Một mảnh vải hình vuông có đường chéo dài 2 cm. Diện tích mảnh vải là bao nhiêu?

Đáp án: 2. Nhận dạng: hình vuông biết đường chéo. Ý tưởng: hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau vuông góc tại trung điểm, chia hình vuông thành 4 tam giác vuông bằng nhau. Bước 1: Mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông bằng nửa đường chéo: 2 : 2 = 1 cm. Bước 2: Một tam giác: 1 × 1 : 2 = 0,5 cm²; bốn tam giác: 0,5 × 4 = 2 cm². Vậy diện tích hình vuông là 2 cm². Mẹo: diện tích = đường chéo × đường chéo : 2 = 2 × 2 : 2 = 2.

Có bao nhiêu số nguyên âm a thoả mãn 5a + 76 > −32?

Đáp án: 21. Nhận dạng: bất phương trình bậc nhất, đếm nghiệm nguyên âm. Ý tưởng: chuyển vế, chia cho số dương (giữ chiều), rồi đếm các số nguyên âm thoả. Bước 1: Chuyển 76 sang vế phải: 5a > −32 − 76 = −108. Bước 2: Chia hai vế cho 5 (số dương nên giữ chiều): a > −108/5 (−108/5 = −21,6). Bước 3: Số nguyên âm nhỏ nhất thoả là −21, lớn nhất là −1; số nguyên âm a từ −21 đến −1: −1 − (−21) + 1 = 21 số. Vậy có 21 số.

Hai số dương a, b thoả mãn a² − b² = 481 và a + b = 37. Tính a.

Đáp án: 25. Nhận dạng: biết a² − b² và a + b. Ý tưởng: a² − b² = (a − b) × (a + b): hiệu hai bình phương bằng hiệu nhân tổng. Bước 1: Thay số: (a − b) × 37 = 481. Bước 2: a − b = 481 : 37 = 13. Bước 3: a = (tổng + hiệu) : 2 = (37 + 13) : 2 = 25, b = 37 − 25 = 12. Vậy a = 25.

Trên một đường thẳng, cứ hoành độ tăng 3 thì tung độ giảm 1. Đường thẳng đi qua điểm A(−8; 4). Điểm có hoành độ 4 trên đường thẳng có tung độ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 0. Nhận dạng: đường thẳng biết một điểm và bước thay đổi đều. Ý tưởng: đếm số bước từ A tới điểm cần tìm rồi nhân với độ đổi mỗi bước. Bước 1: Hoành độ tăng 4 − (−8) = 12, tức 12 : 3 = 4 bước. Bước 2: Tung độ đổi 4 × (−1) = −4. Bước 3: Tung độ: 4 + (−4) = 0. Vậy tung độ là 0.

An mua 76 món đồ gồm vở giá 15 nghìn đồng một quyển và bút giá 7 nghìn đồng một chiếc, hết 980 nghìn đồng. An mua bao nhiêu quyển vở?

Đáp án: 56. Nhận dạng: bài lời văn có hai số chưa biết, biết tổng số lượng và tổng tiền. Ý tưởng: đặt hai ẩn, lập hai phương trình rồi nhân và trừ để mất một ẩn. Bước 1: Gọi a là số vở, b là số bút: a + b = 76 (1); 15a + 7b = 980 (2). Bước 2: Nhân (1) với 7: 7a + 7b = 532 (3). Trừ (2) − (3): 8a = 980 − 532 = 448. Bước 3: a = 448 : 8 = 56; b = 76 − 56 = 20. Vậy số vở là 56.

Một bạn chạy bộ 1/5 giờ vào buổi sáng và 1/3 giờ vào buổi chiều. Hỏi cả ngày bạn đó chạy bao nhiêu phút?

Đáp án: 32. Nhận dạng: cộng các phân số của một lượng đã biết. Ý tưởng: cộng các phân số trước rồi nhân với cả lượng. Bước 1 (cả lượng): 1 giờ = 60 phút. Bước 2 (cộng): 1/5 + 1/3 = 3/15 + 5/15 = 8/15 giờ. Bước 3: 8/15 × 60 = 60 : 15 × 8 = 32 phút. Vậy tổng thời gian là 32 phút.

Từ các chữ số 1, 6, 7, 8, 9, lập các số có 5 chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số mà các chữ số chẵn không đứng cạnh nhau?

Đáp án: 72. Nhận dạng: lập số có các chữ số chẵn không đứng cạnh nhau. Ý tưởng: chia theo số chữ số chẵn được dùng; mỗi trường hợp chọn chỗ cho chữ số chẵn trước, rồi xếp chữ số chẵn và chữ số lẻ. Bước 1 (số chữ số chẵn): có 2 chữ số chẵn (6, 8), 3 chữ số lẻ; 5 chỗ và chẵn không cạnh nhau nên nhiều nhất 3 chữ số chẵn (mà chỉ có 2 chữ số chẵn); chữ số lẻ chỉ có 3 nên ít nhất 5 − 3 = 2 chữ số chẵn: dùng 2 chữ số chẵn. Bước 2 (2 chẵn, 3 lẻ): chỗ của 2 chữ số chẵn: (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 5): 6 cách; xếp chữ số chẵn: 2 × 1 = 2 cách; xếp chữ số lẻ: 3 × 2 × 1 = 6 cách; 6 × 2 × 6 = 72 số. Vậy có 72 số.

Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 cm. Tăng chiều rộng thêm 5 cm thì được một hình vuông, diện tích tăng thêm 50 cm². Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.

Đáp án: 30. Nhận dạng: đổi một cạnh để thành hình vuông. Ý tưởng: dải diện tích thay đổi có một cạnh bằng phần đổi, cạnh kia là cạnh giữ nguyên. Bước 1: Gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (cm) của hình chữ nhật. Bước 2: Tăng chiều rộng 5 cm thì thêm dải 5 × a = 50, nên a = 50 : 5 = 10 cm. Bước 3: b = a − 5 = 10 − 5 = 5 cm. Bước 4: Chu vi = (a + b) × 2 = (10 + 5) × 2 = 30 cm. Vậy chu vi là 30 cm.

Tổng của 8 bội liên tiếp của 5 là 1220. Tìm số nhỏ nhất trong 8 số đó.

Đáp án: 135. Nhận dạng: dãy cách đều (hai số liền nhau hơn kém nhau một lượng không đổi). Ý tưởng: 8 số cách đều 5, trung bình cộng nằm ở chính giữa dãy. Bước 1: Trung bình cộng: 1220 : 8 = 152,5 (nằm giữa hai số chính giữa). Bước 2: Từ chính giữa tới số nhỏ nhất có (8 − 1) : 2 = 3,5 khoảng cách, mỗi khoảng 5: 3,5 × 5 = 17,5. Bước 3: Số nhỏ nhất: 152,5 − 17,5 = 135. Thử lại: 135 + 140 + … + 170 = 1220. Vậy số nhỏ nhất là 135.

Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 150, biết số đó chia cho 2 và 5 đều dư 1, còn chia cho 17 thì không dư.

Đáp án: 51. Nhận dạng: cùng số dư khi chia cho nhiều số, kèm điều kiện chia hết. Ý tưởng: gọi N là số cần tìm; N − 1 là bội của BCNN, liệt kê các số như vậy rồi thử chia cho 17. Bước 1: N chia cho 2, 5 đều dư 1, nên N − 1 chia hết cho 2, 5. Bước 2: BCNN(2, 5) = 2 × 5 = 10 (các số đôi một không có ước chung lớn hơn 1). Các số N = 10 × t + 1 (t = 0, 1, 2, …) nhỏ hơn 150: 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101, 111, 121, 131, 141. Bước 3: Thử chia cho 17: 1 : 17 = 0 (dư 1); 11 : 17 = 0 (dư 11); 21 : 17 = 1 (dư 4); 31 : 17 = 1 (dư 14); 41 : 17 = 2 (dư 7); 51 = 17 × 3. Số đầu tiên chia hết cho 17 là 51. Các số thoả mãn cả hai điều kiện cách nhau 10 × 17 = 170, số tiếp theo là 51 + 170 = 221, không nhỏ hơn 150. Vậy số cần tìm là 51.

Từ 10:02 đến 13:32 (cùng ngày, giờ tính theo 24 giờ; hai đầu mút không tính), kim giờ và kim phút của đồng hồ vuông góc với nhau bao nhiêu lần?

Đáp án: 7. Nhận dạng: đếm số lần hai kim gặp / vuông / thẳng hàng trong một khoảng thời gian. Ý tưởng: dùng d (góc từ kim phút tới kim giờ) giảm đều 5,5° mỗi phút; mỗi lần d đi qua một giá trị đặc biệt là một lần xảy ra. Bước 1 (d đầu và cuối): lúc 10:02, d = 30 × 10 − 5,5 × 2 = 289°; thời gian 210 phút nên d giảm 210 × 5,5 = 1155°, d cuối = −866°. Bước 2 (giá trị đặc biệt): hai kim vuông góc với nhau khi d thuộc −270, −90, 90, 270 cộng hoặc trừ bội của 360. Bước 3 (đếm): các giá trị nằm giữa −866 và 289: 270, 90, −90, −270, −450, −630, −810; có 7 giá trị. Vậy hai kim vuông góc với nhau 7 lần.

Có 875 viên gạch hình vuông giống nhau. Xếp hết số gạch thành một hình chữ nhật đặc. Có bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau về kích thước?

Đáp án: 4. Nhận dạng: hình chữ nhật biết diện tích, cạnh là số tự nhiên. Ý tưởng: gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (a ≥ b), a × b = 875; đếm số cặp (a, b) bằng số ước. Bước 1: Các cặp là cặp ước của 875: 875 × 1, 175 × 5, 125 × 7, 35 × 25. Bước 2: 875 : 5 = 175, 175 : 5 = 35, 35 : 5 = 7, 7 : 7 = 1. Vậy 875 = 5³ × 7, có 4 × 2 = 8 ước. Bước 3: Số cặp (a, b): mỗi cặp dùng hai ước khác nhau: 8 : 2 = 4 cặp. Vậy có 4 hình chữ nhật khác nhau.

Khi tuổi Mai bằng 1/2 tuổi mẹ thì tổng số tuổi hai người là 72. Khi tuổi Mai bằng 1/5 tuổi mẹ thì mẹ bao nhiêu tuổi?

