Kim phút của một đồng hồ treo tường dài 10,5 cm. Trong 11 giờ liền, đầu kim phút đi được quãng đường bao nhiêu xăng-ti-mét? (lấy π = 22/7) A. 724 B. 725 C. 726 D. 727 E. 728

Đáp án: C. 726. Nhận dạng: hỏi quãng đường đầu kim đồng hồ đi được. Ý tưởng: đầu kim vẽ một đường tròn bán kính bằng độ dài kim; quãng đường = số vòng × chu vi 2 × π × r. Bước 1 (số vòng): kim phút quay 1 vòng trong 1 giờ nên trong 11 giờ quay 11 vòng. Bước 2 (chu vi): 2 × 22/7 × 10,5 = 66 cm. Bước 3 (quãng đường): 11 × 66 = 726 cm. Vậy đầu kim phút đi được 726 cm.

Chữ số hàng đơn vị của số 87²⁶⁷ là bao nhiêu? A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 E. 9

Đáp án: B. 3. Nhận dạng: chữ số tận cùng của luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: chữ số tận cùng của các luỹ thừa lặp lại theo chu kỳ. Bước 1: Chỉ cần chữ số tận cùng của cơ số 87, là 7. Bước 2: Nhân dần, chỉ giữ chữ số cuối: 7 × 7 = 49 → 9, 9 × 7 = 63 → 3, 3 × 7 = 21 → 1, 1 × 7 = 7 → 7 (lặp lại). Bước 3: Chu kỳ 4 số: 7, 9, 3, 1; 267 : 4 = 66 (dư 3), nên 87²⁶⁷ tận cùng giống 7³, là 3. Vậy chữ số tận cùng là 3. Mẹo: 2, 3, 7, 8 có chu kỳ 4, còn 4, 9 có chu kỳ 2, và 0, 1, 5, 6 nhân mãi vẫn giữ nguyên.

Tổng các ước dương của số 136 bằng bao nhiêu? A. 134 B. 255 C. 270 D. 271 E. 273

Đáp án: C. 270. Nhận dạng: tổng các ước của một số lớn. Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, tổng các ước bằng tích các tổng luỹ thừa của từng thừa số. Bước 1: Chia liên tiếp: 136 : 2 = 68, 68 : 2 = 34, 34 : 2 = 17, 17 : 17 = 1. Vậy 136 = 2³ × 17. Bước 2: Mỗi ước là tích một số trong mỗi nhóm (1, 2, 4, 8), (1, 17). Bước 3: Tổng = (1 + 2 + 4 + 8) × (1 + 17) = 15 × 18 = 270. Vậy tổng các ước là 270. Mẹo: nhân các ngoặc ra sẽ được mỗi ước đúng một lần, nên không sót, không lặp.

Số có hai chữ số ab (a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị) là số chính phương và tích hai chữ số a × b bằng 10. Tính a + 2 × b. A. 9 B. 10 C. 12 D. 14 E. 15

Đáp án: C. 12. Nhận dạng: số chính phương có hai chữ số kèm điều kiện về chữ số. Ý tưởng: chỉ có 6 số chính phương có hai chữ số, thử hết từng số. Bước 1: Số chính phương có hai chữ số: 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81. Bước 2: Xét điều kiện (tích hai chữ số a × b): 1 × 6 = 6; 2 × 5 = 10 (thoả); 3 × 6 = 18; 4 × 9 = 36; 6 × 4 = 24; 8 × 1 = 8. Bước 3: Chỉ có ab = 25 thoả mãn, nên a = 2, b = 5. Vậy a + 2 × b = 2 + 2 × 5 = 12.

Một hình lập phương có diện tích toàn phần 486 cm². Tính thể tích hình lập phương. A. 324 B. 486 C. 729 D. 734 E. 1000

Đáp án: C. 729. Nhận dạng: lập phương biết diện tích toàn phần, tìm thể tích. Ý tưởng: lập phương có 6 mặt vuông bằng nhau; tìm diện tích một mặt rồi tìm cạnh. Bước 1: Một mặt: 486 : 6 = 81 cm². Bước 2: Gọi a là cạnh: a × a = 81, nên a = 9 cm. Bước 3: Thể tích = 9 × 9 × 9 = 729 cm³. Vậy thể tích là 729 cm³.

Có bao nhiêu số chia hết cho 5 lớn hơn 23 và nhỏ hơn 225? A. 39 B. 40 C. 41 D. 60 E. 195

Đáp án: B. 40. Nhận dạng: dãy cách đều (hai số liền nhau hơn kém nhau một lượng không đổi). Ý tưởng: các số chia hết cho 5 xếp thành dãy cách đều, tìm số đầu, số cuối rồi đếm. Bước 1: Số đầu tiên lớn hơn 23 là 25, số cuối cùng nhỏ hơn 225 là 220; hai số chia hết cho 5 liền nhau cách nhau 5. Bước 2: Số số hạng: (220 − 25) : 5 + 1 = 39 + 1 = 40. Vậy có 40 số.

Có bao nhiêu phân số tối giản dương, nhỏ hơn 1, có mẫu số là 143? A. 22 B. 120 C. 121 D. 123 E. 130

Đáp án: B. 120. Nhận dạng: đếm phân số tối giản có mẫu cho trước. Ý tưởng: phân số a/143 (a từ 1 đến 142) tối giản khi a không chia hết cho thừa số nguyên tố nào của 143. Bước 1: Phân tích 143 = 11 × 13, các thừa số nguyên tố: 11, 13. Bước 2: Từ 1 đến 143: chia hết cho 11 có 13 số, cho 13 có 11 số, cho cả hai (chia hết cho 143) có 1 số. Bước 3: Số tử bị loại: 13 + 11 − 1 = 23 (kể cả a = 143); còn 143 − 23 = 120 tử số cho phân số tối giản. Vậy có 120 phân số tối giản. Mẹo: số phân số tối giản cũng bằng 143 × 10/11 × 12/13 = 120.

Một mảnh vườn có dạng đa giác 15 cạnh lồi. Tổng số đo các góc trong của mảnh vườn là bao nhiêu độ? A. 2320 B. 2335 C. 2340 D. 2345 E. 2360

Đáp án: C. 2340. Nhận dạng: tổng các góc trong của đa giác. Ý tưởng: từ một đỉnh kẻ các đường chéo, chia đa giác thành các tam giác. Bước 1: Từ một đỉnh kẻ đường chéo tới các đỉnh không kề, được 15 − 2 = 13 tam giác. Bước 2: Mỗi tam giác có tổng ba góc 180°: 13 × 180° = 2340°. Vậy tổng các góc trong là 2340°.

Mai đi xe máy từ A đến B với vận tốc 42 km/h rồi từ B về A theo đường cũ với vận tốc 30 km/h. Quãng đường một chiều dài 42 km. Vận tốc trung bình của Mai trong cả hành trình là bao nhiêu ki-lô-mét mỗi giờ? A. 30 B. 33 C. 35 D. 36 E. 37

Đáp án: C. 35. Nhận dạng: đi và về cùng quãng đường với hai vận tốc, hỏi vận tốc trung bình. Ý tưởng: vận tốc trung bình = tổng quãng đường : tổng thời gian, không phải trung bình cộng hai vận tốc. Bước 1 (tổng quãng đường): 2 × 42 = 84 km. Bước 2 (thời gian từng chiều): 42 : 42 = 1 giờ; 42 : 30 = 1,4 giờ. Bước 3 (tổng thời gian): 1 + 1,4 = 2,4 giờ. Bước 4 (vận tốc trung bình): 84 : 2,4 = 35 km/h. Vậy vận tốc trung bình là 35 km/h.

Trong ngăn kéo có 6 chiếc găng tay vàng, 26 chiếc găng tay đỏ, 20 chiếc găng tay đen, 10 chiếc găng tay xanh, để lẫn lộn. Lấy trong tối, phải lấy ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc chắn có 1 đôi cùng màu? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

Đáp án: C. 5. Nhận dạng: trường hợp xấu nhất, cần 1 đôi cùng màu. Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy được đúng 1 chiếc. Bước 1 (mỗi màu 1 chiếc): 4 màu × 1 = 4 chiếc. Bước 2 (thêm 1): 4 + 1 = 5. Vậy phải lấy ít nhất 5 chiếc.

