theo n rồi thay n. Bước 1: Số que ba hình đầu là 3, 9, 18; hiệu 6 và 9 không bằng nhau nên số que không tăng đều. Bước 2: Đếm que: hình thứ n là tam giác lớn gồm n hàng tam giác nhỏ, mỗi hướng có 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2 que, có 3 hướng; số que = 3 × n × (n + 1) : 2. Bước 3: Thử lại với hình 3: 3 × 3 × 4 : 2 = 18, khớp. Bước 4: Hình thứ 17: 3 × 17 × 18 : 2 = 459. Vậy hình thứ 17 dùng 459 que.

Mật khẩu của Lan là một số có 3 chữ số (chữ số đầu khác 0) có tổng các chữ số bằng 5. Có bao nhiêu mật khẩu như vậy? A. 10 B. 15 C. 20 D. 21

Đáp án: B. 15. Nhận dạng: đếm số có 3 chữ số có tổng các chữ số cho trước. Ý tưởng: coi mỗi đơn vị là một viên kẹo, chia cho các chữ số bằng cách xếp kẹo và vách ngăn thành một hàng. Bước 1 (đổi về chia kẹo): hàng đầu ít nhất là 1, lấy trước 1 cho hàng đầu; còn 5 − 1 = 4 đơn vị chia cho 3 chữ số (4 < 9 nên không chữ số nào vượt quá 9). Bước 2 (xếp kẹo và vách): 4 viên kẹo và 3 − 1 = 2 vách: 4 + 2 = 6 chỗ. Bước 3 (chọn chỗ cho vách): chọn 2 chỗ trong 6 chỗ: (6 × 5) : (2 × 1) = 15. Vậy có 15 số.

Gieo hai con xúc xắc 100 lần, có 18 lần tổng số chấm bằng 8. Xác suất thực nghiệm của biến cố "tổng số chấm bằng 8" lớn hơn xác suất lí thuyết bao nhiêu? A. 37/450 B. 5/36 C. 37/900 D. 9/50

Đáp án: C. 37/900. Nhận dạng: so xác suất thực nghiệm với xác suất lí thuyết. Ý tưởng: tính riêng hai xác suất (lí thuyết đếm kết quả, thực nghiệm chia số lần) rồi trừ. Bước 1 (xác suất lí thuyết): 6 × 6 = 36 kết quả, thoả: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2): 5 kết quả; xác suất: 5/36. Bước 2 (xác suất thực nghiệm): 18/100 = 9/50. Bước 3 (hiệu): 9/50 − 5/36 = 162/900 − 125/900 = 37/900. Vậy lớn hơn 37/900.

Hai đa giác đều: đa giác thứ hai có nhiều hơn đa giác thứ nhất 1 cạnh, và mỗi góc trong của đa giác thứ hai lớn hơn mỗi góc trong của đa giác thứ nhất 12°. Tính mỗi góc trong của đa giác thứ hai. A. 5 B. 6 C. 7 D. 120

Đáp án: D. 120. Nhận dạng: hai đa giác đều, biết số cạnh hơn kém nhau và góc trong hơn kém nhau. Ý tưởng: góc trong hơn kém bao nhiêu thì góc ngoài kém hơn bấy nhiêu (góc trong + góc ngoài = 180°). Bước 1: Gọi n là số cạnh đa giác thứ nhất; đa giác thứ hai có n + 1 cạnh. Bước 2: Góc ngoài: 360 : n − 360 : (n + 1) = 12. Bước 3: Quy đồng: 360(n + 1) − 360n = 360 × 1 = 360 = 12 × n × (n + 1), nên n × (n + 1) = 360 : 12 = 30. Bước 4: Hai số tự nhiên hơn kém nhau 1 có tích 30: 5 × 6 = 30, nên n = 5. Bước 5: Đa giác thứ hai có 6 cạnh, góc ngoài 360° : 6 = 60°, góc trong 180° − 60° = 120°. Vậy mỗi góc trong của đa giác thứ hai là 120°. Mẹo: thử lại bằng góc trong của cả hai đa giác rồi lấy hiệu.