Đáp án: 30. Nhận dạng: bài toán tuổi, biết tỉ số ở hai thời điểm. Ý tưởng: hiệu số tuổi hai người không đổi theo thời gian. Bước 1 (lúc đầu): Mai 1 phần, mẹ 2 phần, tổng 3 phần = 72, nên 1 phần = 72 : 3 = 24. Bước 2 (hiệu tuổi): mẹ hơn Mai 1 phần = 24 tuổi, hiệu này không đổi. Bước 3 (lúc sau): Mai 1 phần, mẹ 5 phần, hiệu 4 phần = 24, nên 1 phần = 24 : 4 = 6. Bước 4: mẹ = 5 × 6 = 30 tuổi. Vậy mẹ 30 tuổi.

Tìm chữ số a để số 7985769a chia hết cho 55.

Đáp án: 0. Nhận dạng: tìm chữ số a để số chia hết cho 55. Ý tưởng: tách 55 = 5 × 11; dùng dấu hiệu chia hết cho 11 (hiệu tổng các chữ số ở vị trí lẻ và chẵn) cùng dấu hiệu còn lại. Bước 1: 55 = 5 × 11, nên số phải chia hết cho cả 5 và 11. Bước 2: Số chia hết cho 5: chữ số cuối a là 0 hoặc 5: a là 0, 5. Bước 3: Đánh số vị trí từ phải sang (hàng đơn vị là vị trí 1). Tổng các chữ số ở vị trí lẻ: a + 6 + 5 + 9 = a + 20; ở vị trí chẵn: 9 + 7 + 8 + 7 = 31. Hiệu = (a + 20) − 31 = a − 11 phải chia hết cho 11 (bằng 0, 11, −11, …): a = 0 (hiệu bằng −11). Bước 4: Chữ số thoả mọi điều kiện là a = 0. Vậy a = 0. Mẹo: số chia hết cho 11 khi tổng chữ số vị trí lẻ trừ tổng chữ số vị trí chẵn chia hết cho 11 (kể cả bằng 0).

Các chữ số được viết kiểu đồng hồ điện tử (như hình). Dùng các chữ số có trục đối xứng, có bao nhiêu số có 2 chữ số (mỗi chữ số được dùng nhiều lần)?

Đáp án: 12. Nhận dạng: số lập từ các chữ số có trục đối xứng. Ý tưởng: tìm các chữ số có trục trước, rồi lập số theo yêu cầu. Bước 1: chữ số kiểu điện tử có trục đối xứng: 0, 1, 8 (cả trục dọc và ngang), 3 (trục ngang); các chữ số khác không có trục. Bước 2: chữ số đầu khác 0: 3 cách (1, 3, 8); mỗi chữ số sau: 4 cách (0, 1, 3, 8). Bước 3: số các số: 3 × 4 = 12. Vậy có 12 số.

Bài kiểm tra có 20 câu, mỗi câu đúng được 6 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, không bỏ câu nào. Minh được 8 điểm. Hỏi Minh làm sai bao nhiêu câu?

Đáp án: 14. Nhận dạng: hai loại câu (đúng, sai) với điểm cộng và điểm trừ, biết tổng số câu và tổng điểm. Ý tưởng: giả sử tất cả câu đều đúng, so với điểm thực tế rồi đổi từng câu đúng thành câu sai. Bước 1 (giả sử): nếu cả 20 câu đều đúng thì được 20 × 6 = 120 điểm. Bước 2 (chênh lệch): thực tế 8 điểm, hụt 120 − 8 = 112 điểm. Bước 3 (mỗi lần đổi): đổi 1 câu đúng thành 1 câu sai thì mất 6 + 2 = 8 điểm (mất 6 điểm được và bị trừ 2 điểm). Bước 4 (số câu sai): 112 : 8 = 14. Vậy Minh làm sai 14 câu.

Có bao nhiêu phân số tối giản dương, nhỏ hơn 1, có mẫu số là 156?

Đáp án: 48. Nhận dạng: đếm phân số tối giản có mẫu cho trước. Ý tưởng: phân số a/156 (a từ 1 đến 155) tối giản khi a không chia hết cho thừa số nguyên tố nào của 156. Bước 1: Phân tích 156 = 2² × 3 × 13, các thừa số nguyên tố: 2, 3, 13. Bước 2: Chia hết cho 2, 3, 13: 78, 52, 12 số; cho 6, 26, 39: 26, 6, 4 số; cho 78: 2 số. Bước 3: Số tử bị loại: 78 + 52 + 12 − 26 − 6 − 4 + 2 = 108 (kể cả a = 156); còn 156 − 108 = 48 tử số cho phân số tối giản. Vậy có 48 phân số tối giản. Mẹo: số phân số tối giản cũng bằng 156 × 1/2 × 2/3 × 12/13 = 48.

Điểm trung bình bài kiểm tra của đội Đỏ là 82, của đội Xanh là 95, điểm trung bình chung của cả hai là 87. Đội Đỏ có nhiều hơn đội Xanh 9 bạn. Hỏi đội Xanh có bao nhiêu bạn?