51 quả táo được chia vào 5 giỏ A, B, C, D, E. Biết giỏ A và B có 20 quả, giỏ B và C có 18 quả, giỏ C và D có 26 quả, giỏ D và E có 20 quả. Giỏ C có bao nhiêu quả? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 15

Đáp án: C. 11. Nhận dạng: biết tổng từng cặp liền kề và tổng tất cả. Ý tưởng: gọi A, B, C, D, E là số quả ở từng giỏ, tổng tất cả trừ hai cặp không chung giỏ thì còn đúng một giỏ. Bước 1: E = 51 − (A + B) − (C + D) = 51 − 20 − 26 = 5. Bước 2: D = 20 − 5 = 15; C = 26 − 15 = 11; B = 18 − 11 = 7; A = 20 − 7 = 13. Vậy giỏ C có 11 quả.

Trong từ NUMBER (viết chữ in hoa thẳng như hình, mỗi chữ cái tính một lần mỗi khi xuất hiện), có bao nhiêu chữ cái không có trục đối xứng nào? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 7

Đáp án: B. 2. Nhận dạng: đếm chữ cái có trục đối xứng. Ý tưởng: xét từng chữ: gấp theo đường dọc (hoặc ngang) qua giữa chữ, hai nửa trùng khít thì có trục. Bước 1 (chỉ có trục dọc): U, M. Bước 2 (chỉ có trục ngang): B, E; có cả hai trục: không có. Bước 3 (không có trục): N, R. Bước 4: chữ cái không có trục đối xứng nào: N, R → 2 chữ. Vậy có 2 chữ cái. Mẹo: N, S, Z quay nửa vòng thì trùng nhưng không có trục đối xứng, dễ đếm nhầm.

7 bạn, trong đó có Trang và Chi, xếp thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp sao cho Trang và Chi không đứng cạnh nhau? A. 1440 B. 3597 C. 3600 D. 4320 E. 5040

Đáp án: C. 3600. Nhận dạng: xếp hàng có hai bạn không đứng cạnh nhau. Ý tưởng: xếp những bạn còn lại trước, rồi chen hai bạn cần tách vào các khe khác nhau (kể cả hai đầu hàng). Bước 1 (xếp 7 − 2 = 5 bạn còn lại): 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cách. Bước 2 (số khe): 5 bạn tạo ra 5 + 1 = 6 khe (giữa hai bạn và ở hai đầu). Bước 3 (chen Trang rồi Chi vào 2 khe khác nhau): 6 × 5 = 30 cách. Bước 4 (nhân): 120 × 30 = 3600. Vậy có 3600 cách. Mẹo: kiểm lại: tất cả 7! = 5040 cách, cạnh nhau (buộc khối) 2 × 6! = 1440 cách, 5040 − 1440 = 3600.

Mật khẩu của một ổ khoá là số có 3 chữ số khác nhau (chữ số đầu khác 0), lấy từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 6, và là số chia hết cho 4. Có bao nhiêu mật khẩu như vậy? A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 E. 24

Đáp án: C. 12. Nhận dạng: lập số chia hết cho 4. Ý tưởng: số chia hết cho 4 khi số tạo bởi hai chữ số cuối chia hết cho 4; chọn hai chữ số cuối trước, rồi các hàng đầu. Bước 1 (hai chữ số cuối): các cặp cuối chia hết cho 4 viết bằng các chữ số đã cho: 16, 36, 56, 64: 4 cặp. Bước 2 (các hàng đầu): mỗi cặp cuối, hàng trăm: 5 − 2 = 3 cách. Bước 3: nhân: 4 × 3 = 12. Vậy có 12 số.

Quanh điểm O có 5 tia tạo thành 5 góc liên tiếp lấp kín một vòng: 3a, 19°, 2a, 3a, 45° (theo độ). Tìm a. A. 14 B. 37 C. 40 D. 42 E. 57

Đáp án: B. 37. Nhận dạng: các góc liên tiếp chung đỉnh O quanh một điểm. Ý tưởng: tổng các góc bằng 360°, lập phương trình ẩn a. Bước 1: 3a + 19 + 2a + 3a + 45 = 360. Bước 2: Gom ẩn a: 8a + 64 = 360. Bước 3: 8a = 360 − 64 = 296, a = 296 : 8 = 37. Vậy a = 37.

M(10; −4) là trung điểm của đoạn thẳng AB, với A(−1; 6) và B(a; b). Tìm a. A. 9 B. 11 C. 19 D. 20 E. 21

Đáp án: E. 21. Nhận dạng: biết trung điểm và một đầu mút, tìm đầu mút kia. Ý tưởng: trung điểm là trung bình cộng, nên đầu mút kia = 2 × trung điểm − đầu mút đã biết. Bước 1: (−1 + a) : 2 = 10, nên a = 2 × 10 − (−1) = 20 − (−1) = 21. Vậy a = 21.

Tam giác vuông có cạnh huyền dài 56 cm. Diện tích lớn nhất của tam giác là bao nhiêu? A. 392 B. 784 C. 787 D. 812 E. 1568

Đáp án: B. 784. Nhận dạng: tam giác vuông biết cạnh huyền, hỏi diện tích lớn nhất. Ý tưởng: lấy cạnh huyền làm đáy; chiều cao từ đỉnh góc vuông không vượt quá trung tuyến (nửa cạnh huyền). Bước 1: Trung tuyến từ đỉnh góc vuông tới trung điểm cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: 56 : 2 = 28 cm. Bước 2: Chiều cao ≤ trung tuyến = 28 cm; bằng nhau khi tam giác vuông cân. Bước 3: Diện tích lớn nhất = 56 × 28 : 2 = 784 cm². Vậy diện tích lớn nhất là 784 cm². Mẹo: chiều cao lớn nhất chỉ bằng nửa cạnh huyền, không lấy cạnh huyền × cạnh huyền : 2.

Trang leo cầu thang 8 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách leo hết cầu thang trong đúng 5 lần đi? A. 0 B. 7 C. 10 D. 13 E. 20

Đáp án: C. 10. Nhận dạng: leo cầu thang với số lần đi cho trước. Ý tưởng: tìm số lần đi mỗi loại trước, rồi chọn xem lượt nào đi 2 bậc. Bước 1 (giả sử cả 5 lần đều đi 1 bậc): được 1 × 5 = 5 bậc, còn thiếu 8 − 5 = 3 bậc. Bước 2 (đổi một lần 1 bậc thành 2 bậc thêm 2 − 1 = 1 bậc): số lần đi 2 bậc: 3 : 1 = 3; số lần đi 1 bậc: 5 − 3 = 2. Bước 3 (chọn 2 lượt đi 1 bậc trong 5 lượt): (5 × 4) : (2 × 1) = 10. Vậy có 10 cách.

Viết các số tự nhiên từ 1 đến 1999. Tính tổng tất cả các chữ số đã viết. A. 27000 B. 28000 C. 28010 D. 28045 E. 29000

Đáp án: B. 28000. Nhận dạng: tổng các chữ số của một dãy số liên tiếp. Ý tưởng: chia thành các khối 1000 số; viết đủ 3 chữ số (thêm 0 đằng trước không đổi tổng) thì mỗi chữ số 0 đến 9 xuất hiện đều ở mọi hàng. Bước 1: Từ 0 đến 999: mỗi hàng có mỗi chữ số 0–9 xuất hiện 100 lần, tổng một hàng 45 × 100; 3 hàng: 3 × 45 × 100 = 13500. Bước 2: Khối có chữ số đầu d (từ d × 1000 đến d × 1000 + 999) cộng thêm d ở mỗi số: từ 0 đến 1999 có 2 × 13500 + (0 + 1) × 1000 = 28000. Vậy tổng các chữ số là 28000.