Tìm x biết (x − 7)/5 − (x − 4)/10 = 2. A. 30 B. 12 C. 10 D. −30

Đáp án: A. 30. Nhận dạng: phương trình bậc nhất có mẫu số. Ý tưởng: nhân hai vế với mẫu chung để mất mẫu, rồi bỏ ngoặc, chuyển vế. Bước 1: Mẫu chung 10, nhân hai vế với 10: 2(x − 7) − (x − 4) = 10 × 2 = 20. Bước 2: Bỏ ngoặc: 2x − 14 − x + 4 = 20, gom: x − 10 = 20. Bước 3: Chuyển vế (đổi dấu): x = 20 + 10 = 30. Vậy x = 30.

Một chú rô-bốt trên sân đi 65 m về hướng Nam, rồi 21 m về hướng Tây, rồi 17 m về hướng Bắc, rồi 7 m về hướng Đông. Lúc đó chú rô-bốt cách chỗ xuất phát bao nhiêu m (theo đường thẳng)? A. 50 B. 62 C. 74 D. 110

Đáp án: A. 50. Nhận dạng: đi nhiều đoạn theo các hướng Đông – Tây – Nam – Bắc, hỏi khoảng cách thẳng. Ý tưởng: gom các đoạn Đông – Tây thành một độ lệch ngang, Nam – Bắc thành một độ lệch dọc, rồi Pytago. Bước 1: Lệch ngang: 21 − 7 = 14 m (về hướng Tây); lệch dọc: 65 − 17 = 48 m (về hướng Nam). Bước 2: Hai độ lệch vuông góc, khoảng cách là cạnh huyền d: d × d = 14 × 14 + 48 × 48 = 196 + 2304 = 2500. Bước 3: 50 × 50 = 2500, nên d = 50 m. Vậy chú rô-bốt cách chỗ xuất phát 50 m.

Ghép 276 khối lập phương cạnh 1 cm thành một hình hộp chữ nhật đặc. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình hộp là bao nhiêu cm²? A. 346 B. 392 C. 1106 D. 1656

Đáp án: A. 346. Nhận dạng: biết thể tích hình hộp (số khối), tìm diện tích toàn phần nhỏ nhất. Ý tưởng: cùng thể tích, ba cạnh càng gần nhau thì diện tích toàn phần càng nhỏ (diện tích toàn phần = 2 × (ab + bc + ca) với a, b, c là ba cạnh). Bước 1: Ba cạnh a × b × c = 276. Bước 2: Bộ ba cạnh gần nhau nhất: 3 × 4 × 23 = 276 (bộ gần nhất kế tiếp 2 × 6 × 23). Bước 3: Diện tích toàn phần = 2 × (3 × 4 + 4 × 23 + 3 × 23) = 2 × (12 + 92 + 69) = 346. Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất là 346 cm². Mẹo: so lại bộ 2 × 6 × 23: 2 × (12 + 138 + 46) = 392, lớn hơn.

Rô-bốt đi theo các đường kẻ của lưới 5 × 4 ô vuông (5 hàng, 4 cột) từ A (góc dưới bên trái) đến B (góc trên bên phải), mỗi bước đi lên hoặc sang phải một cạnh ô. Đoạn PQ (P trên cạnh dưới, cách A 3 ô sang phải; Q ngay trên P) bị hỏng, không được đi qua. Có bao nhiêu đường đi?

Đáp án: 121. Nhận dạng: đếm đường đi trên lưới có chỗ cấm. Ý tưởng: lấy tất cả đường đi trừ các đường đi qua đoạn hỏng; đường qua PQ = (cách A đến P) × (cách Q đến B). Bước 1 (tất cả đường đi): chọn 4 lượt đi sang phải trong 5 + 4 = 9 lượt: (9 × 8 × 7 × 6) : (4 × 3 × 2 × 1) = 126. Bước 2 (đường qua đoạn PQ): A đến P: chỉ 1 cách (đi thẳng); Q đến B: chọn 1 lượt đi sang phải trong 4 + 1 = 5 lượt: 5 cách; nên có 5 đường. Bước 3 (trừ): 126 − 5 = 121. Vậy có 121 đường đi.

Đề thi FMO lớp 8 có đáp án, lời giải chi tiết

Q: Đề thi FMO lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng loại FMO lớp 8 có 21 câu, làm trong 60 phút, tối đa 100 điểm.

Q: Làm đề thi thử FMO lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề FMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.

