Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số mà chia cho 18 dư 2. A. 1008 B. 1010 C. 1012 D. 1028

Đáp án: B. 1010. Nhận dạng: số có số dư cho trước, lớn nhất / nhỏ nhất. Ý tưởng: gọi N là số cần tìm; N − 2 chia hết cho 18, tìm bội của 18 gần biên nhất. Bước 1: N chia cho 18 dư 2, nên N − 2 là bội của 18. Bước 2: N nhỏ nhất có 4 chữ số nên N − 2 ≥ 1000 − 2 = 998; 998 : 18 = 55 (dư 8), lấy bội tiếp theo: 18 × 56 = 1008. Bước 3: N = 1008 + 2 = 1010. Vậy N = 1010.

Trên một đường thẳng, cứ hoành độ tăng 1 thì tung độ tăng 5. Đường thẳng đi qua điểm A(−5; −30). Điểm có hoành độ −3 trên đường thẳng có tung độ bằng bao nhiêu? A. −20 B. 20 C. −15 D. −40

Đáp án: A. −20. Nhận dạng: đường thẳng biết một điểm và bước thay đổi đều. Ý tưởng: đếm số bước từ A tới điểm cần tìm rồi nhân với độ đổi mỗi bước. Bước 1: Hoành độ tăng −3 − (−5) = 2, tức 2 : 1 = 2 bước. Bước 2: Tung độ đổi 2 × 5 = 10. Bước 3: Tung độ: −30 + 10 = −20. Vậy tung độ là −20.

Cho a, b, c là ba chữ số khác 0 và khác nhau. Biết ab + bc + ca = 132, trong đó ab, bc, ca là các số có hai chữ số. Tính a + b + c. A. 11 B. 12 C. 13 D. 44

Đáp án: B. 12. Nhận dạng: phép cộng các số viết bằng chữ, chữ số xoay vòng. Ý tưởng: tách mỗi số theo hàng chục, hàng đơn vị rồi gom từng chữ. Bước 1 (tách hàng): ab = 10 × a + b; bc = 10 × b + c; ca = 10 × c + a. Bước 2 (cộng): ab + bc + ca = 11 × a + 11 × b + 11 × c = 11 × (a + b + c). Bước 3: 11 × (a + b + c) = 132, nên a + b + c = 132 : 11 = 12. Vậy a + b + c = 12.

Trên mặt phẳng có 5 điểm, không có ba điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng. Vẽ được bao nhiêu tam giác nối các điểm đó? A. 10 B. 15 C. 20 D. 60

Đáp án: A. 10. Nhận dạng: đếm tam giác từ các điểm. Ý tưởng: không có 3 điểm thẳng hàng nên chọn 3 điểm bất kì là được một tam giác; chọn có thứ tự rồi chia. Bước 1 (chọn có thứ tự): 5 × 4 × 3 = 60. Bước 2 (bỏ thứ tự): 3 điểm đã chọn đổi chỗ cho nhau: 3 × 2 × 1 = 6 cách, không tạo nhóm mới. Bước 3 (chia): 60 : 6 = 10. Vậy có 10 tam giác.

Minh đạp xe từ A đến B với vận tốc 15 km/h rồi từ B về A theo đường cũ với vận tốc 10 km/h. Quãng đường một chiều dài 105 km. Cả hành trình Minh đi hết bao nhiêu phút? A. 840 B. 1040 C. 1050 D. 1060

Đáp án: C. 1050. Nhận dạng: hai chiều cùng quãng đường, hỏi tổng thời gian. Ý tưởng: thời gian mỗi chiều = quãng đường : vận tốc; cộng hai thời gian rồi đổi ra phút. Bước 1 (chiều thứ nhất): 105 : 15 = 7 giờ = 420 phút. Bước 2 (chiều thứ hai): 105 : 10 = 10,5 giờ = 630 phút. Bước 3 (tổng thời gian): 420 + 630 = 1050 phút. Vậy cả hành trình hết 1050 phút.