Nếu chu vi của một hình tròn tăng 70% thì diện tích hình tròn tăng bao nhiêu phần trăm? A. 70 B. 140 C. 189 D. 192 E. 289

Đáp án: C. 189. Nhận dạng: chu vi đổi theo phần trăm, hỏi diện tích đổi bao nhiêu phần trăm. Ý tưởng: diện tích tỉ lệ với bán kính × bán kính, nên nhân hệ số hai lần. Bước 1: Chu vi tỉ lệ với bán kính, nên bán kính cũng tăng 70%. Bước 2: Diện tích mới = 1,7 × 1,7 = 2,89 lần diện tích cũ. Bước 3: 2,89 lần là 289%, tức tăng 289% − 100% = 189%. Vậy diện tích tăng 189%. Mẹo: không trả lời 140% hay 70%, phải nhân hệ số hai lần.

Taxi tính tiền: mở cửa 19 nghìn đồng, mỗi ki-lô-mét 15 nghìn đồng. An có 290 nghìn đồng. An đi được nhiều nhất bao nhiêu ki-lô-mét (số tự nhiên)? A. 14 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20

Đáp án: C. 18. Nhận dạng: bài thực tế dẫn tới bất phương trình bậc nhất. Ý tưởng: gọi a là số cần tìm, lập bất phương trình, giải rồi chọn số tự nhiên phù hợp. Bước 1: Gọi a là số ki-lô-mét. Tiền taxi: 19 + 15 × a (nghìn đồng). Bước 2: 19 + 15 × a ≤ 290, nên 15 × a ≤ 290 − 19 = 271. Bước 3: a ≤ 271 : 15 ≈ 18,1. Bước 4: a là số tự nhiên nên a lớn nhất là 18. Vậy đi được nhiều nhất 18 km.

Lúc 1 giờ M phút (M là số nguyên, 0 ≤ M ≤ 59) hai kim đồng hồ tạo thành góc nhỏ 175,5°. Tìm M. A. 19 B. 38 C. 39 D. 40 E. 50

Đáp án: C. 39. Nhận dạng: biết góc giữa hai kim và giờ nguyên, tìm số phút. Ý tưởng: lập hiệu (kim giờ − kim phút) theo M, cho bằng góc, −góc, (360° − góc) hoặc −(360° − góc), giải M rồi chỉ giữ M nguyên từ 0 đến 59. Bước 1 (lập hiệu): kim giờ cách vạch 12 là 30 + 0,5 × M, kim phút là 6 × M; hiệu = 30 − 5,5 × M. Bước 2 (các trường hợp): hiệu có thể bằng 175,5, −175,5, 184,5 hoặc −184,5; mỗi trường hợp M = 2 × (30 − hiệu) : 11. Bước 3 (tính): hiệu = 175,5: M = −291 : 11 là số âm → loại; hiệu = −175,5: M = 411 : 11 = 37 4/11 không nguyên → loại; hiệu = 184,5: M = −309 : 11 là số âm → loại; hiệu = −184,5: M = 429 : 11 = 39 → nhận. Vậy M = 39.

Tìm chữ số tận cùng của A = 9 + 9² + 9³ + … + 9³⁵. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 19

Đáp án: C. 9. Nhận dạng: tổng các luỹ thừa liên tiếp của cùng một số. Ý tưởng: chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ, gom mỗi chu kỳ thành một nhóm. Bước 1: Chữ số tận cùng của 9, 9², 9³, … lặp lại theo chu kỳ 2 số: 9, 1. Bước 2: Mỗi nhóm 2 số hạng liên tiếp có tổng chữ số tận cùng 9 + 1 = 10, tận cùng 0. Bước 3: 35 = 2 × 17 + 1: 17 nhóm đủ (tận cùng 0) và 1 số hạng cuối 9³⁵ có tận cùng 9 = 9. Vậy A có chữ số tận cùng là 9.

20 em nhỏ đánh số từ 1 đến 20 ngồi quanh một vòng tròn theo thứ tự, mỗi em có một số kẹo. 15 em ngồi liên tiếp bất kỳ có tổng cộng 78 kẹo. Biết em số 1 có 1 kẹo, em số 2 có 6 kẹo, em số 3 có 6 kẹo, em số 19 có 2 kẹo. Hỏi em số 10 có bao nhiêu kẹo? A. 11 B. 14 C. 21 D. 26 E. 63

Đáp án: A. 11. Nhận dạng: 20 em ngồi vòng tròn, 15 em liên tiếp bất kỳ có tổng bằng nhau. Ý tưởng: bỏ phần chung của hai tổng liền nhau để thấy số kẹo lặp lại; trên vòng tròn thì chu kỳ là ước chung lớn nhất của 20 và 15. Bước 1 (lặp lại): hai nhóm 15 em liên tiếp lệch một em có cùng tổng, nên số kẹo của em số 1 bằng em số 16, em số 2 bằng em số 17, …; số kẹo lặp lại sau mỗi 15 em. Bước 2 (chu kỳ trên vòng): vòng có 20 em nên số kẹo cũng lặp lại sau mỗi 20 em. Lặp sau hai khoảng thì lặp sau hiệu của chúng: 20 − 15 = 5, 15 − 5 = 10, 10 − 5 = 5. Vậy số kẹo lặp lại sau mỗi 5 em. Bước 3 (tổng một chu kỳ): 15 em liên tiếp gồm 15 : 5 = 3 chu kỳ 5 em, nên một chu kỳ có 78 : 3 = 26 kẹo. Bước 4 (em cần tìm): 10 : 5 = 2 chia hết, nên em số 10 ở vị trí thứ 5 của chu kỳ; các em số 1, 2, 3, 19 ở các vị trí còn lại của chu kỳ. Số kẹo = 26 − (1 + 6 + 6 + 2) = 11. Vậy em số 10 có 11 kẹo.

Hai khối lập phương cạnh 3 dm dán vào hai mặt bên của khối lập phương cạnh 4 dm, cả ba đứng trên mặt đất. Sơn toàn bộ bề mặt trừ mặt đáy. Tính diện tích sơn. A. 134 B. 150 C. 152 D. 154 E. 170

Đáp án: A. 134. Nhận dạng: khối ghép sơn trừ đáy. Ý tưởng: cộng các mặt không phải đáy rồi trừ phần dán (mỗi chỗ dán mất một mặt ở cả hai khối). Bước 1: Khối lớn 5 mặt: 5 × 16 = 80; hai khối nhỏ: 2 × 5 × 9 = 90 dm². Bước 2: Mỗi chỗ dán che mặt nhỏ trên khối nhỏ và phần bằng nó trên khối lớn: 2 × 2 × 9 = 36 dm². Bước 3: Diện tích sơn: 80 + 90 − 36 = 134 dm². Vậy diện tích sơn là 134 dm².

Ghép 12 khối lập phương giống nhau thành một hình hộp chữ nhật đặc. Diện tích toàn phần nhỏ nhất có thể là 1152 cm². Diện tích toàn phần lớn nhất có thể là bao nhiêu? A. 1780 B. 1790 C. 1800 D. 1810 E. 1820

Đáp án: C. 1800. Nhận dạng: hộp ghép từ N khối giống nhau, cạnh khối chưa biết. Ý tưởng: đếm diện tích theo số mặt vuông nhỏ (mỗi mặt có diện tích S), rồi tìm S từ dữ kiện. Bước 1: Nhỏ nhất: hộp 2 × 2 × 3 có 32 mặt nhỏ; lớn nhất: 1 × 1 × 12 có 4 × 12 + 2 = 50 mặt nhỏ. Bước 2: Gọi S là diện tích một mặt nhỏ: 32 × S = 1152, nên S = 36 cm². Bước 3: Lớn nhất: 50 × 36 = 1800 cm². Vậy diện tích lớn nhất là 1800 cm².