Đề thi thử FMO lớp 8 (vòng loại) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 21 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu khởi động × 3 điểm; 5 câu tăng tốc × 5 điểm; 5 câu thử thách × 7 điểm; 1 câu ngôi sao hy vọng × 10 điểm. Trả lời sai bị trừ: ngôi sao hy vọng −10; bỏ trống không trừ. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi FMO.

Phần 1: Khởi động (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

Một tam giác có hai cạnh dài 28 cm và 13 cm, cạnh thứ ba dài x cm với x là số nguyên và x là số chẵn. Có bao nhiêu giá trị của x?
A triangle has two sides of 28 cm and 13 cm; the third side is x cm, where x is a whole number and x is even. How many values of x are possible?
1. A. 13
2. B. 26
3. C. 27
4. D. 40
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: A. 13

Nhận dạng: đếm cạnh nguyên của tam giác biết hai cạnh.
Ý tưởng: gọi x là độ dài cạnh thứ ba;
trong tam giác, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai cạnh kia.
Bước 1 (bất đẳng thức tam giác): 28 − 13 < x < 28 + 13, tức là 15 < x < 41.
Bước 2 (đếm số chẵn): x từ 16 đến 40, cách nhau 2: (40 − 16) : 2 + 1 = 13 giá trị.
Vậy có 13 giá trị của x.
Câu 23 điểm

Trung bình cộng của 5 số là 41. Biết 4 số trong đó là 41, 59, 37, 49. Tìm số còn lại.
The mean of 5 numbers is 41. Given that 4 of them are 41, 59, 37, 49, find the remaining number.
1. A. 18
2. B. 19
3. C. 24
4. D. 37
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. 19

Nhận dạng: biết trung bình cộng và các số còn lại, hỏi số chưa biết.
Ý tưởng: tổng tất cả các số = trung bình × số lượng, số còn lại = tổng trừ tổng các số đã biết.
Bước 1: Tổng của 5 số: 5 × 41 = 205.
Bước 2: Tổng các số đã biết: 41 + 59 + 37 + 49 = 186.
Bước 3: Số còn lại: 205 − 186 = 19.
Vậy số còn lại là 19.
Câu 33 điểm

Điểm M(5; y) là trung điểm của đoạn thẳng nối A(x; −10) và B(−1; −2). Tính x × y.
M(5, y) is the midpoint of A(x, −10) and B(−1, −2). Find xy.
1. A. −66
2. B. 66
3. C. −72
4. D. −30
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: A. −66

Nhận dạng: biết trung điểm, thiếu toạ độ ở cả trung điểm và đầu mút.
Ý tưởng: hoành độ trung điểm là trung bình cộng hai hoành độ, tung độ cũng vậy.
Bước 1: Hoành độ: 5 = (x + (−1)) : 2, nên x = 2 × 5 − (−1) = 11.
Bước 2: Tung độ: y = (−10 + (−2)) : 2 = −12 : 2 = −6.
Bước 3: x × y = 11 × (−6) = −66.
Vậy x × y = −66.
Câu 43 điểm

Vở loại nhỏ giá 3 nghìn đồng, vở loại lớn giá 20 nghìn đồng. Minh mua vở hết đúng 260 nghìn đồng (có thể không mua loại nào đó). Minh mua ít nhất bao nhiêu quyển vở?
Small notebooks cost 3 thousand dong, large ones 20 thousand. Minh spends exactly 260 thousand (possibly none of one kind). What is the least number of notebooks he can buy?
1. A. 12
2. B. 13
3. C. 14
4. D. 81
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: B. 13

Nhận dạng: phương trình px + qy = T với nghiệm nguyên không âm, hỏi tổng nhỏ nhất / lớn nhất.
Ý tưởng: liệt kê mọi nghiệm (y tăng thì x giảm đều), rồi chọn.
Bước 1: Gọi x, y là số vở nhỏ, lớn: 3x + 20y = 260, x, y ≥ 0.
Bước 2: Thử y, cần 260 − 20y chia hết cho 3: x = 0, y = 13 (13 quyển);
x = 20, y = 10 (30 quyển);
x = 40, y = 7 (47 quyển);
x = 60, y = 4 (64 quyển);
x = 80, y = 1 (81 quyển).
Bước 3: Mua nhiều vở lớn (đắt) thì ít quyển: x = 0, y = 13.
Vậy Minh mua ít nhất 13 quyển.
Câu 53 điểm