Đáp án: 15. Nhận dạng: gộp hai nhóm có điểm trung bình khác nhau, biết trung bình chung. Ý tưởng: tổng phần thiếu (so với trung bình chung) của nhóm thấp bằng tổng phần thừa của nhóm cao. Bước 1 (gọi ẩn): gọi a là số bạn đội Xanh, thì đội Đỏ có a + 9 bạn. Bước 2: mỗi bạn đội Đỏ thiếu 87 − 82 = 5 điểm; mỗi bạn đội Xanh thừa 95 − 87 = 8 điểm. Bước 3 (thiếu = thừa): 5 × (a + 9) = 8 × a, nên (8 − 5) × a = 5 × 9, tức là 3 × a = 45. Bước 4: a = 45 : 3 = 15. Vậy đội Xanh có 15 bạn.

Dãy số có số hạng đầu là 5, mỗi số hạng sau tính từ số hạng ngay trước nó theo quy tắc: số chẵn thì chia 2, số lẻ thì nhân 3 rồi cộng 1. Số hạng thứ 2022 của dãy là số nào?

Đáp án: 1. Nhận dạng: dãy tính từng số theo quy tắc, hỏi số hạng rất xa. Ý tưởng: viết các số đầu đến khi thấy một số xuất hiện lại; từ đó dãy lặp theo nhóm. Bước 1 (viết các số đầu): 5 × 3 + 1 = 16; 16 : 2 = 8; 8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2; 2 : 2 = 1; 1 × 3 + 1 = 4. Bước 2 (chu kỳ): số 4 xuất hiện lại ở số hạng thứ 7, nên từ số hạng thứ 4 dãy lặp lại nhóm 3 số (4, 2, 1); 3 số hạng đầu không lặp. Bước 3 (số hạng thứ 2022 nằm ở đâu): bỏ 3 số hạng đầu còn 2022 − 3 = 2019; 2019 : 3 = 673 chia hết. Bước 4 (số cần tìm): chia hết nên số hạng thứ 2022 là số cuối của nhóm (thứ 3): 1. Vậy số hạng thứ 2022 là 1.

Một đoàn tàu có 29 toa chứa tất cả 781 hành khách. 7 toa liền nhau bất kỳ chứa tổng cộng 191 hành khách. Hỏi toa ở giữa chứa bao nhiêu hành khách?

Đáp án: 17. Nhận dạng: 7 toa liền nhau bất kỳ có tổng bằng nhau, biết tổng cả hàng. Ý tưởng: các số lặp lại sau mỗi 7 toa; chia hàng thành các nhóm 7 toa. Bước 1 (chu kỳ): hai nhóm 7 toa liền nhau lệch một vị trí có cùng tổng, nên toa thứ 1 = toa thứ 8 = toa thứ 15 = …; các số lặp lại sau mỗi 7 toa. Bước 2 (chia nhóm): 29 : 7 = 4 dư 1, nên có 4 nhóm đủ 7 toa và 1 toa còn lại (toa cuối cùng, bằng toa thứ 1). Bước 3 (tính toa còn lại): 4 nhóm có 4 × 191 = 764 hành khách; toa còn lại có 781 − 764 = 17 hành khách. Bước 4 (vị trí hỏi): toa ở giữa là toa thứ (29 + 1) : 2 = 15; 15 − 1 = 14 = 7 × 2 chia hết cho 7, nên toa thứ 15 bằng toa thứ 1, có 17 hành khách. Vậy toa ở giữa chứa 17 hành khách.

Đề thi AIMO lớp 7 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử AIMO lớp 7 (vòng loại) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 20 câu, làm trong 70 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 8 câu phần a × 4 điểm; 8 câu phần b × 5 điểm; 4 câu phần c × 7 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi AIMO.

Phần 1: Phần A (8 câu × 4 điểm)

Câu 14 điểm

Một mảnh vải hình vuông có đường chéo dài 2 cm. Diện tích mảnh vải là bao nhiêu?
A square has a diagonal of 2 cm. Find its area in cm².
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: 2

Nhận dạng: hình vuông biết đường chéo.
Ý tưởng: hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau vuông góc tại trung điểm, chia hình vuông thành 4 tam giác vuông bằng nhau.
Bước 1: Mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông bằng nửa đường chéo: 2 : 2 = 1 cm.
Bước 2: Một tam giác: 1 × 1 : 2 = 0,5 cm²;
bốn tam giác: 0,5 × 4 = 2 cm².
Vậy diện tích hình vuông là 2 cm².
Mẹo: diện tích = đường chéo × đường chéo : 2 = 2 × 2 : 2 = 2.
Câu 24 điểm

Có bao nhiêu số nguyên âm a thoả mãn 5a + 76 > −32?
How many negative integers a satisfy 5a + 76 > −32?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: 21

Nhận dạng: bất phương trình bậc nhất, đếm nghiệm nguyên âm.
Ý tưởng: chuyển vế, chia cho số dương (giữ chiều), rồi đếm các số nguyên âm thoả.
Bước 1: Chuyển 76 sang vế phải: 5a > −32 − 76 = −108.
Bước 2: Chia hai vế cho 5 (số dương nên giữ chiều): a > −108/5 (−108/5 = −21,6).
Bước 3: Số nguyên âm nhỏ nhất thoả là −21, lớn nhất là −1;
số nguyên âm a từ −21 đến −1: −1 − (−21) + 1 = 21 số.
Vậy có 21 số.
Câu 34 điểm

Hai số dương a, b thoả mãn a² − b² = 481 và a + b = 37. Tính a.
Positive numbers a, b satisfy a² − b² = 481 and a + b = 37. Find a.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: 25

