Ghép 5 hình chữ nhật nhỏ bằng nhau thành một hình chữ nhật lớn: 4 hình đứng cạnh nhau ở dưới, 1 hình nằm ngang ở trên, vừa khít (như hình). Chu vi hình lớn là 36 cm. Tính chu vi một hình chữ nhật nhỏ. A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 E. 22

Đáp án: C. 20. Nhận dạng: hình lớn ghép từ các hình chữ nhật bằng nhau. Ý tưởng: đặt cạnh ngắn của hình nhỏ là a, viết mọi cạnh theo a. Bước 1: Gọi a là chiều rộng (cạnh ngắn), b là chiều dài hình nhỏ. Hình nằm trên dài bằng 4 chiều rộng: b = 4 × a. Bước 2: Hình lớn rộng b = 4a, cao b + a = 5a; chu vi = (4a + 5a) × 2 = 18a. Bước 3: 18a = 36, a = 36 : 18 = 2 cm, b = 4 × 2 = 8 cm. Bước 4: Chu vi hình nhỏ = (2 + 8) × 2 = 20 cm. Vậy chu vi một hình nhỏ là 20 cm.

Nam đi ô tô từ A đến B với vận tốc 40 km/h rồi từ B về A theo đường cũ với vận tốc 60 km/h. Quãng đường một chiều dài 60 km. Cả hành trình Nam đi hết bao nhiêu phút? A. 140 B. 148 C. 150 D. 160 E. 180

Đáp án: C. 150. Nhận dạng: hai chiều cùng quãng đường, hỏi tổng thời gian. Ý tưởng: thời gian mỗi chiều = quãng đường : vận tốc; cộng hai thời gian rồi đổi ra phút. Bước 1 (chiều thứ nhất): 60 : 40 = 1,5 giờ = 90 phút. Bước 2 (chiều thứ hai): 60 : 60 = 1 giờ = 60 phút. Bước 3 (tổng thời gian): 90 + 60 = 150 phút. Vậy cả hành trình hết 150 phút.

Số có 10 chữ số 4010493a74 chia hết cho 22. Tìm chữ số a. A. 1 B. 4 C. 6 D. 11 E. 16

Đáp án: C. 6. Nhận dạng: tìm chữ số a để số chia hết cho 22. Ý tưởng: tách 22 = 2 × 11; dùng dấu hiệu chia hết cho 11 (hiệu tổng các chữ số ở vị trí lẻ và chẵn) cùng dấu hiệu còn lại. Bước 1: 22 = 2 × 11, nên số phải chia hết cho cả 2 và 11. Bước 2: Số chia hết cho 2: chữ số cuối là 4, luôn thoả. Bước 3: Đánh số vị trí từ phải sang (hàng đơn vị là vị trí 1). Tổng các chữ số ở vị trí lẻ: 4 + a + 9 + 0 + 0 = a + 13; ở vị trí chẵn: 7 + 3 + 4 + 1 + 4 = 19. Hiệu = (a + 13) − 19 = a − 6 phải chia hết cho 11 (bằng 0, 11, −11, …): a = 6 (hiệu bằng 0). Bước 4: Chữ số thoả mọi điều kiện là a = 6. Vậy a = 6. Mẹo: số chia hết cho 11 khi tổng chữ số vị trí lẻ trừ tổng chữ số vị trí chẵn chia hết cho 11 (kể cả bằng 0).

Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của 1701? A. 2 B. 8 C. 12 D. 16 E. 22

Đáp án: C. 12. Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn. Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 1701 : 3 = 567, 567 : 3 = 189, 189 : 3 = 63, 63 : 3 = 21, 21 : 3 = 7, 7 : 7 = 1. Vậy 1701 = 3⁵ × 7. Bước 2: Mỗi ước có dạng tích các thừa số đó: số mũ của 3 chọn từ 0 đến 5: 6 cách; số mũ của 7 chọn từ 0 đến 1: 2 cách. Bước 3: Số ước = (5 + 1) × (1 + 1) = 6 × 2 = 12. Vậy 1701 có 12 ước. Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.

Cho a² + 1/a² = 12. Tính a⁴ + 1/a⁴. A. 140 B. 142 C. 144 D. 145 E. 146

Đáp án: B. 142. Nhận dạng: biết a² + 1/a², hỏi a⁴ + 1/a⁴. Ý tưởng: coi a² là một số, a² × 1/a² = 1, bình phương hai vế như với a + 1/a. Bước 1: Bình phương hai vế: (a² + 1/a²)² = 12² = 144. Bước 2: a⁴ + 2 + 1/a⁴ = 144, nên a⁴ + 1/a⁴ = 144 − 2 = 142. Vậy a⁴ + 1/a⁴ = 142.

Đồ thị cho biết khoảng cách từ nhà đến chỗ Hà đang đạp xe (km) theo thời gian (phút). Trong cả chuyến đi, Hà dừng lại tổng cộng bao nhiêu phút? A. 25 B. 28 C. 30 D. 32 E. 35

Đáp án: C. 30. Nhận dạng: đọc đồ thị quãng đường – thời gian. Ý tưởng: đoạn nằm ngang là lúc dừng (khoảng cách không đổi); đọc thời gian đầu và cuối mỗi đoạn. Bước 1 (lần dừng thứ nhất): từ phút 30 đến phút 40: 10 phút. Bước 2 (lần dừng thứ hai): từ phút 50 đến phút 70: 20 phút. Bước 3 (cộng): 10 + 20 = 30. Vậy Hà dừng tổng cộng 30 phút.

Một cây cứ mỗi năm mọc thêm cành mới: năm đầu mọc 5 cành, mỗi năm sau số cành mới gấp 2 lần năm trước. Sau 6 năm, cây đã mọc tất cả bao nhiêu cành? A. 295 B. 305 C. 315 D. 325 E. 335

Đáp án: C. 315. Nhận dạng: tổng mà mỗi số gấp 2 lần số đứng trước. Ý tưởng: nhân tổng với 2 rồi trừ tổng ban đầu, các số ở giữa mất đi. Bước 1: Gọi S là tổng số cành mới mỗi năm: S = 5 + 10 + 20 + … + 160 (6 số, số cuối 5 × 2⁵ = 160). Bước 2: Nhân với 2: 2 × S = 10 + 20 + … + 160 + 320 (mỗi số dời sang phải một chỗ). Bước 3: Trừ hai dòng, các số giống nhau mất đi: 2 × S − S = 320 − 5, tức là S = 315 cành. Vậy có 315 cành.