Đường tròn nội tiếp một tam giác đều có diện tích 4π cm². Tính diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
The inscribed circle of an equilateral triangle has area 4π cm². Find the area of the circumscribed circle.
1. A. 12π
2. B. 36π
3. C. 8π
4. D. 16π
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: D. 16π

Nhận dạng: tam giác đều với đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp.
Ý tưởng: hai đường tròn chung tâm G là trọng tâm;
G nằm trên đường cao, chia đường cao theo tỉ số 1 : 2 (r = h : 3, R = 2h : 3, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
Bước 1: Diện tích hình tròn nội tiếp = π × r × r = 4π, nên r × r = 4, r = 2 (cm).
Bước 2: R = 2r = 2 × 2 = 4 (cm).
Bước 3: Diện tích hình tròn ngoại tiếp = π × 4 × 4 = 16π (cm²).
Vậy diện tích đường tròn ngoại tiếp là 16π cm².
Mẹo: bán kính gấp 2 lần thì diện tích gấp 2 × 2 = 4 lần.
Câu 63 điểm

Biểu thức A = x² + 16x + 98 nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu?
For which x is A = x² + 16x + 98 smallest?
1. A. −8
2. B. 16
3. C. 8
4. D. −16
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: A. −8

Nhận dạng: tam thức bậc hai, hệ số của x² dương, hỏi nhỏ nhất.
Ý tưởng: hoàn thành bình phương A = a(x − h)² + m;
bình phương ≥ 0 nên A ≥ m.
Bước 1: Tách: x² + 16x + 64 là (x + 8)² (vì 8 × 8 = 64, 2 × 8 = 16).
Bước 2: A = (x + 8)² + 98 − 64 = (x + 8)² + 34.
Bước 3: (x + 8)² ≥ 0, bằng 0 khi x = −8;
nên A ≥ 34.
Vậy A nhỏ nhất khi x = −8.
Câu 73 điểm

Tổng của n số tự nhiên đầu tiên (bắt đầu từ 1) bằng 190. Tìm n.
The sum of the first n whole numbers (starting from 1) is 190. Find n.
1. A. 18
2. B. 19
3. C. 20
4. D. 21
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: B. 19

Nhận dạng: biết tổng 1 + 2 + … + n, tìm n.
Ý tưởng: cộng tổng xuôi với tổng ngược, mỗi cột bằng n + 1.
Bước 1: Viết 1 + 2 + … + n và n + … + 2 + 1 thẳng cột rồi cộng: mỗi cột bằng n + 1, có n cột, nên 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2.
Bước 2: n × (n + 1) = 2 × 190 = 380.
Bước 3: n × (n + 1) là tích hai số liên tiếp;
19 × 19 = 361 < 380 < 20 × 20 = 400, thử 19 × 20 = 380.
Vậy n = 19.
Câu 83 điểm

Khi xoay một trang giấy 180° (lộn ngược cả số), các chữ số 0, 1, 8 vẫn đọc là 0, 1, 8, còn 6 đọc thành 9 và 9 đọc thành 6. Số 6808 được viết trên trang giấy rồi xoay 180° thì đọc ra một số mới. Hiệu của số lớn và số bé trong hai số đó là bao nhiêu?
When a sheet of paper is turned 180° (the whole number upside down), the digits 0, 1, 8 are still read as 0, 1, 8, while 6 is read as 9 and 9 as 6. The number 6808 is written on a sheet which is then turned 180°, and a new number is read. What is the difference between the larger and the smaller of the two numbers?
1. A. 1278
2. B. 1281
3. C. 1368
4. D. 1371
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: B. 1281

Nhận dạng: xoay một số 180°, hỏi số mới hoặc hiệu, tổng của hai số.
Ý tưởng: xoay 180° thì thứ tự chữ số bị đảo ngược (chữ số đầu xuống cuối) và mỗi chữ số đổi theo quy tắc: 0, 1, 8 giữ nguyên, 6 thành 9, 9 thành 6.
Bước 1: Đảo thứ tự các chữ số của 6808: 8086.
Bước 2: Đổi từng chữ số (6 thành 9, 9 thành 6, các chữ số khác giữ nguyên): 8089.
Bước 3: Hiệu hai số: 8089 − 6808 = 1281.
Vậy hiệu là 1281.
Câu 93 điểm

Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của 4500?
How many positive divisors does 4500 have?
1. A. 8
2. B. 10
3. C. 12
4. D. 36
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: D. 36

Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn.
Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 4500 : 2 = 2250, 2250 : 2 = 1125, 1125 : 3 = 375, 375 : 3 = 125, 125 : 5 = 25, 25 : 5 = 5, 5 : 5 = 1.
Vậy 4500 = 2² × 3² × 5³.
Bước 2: Mỗi ước là tích các thừa số đó với số mũ không lớn hơn: số mũ của 2 chọn từ 0 đến 2: 3 cách;
số mũ của 3 chọn từ 0 đến 2: 3 cách;
số mũ của 5 chọn từ 0 đến 3: 4 cách.
Bước 3: Số ước = (2 + 1) × (2 + 1) × (3 + 1) = 3 × 3 × 4 = 36.
Vậy 4500 có 36 ước.
Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.
Câu 103 điểm

Dãy số lặp lại mãi như sau: −2, −7, −7, 4, −2, −7, −7, … Tính tổng của 2026 số hạng đầu tiên.
The sequence below repeats forever: −2, −7, −7, 4, −2, −7, −7, … Find the sum of the first 2026 terms.
1. A. −6081
2. B. −6088
3. C. −6084
4. D. −6072
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: A. −6081

Nhận dạng: dãy số lặp theo chu kỳ, hỏi tổng của rất nhiều số hạng đầu.
Ý tưởng: tìm nhóm số lặp lại, tính tổng một nhóm, chia số số hạng thành các nhóm đủ và phần dư.
Bước 1: Số thứ 5 bằng số thứ nhất (−2), số thứ 6 bằng số thứ hai, … nên dãy lặp lại theo nhóm 4 số: −2, −7, −7, 4.
Bước 2: Tổng một nhóm: −2 − 7 − 7 + 4 = −12.
Bước 3: 2026 : 4 = 506 dư 2, tức là 506 nhóm đủ rồi thêm 2 số đầu của nhóm.
Bước 4: 2 số đầu của nhóm có tổng −2 − 7 = −9.
Tổng cần tìm: 506 × (−12) − 9 = −6072 − 9 = −6081.
Vậy tổng của 2026 số hạng đầu là −6081.

Phần 2: Tăng tốc (5 câu × 5 điểm)

Câu 115 điểm

Cho x, y thoả mãn hệ: 9x − y = 127 (1) và −7y + 6x = 91 (2). Tính 2xy.
x and y satisfy the system 9x − y = 127 (1) and −7y + 6x = 91 (2). Find 2xy.
1. A. 14
2. B. −27
3. C. −28
4. D. 28
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: C. −28

Nhận dạng: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong (1) ẩn y có hệ số −1.
Ý tưởng: rút y từ (1) rồi thế vào (2), còn phương trình một ẩn x.
Bước 1: Từ (1): y = 9x − 127.
Bước 2: Thế vào (2): 6x − 7(9x − 127) = 91.
Bước 3: 6x − 63x + 889 = 91, tức là −57x = −798, x = (−798) : (−57) = 14.
Bước 4: y = 9 × 14 − 127 = −1.
Bước 5: 2xy = 2 × 14 × (−1) = −28.
Vậy 2xy = −28.
Câu 125 điểm

Một đoàn tàu dài 250 m đi qua hết một người đi bộ (coi như một điểm) trong 25 giây, người đi bộ đi cùng chiều với tàu (tàu nhanh hơn) và có vận tốc 4 km/h. Tính vận tốc của đoàn tàu (km/h).
A train 250 m long passes a pedestrian (treat as a point) completely in 25 seconds. The pedestrian travels in the same direction as the train (the train is faster), at 4 km/h. Find the speed of the train in km/h.
1. A. 10 km/h
2. B. 36 km/h
3. C. 40 km/h
4. D. 32 km/h
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: C. 40 km/h