Gieo hai con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tích hai số chấm chia hết cho 3. Viết xác suất thành phân số tối giản a/b. Tính a + b. A. 12 B. 14 C. 19 D. 41 E. 55

Đáp án: B. 14. Nhận dạng: xác suất khi gieo hai xúc xắc. Ý tưởng: xác suất = số kết quả thoả : số kết quả có thể; lập bảng 6 × 6 kết quả rồi đếm ô thoả. Bước 1 (số kết quả có thể): mỗi con 6 mặt: 6 × 6 = 36. Bước 2 (mỗi mặt của con thứ nhất → các mặt con thứ hai cần ra): 1 → 3, 6 (2); 2 → 3, 6 (2); 3 → mọi mặt (6); 4 → 3, 6 (2); 5 → 3, 6 (2); 6 → mọi mặt (6); cộng: 2 + 2 + 6 + 2 + 2 + 6 = 20. Bước 3 (xác suất): 20/36 = 5/9. Bước 4 (tính a + b): a = 5, b = 9, a + b = 14. Vậy a + b = 14.

Mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 468 m². Người ta thu hẹp mỗi chiều 6 m thì diện tích còn lại là 198 m². Tính chu vi mảnh vườn lúc đầu. A. 51 B. 82 C. 90 D. 102 E. 114

Đáp án: D. 102. Nhận dạng: đổi cả hai cạnh cùng một số. Ý tưởng: phần diện tích thay đổi gồm hai dải dọc theo hai cạnh và một ô vuông ở góc. Bước 1: Gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (m). Phần mất đi: 468 − 198 = 270 m². Bước 2: Bớt hai dải 6 × a và 6 × b thì ô vuông góc 6 × 6 = 36 bị bớt hai lần: 6 × (a + b) − 36 = 270. Bước 3: 6 × (a + b) = 270 + 36 = 306, a + b = 306 : 6 = 51. Bước 4: Chu vi = (a + b) × 2 = 51 × 2 = 102 m. Vậy chu vi ban đầu là 102 m. Mẹo: đừng quên ô vuông nhỏ ở góc, chỗ hai dải gặp nhau.

Cho A = 1 + 72/(1 + 72/(1 + …)) (A > 0). Tìm A. A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 E. 19

Đáp án: C. 9. Nhận dạng: phân số nhiều tầng lặp lại vô hạn. Ý tưởng: phần lặp lại bên trong giống hệt cả biểu thức, nên thay nó bằng A, được phương trình bậc hai ẩn A. Bước 1: Mẫu của phân số lớn chính là A: A = 1 + 72/A. Bước 2: Nhân hai vế với A: A² = A + 72. Bước 3: Chuyển vế: A² − A − 72 = 0, hai số có tích −72, tổng −1 là −9 và 8: (A − 9)(A + 8) = 0. Bước 4: A = 9 hoặc A = −8, A > 0 nên A = 9. Vậy A = 9.

Tam giác ABC có diện tích 294 cm². Điểm D nằm trên AB, E nằm trên AC sao cho DE song song với BC và AD : DB = 2 : 5. Tính diện tích tứ giác DECB. A. 24 B. 210 C. 270 D. 275 E. 283

Đáp án: C. 270. Nhận dạng: đường thẳng song song với một cạnh tạo tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác lớn. Ý tưởng: hai tam giác đồng dạng tỉ số k thì tỉ số diện tích là k × k. Bước 1: AD : AB = 2 : (2 + 5) = 2 : 7, nên tam giác ADE đồng dạng ABC tỉ số k = 2/7. Bước 2: Diện tích ADE = 294 × 2/7 × 2/7 = 294 × 4/49 = 24 cm². Bước 3: Tứ giác DECB = ABC − ADE = 294 − 24 = 270 cm². Vậy diện tích tứ giác DECB là 270 cm².

Đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 7 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử Kangaroo (IKMC) lớp 7 (cadet) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 30 câu, làm trong 75 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu 3 điểm × 3 điểm; 10 câu 4 điểm × 4 điểm; 10 câu 5 điểm × 5 điểm. Cho sẵn 30 điểm. Trả lời sai bị trừ: câu 3 điểm −0,75; câu 4 điểm −1; câu 5 điểm −1,25; bỏ trống không trừ. Tối đa 150 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi Kangaroo (IKMC).

Phần 1: Câu 3 điểm (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm · sai trừ 0,75

Kim phút của một đồng hồ treo tường dài 10,5 cm. Trong 11 giờ liền, đầu kim phút đi được quãng đường bao nhiêu xăng-ti-mét? (lấy π = 22/7)
The minute hand of a wall clock is 10.5 cm long. Over 11 consecutive hours, how many centimetres does the tip of the minute hand travel? (use π = 22/7)
1. A. 724
2. B. 725
3. C. 726
4. D. 727
5. E. 728
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: C. 726

Nhận dạng: hỏi quãng đường đầu kim đồng hồ đi được.
Ý tưởng: đầu kim vẽ một đường tròn bán kính bằng độ dài kim;
quãng đường = số vòng × chu vi 2 × π × r.
Bước 1 (số vòng): kim phút quay 1 vòng trong 1 giờ nên trong 11 giờ quay 11 vòng.
Bước 2 (chu vi): 2 × 22/7 × 10,5 = 66 cm.
Bước 3 (quãng đường): 11 × 66 = 726 cm.
Vậy đầu kim phút đi được 726 cm.
Câu 23 điểm · sai trừ 0,75

Chữ số hàng đơn vị của số 87²⁶⁷ là bao nhiêu?
Find the units digit of 87²⁶⁷.
1. A. 1
2. B. 3
3. C. 7
4. D. 8
5. E. 9
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: B. 3

Nhận dạng: chữ số tận cùng của luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: chữ số tận cùng của các luỹ thừa lặp lại theo chu kỳ.
Bước 1: Chỉ cần chữ số tận cùng của cơ số 87, là 7.
Bước 2: Nhân dần, chỉ giữ chữ số cuối: 7 × 7 = 49 → 9, 9 × 7 = 63 → 3, 3 × 7 = 21 → 1, 1 × 7 = 7 → 7 (lặp lại).
Bước 3: Chu kỳ 4 số: 7, 9, 3, 1;
267 : 4 = 66 (dư 3), nên 87²⁶⁷ tận cùng giống 7³, là 3.
Vậy chữ số tận cùng là 3.
Mẹo: 2, 3, 7, 8 có chu kỳ 4, còn 4, 9 có chu kỳ 2, và 0, 1, 5, 6 nhân mãi vẫn giữ nguyên.
Câu 33 điểm · sai trừ 0,75

Tổng các ước dương của số 136 bằng bao nhiêu?
Find the sum of all positive divisors of 136.
1. A. 134
2. B. 255
3. C. 270
4. D. 271
5. E. 273
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: C. 270

Nhận dạng: tổng các ước của một số lớn.
Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, tổng các ước bằng tích các tổng luỹ thừa của từng thừa số.
Bước 1: Chia liên tiếp: 136 : 2 = 68, 68 : 2 = 34, 34 : 2 = 17, 17 : 17 = 1.
Vậy 136 = 2³ × 17.
Bước 2: Mỗi ước là tích một số trong mỗi nhóm (1, 2, 4, 8), (1, 17).
Bước 3: Tổng = (1 + 2 + 4 + 8) × (1 + 17) = 15 × 18 = 270.
Vậy tổng các ước là 270.
Mẹo: nhân các ngoặc ra sẽ được mỗi ước đúng một lần, nên không sót, không lặp.
Câu 43 điểm · sai trừ 0,75

Số có hai chữ số ab (a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị) là số chính phương và tích hai chữ số a × b bằng 10. Tính a + 2 × b.
The two-digit number ab (a is the tens digit, b the units digit) is a perfect square and the product of its digits a × b is 10. Find a + 2 × b.
1. A. 9
2. B. 10
3. C. 12
4. D. 14
5. E. 15
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: C. 12