Nhận dạng: biết a² − b² và a + b.
Ý tưởng: a² − b² = (a − b) × (a + b): hiệu hai bình phương bằng hiệu nhân tổng.
Bước 1: Thay số: (a − b) × 37 = 481.
Bước 2: a − b = 481 : 37 = 13.
Bước 3: a = (tổng + hiệu) : 2 = (37 + 13) : 2 = 25, b = 37 − 25 = 12.
Vậy a = 25.
Câu 44 điểm

Trên một đường thẳng, cứ hoành độ tăng 3 thì tung độ giảm 1. Đường thẳng đi qua điểm A(−8; 4). Điểm có hoành độ 4 trên đường thẳng có tung độ bằng bao nhiêu?
On a line, whenever the first coordinate increases by 3, the second decreases by 1. The line passes through A(−8; 4). What is the second coordinate of the point on the line with first coordinate 4?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: 0

Nhận dạng: đường thẳng biết một điểm và bước thay đổi đều.
Ý tưởng: đếm số bước từ A tới điểm cần tìm rồi nhân với độ đổi mỗi bước.
Bước 1: Hoành độ tăng 4 − (−8) = 12, tức 12 : 3 = 4 bước.
Bước 2: Tung độ đổi 4 × (−1) = −4.
Bước 3: Tung độ: 4 + (−4) = 0.
Vậy tung độ là 0.
Câu 54 điểm

An mua 76 món đồ gồm vở giá 15 nghìn đồng một quyển và bút giá 7 nghìn đồng một chiếc, hết 980 nghìn đồng. An mua bao nhiêu quyển vở?
An buys 76 items, notebooks at 15 thousand dong each and pens at 7 thousand dong each, paying 980 thousand dong. How many notebooks does An buy?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: 56

Nhận dạng: bài lời văn có hai số chưa biết, biết tổng số lượng và tổng tiền.
Ý tưởng: đặt hai ẩn, lập hai phương trình rồi nhân và trừ để mất một ẩn.
Bước 1: Gọi a là số vở, b là số bút: a + b = 76 (1);
15a + 7b = 980 (2).
Bước 2: Nhân (1) với 7: 7a + 7b = 532 (3).
Trừ (2) − (3): 8a = 980 − 532 = 448.
Bước 3: a = 448 : 8 = 56;
b = 76 − 56 = 20.
Vậy số vở là 56.
Câu 64 điểm

Một bạn chạy bộ 1/5 giờ vào buổi sáng và 1/3 giờ vào buổi chiều. Hỏi cả ngày bạn đó chạy bao nhiêu phút?
A pupil jogs for 1/5 of an hour in the morning and 1/3 of an hour in the afternoon. How many minutes does the pupil jog that day?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: 32

Nhận dạng: cộng các phân số của một lượng đã biết.
Ý tưởng: cộng các phân số trước rồi nhân với cả lượng.
Bước 1 (cả lượng): 1 giờ = 60 phút.
Bước 2 (cộng): 1/5 + 1/3 = 3/15 + 5/15 = 8/15 giờ.
Bước 3: 8/15 × 60 = 60 : 15 × 8 = 32 phút.
Vậy tổng thời gian là 32 phút.
Câu 74 điểm

Từ các chữ số 1, 6, 7, 8, 9, lập các số có 5 chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số mà các chữ số chẵn không đứng cạnh nhau?
Using the digits 1, 6, 7, 8, 9, each at most once, 5-digit numbers are formed so that no two even digits are next to each other. How many such numbers are there?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: 72

Nhận dạng: lập số có các chữ số chẵn không đứng cạnh nhau.
Ý tưởng: chia theo số chữ số chẵn được dùng;
mỗi trường hợp chọn chỗ cho chữ số chẵn trước, rồi xếp chữ số chẵn và chữ số lẻ.
Bước 1 (số chữ số chẵn): có 2 chữ số chẵn (6, 8), 3 chữ số lẻ;
5 chỗ và chẵn không cạnh nhau nên nhiều nhất 3 chữ số chẵn (mà chỉ có 2 chữ số chẵn);
chữ số lẻ chỉ có 3 nên ít nhất 5 − 3 = 2 chữ số chẵn: dùng 2 chữ số chẵn.
Bước 2 (2 chẵn, 3 lẻ): chỗ của 2 chữ số chẵn: (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 5): 6 cách;
xếp chữ số chẵn: 2 × 1 = 2 cách;
xếp chữ số lẻ: 3 × 2 × 1 = 6 cách;
6 × 2 × 6 = 72 số.
Vậy có 72 số.
Câu 84 điểm

Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 cm. Tăng chiều rộng thêm 5 cm thì được một hình vuông, diện tích tăng thêm 50 cm². Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.
A rectangle is 5 cm longer than it is wide. Increasing the width by 5 cm makes a square, and the area increases by 50 cm². Find the perimeter of the original rectangle in cm.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: 30

Nhận dạng: đổi một cạnh để thành hình vuông.
Ý tưởng: dải diện tích thay đổi có một cạnh bằng phần đổi, cạnh kia là cạnh giữ nguyên.
Bước 1: Gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (cm) của hình chữ nhật.
Bước 2: Tăng chiều rộng 5 cm thì thêm dải 5 × a = 50, nên a = 50 : 5 = 10 cm.
Bước 3: b = a − 5 = 10 − 5 = 5 cm.
Bước 4: Chu vi = (a + b) × 2 = (10 + 5) × 2 = 30 cm.
Vậy chu vi là 30 cm.