Nhận dạng: biết chiều dài tàu và thời gian đi qua, hỏi vận tốc tàu.
Ý tưởng: vận tốc tương đối = chiều dài tàu : thời gian, ngược chiều thì vận tốc tương đối là tổng, cùng chiều là hiệu.
Bước 1: Gọi v là vận tốc tàu (km/h), vận tốc tương đối là 250 : 25 = 10 m/s.
Bước 2: Đổi sang km/h: 10 × 18/5 = 36 km/h.
Bước 3: Cùng chiều, tàu nhanh hơn nên v − 4 = 36.
Bước 4: v = 36 + 4 = 40 km/h.
Vậy vận tốc đoàn tàu là 40 km/h.
Câu 135 điểm

Tính giá trị dương của phân số liên tục vô hạn x = 9 + 90/(9 + 90/(9 + 90/(9 + …))).
Let x > 0 with x = 9 + 90/(9 + 90/(9 + 90/(9 + …))) (repeating forever). Find x.
1. A. 6
2. B. 15
3. C. 16
4. D. 90
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: B. 15

Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, mẫu số lặp lại đúng biểu thức ban đầu.
Ý tưởng: mẫu của phân số đầu tiên chính là x;
được phương trình bậc hai.
Bước 1: x = 9 + 90/x.
Bước 2: Nhân hai vế với x: x² = 9x + 90, tức là x² − 9x − 90 = 0.
Bước 3: Hai số có tích −90, tổng 9: 15 và −6, nên (x − 15)(x + 6) = 0.
Bước 4: x > 0 nên loại −6, x = 15.
Vậy x = 15.
Câu 145 điểm

Những hình sau xếp bằng que diêm: Hình 1 là một tam giác nhỏ (3 que), hình 2 là tam giác lớn gồm 2 hàng tam giác nhỏ (9 que), hình 3 gồm 3 hàng (18 que), cứ thế tiếp tục. Hình thứ 17 dùng bao nhiêu que diêm?
These figures are made of matchsticks: Figure 1 is one small triangle (3 sticks), figure 2 is a large triangle with 2 rows of small triangles (9 sticks), figure 3 has 3 rows (18 sticks), and so on. How many matchsticks does figure 17 use?
1. A. 289
2. B. 408
3. C. 459
4. D. 513
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: C. 459

Nhận dạng: dãy hình xếp bằng que diêm, số que tăng theo bậc hai (không tăng đều), hỏi hình ở xa.
Ý tưởng: gọi n là số thứ tự của hình, đếm que theo từng hàng để tìm công thức theo n rồi thay n.
Bước 1: Số que ba hình đầu là 3, 9, 18;
hiệu 6 và 9 không bằng nhau nên số que không tăng đều.
Bước 2: Đếm que: hình thứ n là tam giác lớn gồm n hàng tam giác nhỏ, mỗi hướng có 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2 que, có 3 hướng;
số que = 3 × n × (n + 1) : 2.
Bước 3: Thử lại với hình 3: 3 × 3 × 4 : 2 = 18, khớp.
Bước 4: Hình thứ 17: 3 × 17 × 18 : 2 = 459.
Vậy hình thứ 17 dùng 459 que.
Câu 155 điểm

Mật khẩu của Lan là một số có 3 chữ số (chữ số đầu khác 0) có tổng các chữ số bằng 5. Có bao nhiêu mật khẩu như vậy?
Lan's password is a 3-digit number (not starting with 0) whose digit sum is 5. How many such passwords are there?
1. A. 10
2. B. 15
3. C. 20
4. D. 21
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: B. 15

Nhận dạng: đếm số có 3 chữ số có tổng các chữ số cho trước.
Ý tưởng: coi mỗi đơn vị là một viên kẹo, chia cho các chữ số bằng cách xếp kẹo và vách ngăn thành một hàng.
Bước 1 (đổi về chia kẹo): hàng đầu ít nhất là 1, lấy trước 1 cho hàng đầu;
còn 5 − 1 = 4 đơn vị chia cho 3 chữ số (4 < 9 nên không chữ số nào vượt quá 9).
Bước 2 (xếp kẹo và vách): 4 viên kẹo và 3 − 1 = 2 vách: 4 + 2 = 6 chỗ.
Bước 3 (chọn chỗ cho vách): chọn 2 chỗ trong 6 chỗ: (6 × 5) : (2 × 1) = 15.
Vậy có 15 số.