Nhận dạng: số chính phương có hai chữ số kèm điều kiện về chữ số.
Ý tưởng: chỉ có 6 số chính phương có hai chữ số, thử hết từng số.
Bước 1: Số chính phương có hai chữ số: 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81.
Bước 2: Xét điều kiện (tích hai chữ số a × b): 1 × 6 = 6;
2 × 5 = 10 (thoả);
3 × 6 = 18;
4 × 9 = 36;
6 × 4 = 24;
8 × 1 = 8.
Bước 3: Chỉ có ab = 25 thoả mãn, nên a = 2, b = 5.
Vậy a + 2 × b = 2 + 2 × 5 = 12.
Câu 53 điểm · sai trừ 0,75

Một hình lập phương có diện tích toàn phần 486 cm². Tính thể tích hình lập phương.
A cube has total surface area 486 cm². Find its volume in cm³.
1. A. 324
2. B. 486
3. C. 729
4. D. 734
5. E. 1000
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: C. 729

Nhận dạng: lập phương biết diện tích toàn phần, tìm thể tích.
Ý tưởng: lập phương có 6 mặt vuông bằng nhau;
tìm diện tích một mặt rồi tìm cạnh.
Bước 1: Một mặt: 486 : 6 = 81 cm².
Bước 2: Gọi a là cạnh: a × a = 81, nên a = 9 cm.
Bước 3: Thể tích = 9 × 9 × 9 = 729 cm³.
Vậy thể tích là 729 cm³.
Câu 63 điểm · sai trừ 0,75

Có bao nhiêu số chia hết cho 5 lớn hơn 23 và nhỏ hơn 225?
How many multiples of 5 are greater than 23 and less than 225?
1. A. 39
2. B. 40
3. C. 41
4. D. 60
5. E. 195
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: B. 40

Nhận dạng: dãy cách đều (hai số liền nhau hơn kém nhau một lượng không đổi).
Ý tưởng: các số chia hết cho 5 xếp thành dãy cách đều, tìm số đầu, số cuối rồi đếm.
Bước 1: Số đầu tiên lớn hơn 23 là 25, số cuối cùng nhỏ hơn 225 là 220;
hai số chia hết cho 5 liền nhau cách nhau 5.
Bước 2: Số số hạng: (220 − 25) : 5 + 1 = 39 + 1 = 40.
Vậy có 40 số.
Câu 73 điểm · sai trừ 0,75

Có bao nhiêu phân số tối giản dương, nhỏ hơn 1, có mẫu số là 143?
How many positive fractions in lowest terms, less than 1, have denominator 143?
1. A. 22
2. B. 120
3. C. 121
4. D. 123
5. E. 130
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: B. 120

Nhận dạng: đếm phân số tối giản có mẫu cho trước.
Ý tưởng: phân số a/143 (a từ 1 đến 142) tối giản khi a không chia hết cho thừa số nguyên tố nào của 143.
Bước 1: Phân tích 143 = 11 × 13, các thừa số nguyên tố: 11, 13.
Bước 2: Từ 1 đến 143: chia hết cho 11 có 13 số, cho 13 có 11 số, cho cả hai (chia hết cho 143) có 1 số.
Bước 3: Số tử bị loại: 13 + 11 − 1 = 23 (kể cả a = 143);
còn 143 − 23 = 120 tử số cho phân số tối giản.
Vậy có 120 phân số tối giản.
Mẹo: số phân số tối giản cũng bằng 143 × 10/11 × 12/13 = 120.
Câu 83 điểm · sai trừ 0,75

Một mảnh vườn có dạng đa giác 15 cạnh lồi. Tổng số đo các góc trong của mảnh vườn là bao nhiêu độ?
A garden has the shape of a convex polygon with 15 sides. What is the sum of its interior angles, in degrees?
1. A. 2320
2. B. 2335
3. C. 2340
4. D. 2345
5. E. 2360
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: C. 2340

Nhận dạng: tổng các góc trong của đa giác.
Ý tưởng: từ một đỉnh kẻ các đường chéo, chia đa giác thành các tam giác.
Bước 1: Từ một đỉnh kẻ đường chéo tới các đỉnh không kề, được 15 − 2 = 13 tam giác.
Bước 2: Mỗi tam giác có tổng ba góc 180°: 13 × 180° = 2340°.
Vậy tổng các góc trong là 2340°.
Câu 93 điểm · sai trừ 0,75

Mai đi xe máy từ A đến B với vận tốc 42 km/h rồi từ B về A theo đường cũ với vận tốc 30 km/h. Quãng đường một chiều dài 42 km. Vận tốc trung bình của Mai trong cả hành trình là bao nhiêu ki-lô-mét mỗi giờ?
Mai rides a motorbike from A to B at 42 km/h and then back from B to A along the same road at 30 km/h. The one-way distance is 42 km. What is Mai's average speed for the whole trip, in km/h?
1. A. 30
2. B. 33
3. C. 35
4. D. 36
5. E. 37
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: C. 35

Nhận dạng: đi và về cùng quãng đường với hai vận tốc, hỏi vận tốc trung bình.
Ý tưởng: vận tốc trung bình = tổng quãng đường : tổng thời gian, không phải trung bình cộng hai vận tốc.
Bước 1 (tổng quãng đường): 2 × 42 = 84 km.
Bước 2 (thời gian từng chiều): 42 : 42 = 1 giờ;
42 : 30 = 1,4 giờ.
Bước 3 (tổng thời gian): 1 + 1,4 = 2,4 giờ.
Bước 4 (vận tốc trung bình): 84 : 2,4 = 35 km/h.
Vậy vận tốc trung bình là 35 km/h.
Câu 103 điểm · sai trừ 0,75

Trong ngăn kéo có 6 chiếc găng tay vàng, 26 chiếc găng tay đỏ, 20 chiếc găng tay đen, 10 chiếc găng tay xanh, để lẫn lộn. Lấy trong tối, phải lấy ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc chắn có 1 đôi cùng màu?
A drawer has 6 yellow, 26 red, 20 black, 10 blue gloves, all mixed. In the dark, at least how many must be taken to be sure of a matching pair?
1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 6
5. E. 7
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 5

Nhận dạng: trường hợp xấu nhất, cần 1 đôi cùng màu.
Ý tưởng: xấu nhất là mỗi màu lấy được đúng 1 chiếc.
Bước 1 (mỗi màu 1 chiếc): 4 màu × 1 = 4 chiếc.
Bước 2 (thêm 1): 4 + 1 = 5.
Vậy phải lấy ít nhất 5 chiếc.

Phần 2: Câu 4 điểm (10 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm · sai trừ 1

51 quả táo được chia vào 5 giỏ A, B, C, D, E. Biết giỏ A và B có 20 quả, giỏ B và C có 18 quả, giỏ C và D có 26 quả, giỏ D và E có 20 quả. Giỏ C có bao nhiêu quả?
51 apples are shared among 5 baskets A, B, C, D, E. Baskets A and B hold 20 apples together, B and C hold 18, C and D hold 26, D and E hold 20. How many apples are in basket C?
1. A. 9
2. B. 10
3. C. 11
4. D. 12
5. E. 15
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: C. 11

Nhận dạng: biết tổng từng cặp liền kề và tổng tất cả.
Ý tưởng: gọi A, B, C, D, E là số quả ở từng giỏ, tổng tất cả trừ hai cặp không chung giỏ thì còn đúng một giỏ.
Bước 1: E = 51 − (A + B) − (C + D) = 51 − 20 − 26 = 5.
Bước 2: D = 20 − 5 = 15;
C = 26 − 15 = 11;
B = 18 − 11 = 7;
A = 20 − 7 = 13.
Vậy giỏ C có 11 quả.
Câu 124 điểm · sai trừ 1

Trong từ NUMBER (viết chữ in hoa thẳng như hình, mỗi chữ cái tính một lần mỗi khi xuất hiện), có bao nhiêu chữ cái không có trục đối xứng nào?
In the word NUMBER (plain capital letters as in the picture, count each letter every time it appears), how many letters have no line of symmetry?
1. A. 1
2. B. 2
3. C. 3
4. D. 4
5. E. 7
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: B. 2