Trong phép cộng đặt tính ABB + BBC = 1654, mỗi chữ cái là một chữ số (A, B khác 0; các chữ không bắt buộc khác nhau). Tính A + B + C. A. 17 B. 21 C. 22 D. 23 E. 24

Đáp án: C. 22. Nhận dạng: phép cộng chữ, tổng là số đã biết. Ý tưởng: tách hàng để được một đẳng thức, rồi thử từng giá trị của chữ có hệ số lớn. Bước 1 (tách hàng): ABB = 100 × A + 11 × B, BBC = 110 × B + C, nên 100 × A + 121 × B + C = 1654. Bước 2: 1654 − 121 × B = 100 × A + C, với C từ 0 đến 9, nên hai chữ số cuối của 1654 − 121 × B tạo thành số từ 0 đến 9. Bước 3 (giới hạn B): A từ 1 đến 9, C từ 0 đến 9 nên 100 × A + C từ 100 đến 909; vì vậy 121 × B không quá 1654 − 100 = 1554 và không dưới 1654 − 909 = 745, tức là B từ 7 đến 9. Bước 4 (thử B): với B = 7 … 9, 1654 − 121 × B lần lượt là 807, 686, 565; chỉ 807 có dạng A0C (bằng 100 × A + C), nên B = 7. Bước 5: 807 = 100 × 8 + 7, nên A = 8, C = 7. Bước 6: A + B + C = 8 + 7 + 7 = 22. Vậy A + B + C = 22.

Có 25 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 25. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 2 tấm thẻ. Tính xác suất để cả hai số trên thẻ đều là bội của 4. Viết xác suất thành phân số tối giản a/b. Tính a + b. A. 11 B. 16 C. 21 D. 26 E. 31

Đáp án: C. 21. Nhận dạng: rút 2 thẻ, xác suất cả hai thẻ thoả điều kiện. Ý tưởng: xác suất = số cách rút 2 thẻ thoả : số cách rút 2 thẻ bất kì. Bước 1 (thẻ thoả): 4, 8, 12, 16, 20, 24: 6 thẻ. Bước 2 (rút 2 trong 6 thẻ thoả): (6 × 5) : (2 × 1) = 15; rút 2 trong 25 thẻ: (25 × 24) : (2 × 1) = 300. Bước 3 (xác suất): 15/300 = 1/20. Bước 4 (tính a + b): a = 1, b = 20, a + b = 21. Vậy a + b = 21.

Tính tổng: 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … + 37 × 38 A. 18273 B. 18275 C. 18278 D. 18281 E. 18283

Đáp án: C. 18278. Nhận dạng: tổng các tích hai số liên tiếp. Ý tưởng: nhân mỗi tích với 3 để viết thành hiệu hai tích ba số liên tiếp, các tích ở giữa mất đi. Bước 1: Gọi m là số nhỏ của một tích: m × (m + 1) × 3 = m × (m + 1) × (m + 2) − (m − 1) × m × (m + 1). Bước 2: Nhân cả tổng với 3 rồi cộng các hiệu: các tích ở giữa mất đi, còn 37 × 38 × 39 = 54834. Bước 3: Tổng: 54834 : 3 = 18278. Vậy tổng bằng 18278.

Có 6 thẻ số 0, 1, 3, 5, 8, 9. An, Chi và Nam mỗi bạn chọn 2 thẻ ghép thành một số có hai chữ số (chữ số 0 không đứng đầu), không thẻ nào dùng hai lần. Biết số của An là số nguyên tố; số của Chi là số chính phương; số của Nam chia hết cho 18. Số của Nam là bao nhiêu? A. 18 B. 81 C. 89 D. 90 E. 91

Đáp án: D. 90. Nhận dạng: ghép thẻ số, mỗi bạn một số theo điều kiện chia hết. Ý tưởng: liệt kê số thoả từng điều kiện, bắt đầu từ bạn có ít khả năng nhất, rồi xét các thẻ còn lại. Bước 1: Chi (là số chính phương): 81; Nam (chia hết cho 18): 18, 90; An (là số nguyên tố): 13, 19, 31, 53, 59, 83, 89. Bước 2: Thử từng khả năng của Chi: Nếu Chi là 81: còn 0, 3, 5, 9; Nam = 90 thì còn 3, 5: An = 53 (đúng). Vậy số của Nam là 90.

Có bao nhiêu số nguyên a thoả mãn |2a + 10| + |2a − 11| = 21? A. 10 B. 11 C. 12 D. 21 E. 22

Đáp án: B. 11. Nhận dạng: phương trình chứa hai giá trị tuyệt đối. Ý tưởng: |a − p| là khoảng cách từ a tới p trên trục số, tổng hai khoảng cách tới hai mốc nhỏ nhất bằng khoảng cách giữa hai mốc. Bước 1: Coi 2a là một số: |2a + 10| là khoảng cách từ 2a tới −10, |2a − 11| là khoảng cách từ 2a tới 11. Bước 2: Hai mốc −10 và 11 cách nhau 11 − (−10) = 21, đúng bằng vế phải, nên −10 ≤ 2a ≤ 11. Chia cho 2: −5 ≤ a ≤ 11/2, với 11/2 = 5,5. Bước 3: Số nguyên a từ −5 đến 5: 5 − (−5) + 1 = 11 số. Vậy có 11 số.

Gập đôi một tờ giấy hình vuông theo nếp dọc 1 lần, rồi theo nếp ngang 2 lần (mỗi lần gập đôi cả xấp). Cắt thẳng 2 đường ngang, mỗi đường cắt đi hết từ mép này sang mép kia của xấp giấy và không trùng nếp gập. Mở ra, tờ giấy bị cắt thành bao nhiêu mảnh? A. 4 B. 7 C. 9 D. 11 E. 14

Đáp án: C. 9. Nhận dạng: gập giấy theo nếp thẳng rồi cắt đường thẳng hết bề xấp giấy. Ý tưởng: mỗi đường cắt đi qua mọi lớp, mở ra thành nhiều đường chạy hết tờ giấy. Bước 1 (đường dọc): không cắt đường dọc nào, nên mở ra có 0 đường dọc. Bước 2 (đường ngang): gập ngang 2 lần chia tờ giấy thành 4 hàng, nên 2 đường cắt ngang mở ra thành 2 × 4 = 8 đường ngang. Bước 3: 0 đường dọc chia tờ giấy thành 0 + 1 = 1 dải dọc; 8 đường ngang chia mỗi dải thành 8 + 1 = 9 mảnh. Bước 4: số mảnh: 1 × 9 = 9. Vậy mở ra có 9 mảnh.

Sơn giá 80 nghìn đồng một lít (mua được cả phần lẻ của lít). Cứ 4 lít sơn thì sơn được 30 m² tường. Với 900 nghìn đồng mua sơn, sơn được nhiều nhất bao nhiêu mét vuông tường (lấy số nguyên)? A. 11 B. 81 C. 83 D. 84 E. 85

Đáp án: D. 84. Nhận dạng: đổi qua nhiều bước (tiền → lượng mua → sản phẩm), hỏi nhiều nhất. Ý tưởng: tính lượng mua được, đổi ra sản phẩm, chỉ lấy phần nguyên. Bước 1 (lượng mua): 900 : 80 không chia hết nên để nguyên phép chia (không làm tròn): mua được 900 : 80 lít sơn. Bước 2 (đổi ra sản phẩm): 4 lít sơn 30 m², nên số m² là (900 : 80) : 4 × 30 = 900 × 30 : (80 × 4) = 27000 : 320. Bước 3: 27000 : 320 = 84 (dư 120). Bước 4: chỉ tính phần nguyên nên nhiều nhất là 84 m². Vậy được nhiều nhất 84 m². Mẹo: không làm tròn lên, vì phần dư chưa đủ cho thêm 1 m².