Phúc để dành tiền: ngày đầu bỏ ống 2 nghìn đồng, mỗi ngày sau bỏ gấp 2 lần ngày trước. Sau 6 ngày, ống heo có bao nhiêu nghìn đồng? A. 24 B. 64 C. 126 D. 190

Đáp án: C. 126. Nhận dạng: tổng mà mỗi số gấp 2 lần số đứng trước. Ý tưởng: nhân tổng với 2 rồi trừ tổng ban đầu, các số ở giữa mất đi. Bước 1: Gọi S là tổng số tiền bỏ ống mỗi ngày: S = 2 + 4 + 8 + … + 64 (6 số, số cuối 2 × 2⁵ = 64). Bước 2: Nhân với 2: 2 × S = 4 + 8 + … + 64 + 128 (mỗi số dời sang phải một chỗ). Bước 3: Trừ hai dòng, các số giống nhau mất đi: 2 × S − S = 128 − 2, tức là S = 126 nghìn đồng. Vậy có 126 nghìn đồng.

Bình có 1680 nghìn đồng gồm các tờ 50 nghìn và 20 nghìn, số tờ 20 nghìn nhiều hơn số tờ 50 nghìn là 7 tờ. Tổng cộng có bao nhiêu tờ? A. 24 B. 29 C. 51 D. 58

Đáp án: C. 51. Nhận dạng: hai loại, biết tổng giá trị và loại này nhiều hơn loại kia. Ý tưởng: gọi số lượng loại ít là a thì loại nhiều là a + hiệu, lập một phương trình bậc nhất. Bước 1: Gọi a là số tờ 50 nghìn, số tờ 20 nghìn là a + 7. Bước 2: 50a + 20(a + 7) = 1680, tức là 70a + 140 = 1680. Bước 3: 70a = 1680 − 140 = 1540, a = 1540 : 70 = 22. Bước 4: Số tờ 20 nghìn: 22 + 7 = 29, tổng: 22 + 29 = 51. Vậy có tất cả 51 tờ.

Kể từ 4 giờ đúng, sau bao nhiêu phút thì kim giờ và kim phút của đồng hồ trùng nhau lần đầu tiên? Kết quả làm tròn đến số phút nguyên gần nhất. A. 21 B. 22 C. 23 D. 38

Đáp án: B. 22. Nhận dạng: hai kim đồng hồ gặp / vuông / thẳng hàng lần đầu, kết quả phải làm tròn. Ý tưởng: coi kim phút đuổi kim giờ với tốc độ hơn 5,5° mỗi phút, tính chính xác rồi mới làm tròn theo yêu cầu. Bước 1 (đặt d): d là góc quay theo chiều kim đồng hồ từ kim phút tới kim giờ; lúc 4 giờ d = 4 × 30 = 120°, mỗi phút d giảm 6 − 0,5 = 5,5°. Bước 2 (lúc trùng): hai kim trùng nhau khi d thuộc −720, −360, 0, 360 (số âm: kim phút đã vượt kim giờ); giá trị gần nhất nhỏ hơn 120 là 0, nên kim phút phải đuổi 120 − 0 = 120°. Bước 3 (thời gian): 120 : 5,5 = 240 : 11 = 21 9/11 phút ≈ 21,8182 phút. Bước 4 (làm tròn): 21,8182 gần nhất với 22. Vậy sau 22 phút.

Tính tổng: 2/(6 × 8) + 2/(8 × 10) + 2/(10 × 12) + … + 2/(24 × 26) A. 10/39 B. 5/39 C. 8/39 D. 1/8

Đáp án: B. 5/39. Nhận dạng: tổng phân số có mẫu là tích hai số hơn kém nhau 2. Ý tưởng: tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số, các phân số ở giữa mất đi. Bước 1: Hai thừa số ở mẫu hơn kém nhau 2, bằng tử số: 2/(6 × 8) = 1/6 − 1/8, 2/(8 × 10) = 1/8 − 1/10, cứ thế đến phân số cuối. Bước 2: Cộng lại, mỗi phân số ở giữa xuất hiện một lần cộng, một lần trừ nên mất đi, còn 1/6 − 1/26. Bước 3: 1/6 − 1/26 = 13/78 − 3/78 = 10/78 = 5/39. Vậy tổng bằng 5/39.

Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4 cm. Cắt bớt chiều dài 4 cm thì được một hình vuông, diện tích giảm 104 cm². Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu. A. 56 B. 104 C. 112 D. 120

Đáp án: C. 112. Nhận dạng: đổi một cạnh để thành hình vuông. Ý tưởng: dải diện tích thay đổi có một cạnh bằng phần đổi, cạnh kia là cạnh giữ nguyên. Bước 1: Gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (cm) của hình chữ nhật. Bước 2: Cắt bớt chiều dài 4 cm thì mất dải 4 × b = 104, nên b = 104 : 4 = 26 cm. Bước 3: a = b + 4 = 26 + 4 = 30 cm. Bước 4: Chu vi = (a + b) × 2 = (30 + 26) × 2 = 112 cm. Vậy chu vi là 112 cm.

Gieo một con xúc xắc cân đối 3 lần. Tính xác suất để tích ba số chấm là bội của 2. Viết xác suất thành phân số tối giản a/b. Tính a + b. A. 3 B. 9 C. 15 D. 203

Đáp án: C. 15. Nhận dạng: xác suất gieo xúc xắc 3 lần, dùng phần bù. Ý tưởng: đếm trường hợp ngược lại (tích không là bội của 2) rồi lấy tất cả trừ đi. Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 × 6 = 216. Bước 2 (trường hợp ngược lại): cả ba lần đều ra mặt 1, 3 hoặc 5: 3 × 3 × 3 = 27. Bước 3 (kết quả thoả): 216 − 27 = 189; xác suất 189/216 = 7/8. Bước 4 (tính a + b): a = 7, b = 8, a + b = 15. Vậy a + b = 15.

Hai máy in được bảo dưỡng theo chu kỳ: một cái cứ 10 ngày một lần, cái kia cứ 18 ngày một lần. Lần gần nhất cả hai cùng vào thứ Năm. Lần tiếp theo cả hai cùng vào ngày thứ mấy trong tuần? A. thứ Tư B. thứ Sáu C. thứ Ba D. thứ Năm

Đáp án: A. thứ Tư. Nhận dạng: hai việc lặp lại theo chu kỳ, hỏi lần trùng nhau tiếp theo. Ý tưởng: số ngày đến lần trùng tiếp theo là bội chung nhỏ nhất của hai chu kỳ. Bước 1: Số ngày phải chia hết cho cả 10 và 18, nhỏ nhất nên là BCNN(10, 18). Bước 2: BCNN(10, 18) = 2 × 3² × 5 = 90 (10 = 2 × 5, 18 = 2 × 3²: lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất). Bước 3: 1 tuần có 7 ngày; 90 : 7 = 12 (dư 6), nên sau 12 tuần và 6 ngày. Bước 4: Từ thứ Năm đếm thêm 6 ngày là thứ Tư. Vậy lần tiếp theo là thứ Tư.

Tam giác có ba cạnh dài 11 cm, 61 cm và 60 cm. Tính diện tích tam giác. A. 660 cm² B. 335,5 cm² C. 330 cm² D. 1830 cm²

Đáp án: C. 330 cm². Nhận dạng: biết ba cạnh, thử xem có phải tam giác vuông (Pytago đảo). Ý tưởng: nếu bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác vuông. Bước 1: 11 × 11 + 60 × 60 = 121 + 3600 = 3721 = 61 × 61. Bước 2: Vậy tam giác vuông, hai cạnh góc vuông là 11 cm và 60 cm. Bước 3: Diện tích = 11 × 60 : 2 = 330 cm². Vậy diện tích tam giác là 330 cm².