Nhận dạng: đếm chữ cái có trục đối xứng.
Ý tưởng: xét từng chữ: gấp theo đường dọc (hoặc ngang) qua giữa chữ, hai nửa trùng khít thì có trục.
Bước 1 (chỉ có trục dọc): U, M.
Bước 2 (chỉ có trục ngang): B, E;
có cả hai trục: không có.
Bước 3 (không có trục): N, R.
Bước 4: chữ cái không có trục đối xứng nào: N, R → 2 chữ.
Vậy có 2 chữ cái.
Mẹo: N, S, Z quay nửa vòng thì trùng nhưng không có trục đối xứng, dễ đếm nhầm.
Câu 134 điểm · sai trừ 1

7 bạn, trong đó có Trang và Chi, xếp thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp sao cho Trang và Chi không đứng cạnh nhau?
7 children, including Trang and Chi, stand in a row. In how many ways can they stand so that Trang and Chi are not next to each other?
1. A. 1440
2. B. 3597
3. C. 3600
4. D. 4320
5. E. 5040
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 3600

Nhận dạng: xếp hàng có hai bạn không đứng cạnh nhau.
Ý tưởng: xếp những bạn còn lại trước, rồi chen hai bạn cần tách vào các khe khác nhau (kể cả hai đầu hàng).
Bước 1 (xếp 7 − 2 = 5 bạn còn lại): 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cách.
Bước 2 (số khe): 5 bạn tạo ra 5 + 1 = 6 khe (giữa hai bạn và ở hai đầu).
Bước 3 (chen Trang rồi Chi vào 2 khe khác nhau): 6 × 5 = 30 cách.
Bước 4 (nhân): 120 × 30 = 3600.
Vậy có 3600 cách.
Mẹo: kiểm lại: tất cả 7! = 5040 cách, cạnh nhau (buộc khối) 2 × 6! = 1440 cách, 5040 − 1440 = 3600.
Câu 144 điểm · sai trừ 1

Mật khẩu của một ổ khoá là số có 3 chữ số khác nhau (chữ số đầu khác 0), lấy từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 6, và là số chia hết cho 4. Có bao nhiêu mật khẩu như vậy?
A lock code is a 3-digit number (not starting with 0) with different digits taken from 1, 3, 4, 5, 6, and it is divisible by 4. How many such codes are there?
1. A. 8
2. B. 9
3. C. 12
4. D. 16
5. E. 24
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: C. 12

Nhận dạng: lập số chia hết cho 4.
Ý tưởng: số chia hết cho 4 khi số tạo bởi hai chữ số cuối chia hết cho 4;
chọn hai chữ số cuối trước, rồi các hàng đầu.
Bước 1 (hai chữ số cuối): các cặp cuối chia hết cho 4 viết bằng các chữ số đã cho: 16, 36, 56, 64: 4 cặp.
Bước 2 (các hàng đầu): mỗi cặp cuối, hàng trăm: 5 − 2 = 3 cách.
Bước 3: nhân: 4 × 3 = 12.
Vậy có 12 số.
Câu 154 điểm · sai trừ 1

Quanh điểm O có 5 tia tạo thành 5 góc liên tiếp lấp kín một vòng: 3a, 19°, 2a, 3a, 45° (theo độ). Tìm a.
Around point O, 5 rays form 5 adjacent angles filling a full turn: 3a, 19°, 2a, 3a, 45° (in degrees). Find a.
1. A. 14
2. B. 37
3. C. 40
4. D. 42
5. E. 57
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: B. 37

Nhận dạng: các góc liên tiếp chung đỉnh O quanh một điểm.
Ý tưởng: tổng các góc bằng 360°, lập phương trình ẩn a.
Bước 1: 3a + 19 + 2a + 3a + 45 = 360.
Bước 2: Gom ẩn a: 8a + 64 = 360.
Bước 3: 8a = 360 − 64 = 296, a = 296 : 8 = 37.
Vậy a = 37.
Câu 164 điểm · sai trừ 1

M(10; −4) là trung điểm của đoạn thẳng AB, với A(−1; 6) và B(a; b). Tìm a.
M(10; −4) is the midpoint of AB, where A(−1; 6) and B(a; b). Find a.
1. A. 9
2. B. 11
3. C. 19
4. D. 20
5. E. 21
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: E. 21

Nhận dạng: biết trung điểm và một đầu mút, tìm đầu mút kia.
Ý tưởng: trung điểm là trung bình cộng, nên đầu mút kia = 2 × trung điểm − đầu mút đã biết.
Bước 1: (−1 + a) : 2 = 10, nên a = 2 × 10 − (−1) = 20 − (−1) = 21.
Vậy a = 21.
Câu 174 điểm · sai trừ 1

Tam giác vuông có cạnh huyền dài 56 cm. Diện tích lớn nhất của tam giác là bao nhiêu?
A right triangle has hypotenuse 56 cm. What is its largest possible area in cm²?
1. A. 392
2. B. 784
3. C. 787
4. D. 812
5. E. 1568
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: B. 784

Nhận dạng: tam giác vuông biết cạnh huyền, hỏi diện tích lớn nhất.
Ý tưởng: lấy cạnh huyền làm đáy;
chiều cao từ đỉnh góc vuông không vượt quá trung tuyến (nửa cạnh huyền).
Bước 1: Trung tuyến từ đỉnh góc vuông tới trung điểm cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: 56 : 2 = 28 cm.
Bước 2: Chiều cao ≤ trung tuyến = 28 cm;
bằng nhau khi tam giác vuông cân.
Bước 3: Diện tích lớn nhất = 56 × 28 : 2 = 784 cm².
Vậy diện tích lớn nhất là 784 cm².
Mẹo: chiều cao lớn nhất chỉ bằng nửa cạnh huyền, không lấy cạnh huyền × cạnh huyền : 2.
Câu 184 điểm · sai trừ 1

Trang leo cầu thang 8 bậc, mỗi lần đi 1 hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách leo hết cầu thang trong đúng 5 lần đi?
Trang climbs 8 stairs, going 1 or 2 steps at a time. In how many ways can Trang reach the top in exactly 5 moves?
1. A. 0
2. B. 7
3. C. 10
4. D. 13
5. E. 20
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: C. 10

Nhận dạng: leo cầu thang với số lần đi cho trước.
Ý tưởng: tìm số lần đi mỗi loại trước, rồi chọn xem lượt nào đi 2 bậc.
Bước 1 (giả sử cả 5 lần đều đi 1 bậc): được 1 × 5 = 5 bậc, còn thiếu 8 − 5 = 3 bậc.
Bước 2 (đổi một lần 1 bậc thành 2 bậc thêm 2 − 1 = 1 bậc): số lần đi 2 bậc: 3 : 1 = 3;
số lần đi 1 bậc: 5 − 3 = 2.
Bước 3 (chọn 2 lượt đi 1 bậc trong 5 lượt): (5 × 4) : (2 × 1) = 10.
Vậy có 10 cách.
Câu 194 điểm · sai trừ 1

Viết các số tự nhiên từ 1 đến 1999. Tính tổng tất cả các chữ số đã viết.
All whole numbers from 1 to 1999 are written. Find the sum of all the digits written.
1. A. 27000
2. B. 28000
3. C. 28010
4. D. 28045
5. E. 29000
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: B. 28000

Nhận dạng: tổng các chữ số của một dãy số liên tiếp.
Ý tưởng: chia thành các khối 1000 số;
viết đủ 3 chữ số (thêm 0 đằng trước không đổi tổng) thì mỗi chữ số 0 đến 9 xuất hiện đều ở mọi hàng.
Bước 1: Từ 0 đến 999: mỗi hàng có mỗi chữ số 0–9 xuất hiện 100 lần, tổng một hàng 45 × 100;
3 hàng: 3 × 45 × 100 = 13500.
Bước 2: Khối có chữ số đầu d (từ d × 1000 đến d × 1000 + 999) cộng thêm d ở mỗi số: từ 0 đến 1999 có 2 × 13500 + (0 + 1) × 1000 = 28000.
Vậy tổng các chữ số là 28000.
Câu 204 điểm · sai trừ 1

Nếu chu vi của một hình tròn tăng 70% thì diện tích hình tròn tăng bao nhiêu phần trăm?
If the circumference of a circle is increased by 70%, by what percent is its area increased?
1. A. 70
2. B. 140
3. C. 189
4. D. 192
5. E. 289
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: C. 189

Nhận dạng: chu vi đổi theo phần trăm, hỏi diện tích đổi bao nhiêu phần trăm.
Ý tưởng: diện tích tỉ lệ với bán kính × bán kính, nên nhân hệ số hai lần.
Bước 1: Chu vi tỉ lệ với bán kính, nên bán kính cũng tăng 70%.
Bước 2: Diện tích mới = 1,7 × 1,7 = 2,89 lần diện tích cũ.
Bước 3: 2,89 lần là 289%, tức tăng 289% − 100% = 189%.
Vậy diện tích tăng 189%.
Mẹo: không trả lời 140% hay 70%, phải nhân hệ số hai lần.