Tính nhanh: 34² − 16². A. 324 B. 450 C. 900 D. 901 E. 950

Đáp án: C. 900. Nhận dạng: hiệu hai bình phương, hai số có tổng tròn 50. Ý tưởng: a² − b² = (a − b) × (a + b): hiệu hai bình phương bằng hiệu nhân tổng. Bước 1: Hiệu hai số: 34 − 16 = 18, tổng hai số: 34 + 16 = 50. Bước 2: 34² − 16² = 18 × 50 = 900. Vậy 34² − 16² = 900.

Chữ số viết kiểu đồng hồ điện tử (như hình). Đặt gương đứng bên cạnh: trong gương, thứ tự chữ số bị đảo ngược và mỗi chữ số bị lật trái phải; 0, 1, 8 vẫn như cũ (coi số 1 là một vạch đứng), 2 thành 5, 5 thành 2, các chữ số khác không còn là chữ số. Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà soi gương vẫn thấy đúng số đó?

Đáp án: 4. Nhận dạng: số kiểu điện tử soi gương. Ý tưởng: trong gương thứ tự chữ số đảo ngược và mỗi chữ số đổi: 0, 1, 8 giữ nguyên, 2 ↔ 5. Bước 1: chỉ dùng được 0, 1, 2, 5, 8; vì thứ tự đảo ngược, chữ số đầu phải là ảnh gương của chữ số cuối, chữ số thứ hai là ảnh gương của chữ số áp cuối, cứ thế vào giữa. Bước 2: chữ số đầu (khác 0) và chữ số cuối: 1 và 1, 8 và 8, 2 và 5, 5 và 2: 4 cách. Bước 3: đó là các số 11, 25, 52, 88. Vậy có 4 số.

Tìm giá trị lớn nhất của B = −a² + 10a + 10.

Đáp án: 35. Nhận dạng: biểu thức bậc hai, hệ số của a² âm, hỏi giá trị lớn nhất. Ý tưởng: viết thành số − (bình phương), bình phương ≥ 0 nên lớn nhất khi bình phương bằng 0. Bước 1: Đặt −1 chung ở hai hạng tử đầu: B = −(a² − 10a) + 10. Bước 2: a² − 10a = (a − 5)² − 25, nên B = −(a − 5)² + 25 + 10 = 35 − (a − 5)². Bước 3: (a − 5)² ≥ 0 nên B ≤ 35, dấu bằng khi a = 5. Vậy giá trị lớn nhất của B là 35.

Biết a² + 6a − 40 = (a + m)(a − n) với m, n là số nguyên dương. Tính m + n.

Đáp án: 14. Nhận dạng: tam thức a² + pa + q viết dạng (a + m)(a − n). Ý tưởng: (a + m)(a + n) = a² + (m + n)a + mn, nên cần hai số m, n có tổng bằng hệ số của a, tích bằng số hạng tự do. Bước 1: (a + m)(a − n) = a² + (m − n)a − mn, nên m − n = 6, mn = 40. Bước 2: Hai số có tích −40, tổng 6: −1 và 40 (tổng 39), −2 và 20 (tổng 18), −4 và 10 (tổng 6). Bước 3: a² + 6a − 40 = (a − 4)(a + 10), m, n dương nên m = 10, n = 4. Bước 4: m + n = 10 + 4 = 14. Vậy m + n = 14.

Từ 3:30 đến 11:45 (cùng ngày, giờ tính theo 24 giờ; hai đầu mút không tính), kim giờ và kim phút của đồng hồ nằm trên một đường thẳng (ngược chiều nhau) bao nhiêu lần?

Đáp án: 8. Nhận dạng: đếm số lần hai kim gặp / vuông / thẳng hàng trong một khoảng thời gian. Ý tưởng: dùng d (góc từ kim phút tới kim giờ) giảm đều 5,5° mỗi phút; mỗi lần d đi qua một giá trị đặc biệt là một lần xảy ra. Bước 1 (d đầu và cuối): lúc 3:30, d = 30 × 3 − 5,5 × 30 = −75°, cộng 360 cho dương: 285°; thời gian 495 phút nên d giảm 495 × 5,5 = 2722,5°, d cuối = −2437,5°. Bước 2 (giá trị đặc biệt): hai kim nằm trên một đường thẳng (ngược chiều nhau) khi d thuộc −180, 180 cộng hoặc trừ bội của 360. Bước 3 (đếm): các giá trị nằm giữa −2437,5 và 285: 180, −180, −540, −900, −1260, −1620, −1980, −2340; có 8 giá trị. Vậy hai kim nằm trên một đường thẳng (ngược chiều nhau) 8 lần.

Tam giác ABC có góc B = 70°, góc C = 70°. Điểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao cho góc ABD = 30°, góc ACE = 40°. BD cắt CE tại K. Tính góc DKE.

Đáp án: 110. Nhận dạng: hai đoạn thẳng cắt nhau trong tam giác. Ý tưởng: tính hai góc của tam giác KBC, rồi dùng tổng ba góc và góc đối đỉnh. Bước 1: Góc KBC = góc B − góc ABD = 70° − 30° = 40°; góc KCB = góc C − góc ACE = 70° − 40° = 30°. Bước 2: Trong tam giác KBC: góc BKC = 180° − 40° − 30° = 110°. Bước 3: Góc DKE và góc BKC là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau. Vậy góc DKE = 110°.

Tìm chữ số tận cùng của A = 7 + 7² + 7³ + … + 7²⁶.

Đáp án: 6. Nhận dạng: tổng các luỹ thừa liên tiếp của cùng một số. Ý tưởng: chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ, gom mỗi chu kỳ thành một nhóm. Bước 1: Chữ số tận cùng của 7, 7², 7³, … lặp lại theo chu kỳ 4 số: 7, 9, 3, 1. Bước 2: Mỗi nhóm 4 số hạng liên tiếp có tổng chữ số tận cùng 7 + 9 + 3 + 1 = 20, tận cùng 0. Bước 3: 26 = 4 × 6 + 2: 6 nhóm đủ (tận cùng 0) và 2 số hạng cuối 7²⁵, 7²⁶ có tận cùng 7 + 9 = 16. Vậy A có chữ số tận cùng là 6.

Quanh một hồ có 11 lá sen đánh số 1, 2, …, 11 theo chiều kim đồng hồ (sau lá 11 là lá 1). Chú ếch đang ở lá 7; mỗi lần nhảy, ếch tiến 5 lá theo chiều kim đồng hồ (ví dụ lần đầu từ lá 7 sang lá 1). Sau 2387 lần nhảy, ếch ở lá số mấy?