Phần 2: Phần B (8 câu × 5 điểm)

Câu 95 điểm

Tổng của 8 bội liên tiếp của 5 là 1220. Tìm số nhỏ nhất trong 8 số đó.
The sum of 8 consecutive multiples of 5 is 1220. Find the smallest of these numbers.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: 135

Nhận dạng: dãy cách đều (hai số liền nhau hơn kém nhau một lượng không đổi).
Ý tưởng: 8 số cách đều 5, trung bình cộng nằm ở chính giữa dãy.
Bước 1: Trung bình cộng: 1220 : 8 = 152,5 (nằm giữa hai số chính giữa).
Bước 2: Từ chính giữa tới số nhỏ nhất có (8 − 1) : 2 = 3,5 khoảng cách, mỗi khoảng 5: 3,5 × 5 = 17,5.
Bước 3: Số nhỏ nhất: 152,5 − 17,5 = 135.
Thử lại: 135 + 140 + … + 170 = 1220.
Vậy số nhỏ nhất là 135.
Câu 105 điểm

Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 150, biết số đó chia cho 2 và 5 đều dư 1, còn chia cho 17 thì không dư.
Find the whole number less than 150 that leaves remainder 1 when divided by 2 or 5, and is divisible by 17.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: 51

Nhận dạng: cùng số dư khi chia cho nhiều số, kèm điều kiện chia hết.
Ý tưởng: gọi N là số cần tìm;
N − 1 là bội của BCNN, liệt kê các số như vậy rồi thử chia cho 17.
Bước 1: N chia cho 2, 5 đều dư 1, nên N − 1 chia hết cho 2, 5.
Bước 2: BCNN(2, 5) = 2 × 5 = 10 (các số đôi một không có ước chung lớn hơn 1).
Các số N = 10 × t + 1 (t = 0, 1, 2, …) nhỏ hơn 150: 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101, 111, 121, 131, 141.
Bước 3: Thử chia cho 17: 1 : 17 = 0 (dư 1);
11 : 17 = 0 (dư 11);
21 : 17 = 1 (dư 4);
31 : 17 = 1 (dư 14);
41 : 17 = 2 (dư 7);
51 = 17 × 3.
Số đầu tiên chia hết cho 17 là 51.
Các số thoả mãn cả hai điều kiện cách nhau 10 × 17 = 170, số tiếp theo là 51 + 170 = 221, không nhỏ hơn 150.
Vậy số cần tìm là 51.
Câu 115 điểm

Từ 10:02 đến 13:32 (cùng ngày, giờ tính theo 24 giờ; hai đầu mút không tính), kim giờ và kim phút của đồng hồ vuông góc với nhau bao nhiêu lần?
From 10:02 to 13:32 (same day, 24-hour time; the two end moments do not count), how many times do the hour hand and the minute hand become perpendicular?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: 7

Nhận dạng: đếm số lần hai kim gặp / vuông / thẳng hàng trong một khoảng thời gian.
Ý tưởng: dùng d (góc từ kim phút tới kim giờ) giảm đều 5,5° mỗi phút;
mỗi lần d đi qua một giá trị đặc biệt là một lần xảy ra.
Bước 1 (d đầu và cuối): lúc 10:02, d = 30 × 10 − 5,5 × 2 = 289°;
thời gian 210 phút nên d giảm 210 × 5,5 = 1155°, d cuối = −866°.
Bước 2 (giá trị đặc biệt): hai kim vuông góc với nhau khi d thuộc −270, −90, 90, 270 cộng hoặc trừ bội của 360.
Bước 3 (đếm): các giá trị nằm giữa −866 và 289: 270, 90, −90, −270, −450, −630, −810;
có 7 giá trị.
Vậy hai kim vuông góc với nhau 7 lần.
Câu 125 điểm

Có 875 viên gạch hình vuông giống nhau. Xếp hết số gạch thành một hình chữ nhật đặc. Có bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau về kích thước?
875 identical square tiles are arranged, all of them, into a solid rectangle. How many rectangles of different sizes are possible?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: 4

Nhận dạng: hình chữ nhật biết diện tích, cạnh là số tự nhiên.
Ý tưởng: gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (a ≥ b), a × b = 875;
đếm số cặp (a, b) bằng số ước.
Bước 1: Các cặp là cặp ước của 875: 875 × 1, 175 × 5, 125 × 7, 35 × 25.
Bước 2: 875 : 5 = 175, 175 : 5 = 35, 35 : 5 = 7, 7 : 7 = 1.
Vậy 875 = 5³ × 7, có 4 × 2 = 8 ước.
Bước 3: Số cặp (a, b): mỗi cặp dùng hai ước khác nhau: 8 : 2 = 4 cặp.
Vậy có 4 hình chữ nhật khác nhau.
Câu 135 điểm

Khi tuổi Mai bằng 1/2 tuổi mẹ thì tổng số tuổi hai người là 72. Khi tuổi Mai bằng 1/5 tuổi mẹ thì mẹ bao nhiêu tuổi?
When Mai's age is 1/2 of the mother's age, their ages add up to 72. When Mai's age is 1/5 of the mother's age, how old is the mother?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: 30