Phần 3: Câu 5 điểm (10 câu × 5 điểm)

Câu 215 điểm · sai trừ 1,25

Taxi tính tiền: mở cửa 19 nghìn đồng, mỗi ki-lô-mét 15 nghìn đồng. An có 290 nghìn đồng. An đi được nhiều nhất bao nhiêu ki-lô-mét (số tự nhiên)?
A taxi charges 19 thousand dong to start and 15 thousand dong per kilometre. An has 290 thousand dong. At most how many whole kilometres can An travel?
1. A. 14
2. B. 17
3. C. 18
4. D. 19
5. E. 20
Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: C. 18

Nhận dạng: bài thực tế dẫn tới bất phương trình bậc nhất.
Ý tưởng: gọi a là số cần tìm, lập bất phương trình, giải rồi chọn số tự nhiên phù hợp.
Bước 1: Gọi a là số ki-lô-mét.
Tiền taxi: 19 + 15 × a (nghìn đồng).
Bước 2: 19 + 15 × a ≤ 290, nên 15 × a ≤ 290 − 19 = 271.
Bước 3: a ≤ 271 : 15 ≈ 18,1.
Bước 4: a là số tự nhiên nên a lớn nhất là 18.
Vậy đi được nhiều nhất 18 km.
Câu 225 điểm · sai trừ 1,25

Lúc 1 giờ M phút (M là số nguyên, 0 ≤ M ≤ 59) hai kim đồng hồ tạo thành góc nhỏ 175,5°. Tìm M.
At 1 o'clock and M minutes (M an integer, 0 ≤ M ≤ 59) the two hands of a clock make a smaller angle of 175.5°. Find M.
1. A. 19
2. B. 38
3. C. 39
4. D. 40
5. E. 50
Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: C. 39

Nhận dạng: biết góc giữa hai kim và giờ nguyên, tìm số phút.
Ý tưởng: lập hiệu (kim giờ − kim phút) theo M, cho bằng góc, −góc, (360° − góc) hoặc −(360° − góc), giải M rồi chỉ giữ M nguyên từ 0 đến 59.
Bước 1 (lập hiệu): kim giờ cách vạch 12 là 30 + 0,5 × M, kim phút là 6 × M;
hiệu = 30 − 5,5 × M.
Bước 2 (các trường hợp): hiệu có thể bằng 175,5, −175,5, 184,5 hoặc −184,5;
mỗi trường hợp M = 2 × (30 − hiệu) : 11.
Bước 3 (tính): hiệu = 175,5: M = −291 : 11 là số âm → loại;
hiệu = −175,5: M = 411 : 11 = 37 4/11 không nguyên → loại;
hiệu = 184,5: M = −309 : 11 là số âm → loại;
hiệu = −184,5: M = 429 : 11 = 39 → nhận.
Vậy M = 39.
Câu 235 điểm · sai trừ 1,25

Tìm chữ số tận cùng của A = 9 + 9² + 9³ + … + 9³⁵.
Find the units digit of A = 9 + 9² + 9³ + … + 9³⁵.
1. A. 7
2. B. 8
3. C. 9
4. D. 10
5. E. 19
Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: C. 9

Nhận dạng: tổng các luỹ thừa liên tiếp của cùng một số.
Ý tưởng: chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ, gom mỗi chu kỳ thành một nhóm.
Bước 1: Chữ số tận cùng của 9, 9², 9³, … lặp lại theo chu kỳ 2 số: 9, 1.
Bước 2: Mỗi nhóm 2 số hạng liên tiếp có tổng chữ số tận cùng 9 + 1 = 10, tận cùng 0.
Bước 3: 35 = 2 × 17 + 1: 17 nhóm đủ (tận cùng 0) và 1 số hạng cuối 9³⁵ có tận cùng 9 = 9.
Vậy A có chữ số tận cùng là 9.
Câu 245 điểm · sai trừ 1,25

20 em nhỏ đánh số từ 1 đến 20 ngồi quanh một vòng tròn theo thứ tự, mỗi em có một số kẹo. 15 em ngồi liên tiếp bất kỳ có tổng cộng 78 kẹo. Biết em số 1 có 1 kẹo, em số 2 có 6 kẹo, em số 3 có 6 kẹo, em số 19 có 2 kẹo. Hỏi em số 10 có bao nhiêu kẹo?
20 children numbered 1 to 20 sit around a circle in order, each with some candies. Any 15 children sitting next to each other have 78 candies altogether. We know that child 1 has 1, child 2 has 6, child 3 has 6, child 19 has 2. How many candies does child 10 have?
1. A. 11
2. B. 14
3. C. 21
4. D. 26
5. E. 63
Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: A. 11

Nhận dạng: 20 em ngồi vòng tròn, 15 em liên tiếp bất kỳ có tổng bằng nhau.
Ý tưởng: bỏ phần chung của hai tổng liền nhau để thấy số kẹo lặp lại;
trên vòng tròn thì chu kỳ là ước chung lớn nhất của 20 và 15.
Bước 1 (lặp lại): hai nhóm 15 em liên tiếp lệch một em có cùng tổng, nên số kẹo của em số 1 bằng em số 16, em số 2 bằng em số 17, …;
số kẹo lặp lại sau mỗi 15 em.
Bước 2 (chu kỳ trên vòng): vòng có 20 em nên số kẹo cũng lặp lại sau mỗi 20 em.
Lặp sau hai khoảng thì lặp sau hiệu của chúng: 20 − 15 = 5, 15 − 5 = 10, 10 − 5 = 5.
Vậy số kẹo lặp lại sau mỗi 5 em.
Bước 3 (tổng một chu kỳ): 15 em liên tiếp gồm 15 : 5 = 3 chu kỳ 5 em, nên một chu kỳ có 78 : 3 = 26 kẹo.
Bước 4 (em cần tìm): 10 : 5 = 2 chia hết, nên em số 10 ở vị trí thứ 5 của chu kỳ;
các em số 1, 2, 3, 19 ở các vị trí còn lại của chu kỳ.
Số kẹo = 26 − (1 + 6 + 6 + 2) = 11.
Vậy em số 10 có 11 kẹo.
Câu 255 điểm · sai trừ 1,25

Hai khối lập phương cạnh 3 dm dán vào hai mặt bên của khối lập phương cạnh 4 dm, cả ba đứng trên mặt đất. Sơn toàn bộ bề mặt trừ mặt đáy. Tính diện tích sơn.
Two cubes of side 3 dm are glued to two side faces of a cube of side 4 dm, all standing on the ground. Everything except the bottom is painted. Find the painted area in dm².
1. A. 134
2. B. 150
3. C. 152
4. D. 154
5. E. 170
Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: A. 134