Cho a, b thoả mãn hai phương trình 2a + b = 1 và −4a + 4b = −8. Tính a. A. 1 B. −1 C. 2 D. 0

Đáp án: A. 1. Nhận dạng: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a, b. Ý tưởng: nhân một phương trình để hệ số của b bằng nhau (hoặc đối nhau), rồi trừ (hoặc cộng) cho b mất đi. Bước 1: Gọi 2a + b = 1 là (1), −4a + 4b = −8 là (2). Nhân (1) với 4: 8a + 4b = 4 (3). Bước 2: Hệ số của b ở (3) và (2) là 4 và 4, nên trừ (3) − (2): 12a = 12, a = 12 : 12 = 1. Bước 3: Thay a = 1 vào (1): b = 1 − 2 × 1 = −1. Vậy a = 1.

Tam giác ABC có góc A = 84°. Kéo dài cạnh BC về phía C, góc ngoài tại đỉnh C bằng 144°. Tính góc B. A. 36 B. 60 C. 66 D. 108

Đáp án: B. 60. Nhận dạng: biết góc ngoài của tam giác. Ý tưởng: góc ngoài tại C và góc trong tại C cộng lại bằng 180° (kề bù). Bước 1: Góc trong tại C = 180° − 144° = 36°. Bước 2: Góc B = 180° − 84° − 36° = 60°. Vậy góc B = 60°. Mẹo: góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề nó: 84° + 60° = 144°.

6 bạn An, Bình, Chi, Dũng, Hà, Khoa ngồi thành vòng tròn theo thứ tự đó, theo chiều kim đồng hồ. Các bạn đếm liên tiếp 1, 2, 3, … theo chiều kim đồng hồ; ai đọc số chia hết cho 4 thì ra khỏi vòng, bạn kế tiếp đọc số tiếp theo. Bạn còn lại cuối cùng thắng. Dũng muốn thắng thì phải để bạn nào đọc số 1? A. An B. Dũng C. Hà D. Khoa

Đáp án: D. Khoa. Nhận dạng: vòng tròn loại người theo bội của một số. Ý tưởng: cứ đếm thêm 4 người (bỏ qua người đã ra) thì một người ra, nên mô phỏng từng lượt. Bước 1 (thử): cho An đọc 1, lần lượt ra: Dũng, Bình, An, Chi, Khoa; người thắng là Hà. Bước 2 (quay vòng): dời người đọc số 1 đi một chỗ theo chiều kim đồng hồ thì cả trò chơi dời theo, người thắng cũng dời một chỗ. Bước 3: từ Hà đến Dũng theo chiều kim đồng hồ phải dời 5 chỗ, nên người đọc 1 là bạn cách An 5 chỗ theo chiều kim đồng hồ: Khoa. Bước 4 (thử lại): Khoa đọc 1 thì lần lượt ra Chi, An, Khoa, Bình, Hà; còn lại Dũng. Vậy Khoa phải đọc số 1.

Đội tuyển Toán có 7 bạn. Chọn 3 bạn đi thi, trong đó có 1 bạn làm đội trưởng và 1 bạn làm đội phó. Có bao nhiêu cách chọn? A. 35 B. 140 C. 210 D. 245

Đáp án: C. 210. Nhận dạng: chọn nhóm rồi chọn người giữ việc trong nhóm. Ý tưởng: chọn nhóm trước (có thứ tự rồi chia), rồi chọn người giữ việc trong nhóm; hai bước nối tiếp nên nhân. Bước 1 (chọn 3 bạn đi thi): (7 × 6 × 5) : (3 × 2 × 1) = 35. Bước 2 (chọn đội trưởng, đội phó trong 3 bạn): 3 × 2 = 6 cách. Bước 3 (nhân): 35 × 6 = 210. Vậy có 210 cách.