Nhận dạng: bài toán tuổi, biết tỉ số ở hai thời điểm.
Ý tưởng: hiệu số tuổi hai người không đổi theo thời gian.
Bước 1 (lúc đầu): Mai 1 phần, mẹ 2 phần, tổng 3 phần = 72, nên 1 phần = 72 : 3 = 24.
Bước 2 (hiệu tuổi): mẹ hơn Mai 1 phần = 24 tuổi, hiệu này không đổi.
Bước 3 (lúc sau): Mai 1 phần, mẹ 5 phần, hiệu 4 phần = 24, nên 1 phần = 24 : 4 = 6.
Bước 4: mẹ = 5 × 6 = 30 tuổi.
Vậy mẹ 30 tuổi.
Câu 145 điểm

Tìm chữ số a để số 7985769a chia hết cho 55.
The 8-digit number 7985769a is divisible by 55. Find the digit a.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: 0

Nhận dạng: tìm chữ số a để số chia hết cho 55.
Ý tưởng: tách 55 = 5 × 11;
dùng dấu hiệu chia hết cho 11 (hiệu tổng các chữ số ở vị trí lẻ và chẵn) cùng dấu hiệu còn lại.
Bước 1: 55 = 5 × 11, nên số phải chia hết cho cả 5 và 11.
Bước 2: Số chia hết cho 5: chữ số cuối a là 0 hoặc 5: a là 0, 5.
Bước 3: Đánh số vị trí từ phải sang (hàng đơn vị là vị trí 1).
Tổng các chữ số ở vị trí lẻ: a + 6 + 5 + 9 = a + 20;
ở vị trí chẵn: 9 + 7 + 8 + 7 = 31.
Hiệu = (a + 20) − 31 = a − 11 phải chia hết cho 11 (bằng 0, 11, −11, …): a = 0 (hiệu bằng −11).
Bước 4: Chữ số thoả mọi điều kiện là a = 0.
Vậy a = 0.
Mẹo: số chia hết cho 11 khi tổng chữ số vị trí lẻ trừ tổng chữ số vị trí chẵn chia hết cho 11 (kể cả bằng 0).
Câu 155 điểm

Các chữ số được viết kiểu đồng hồ điện tử (như hình). Dùng các chữ số có trục đối xứng, có bao nhiêu số có 2 chữ số (mỗi chữ số được dùng nhiều lần)?
Digits are written as on a digital clock (see picture). Using only digits that have a line of symmetry, how many 2-digit numbers (digits may repeat) are there?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: 12

Nhận dạng: số lập từ các chữ số có trục đối xứng.
Ý tưởng: tìm các chữ số có trục trước, rồi lập số theo yêu cầu.
Bước 1: chữ số kiểu điện tử có trục đối xứng: 0, 1, 8 (cả trục dọc và ngang), 3 (trục ngang);
các chữ số khác không có trục.
Bước 2: chữ số đầu khác 0: 3 cách (1, 3, 8);
mỗi chữ số sau: 4 cách (0, 1, 3, 8).
Bước 3: số các số: 3 × 4 = 12.
Vậy có 12 số.
Câu 165 điểm

Bài kiểm tra có 20 câu, mỗi câu đúng được 6 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, không bỏ câu nào. Minh được 8 điểm. Hỏi Minh làm sai bao nhiêu câu?
A test has 20 questions: a correct answer scores 6 points and a wrong answer loses 2 points; no question is left blank. Minh scores 8 points. How many questions did Minh get wrong?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: 14

Nhận dạng: hai loại câu (đúng, sai) với điểm cộng và điểm trừ, biết tổng số câu và tổng điểm.
Ý tưởng: giả sử tất cả câu đều đúng, so với điểm thực tế rồi đổi từng câu đúng thành câu sai.
Bước 1 (giả sử): nếu cả 20 câu đều đúng thì được 20 × 6 = 120 điểm.
Bước 2 (chênh lệch): thực tế 8 điểm, hụt 120 − 8 = 112 điểm.
Bước 3 (mỗi lần đổi): đổi 1 câu đúng thành 1 câu sai thì mất 6 + 2 = 8 điểm (mất 6 điểm được và bị trừ 2 điểm).
Bước 4 (số câu sai): 112 : 8 = 14.
Vậy Minh làm sai 14 câu.

Phần 3: Phần C (4 câu × 7 điểm)

Câu 177 điểm

Có bao nhiêu phân số tối giản dương, nhỏ hơn 1, có mẫu số là 156?
How many positive fractions in lowest terms, less than 1, have denominator 156?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: 48

Nhận dạng: đếm phân số tối giản có mẫu cho trước.
Ý tưởng: phân số a/156 (a từ 1 đến 155) tối giản khi a không chia hết cho thừa số nguyên tố nào của 156.
Bước 1: Phân tích 156 = 2² × 3 × 13, các thừa số nguyên tố: 2, 3, 13.
Bước 2: Chia hết cho 2, 3, 13: 78, 52, 12 số;
cho 6, 26, 39: 26, 6, 4 số;
cho 78: 2 số.
Bước 3: Số tử bị loại: 78 + 52 + 12 − 26 − 6 − 4 + 2 = 108 (kể cả a = 156);
còn 156 − 108 = 48 tử số cho phân số tối giản.
Vậy có 48 phân số tối giản.
Mẹo: số phân số tối giản cũng bằng 156 × 1/2 × 2/3 × 12/13 = 48.
Câu 187 điểm