Nhận dạng: khối ghép sơn trừ đáy.
Ý tưởng: cộng các mặt không phải đáy rồi trừ phần dán (mỗi chỗ dán mất một mặt ở cả hai khối).
Bước 1: Khối lớn 5 mặt: 5 × 16 = 80;
hai khối nhỏ: 2 × 5 × 9 = 90 dm².
Bước 2: Mỗi chỗ dán che mặt nhỏ trên khối nhỏ và phần bằng nó trên khối lớn: 2 × 2 × 9 = 36 dm².
Bước 3: Diện tích sơn: 80 + 90 − 36 = 134 dm².
Vậy diện tích sơn là 134 dm².
Câu 265 điểm · sai trừ 1,25

Ghép 12 khối lập phương giống nhau thành một hình hộp chữ nhật đặc. Diện tích toàn phần nhỏ nhất có thể là 1152 cm². Diện tích toàn phần lớn nhất có thể là bao nhiêu?
12 identical cubes form a solid cuboid. The smallest possible total surface area is 1152 cm². What is the largest possible?
1. A. 1780
2. B. 1790
3. C. 1800
4. D. 1810
5. E. 1820
Đáp án và lời giải câu 26

Đáp án: C. 1800

Nhận dạng: hộp ghép từ N khối giống nhau, cạnh khối chưa biết.
Ý tưởng: đếm diện tích theo số mặt vuông nhỏ (mỗi mặt có diện tích S), rồi tìm S từ dữ kiện.
Bước 1: Nhỏ nhất: hộp 2 × 2 × 3 có 32 mặt nhỏ;
lớn nhất: 1 × 1 × 12 có 4 × 12 + 2 = 50 mặt nhỏ.
Bước 2: Gọi S là diện tích một mặt nhỏ: 32 × S = 1152, nên S = 36 cm².
Bước 3: Lớn nhất: 50 × 36 = 1800 cm².
Vậy diện tích lớn nhất là 1800 cm².
Câu 275 điểm · sai trừ 1,25

Gieo hai con xúc xắc cân đối (mỗi con có các mặt 1 đến 6 chấm). Tính xác suất để tích hai số chấm chia hết cho 3. Viết xác suất thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.
Two fair dice (faces 1 to 6) are rolled. Find the probability that the product is a multiple of 3. Write the probability as a fraction a/b in lowest terms. Find a + b.
1. A. 12
2. B. 14
3. C. 19
4. D. 41
5. E. 55
Đáp án và lời giải câu 27

Đáp án: B. 14

Nhận dạng: xác suất khi gieo hai xúc xắc.
Ý tưởng: xác suất = số kết quả thoả : số kết quả có thể;
lập bảng 6 × 6 kết quả rồi đếm ô thoả.
Bước 1 (số kết quả có thể): mỗi con 6 mặt: 6 × 6 = 36.
Bước 2 (mỗi mặt của con thứ nhất → các mặt con thứ hai cần ra): 1 → 3, 6 (2);
2 → 3, 6 (2);
3 → mọi mặt (6);
4 → 3, 6 (2);
5 → 3, 6 (2);
6 → mọi mặt (6);
cộng: 2 + 2 + 6 + 2 + 2 + 6 = 20.
Bước 3 (xác suất): 20/36 = 5/9.
Bước 4 (tính a + b): a = 5, b = 9, a + b = 14.
Vậy a + b = 14.
Câu 285 điểm · sai trừ 1,25

Mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 468 m². Người ta thu hẹp mỗi chiều 6 m thì diện tích còn lại là 198 m². Tính chu vi mảnh vườn lúc đầu.
A rectangle has area 468 m². If both its length and width are decreased by 6 m, the new area is 198 m². Find the original perimeter in m.
1. A. 51
2. B. 82
3. C. 90
4. D. 102
5. E. 114
Đáp án và lời giải câu 28

Đáp án: D. 102

Nhận dạng: đổi cả hai cạnh cùng một số.
Ý tưởng: phần diện tích thay đổi gồm hai dải dọc theo hai cạnh và một ô vuông ở góc.
Bước 1: Gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (m).
Phần mất đi: 468 − 198 = 270 m².
Bước 2: Bớt hai dải 6 × a và 6 × b thì ô vuông góc 6 × 6 = 36 bị bớt hai lần: 6 × (a + b) − 36 = 270.
Bước 3: 6 × (a + b) = 270 + 36 = 306, a + b = 306 : 6 = 51.
Bước 4: Chu vi = (a + b) × 2 = 51 × 2 = 102 m.
Vậy chu vi ban đầu là 102 m.
Mẹo: đừng quên ô vuông nhỏ ở góc, chỗ hai dải gặp nhau.
Câu 295 điểm · sai trừ 1,25

Cho A = 1 + 72/(1 + 72/(1 + …)) (A > 0). Tìm A.
Let A = 1 + 72/(1 + 72/(1 + …)) (A > 0). Find A.
1. A. 4
2. B. 6
3. C. 9
4. D. 12
5. E. 19
Đáp án và lời giải câu 29

Đáp án: C. 9

Nhận dạng: phân số nhiều tầng lặp lại vô hạn.
Ý tưởng: phần lặp lại bên trong giống hệt cả biểu thức, nên thay nó bằng A, được phương trình bậc hai ẩn A.
Bước 1: Mẫu của phân số lớn chính là A: A = 1 + 72/A.
Bước 2: Nhân hai vế với A: A² = A + 72.
Bước 3: Chuyển vế: A² − A − 72 = 0, hai số có tích −72, tổng −1 là −9 và 8: (A − 9)(A + 8) = 0.
Bước 4: A = 9 hoặc A = −8, A > 0 nên A = 9.
Vậy A = 9.
Câu 305 điểm · sai trừ 1,25

Tam giác ABC có diện tích 294 cm². Điểm D nằm trên AB, E nằm trên AC sao cho DE song song với BC và AD : DB = 2 : 5. Tính diện tích tứ giác DECB.
Triangle ABC has area 294 cm². D is on AB and E on AC with DE parallel to BC and AD : DB = 2 : 5. Find the area of quadrilateral DECB in cm².
1. A. 24
2. B. 210
3. C. 270
4. D. 275
5. E. 283
Đáp án và lời giải câu 30

Đáp án: C. 270

Nhận dạng: đường thẳng song song với một cạnh tạo tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác lớn.
Ý tưởng: hai tam giác đồng dạng tỉ số k thì tỉ số diện tích là k × k.
Bước 1: AD : AB = 2 : (2 + 5) = 2 : 7, nên tam giác ADE đồng dạng ABC tỉ số k = 2/7.
Bước 2: Diện tích ADE = 294 × 2/7 × 2/7 = 294 × 4/49 = 24 cm².
Bước 3: Tứ giác DECB = ABC − ADE = 294 − 24 = 270 cm².
Vậy diện tích tứ giác DECB là 270 cm².

Đáp án đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 7

Câu	Đáp án
Câu 1	C. 726
Câu 2	B. 3
Câu 3	C. 270
Câu 4	C. 12
Câu 5	C. 729
Câu 6	B. 40
Câu 7	B. 120
Câu 8	C. 2340
Câu 9	C. 35
Câu 10	C. 5
Câu 11	C. 11
Câu 12	B. 2
Câu 13	C. 3600
Câu 14	C. 12
Câu 15	B. 37
Câu 16	E. 21
Câu 17	B. 784
Câu 18	C. 10
Câu 19	B. 28000
Câu 20	C. 189
Câu 21	C. 18
Câu 22	C. 39
Câu 23	C. 9
Câu 24	A. 11
Câu 25	A. 134
Câu 26	C. 1800
Câu 27	B. 14
Câu 28	D. 102
Câu 29	C. 9
Câu 30	C. 270

Đề thi khác

Đề Kangaroo (IKMC) khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 8 · Lớp 9

Đề lớp 7 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức Kangaroo (IKMC).

Câu hỏi thường gặp

Đề thi Kangaroo (IKMC) lớp 7 có bao nhiêu câu?

Đề cadet Kangaroo (IKMC) lớp 7 có 30 câu, làm trong 75 phút, tối đa 150 điểm.

Làm đề thi thử Kangaroo (IKMC) lớp 7 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề Kangaroo (IKMC) mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.