Cho dãy 9, 8, 17, … mà mỗi số (từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng ngay trước nó. Trong 609 số hạng đầu tiên có bao nhiêu số lẻ? A. 203 B. 405 C. 406 D. 407

Đáp án: C. 406. Nhận dạng: mỗi số bằng tổng hai số liền trước, hỏi đếm số chẵn / lẻ trong rất nhiều số đầu. Ý tưởng: không tính từng số, chỉ xét chẵn hay lẻ; chẵn lẻ lặp lại theo nhóm. Bước 1 (chẵn lẻ): lẻ + lẻ = chẵn, lẻ + chẵn = lẻ, chẵn + chẵn = chẵn. Từ hai số đầu 9 và 8, bảy số đầu theo thứ tự là: lẻ, chẵn, lẻ, lẻ, chẵn, lẻ, lẻ. Bước 2 (nhóm lặp): cứ 3 số lại lặp: (lẻ, chẵn, lẻ); mỗi nhóm có 2 số lẻ và 1 số chẵn. Bước 3 (chia nhóm): 609 : 3 = 203, nên có đúng 203 nhóm đủ, không còn số nào ngoài các nhóm. Bước 4 (đếm số lẻ): 203 nhóm có 203 × 2 = 406 số lẻ. Không còn số nào ngoài các nhóm, nên có 406 số lẻ. Vậy có 406 số lẻ.

Tính tổng các ước dương của 495, không kể chính số 495. A. 441 B. 442 C. 935 D. 936

Đáp án: A. 441. Nhận dạng: tổng các ước của một số lớn. Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, tổng các ước bằng tích các tổng luỹ thừa của từng thừa số. Bước 1: Chia liên tiếp: 495 : 3 = 165, 165 : 3 = 55, 55 : 5 = 11, 11 : 11 = 1. Vậy 495 = 3² × 5 × 11. Bước 2: Mỗi ước là tích một số trong mỗi nhóm (1, 3, 9), (1, 5), (1, 11). Bước 3: Tổng = (1 + 3 + 9) × (1 + 5) × (1 + 11) = 13 × 6 × 12 = 936. Bỏ chính số 495: 936 − 495 = 441. Vậy tổng cần tìm là 441. Mẹo: nhân các ngoặc ra sẽ được mỗi ước đúng một lần, nên không sót, không lặp.

Có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 bạn. Tính xác suất để 2 bạn được chọn cùng là nam hoặc cùng là nữ. A. 43/134 B. 43/91 C. 6/13 D. 4/7

Đáp án: B. 43/91. Nhận dạng: chọn ngẫu nhiên nhiều vật, xác suất theo loại. Ý tưởng: xác suất = số cách chọn thoả : số cách chọn bất kì; chọn không kể thứ tự (có thứ tự rồi chia). Bước 1 (tất cả: chọn 2 trong 14): (14 × 13) : (2 × 1) = 91. Bước 2 (cùng loại): toàn bạn nam: (8 × 7) : (2 × 1) = 28, toàn bạn nữ: (6 × 5) : (2 × 1) = 15, cộng: 28 + 15 = 43. Bước 3 (xác suất): 43/91. Vậy xác suất là 43/91.

Phép toán ⊠ thoả mãn: a ⊠ 1 = 8 với mọi số a, và a ⊠ b = (a − 1) ⊠ (b − 1) + a + b với mọi số a, b lớn hơn 1. Tính 6 ⊠ 4.

Đáp án: 32. Nhận dạng: phép toán định nghĩa lùi dần (đệ quy). Ý tưởng: lùi từng bước cho tới khi số thứ hai bằng 1 (đã biết), rồi cộng ngược lên. Bước 1: 6 ⊠ 4 = 5 ⊠ 3 + 6 + 4; 5 ⊠ 3 = 4 ⊠ 2 + 5 + 3; 4 ⊠ 2 = 3 ⊠ 1 + 4 + 2. Bước 2: 3 ⊠ 1 = 8. Bước 3: Cộng ngược lên: 4 ⊠ 2 = 8 + 6 = 14; 5 ⊠ 3 = 14 + 8 = 22; 6 ⊠ 4 = 22 + 10 = 32. Vậy 6 ⊠ 4 = 32.