Điểm trung bình bài kiểm tra của đội Đỏ là 82, của đội Xanh là 95, điểm trung bình chung của cả hai là 87. Đội Đỏ có nhiều hơn đội Xanh 9 bạn. Hỏi đội Xanh có bao nhiêu bạn?
In a test the average score of the Red team is 82, of the Blue team is 95, and the average of both together is 87. The Red team has 9 more members than the Blue team. How many members are in the Blue team?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: 15

Nhận dạng: gộp hai nhóm có điểm trung bình khác nhau, biết trung bình chung.
Ý tưởng: tổng phần thiếu (so với trung bình chung) của nhóm thấp bằng tổng phần thừa của nhóm cao.
Bước 1 (gọi ẩn): gọi a là số bạn đội Xanh, thì đội Đỏ có a + 9 bạn.
Bước 2: mỗi bạn đội Đỏ thiếu 87 − 82 = 5 điểm;
mỗi bạn đội Xanh thừa 95 − 87 = 8 điểm.
Bước 3 (thiếu = thừa): 5 × (a + 9) = 8 × a, nên (8 − 5) × a = 5 × 9, tức là 3 × a = 45.
Bước 4: a = 45 : 3 = 15.
Vậy đội Xanh có 15 bạn.
Câu 197 điểm

Dãy số có số hạng đầu là 5, mỗi số hạng sau tính từ số hạng ngay trước nó theo quy tắc: số chẵn thì chia 2, số lẻ thì nhân 3 rồi cộng 1. Số hạng thứ 2022 của dãy là số nào?
A sequence starts with 5, and each next term is made from the term before it by this rule: an even number is halved, an odd number is multiplied by 3 and then increased by 1. What is the 2022nd term?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: 1

Nhận dạng: dãy tính từng số theo quy tắc, hỏi số hạng rất xa.
Ý tưởng: viết các số đầu đến khi thấy một số xuất hiện lại;
từ đó dãy lặp theo nhóm.
Bước 1 (viết các số đầu): 5 × 3 + 1 = 16;
16 : 2 = 8;
8 : 2 = 4;
4 : 2 = 2;
2 : 2 = 1;
1 × 3 + 1 = 4.
Bước 2 (chu kỳ): số 4 xuất hiện lại ở số hạng thứ 7, nên từ số hạng thứ 4 dãy lặp lại nhóm 3 số (4, 2, 1);
3 số hạng đầu không lặp.
Bước 3 (số hạng thứ 2022 nằm ở đâu): bỏ 3 số hạng đầu còn 2022 − 3 = 2019;
2019 : 3 = 673 chia hết.
Bước 4 (số cần tìm): chia hết nên số hạng thứ 2022 là số cuối của nhóm (thứ 3): 1.
Vậy số hạng thứ 2022 là 1.
Câu 207 điểm

Một đoàn tàu có 29 toa chứa tất cả 781 hành khách. 7 toa liền nhau bất kỳ chứa tổng cộng 191 hành khách. Hỏi toa ở giữa chứa bao nhiêu hành khách?
A train has 29 cars holding 781 passengers in total. Any 7 consecutive cars hold 191 passengers altogether. How many passengers are in the middle car?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: 17

Nhận dạng: 7 toa liền nhau bất kỳ có tổng bằng nhau, biết tổng cả hàng.
Ý tưởng: các số lặp lại sau mỗi 7 toa;
chia hàng thành các nhóm 7 toa.
Bước 1 (chu kỳ): hai nhóm 7 toa liền nhau lệch một vị trí có cùng tổng, nên toa thứ 1 = toa thứ 8 = toa thứ 15 = …;
các số lặp lại sau mỗi 7 toa.
Bước 2 (chia nhóm): 29 : 7 = 4 dư 1, nên có 4 nhóm đủ 7 toa và 1 toa còn lại (toa cuối cùng, bằng toa thứ 1).
Bước 3 (tính toa còn lại): 4 nhóm có 4 × 191 = 764 hành khách;
toa còn lại có 781 − 764 = 17 hành khách.
Bước 4 (vị trí hỏi): toa ở giữa là toa thứ (29 + 1) : 2 = 15;
15 − 1 = 14 = 7 × 2 chia hết cho 7, nên toa thứ 15 bằng toa thứ 1, có 17 hành khách.
Vậy toa ở giữa chứa 17 hành khách.

Đáp án đề thi AIMO lớp 7

Câu	Đáp án
Câu 1	2
Câu 2	21
Câu 3	25
Câu 4	0
Câu 5	56
Câu 6	32
Câu 7	72
Câu 8	30
Câu 9	135
Câu 10	51
Câu 11	7
Câu 12	4
Câu 13	30
Câu 14	0
Câu 15	12
Câu 16	14
Câu 17	48
Câu 18	15
Câu 19	1
Câu 20	17

Đề thi khác

Đề AIMO khối khác: Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 8 · Lớp 9

Đề lớp 7 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức AIMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi AIMO lớp 7 có bao nhiêu câu?

Đề vòng loại AIMO lớp 7 có 20 câu, làm trong 70 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử AIMO lớp 7 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề AIMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.