Phần 3: Thử thách (5 câu × 7 điểm)

Câu 167 điểm

Gieo hai con xúc xắc 100 lần, có 18 lần tổng số chấm bằng 8. Xác suất thực nghiệm của biến cố "tổng số chấm bằng 8" lớn hơn xác suất lí thuyết bao nhiêu?
Two dice are rolled 100 times; the total is 8 in 18 of these rolls. By how much is the experimental probability of this event greater than the theoretical probability?
1. A. 37/450
2. B. 5/36
3. C. 37/900
4. D. 9/50
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: C. 37/900

Nhận dạng: so xác suất thực nghiệm với xác suất lí thuyết.
Ý tưởng: tính riêng hai xác suất (lí thuyết đếm kết quả, thực nghiệm chia số lần) rồi trừ.
Bước 1 (xác suất lí thuyết): 6 × 6 = 36 kết quả, thoả: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2): 5 kết quả;
xác suất: 5/36.
Bước 2 (xác suất thực nghiệm): 18/100 = 9/50.
Bước 3 (hiệu): 9/50 − 5/36 = 162/900 − 125/900 = 37/900.
Vậy lớn hơn 37/900.
Câu 177 điểm

Hai đa giác đều: đa giác thứ hai có nhiều hơn đa giác thứ nhất 1 cạnh, và mỗi góc trong của đa giác thứ hai lớn hơn mỗi góc trong của đa giác thứ nhất 12°. Tính mỗi góc trong của đa giác thứ hai.
Two regular polygons: the second has 1 more side than the first, and each interior angle of the second is 12° larger than each interior angle of the first. Find each interior angle of the second polygon.
1. A. 5
2. B. 6
3. C. 7
4. D. 120
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: D. 120

Nhận dạng: hai đa giác đều, biết số cạnh hơn kém nhau và góc trong hơn kém nhau.
Ý tưởng: góc trong hơn kém bao nhiêu thì góc ngoài kém hơn bấy nhiêu (góc trong + góc ngoài = 180°).
Bước 1: Gọi n là số cạnh đa giác thứ nhất;
đa giác thứ hai có n + 1 cạnh.
Bước 2: Góc ngoài: 360 : n − 360 : (n + 1) = 12.
Bước 3: Quy đồng: 360(n + 1) − 360n = 360 × 1 = 360 = 12 × n × (n + 1), nên n × (n + 1) = 360 : 12 = 30.
Bước 4: Hai số tự nhiên hơn kém nhau 1 có tích 30: 5 × 6 = 30, nên n = 5.
Bước 5: Đa giác thứ hai có 6 cạnh, góc ngoài 360° : 6 = 60°, góc trong 180° − 60° = 120°.
Vậy mỗi góc trong của đa giác thứ hai là 120°.
Mẹo: thử lại bằng góc trong của cả hai đa giác rồi lấy hiệu.
Câu 187 điểm

Tìm x biết (x − 7)/5 − (x − 4)/10 = 2.
Solve the equation (x − 7)/5 − (x − 4)/10 = 2.
1. A. 30
2. B. 12
3. C. 10
4. D. −30
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: A. 30

Nhận dạng: phương trình bậc nhất có mẫu số.
Ý tưởng: nhân hai vế với mẫu chung để mất mẫu, rồi bỏ ngoặc, chuyển vế.
Bước 1: Mẫu chung 10, nhân hai vế với 10: 2(x − 7) − (x − 4) = 10 × 2 = 20.
Bước 2: Bỏ ngoặc: 2x − 14 − x + 4 = 20, gom: x − 10 = 20.
Bước 3: Chuyển vế (đổi dấu): x = 20 + 10 = 30.
Vậy x = 30.
Câu 197 điểm

Một chú rô-bốt trên sân đi 65 m về hướng Nam, rồi 21 m về hướng Tây, rồi 17 m về hướng Bắc, rồi 7 m về hướng Đông. Lúc đó chú rô-bốt cách chỗ xuất phát bao nhiêu m (theo đường thẳng)?
A robot on a field moves 65 m south, then 21 m west, then 17 m north, then 7 m east. How far from the starting point is the robot now, in a straight line, in m?
1. A. 50
2. B. 62
3. C. 74
4. D. 110
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: A. 50