Đề thi FMO lớp 7 có đáp án, lời giải chi tiết

Đề thi thử FMO lớp 7 (vòng loại) do Cú Pi Math biên soạn theo đúng cấu trúc đã công bố: 21 câu, làm trong 60 phút, ngôn ngữ đề: song ngữ việt – anh. Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 10 câu khởi động × 3 điểm; 5 câu tăng tốc × 5 điểm; 5 câu thử thách × 7 điểm; 1 câu ngôi sao hy vọng × 10 điểm. Trả lời sai bị trừ: ngôi sao hy vọng −10; bỏ trống không trừ. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi FMO.

Phần 1: Khởi động (10 câu × 3 điểm)

Câu 13 điểm

Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số mà chia cho 18 dư 2.
Find the smallest 4-digit number that leaves remainder 2 when divided by 18.
1. A. 1008
2. B. 1010
3. C. 1012
4. D. 1028
Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: B. 1010

Nhận dạng: số có số dư cho trước, lớn nhất / nhỏ nhất.
Ý tưởng: gọi N là số cần tìm;
N − 2 chia hết cho 18, tìm bội của 18 gần biên nhất.
Bước 1: N chia cho 18 dư 2, nên N − 2 là bội của 18.
Bước 2: N nhỏ nhất có 4 chữ số nên N − 2 ≥ 1000 − 2 = 998;
998 : 18 = 55 (dư 8), lấy bội tiếp theo: 18 × 56 = 1008.
Bước 3: N = 1008 + 2 = 1010.
Vậy N = 1010.
Câu 23 điểm

Trên một đường thẳng, cứ hoành độ tăng 1 thì tung độ tăng 5. Đường thẳng đi qua điểm A(−5; −30). Điểm có hoành độ −3 trên đường thẳng có tung độ bằng bao nhiêu?
On a line, whenever the first coordinate increases by 1, the second increases by 5. The line passes through A(−5; −30). What is the second coordinate of the point on the line with first coordinate −3?
1. A. −20
2. B. 20
3. C. −15
4. D. −40
Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: A. −20

Nhận dạng: đường thẳng biết một điểm và bước thay đổi đều.
Ý tưởng: đếm số bước từ A tới điểm cần tìm rồi nhân với độ đổi mỗi bước.
Bước 1: Hoành độ tăng −3 − (−5) = 2, tức 2 : 1 = 2 bước.
Bước 2: Tung độ đổi 2 × 5 = 10.
Bước 3: Tung độ: −30 + 10 = −20.
Vậy tung độ là −20.
Câu 33 điểm

Cho a, b, c là ba chữ số khác 0 và khác nhau. Biết ab + bc + ca = 132, trong đó ab, bc, ca là các số có hai chữ số. Tính a + b + c.
a, b, c are three different non-zero digits and ab + bc + ca = 132, where ab, bc, ca are two-digit numbers. Find a + b + c.
1. A. 11
2. B. 12
3. C. 13
4. D. 44
Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: B. 12

Nhận dạng: phép cộng các số viết bằng chữ, chữ số xoay vòng.
Ý tưởng: tách mỗi số theo hàng chục, hàng đơn vị rồi gom từng chữ.
Bước 1 (tách hàng): ab = 10 × a + b;
bc = 10 × b + c;
ca = 10 × c + a.
Bước 2 (cộng): ab + bc + ca = 11 × a + 11 × b + 11 × c = 11 × (a + b + c).
Bước 3: 11 × (a + b + c) = 132, nên a + b + c = 132 : 11 = 12.
Vậy a + b + c = 12.
Câu 43 điểm

Trên mặt phẳng có 5 điểm, không có ba điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng. Vẽ được bao nhiêu tam giác nối các điểm đó?
There are 5 points with no 3 on a line. How many triangles have their vertices at these points?
1. A. 10
2. B. 15
3. C. 20
4. D. 60
Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: A. 10