Đáp án: 7. Nhận dạng: ếch nhảy vòng quanh 11 lá sen, hỏi sau rất nhiều lần nhảy. Ý tưởng: cứ 11 lá thì vòng về lá cũ; chỉ cần số dư khi chia cho 11. Bước 1 (mỗi lần nhảy): mỗi lần số thứ tự lá tăng 5; nếu vượt quá 11 thì trừ 11 (đi hết một vòng). Bước 2 (tổng số lá đã qua): 2387 × 5 = 11935; cộng lá xuất phát 7: 7 + 11935 = 11942. Bước 3 (bỏ các vòng đầy đủ): 11942 : 11 = 1085 dư 7. Bước 4 (lá cần tìm): dư 7 nên ếch ở lá số 7. Vậy sau 2387 lần nhảy, ếch ở lá số 7.

Hình khai triển của một hình hộp chữ nhật (như hình) có hàng ngang dài 18 cm, đoạn đứng từ mép trên mặt nắp tới mép dưới hàng ngang dài 17 cm và cả hình cao 25 cm. Tính thể tích hình hộp.

Đáp án: 72. Nhận dạng: từ hình khai triển tìm ba kích thước. Ý tưởng: gọi a, b, c là chiều dài, chiều rộng, chiều cao; mỗi đoạn trên hình là tổng vài kích thước. Bước 1: Hàng ngang gồm 4 mặt bên: 2 × (a + b) = 18, nên a + b = 9. Bước 2: Đoạn đứng gồm nắp và một mặt bên: b + c = 17; cả hình gồm nắp, mặt bên, đáy: b + c + b = 25. Bước 3: b = 25 − 17 = 8; c = 17 − 8 = 9; a = 9 − 8 = 1. Bước 4: Thể tích = 1 × 8 × 9 = 72 cm³. Vậy thể tích là 72 cm³.

Mỗi hình ♡, □, △ là một số nguyên dương. Biết ♡ + □ = 9, 2♡ + □ = 12 và ♡ + □ + △ = 22. Tính □ + △ − ♡.

Đáp án: 16. Nhận dạng: ba hình; hai dòng chỉ có hai hình, dòng thứ ba có thêm hình còn lại. Ý tưởng: giải hai hình trước từ hai dòng đầu, rồi thế vào dòng ba tìm hình cuối. Bước 1 (chuẩn bị): hai dòng đã gọn, giữ nguyên. Bước 2 (khử một hình): lấy dòng 2 trừ dòng 1 (□ mất đi): 2♡ − ♡ = 12 − 9, tức ♡ = 3. Bước 3 (hình □): thay ♡ = 3 vào dòng 1 ban đầu: □ = 9 − 3 = 6. Bước 4 (hình △): từ dòng ba, △ = 22 − 1 × 3 − 1 × 6 = 13. Bước 5 (kết quả): □ + △ − ♡ = 6 + 13 − 3 = 16. Vậy □ + △ − ♡ = 16.

Trong hộp có 4 tấm thẻ trắng, 19 tấm thẻ tím, 8 tấm thẻ đỏ. Không nhìn vào hộp, phải lấy ra ít nhất bao nhiêu tấm thẻ để chắc chắn có 12 tấm thẻ cùng màu?

Đáp án: 24. Nhận dạng: trường hợp xấu nhất, cần k vật cùng màu (màu nào cũng được). Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy 12 − 1 = 11; màu nào ít hơn thì lấy hết. Bước 1 (mỗi màu): trắng: hết 4, tím: 11, đỏ: hết 8. Bước 2 (cộng): 4 + 11 + 8 = 23. Bước 3 (thêm 1): 23 + 1 = 24. Vậy phải lấy ít nhất 24 tấm thẻ.

Đề thi AMO lớp 7 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử AMO lớp 7 (vòng quốc gia) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 15 câu phần a — trắc nghiệm × 3 điểm; 5 câu phần b — điền đáp án × 5 điểm; 5 câu phần c — điền đáp án × 6 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi AMO.

Phần 1: Phần A — trắc nghiệm (15 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

5 equal small rectangles form a big rectangle: 4 standing side by side at the bottom and 1 lying across the top (see figure). The big rectangle has perimeter 36 cm. Find the perimeter of one small rectangle in cm.
Ghép 5 hình chữ nhật nhỏ bằng nhau thành một hình chữ nhật lớn: 4 hình đứng cạnh nhau ở dưới, 1 hình nằm ngang ở trên, vừa khít (như hình). Chu vi hình lớn là 36 cm. Tính chu vi một hình chữ nhật nhỏ.
1. A. 18
2. B. 19
3. C. 20
4. D. 21
5. E. 22
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: C. 20

Nhận dạng: hình lớn ghép từ các hình chữ nhật bằng nhau.
Ý tưởng: đặt cạnh ngắn của hình nhỏ là a, viết mọi cạnh theo a.
Bước 1: Gọi a là chiều rộng (cạnh ngắn), b là chiều dài hình nhỏ.
Hình nằm trên dài bằng 4 chiều rộng: b = 4 × a.
Bước 2: Hình lớn rộng b = 4a, cao b + a = 5a;
chu vi = (4a + 5a) × 2 = 18a.
Bước 3: 18a = 36, a = 36 : 18 = 2 cm, b = 4 × 2 = 8 cm.
Bước 4: Chu vi hình nhỏ = (2 + 8) × 2 = 20 cm.
Vậy chu vi một hình nhỏ là 20 cm.
Câu 23 điểm

Nam drives from A to B at 40 km/h and then back along the same road at 60 km/h. The one-way distance is 60 km. How many minutes does the whole trip take?
Nam đi ô tô từ A đến B với vận tốc 40 km/h rồi từ B về A theo đường cũ với vận tốc 60 km/h. Quãng đường một chiều dài 60 km. Cả hành trình Nam đi hết bao nhiêu phút?
1. A. 140
2. B. 148
3. C. 150
4. D. 160
5. E. 180
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: C. 150

Nhận dạng: hai chiều cùng quãng đường, hỏi tổng thời gian.
Ý tưởng: thời gian mỗi chiều = quãng đường : vận tốc;
cộng hai thời gian rồi đổi ra phút.
Bước 1 (chiều thứ nhất): 60 : 40 = 1,5 giờ = 90 phút.
Bước 2 (chiều thứ hai): 60 : 60 = 1 giờ = 60 phút.
Bước 3 (tổng thời gian): 90 + 60 = 150 phút.
Vậy cả hành trình hết 150 phút.
Câu 33 điểm

The 10-digit number 4010493a74 is divisible by 22. Find the digit a.
Số có 10 chữ số 4010493a74 chia hết cho 22. Tìm chữ số a.
1. A. 1
2. B. 4
3. C. 6
4. D. 11
5. E. 16
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 6