Nhận dạng: đi nhiều đoạn theo các hướng Đông – Tây – Nam – Bắc, hỏi khoảng cách thẳng.
Ý tưởng: gom các đoạn Đông – Tây thành một độ lệch ngang, Nam – Bắc thành một độ lệch dọc, rồi Pytago.
Bước 1: Lệch ngang: 21 − 7 = 14 m (về hướng Tây);
lệch dọc: 65 − 17 = 48 m (về hướng Nam).
Bước 2: Hai độ lệch vuông góc, khoảng cách là cạnh huyền d: d × d = 14 × 14 + 48 × 48 = 196 + 2304 = 2500.
Bước 3: 50 × 50 = 2500, nên d = 50 m.
Vậy chú rô-bốt cách chỗ xuất phát 50 m.
Câu 207 điểm

Ghép 276 khối lập phương cạnh 1 cm thành một hình hộp chữ nhật đặc. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hình hộp là bao nhiêu cm²?
276 unit cubes (edge 1 cm) are put together to form one solid cuboid. What is the smallest possible total surface area, in cm²?
1. A. 346
2. B. 392
3. C. 1106
4. D. 1656
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: A. 346

Nhận dạng: biết thể tích hình hộp (số khối), tìm diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Ý tưởng: cùng thể tích, ba cạnh càng gần nhau thì diện tích toàn phần càng nhỏ (diện tích toàn phần = 2 × (ab + bc + ca) với a, b, c là ba cạnh).
Bước 1: Ba cạnh a × b × c = 276.
Bước 2: Bộ ba cạnh gần nhau nhất: 3 × 4 × 23 = 276 (bộ gần nhất kế tiếp 2 × 6 × 23).
Bước 3: Diện tích toàn phần = 2 × (3 × 4 + 4 × 23 + 3 × 23) = 2 × (12 + 92 + 69) = 346.
Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất là 346 cm².
Mẹo: so lại bộ 2 × 6 × 23: 2 × (12 + 138 + 46) = 392, lớn hơn.

Phần 4: Ngôi sao hy vọng (1 câu × 10 điểm)

Câu 2110 điểm · sai trừ 10

Rô-bốt đi theo các đường kẻ của lưới 5 × 4 ô vuông (5 hàng, 4 cột) từ A (góc dưới bên trái) đến B (góc trên bên phải), mỗi bước đi lên hoặc sang phải một cạnh ô. Đoạn PQ (P trên cạnh dưới, cách A 3 ô sang phải; Q ngay trên P) bị hỏng, không được đi qua. Có bao nhiêu đường đi?
A robot walks along the lines of a 5 × 4 grid (5 rows, 4 columns) from A (bottom left) to B (top right), each step going up or right along one side of a square. Segment PQ is broken and cannot be used (P is on the bottom side, 3 squares right of A; Q is directly above P). How many routes are there?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 121

Nhận dạng: đếm đường đi trên lưới có chỗ cấm.
Ý tưởng: lấy tất cả đường đi trừ các đường đi qua đoạn hỏng;
đường qua PQ = (cách A đến P) × (cách Q đến B).
Bước 1 (tất cả đường đi): chọn 4 lượt đi sang phải trong 5 + 4 = 9 lượt: (9 × 8 × 7 × 6) : (4 × 3 × 2 × 1) = 126.
Bước 2 (đường qua đoạn PQ): A đến P: chỉ 1 cách (đi thẳng);
Q đến B: chọn 1 lượt đi sang phải trong 4 + 1 = 5 lượt: 5 cách;
nên có 5 đường.
Bước 3 (trừ): 126 − 5 = 121.
Vậy có 121 đường đi.

Đáp án đề thi FMO lớp 8

Câu	Đáp án
Câu 1	A. 13
Câu 2	B. 19
Câu 3	A. −66
Câu 4	B. 13
Câu 5	D. 16π
Câu 6	A. −8
Câu 7	B. 19
Câu 8	B. 1281
Câu 9	D. 36
Câu 10	A. −6081
Câu 11	C. −28
Câu 12	C. 40 km/h
Câu 13	B. 15
Câu 14	C. 459
Câu 15	B. 15
Câu 16	C. 37/900
Câu 17	D. 120
Câu 18	A. 30
Câu 19	A. 50
Câu 20	A. 346
Câu 21	121

Đề thi khác

Đề FMO khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Đề lớp 8 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức FMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi FMO lớp 8 có bao nhiêu câu?