Nhận dạng: đếm tam giác từ các điểm.
Ý tưởng: không có 3 điểm thẳng hàng nên chọn 3 điểm bất kì là được một tam giác;
chọn có thứ tự rồi chia.
Bước 1 (chọn có thứ tự): 5 × 4 × 3 = 60.
Bước 2 (bỏ thứ tự): 3 điểm đã chọn đổi chỗ cho nhau: 3 × 2 × 1 = 6 cách, không tạo nhóm mới.
Bước 3 (chia): 60 : 6 = 10.
Vậy có 10 tam giác.
Câu 53 điểm

Minh đạp xe từ A đến B với vận tốc 15 km/h rồi từ B về A theo đường cũ với vận tốc 10 km/h. Quãng đường một chiều dài 105 km. Cả hành trình Minh đi hết bao nhiêu phút?
Minh cycles from A to B at 15 km/h and then back along the same road at 10 km/h. The one-way distance is 105 km. How many minutes does the whole trip take?
1. A. 840
2. B. 1040
3. C. 1050
4. D. 1060
Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: C. 1050

Nhận dạng: hai chiều cùng quãng đường, hỏi tổng thời gian.
Ý tưởng: thời gian mỗi chiều = quãng đường : vận tốc;
cộng hai thời gian rồi đổi ra phút.
Bước 1 (chiều thứ nhất): 105 : 15 = 7 giờ = 420 phút.
Bước 2 (chiều thứ hai): 105 : 10 = 10,5 giờ = 630 phút.
Bước 3 (tổng thời gian): 420 + 630 = 1050 phút.
Vậy cả hành trình hết 1050 phút.
Câu 63 điểm

Phúc để dành tiền: ngày đầu bỏ ống 2 nghìn đồng, mỗi ngày sau bỏ gấp 2 lần ngày trước. Sau 6 ngày, ống heo có bao nhiêu nghìn đồng?
Phuc saves 2 thousand dong on the first day and each next day saves 2 times as much as the day before. How many thousand dong are saved after 6 days?
1. A. 24
2. B. 64
3. C. 126
4. D. 190
Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: C. 126

Nhận dạng: tổng mà mỗi số gấp 2 lần số đứng trước.
Ý tưởng: nhân tổng với 2 rồi trừ tổng ban đầu, các số ở giữa mất đi.
Bước 1: Gọi S là tổng số tiền bỏ ống mỗi ngày: S = 2 + 4 + 8 + … + 64 (6 số, số cuối 2 × 2⁵ = 64).
Bước 2: Nhân với 2: 2 × S = 4 + 8 + … + 64 + 128 (mỗi số dời sang phải một chỗ).
Bước 3: Trừ hai dòng, các số giống nhau mất đi: 2 × S − S = 128 − 2, tức là S = 126 nghìn đồng.
Vậy có 126 nghìn đồng.
Câu 73 điểm

Bình có 1680 nghìn đồng gồm các tờ 50 nghìn và 20 nghìn, số tờ 20 nghìn nhiều hơn số tờ 50 nghìn là 7 tờ. Tổng cộng có bao nhiêu tờ?
Binh has 1680 thousand dong in 50-thousand and 20-thousand notes; there are 7 more 20-thousand notes than 50-thousand notes. How many notes are there in total?
1. A. 24
2. B. 29
3. C. 51
4. D. 58
Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: C. 51

Nhận dạng: hai loại, biết tổng giá trị và loại này nhiều hơn loại kia.
Ý tưởng: gọi số lượng loại ít là a thì loại nhiều là a + hiệu, lập một phương trình bậc nhất.
Bước 1: Gọi a là số tờ 50 nghìn, số tờ 20 nghìn là a + 7.
Bước 2: 50a + 20(a + 7) = 1680, tức là 70a + 140 = 1680.
Bước 3: 70a = 1680 − 140 = 1540, a = 1540 : 70 = 22.
Bước 4: Số tờ 20 nghìn: 22 + 7 = 29, tổng: 22 + 29 = 51.
Vậy có tất cả 51 tờ.
Câu 83 điểm