Nhận dạng: tìm chữ số a để số chia hết cho 22.
Ý tưởng: tách 22 = 2 × 11;
dùng dấu hiệu chia hết cho 11 (hiệu tổng các chữ số ở vị trí lẻ và chẵn) cùng dấu hiệu còn lại.
Bước 1: 22 = 2 × 11, nên số phải chia hết cho cả 2 và 11.
Bước 2: Số chia hết cho 2: chữ số cuối là 4, luôn thoả.
Bước 3: Đánh số vị trí từ phải sang (hàng đơn vị là vị trí 1).
Tổng các chữ số ở vị trí lẻ: 4 + a + 9 + 0 + 0 = a + 13;
ở vị trí chẵn: 7 + 3 + 4 + 1 + 4 = 19.
Hiệu = (a + 13) − 19 = a − 6 phải chia hết cho 11 (bằng 0, 11, −11, …): a = 6 (hiệu bằng 0).
Bước 4: Chữ số thoả mọi điều kiện là a = 6.
Vậy a = 6.
Mẹo: số chia hết cho 11 khi tổng chữ số vị trí lẻ trừ tổng chữ số vị trí chẵn chia hết cho 11 (kể cả bằng 0).
Câu 43 điểm

How many positive divisors does 1701 have?
Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của 1701?
1. A. 2
2. B. 8
3. C. 12
4. D. 16
5. E. 22
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: C. 12

Nhận dạng: đếm số ước của một số lớn.
Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi ước là một cách chọn số mũ cho từng thừa số.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 1701 : 3 = 567, 567 : 3 = 189, 189 : 3 = 63, 63 : 3 = 21, 21 : 3 = 7, 7 : 7 = 1.
Vậy 1701 = 3⁵ × 7.
Bước 2: Mỗi ước có dạng tích các thừa số đó: số mũ của 3 chọn từ 0 đến 5: 6 cách;
số mũ của 7 chọn từ 0 đến 1: 2 cách.
Bước 3: Số ước = (5 + 1) × (1 + 1) = 6 × 2 = 12.
Vậy 1701 có 12 ước.
Mẹo: số ước bằng tích các (số mũ + 1), lỗi hay sai là cộng các số mũ thay vì nhân.
Câu 53 điểm

Given a² + 1/a² = 12, find a⁴ + 1/a⁴.
Cho a² + 1/a² = 12. Tính a⁴ + 1/a⁴.
1. A. 140
2. B. 142
3. C. 144
4. D. 145
5. E. 146
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: B. 142

Nhận dạng: biết a² + 1/a², hỏi a⁴ + 1/a⁴.
Ý tưởng: coi a² là một số, a² × 1/a² = 1, bình phương hai vế như với a + 1/a.
Bước 1: Bình phương hai vế: (a² + 1/a²)² = 12² = 144.
Bước 2: a⁴ + 2 + 1/a⁴ = 144, nên a⁴ + 1/a⁴ = 144 − 2 = 142.
Vậy a⁴ + 1/a⁴ = 142.
Câu 63 điểm

The graph shows Ha's distance from home (km) against time (minutes). For how many minutes in total did Ha stop?
Đồ thị cho biết khoảng cách từ nhà đến chỗ Hà đang đạp xe (km) theo thời gian (phút). Trong cả chuyến đi, Hà dừng lại tổng cộng bao nhiêu phút?
1. A. 25
2. B. 28
3. C. 30
4. D. 32
5. E. 35
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: C. 30

Nhận dạng: đọc đồ thị quãng đường – thời gian.
Ý tưởng: đoạn nằm ngang là lúc dừng (khoảng cách không đổi);
đọc thời gian đầu và cuối mỗi đoạn.
Bước 1 (lần dừng thứ nhất): từ phút 30 đến phút 40: 10 phút.
Bước 2 (lần dừng thứ hai): từ phút 50 đến phút 70: 20 phút.
Bước 3 (cộng): 10 + 20 = 30.
Vậy Hà dừng tổng cộng 30 phút.
Câu 73 điểm

A tree grows new branches every year: 5 in the first year, and each year after that 2 times as many new branches as the year before. How many branches has it grown after 6 years?
Một cây cứ mỗi năm mọc thêm cành mới: năm đầu mọc 5 cành, mỗi năm sau số cành mới gấp 2 lần năm trước. Sau 6 năm, cây đã mọc tất cả bao nhiêu cành?
1. A. 295
2. B. 305
3. C. 315
4. D. 325
5. E. 335
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 315

Nhận dạng: tổng mà mỗi số gấp 2 lần số đứng trước.
Ý tưởng: nhân tổng với 2 rồi trừ tổng ban đầu, các số ở giữa mất đi.
Bước 1: Gọi S là tổng số cành mới mỗi năm: S = 5 + 10 + 20 + … + 160 (6 số, số cuối 5 × 2⁵ = 160).
Bước 2: Nhân với 2: 2 × S = 10 + 20 + … + 160 + 320 (mỗi số dời sang phải một chỗ).
Bước 3: Trừ hai dòng, các số giống nhau mất đi: 2 × S − S = 320 − 5, tức là S = 315 cành.
Vậy có 315 cành.
Câu 83 điểm

In the addition ABB + BBC = 1654, each letter is a digit (A, B non-zero; letters need not be different). Find A + B + C.
Trong phép cộng đặt tính ABB + BBC = 1654, mỗi chữ cái là một chữ số (A, B khác 0; các chữ không bắt buộc khác nhau). Tính A + B + C.
1. A. 17
2. B. 21
3. C. 22
4. D. 23
5. E. 24
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: C. 22

Nhận dạng: phép cộng chữ, tổng là số đã biết.
Ý tưởng: tách hàng để được một đẳng thức, rồi thử từng giá trị của chữ có hệ số lớn.
Bước 1 (tách hàng): ABB = 100 × A + 11 × B, BBC = 110 × B + C, nên 100 × A + 121 × B + C = 1654.
Bước 2: 1654 − 121 × B = 100 × A + C, với C từ 0 đến 9, nên hai chữ số cuối của 1654 − 121 × B tạo thành số từ 0 đến 9.
Bước 3 (giới hạn B): A từ 1 đến 9, C từ 0 đến 9 nên 100 × A + C từ 100 đến 909;
vì vậy 121 × B không quá 1654 − 100 = 1554 và không dưới 1654 − 909 = 745, tức là B từ 7 đến 9.
Bước 4 (thử B): với B = 7 … 9, 1654 − 121 × B lần lượt là 807, 686, 565;
chỉ 807 có dạng A0C (bằng 100 × A + C), nên B = 7.
Bước 5: 807 = 100 × 8 + 7, nên A = 8, C = 7.
Bước 6: A + B + C = 8 + 7 + 7 = 22.
Vậy A + B + C = 22.
Câu 93 điểm

There are 25 cards numbered 1 to 25. Two cards are drawn at random. Find the probability that both numbers are multiples of 4. Write the probability as a fraction a/b in lowest terms. Find a + b.
Có 25 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 25. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 2 tấm thẻ. Tính xác suất để cả hai số trên thẻ đều là bội của 4. Viết xác suất thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.
1. A. 11
2. B. 16
3. C. 21
4. D. 26
5. E. 31
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: C. 21

Nhận dạng: rút 2 thẻ, xác suất cả hai thẻ thoả điều kiện.
Ý tưởng: xác suất = số cách rút 2 thẻ thoả : số cách rút 2 thẻ bất kì.
Bước 1 (thẻ thoả): 4, 8, 12, 16, 20, 24: 6 thẻ.
Bước 2 (rút 2 trong 6 thẻ thoả): (6 × 5) : (2 × 1) = 15;
rút 2 trong 25 thẻ: (25 × 24) : (2 × 1) = 300.
Bước 3 (xác suất): 15/300 = 1/20.
Bước 4 (tính a + b): a = 1, b = 20, a + b = 21.
Vậy a + b = 21.
Câu 103 điểm

Compute 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … + 37 × 38
Tính tổng: 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … + 37 × 38
1. A. 18273
2. B. 18275
3. C. 18278
4. D. 18281
5. E. 18283
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 18278

Nhận dạng: tổng các tích hai số liên tiếp.
Ý tưởng: nhân mỗi tích với 3 để viết thành hiệu hai tích ba số liên tiếp, các tích ở giữa mất đi.
Bước 1: Gọi m là số nhỏ của một tích: m × (m + 1) × 3 = m × (m + 1) × (m + 2) − (m − 1) × m × (m + 1).
Bước 2: Nhân cả tổng với 3 rồi cộng các hiệu: các tích ở giữa mất đi, còn 37 × 38 × 39 = 54834.
Bước 3: Tổng: 54834 : 3 = 18278.
Vậy tổng bằng 18278.
Câu 113 điểm

There are 6 cards 0, 1, 3, 5, 8, 9. An, Chi and Nam each take 2 cards to make a 2-digit number (0 cannot be the first digit), using every card once. An's number is a prime number. Chi's number is a perfect square. Nam's number is divisible by 18. What is Nam's number?
Có 6 thẻ số 0, 1, 3, 5, 8, 9. An, Chi và Nam mỗi bạn chọn 2 thẻ ghép thành một số có hai chữ số (chữ số 0 không đứng đầu), không thẻ nào dùng hai lần. Biết số của An là số nguyên tố; số của Chi là số chính phương; số của Nam chia hết cho 18. Số của Nam là bao nhiêu?
1. A. 18
2. B. 81
3. C. 89
4. D. 90
5. E. 91
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: D. 90

Nhận dạng: ghép thẻ số, mỗi bạn một số theo điều kiện chia hết.
Ý tưởng: liệt kê số thoả từng điều kiện, bắt đầu từ bạn có ít khả năng nhất, rồi xét các thẻ còn lại.
Bước 1: Chi (là số chính phương): 81;
Nam (chia hết cho 18): 18, 90;
An (là số nguyên tố): 13, 19, 31, 53, 59, 83, 89.
Bước 2: Thử từng khả năng của Chi:
Nếu Chi là 81: còn 0, 3, 5, 9;
Nam = 90 thì còn 3, 5: An = 53 (đúng).
Vậy số của Nam là 90.
Câu 123 điểm

How many integers a satisfy |2a + 10| + |2a − 11| = 21?
Có bao nhiêu số nguyên a thoả mãn |2a + 10| + |2a − 11| = 21?
1. A. 10
2. B. 11
3. C. 12
4. D. 21
5. E. 22
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: B. 11

Nhận dạng: phương trình chứa hai giá trị tuyệt đối.
Ý tưởng: |a − p| là khoảng cách từ a tới p trên trục số, tổng hai khoảng cách tới hai mốc nhỏ nhất bằng khoảng cách giữa hai mốc.
Bước 1: Coi 2a là một số: |2a + 10| là khoảng cách từ 2a tới −10, |2a − 11| là khoảng cách từ 2a tới 11.
Bước 2: Hai mốc −10 và 11 cách nhau 11 − (−10) = 21, đúng bằng vế phải, nên −10 ≤ 2a ≤ 11.
Chia cho 2: −5 ≤ a ≤ 11/2, với 11/2 = 5,5.
Bước 3: Số nguyên a từ −5 đến 5: 5 − (−5) + 1 = 11 số.
Vậy có 11 số.
Câu 133 điểm

A square sheet is folded in half once along vertical folds, then twice along horizontal folds (each time folding the whole stack). Then 2 horizontal lines are cut straight across the whole stack, not along any crease. How many pieces are there when the sheet is unfolded?
Gập đôi một tờ giấy hình vuông theo nếp dọc 1 lần, rồi theo nếp ngang 2 lần (mỗi lần gập đôi cả xấp). Cắt thẳng 2 đường ngang, mỗi đường cắt đi hết từ mép này sang mép kia của xấp giấy và không trùng nếp gập. Mở ra, tờ giấy bị cắt thành bao nhiêu mảnh?
1. A. 4
2. B. 7
3. C. 9
4. D. 11
5. E. 14
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 9

Nhận dạng: gập giấy theo nếp thẳng rồi cắt đường thẳng hết bề xấp giấy.
Ý tưởng: mỗi đường cắt đi qua mọi lớp, mở ra thành nhiều đường chạy hết tờ giấy.
Bước 1 (đường dọc): không cắt đường dọc nào, nên mở ra có 0 đường dọc.
Bước 2 (đường ngang): gập ngang 2 lần chia tờ giấy thành 4 hàng, nên 2 đường cắt ngang mở ra thành 2 × 4 = 8 đường ngang.
Bước 3: 0 đường dọc chia tờ giấy thành 0 + 1 = 1 dải dọc;
8 đường ngang chia mỗi dải thành 8 + 1 = 9 mảnh.
Bước 4: số mảnh: 1 × 9 = 9.
Vậy mở ra có 9 mảnh.
Câu 143 điểm

Paint costs 80 thousand dong per litre (any amount can be bought). Every 4 litres cover 30 m² of wall. With 900 thousand dong for paint, at most how many whole square metres can be painted?
Sơn giá 80 nghìn đồng một lít (mua được cả phần lẻ của lít). Cứ 4 lít sơn thì sơn được 30 m² tường. Với 900 nghìn đồng mua sơn, sơn được nhiều nhất bao nhiêu mét vuông tường (lấy số nguyên)?
1. A. 11
2. B. 81
3. C. 83
4. D. 84
5. E. 85
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: D. 84

Nhận dạng: đổi qua nhiều bước (tiền → lượng mua → sản phẩm), hỏi nhiều nhất.
Ý tưởng: tính lượng mua được, đổi ra sản phẩm, chỉ lấy phần nguyên.
Bước 1 (lượng mua): 900 : 80 không chia hết nên để nguyên phép chia (không làm tròn): mua được 900 : 80 lít sơn.
Bước 2 (đổi ra sản phẩm): 4 lít sơn 30 m², nên số m² là (900 : 80) : 4 × 30 = 900 × 30 : (80 × 4) = 27000 : 320.
Bước 3: 27000 : 320 = 84 (dư 120).
Bước 4: chỉ tính phần nguyên nên nhiều nhất là 84 m².
Vậy được nhiều nhất 84 m².
Mẹo: không làm tròn lên, vì phần dư chưa đủ cho thêm 1 m².
Câu 153 điểm

Compute quickly: 34² − 16².
Tính nhanh: 34² − 16².
1. A. 324
2. B. 450
3. C. 900
4. D. 901
5. E. 950
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: C. 900

Nhận dạng: hiệu hai bình phương, hai số có tổng tròn 50.
Ý tưởng: a² − b² = (a − b) × (a + b): hiệu hai bình phương bằng hiệu nhân tổng.
Bước 1: Hiệu hai số: 34 − 16 = 18, tổng hai số: 34 + 16 = 50.
Bước 2: 34² − 16² = 18 × 50 = 900.
Vậy 34² − 16² = 900.

Phần 2: Phần B — điền đáp án (5 câu × 5 điểm)

Câu 165 điểm

Digits are written as on a digital clock (see picture). A mirror stands beside the number: in the mirror the order of the digits is reversed and each digit is flipped left to right; 0, 1, 8 stay the same (treat 1 as a single vertical bar), 2 becomes 5, 5 becomes 2, other digits are no longer digits. How many 2-digit numbers look exactly the same in the mirror?
Chữ số viết kiểu đồng hồ điện tử (như hình). Đặt gương đứng bên cạnh: trong gương, thứ tự chữ số bị đảo ngược và mỗi chữ số bị lật trái phải; 0, 1, 8 vẫn như cũ (coi số 1 là một vạch đứng), 2 thành 5, 5 thành 2, các chữ số khác không còn là chữ số. Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà soi gương vẫn thấy đúng số đó?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: 4

Nhận dạng: số kiểu điện tử soi gương.
Ý tưởng: trong gương thứ tự chữ số đảo ngược và mỗi chữ số đổi: 0, 1, 8 giữ nguyên, 2 ↔ 5.
Bước 1: chỉ dùng được 0, 1, 2, 5, 8;
vì thứ tự đảo ngược, chữ số đầu phải là ảnh gương của chữ số cuối, chữ số thứ hai là ảnh gương của chữ số áp cuối, cứ thế vào giữa.
Bước 2: chữ số đầu (khác 0) và chữ số cuối: 1 và 1, 8 và 8, 2 và 5, 5 và 2: 4 cách.
Bước 3: đó là các số 11, 25, 52, 88.
Vậy có 4 số.
Câu 175 điểm

Find the maximum value of B = −a² + 10a + 10.
Tìm giá trị lớn nhất của B = −a² + 10a + 10.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: 35

Nhận dạng: biểu thức bậc hai, hệ số của a² âm, hỏi giá trị lớn nhất.
Ý tưởng: viết thành số − (bình phương), bình phương ≥ 0 nên lớn nhất khi bình phương bằng 0.
Bước 1: Đặt −1 chung ở hai hạng tử đầu: B = −(a² − 10a) + 10.
Bước 2: a² − 10a = (a − 5)² − 25, nên B = −(a − 5)² + 25 + 10 = 35 − (a − 5)².
Bước 3: (a − 5)² ≥ 0 nên B ≤ 35, dấu bằng khi a = 5.
Vậy giá trị lớn nhất của B là 35.
Câu 185 điểm

Given a² + 6a − 40 = (a + m)(a − n) with positive integers m, n, find m + n.
Biết a² + 6a − 40 = (a + m)(a − n) với m, n là số nguyên dương. Tính m + n.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: 14

Nhận dạng: tam thức a² + pa + q viết dạng (a + m)(a − n).
Ý tưởng: (a + m)(a + n) = a² + (m + n)a + mn, nên cần hai số m, n có tổng bằng hệ số của a, tích bằng số hạng tự do.
Bước 1: (a + m)(a − n) = a² + (m − n)a − mn, nên m − n = 6, mn = 40.
Bước 2: Hai số có tích −40, tổng 6: −1 và 40 (tổng 39), −2 và 20 (tổng 18), −4 và 10 (tổng 6).
Bước 3: a² + 6a − 40 = (a − 4)(a + 10), m, n dương nên m = 10, n = 4.
Bước 4: m + n = 10 + 4 = 14.
Vậy m + n = 14.
Câu 195 điểm

From 3:30 to 11:45 (same day, 24-hour time; the two end moments do not count), how many times do the hour hand and the minute hand lie on one straight line (pointing in opposite directions)?
Từ 3:30 đến 11:45 (cùng ngày, giờ tính theo 24 giờ; hai đầu mút không tính), kim giờ và kim phút của đồng hồ nằm trên một đường thẳng (ngược chiều nhau) bao nhiêu lần?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: 8

Nhận dạng: đếm số lần hai kim gặp / vuông / thẳng hàng trong một khoảng thời gian.
Ý tưởng: dùng d (góc từ kim phút tới kim giờ) giảm đều 5,5° mỗi phút;
mỗi lần d đi qua một giá trị đặc biệt là một lần xảy ra.
Bước 1 (d đầu và cuối): lúc 3:30, d = 30 × 3 − 5,5 × 30 = −75°, cộng 360 cho dương: 285°;
thời gian 495 phút nên d giảm 495 × 5,5 = 2722,5°, d cuối = −2437,5°.
Bước 2 (giá trị đặc biệt): hai kim nằm trên một đường thẳng (ngược chiều nhau) khi d thuộc −180, 180 cộng hoặc trừ bội của 360.
Bước 3 (đếm): các giá trị nằm giữa −2437,5 và 285: 180, −180, −540, −900, −1260, −1620, −1980, −2340;
có 8 giá trị.
Vậy hai kim nằm trên một đường thẳng (ngược chiều nhau) 8 lần.
Câu 205 điểm

Triangle ABC has angle B = 70° and angle C = 70°. D is on AC and E is on AB with angle ABD = 30° and angle ACE = 40°. BD meets CE at K. Find angle DKE.
Tam giác ABC có góc B = 70°, góc C = 70°. Điểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao cho góc ABD = 30°, góc ACE = 40°. BD cắt CE tại K. Tính góc DKE.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: 110

Nhận dạng: hai đoạn thẳng cắt nhau trong tam giác.
Ý tưởng: tính hai góc của tam giác KBC, rồi dùng tổng ba góc và góc đối đỉnh.
Bước 1: Góc KBC = góc B − góc ABD = 70° − 30° = 40°;
góc KCB = góc C − góc ACE = 70° − 40° = 30°.
Bước 2: Trong tam giác KBC: góc BKC = 180° − 40° − 30° = 110°.
Bước 3: Góc DKE và góc BKC là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau.
Vậy góc DKE = 110°.

Phần 3: Phần C — điền đáp án (5 câu × 6 điểm)

Câu 216 điểm

Find the units digit of A = 7 + 7² + 7³ + … + 7²⁶.
Tìm chữ số tận cùng của A = 7 + 7² + 7³ + … + 7²⁶.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 6

Nhận dạng: tổng các luỹ thừa liên tiếp của cùng một số.
Ý tưởng: chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ, gom mỗi chu kỳ thành một nhóm.
Bước 1: Chữ số tận cùng của 7, 7², 7³, … lặp lại theo chu kỳ 4 số: 7, 9, 3, 1.
Bước 2: Mỗi nhóm 4 số hạng liên tiếp có tổng chữ số tận cùng 7 + 9 + 3 + 1 = 20, tận cùng 0.
Bước 3: 26 = 4 × 6 + 2: 6 nhóm đủ (tận cùng 0) và 2 số hạng cuối 7²⁵, 7²⁶ có tận cùng 7 + 9 = 16.
Vậy A có chữ số tận cùng là 6.
Câu 226 điểm

11 lily pads numbered 1, 2, ..., 11 lie around a pond in clockwise order (after pad 11 comes pad 1). A frog sits on pad 7; each jump moves it 5 pads clockwise (so the first jump takes it from pad 7 to pad 1). After 2387 jumps, which pad is the frog on?
Quanh một hồ có 11 lá sen đánh số 1, 2, …, 11 theo chiều kim đồng hồ (sau lá 11 là lá 1). Chú ếch đang ở lá 7; mỗi lần nhảy, ếch tiến 5 lá theo chiều kim đồng hồ (ví dụ lần đầu từ lá 7 sang lá 1). Sau 2387 lần nhảy, ếch ở lá số mấy?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 7

Nhận dạng: ếch nhảy vòng quanh 11 lá sen, hỏi sau rất nhiều lần nhảy.
Ý tưởng: cứ 11 lá thì vòng về lá cũ;
chỉ cần số dư khi chia cho 11.
Bước 1 (mỗi lần nhảy): mỗi lần số thứ tự lá tăng 5;
nếu vượt quá 11 thì trừ 11 (đi hết một vòng).
Bước 2 (tổng số lá đã qua): 2387 × 5 = 11935;
cộng lá xuất phát 7: 7 + 11935 = 11942.
Bước 3 (bỏ các vòng đầy đủ): 11942 : 11 = 1085 dư 7.
Bước 4 (lá cần tìm): dư 7 nên ếch ở lá số 7.
Vậy sau 2387 lần nhảy, ếch ở lá số 7.
Câu 236 điểm

The net of a cuboid (see figure) has a horizontal strip 18 cm long; from the top edge of the lid to the bottom of the strip is 17 cm and the whole net is 25 cm tall. Find the volume in cm³.
Hình khai triển của một hình hộp chữ nhật (như hình) có hàng ngang dài 18 cm, đoạn đứng từ mép trên mặt nắp tới mép dưới hàng ngang dài 17 cm và cả hình cao 25 cm. Tính thể tích hình hộp.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 72

Nhận dạng: từ hình khai triển tìm ba kích thước.
Ý tưởng: gọi a, b, c là chiều dài, chiều rộng, chiều cao;
mỗi đoạn trên hình là tổng vài kích thước.
Bước 1: Hàng ngang gồm 4 mặt bên: 2 × (a + b) = 18, nên a + b = 9.
Bước 2: Đoạn đứng gồm nắp và một mặt bên: b + c = 17;
cả hình gồm nắp, mặt bên, đáy: b + c + b = 25.
Bước 3: b = 25 − 17 = 8;
c = 17 − 8 = 9;
a = 9 − 8 = 1.
Bước 4: Thể tích = 1 × 8 × 9 = 72 cm³.
Vậy thể tích là 72 cm³.
Câu 246 điểm

Each shape ♡, □, △ stands for a positive integer. ♡ + □ = 9, 2♡ + □ = 12 and ♡ + □ + △ = 22. Find □ + △ − ♡.
Mỗi hình ♡, □, △ là một số nguyên dương. Biết ♡ + □ = 9, 2♡ + □ = 12 và ♡ + □ + △ = 22. Tính □ + △ − ♡.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 16

Nhận dạng: ba hình;
hai dòng chỉ có hai hình, dòng thứ ba có thêm hình còn lại.
Ý tưởng: giải hai hình trước từ hai dòng đầu, rồi thế vào dòng ba tìm hình cuối.
Bước 1 (chuẩn bị): hai dòng đã gọn, giữ nguyên.
Bước 2 (khử một hình): lấy dòng 2 trừ dòng 1 (□ mất đi): 2♡ − ♡ = 12 − 9, tức ♡ = 3.
Bước 3 (hình □): thay ♡ = 3 vào dòng 1 ban đầu: □ = 9 − 3 = 6.
Bước 4 (hình △): từ dòng ba, △ = 22 − 1 × 3 − 1 × 6 = 13.
Bước 5 (kết quả): □ + △ − ♡ = 6 + 13 − 3 = 16.
Vậy □ + △ − ♡ = 16.
Câu 256 điểm

A box has 4 white, 19 purple, 8 red cards. Without looking, at least how many must be taken to be sure of 12 of the same colour?
Trong hộp có 4 tấm thẻ trắng, 19 tấm thẻ tím, 8 tấm thẻ đỏ. Không nhìn vào hộp, phải lấy ra ít nhất bao nhiêu tấm thẻ để chắc chắn có 12 tấm thẻ cùng màu?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 24

Nhận dạng: trường hợp xấu nhất, cần k vật cùng màu (màu nào cũng được).
Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy 12 − 1 = 11;
màu nào ít hơn thì lấy hết.
Bước 1 (mỗi màu): trắng: hết 4, tím: 11, đỏ: hết 8.
Bước 2 (cộng): 4 + 11 + 8 = 23.
Bước 3 (thêm 1): 23 + 1 = 24.
Vậy phải lấy ít nhất 24 tấm thẻ.

Đáp án đề thi AMO lớp 7

Câu	Đáp án
Câu 1	C. 20
Câu 2	C. 150
Câu 3	C. 6
Câu 4	C. 12
Câu 5	B. 142
Câu 6	C. 30
Câu 7	C. 315
Câu 8	C. 22
Câu 9	C. 21
Câu 10	C. 18278
Câu 11	D. 90
Câu 12	B. 11
Câu 13	C. 9
Câu 14	D. 84
Câu 15	C. 900
Câu 16	4
Câu 17	35
Câu 18	14
Câu 19	8
Câu 20	110
Câu 21	6
Câu 22	7
Câu 23	72
Câu 24	16
Câu 25	24

Đề thi khác

Đề AMO khối khác: Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 8 · Lớp 9

Đề lớp 7 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức AMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi AMO lớp 7 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia AMO lớp 7 có 25 câu, làm trong 90 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử AMO lớp 7 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề AMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.