Kể từ 4 giờ đúng, sau bao nhiêu phút thì kim giờ và kim phút của đồng hồ trùng nhau lần đầu tiên? Kết quả làm tròn đến số phút nguyên gần nhất.
Starting at exactly 4 o'clock, after how many minutes do the hour hand and the minute hand overlap for the first time? Round to the nearest whole number of minutes.
1. A. 21
2. B. 22
3. C. 23
4. D. 38
Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: B. 22

Nhận dạng: hai kim đồng hồ gặp / vuông / thẳng hàng lần đầu, kết quả phải làm tròn.
Ý tưởng: coi kim phút đuổi kim giờ với tốc độ hơn 5,5° mỗi phút, tính chính xác rồi mới làm tròn theo yêu cầu.
Bước 1 (đặt d): d là góc quay theo chiều kim đồng hồ từ kim phút tới kim giờ;
lúc 4 giờ d = 4 × 30 = 120°, mỗi phút d giảm 6 − 0,5 = 5,5°.
Bước 2 (lúc trùng): hai kim trùng nhau khi d thuộc −720, −360, 0, 360 (số âm: kim phút đã vượt kim giờ);
giá trị gần nhất nhỏ hơn 120 là 0, nên kim phút phải đuổi 120 − 0 = 120°.
Bước 3 (thời gian): 120 : 5,5 = 240 : 11 = 21 9/11 phút ≈ 21,8182 phút.
Bước 4 (làm tròn): 21,8182 gần nhất với 22.
Vậy sau 22 phút.
Câu 93 điểm

Tính tổng: 2/(6 × 8) + 2/(8 × 10) + 2/(10 × 12) + … + 2/(24 × 26)
Compute 2/(6 × 8) + 2/(8 × 10) + 2/(10 × 12) + … + 2/(24 × 26)
1. A. 10/39
2. B. 5/39
3. C. 8/39
4. D. 1/8
Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: B. 5/39

Nhận dạng: tổng phân số có mẫu là tích hai số hơn kém nhau 2.
Ý tưởng: tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số, các phân số ở giữa mất đi.
Bước 1: Hai thừa số ở mẫu hơn kém nhau 2, bằng tử số: 2/(6 × 8) = 1/6 − 1/8, 2/(8 × 10) = 1/8 − 1/10, cứ thế đến phân số cuối.
Bước 2: Cộng lại, mỗi phân số ở giữa xuất hiện một lần cộng, một lần trừ nên mất đi, còn 1/6 − 1/26.
Bước 3: 1/6 − 1/26 = 13/78 − 3/78 = 10/78 = 5/39.
Vậy tổng bằng 5/39.
Câu 103 điểm

Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4 cm. Cắt bớt chiều dài 4 cm thì được một hình vuông, diện tích giảm 104 cm². Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.
A rectangle is 4 cm longer than it is wide. Cutting 4 cm off the length leaves a square, and the area decreases by 104 cm². Find the perimeter of the original rectangle in cm.
1. A. 56
2. B. 104
3. C. 112
4. D. 120
Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: C. 112

Nhận dạng: đổi một cạnh để thành hình vuông.
Ý tưởng: dải diện tích thay đổi có một cạnh bằng phần đổi, cạnh kia là cạnh giữ nguyên.
Bước 1: Gọi a là chiều dài, b là chiều rộng (cm) của hình chữ nhật.
Bước 2: Cắt bớt chiều dài 4 cm thì mất dải 4 × b = 104, nên b = 104 : 4 = 26 cm.
Bước 3: a = b + 4 = 26 + 4 = 30 cm.
Bước 4: Chu vi = (a + b) × 2 = (30 + 26) × 2 = 112 cm.
Vậy chu vi là 112 cm.

Phần 2: Tăng tốc (5 câu × 5 điểm)

Câu 115 điểm

Gieo một con xúc xắc cân đối 3 lần. Tính xác suất để tích ba số chấm là bội của 2. Viết xác suất thành phân số tối giản a/b. Tính a + b.
A fair die is rolled 3 times. Find the probability that the product of the three numbers is a multiple of 2. Write the probability as a fraction a/b in lowest terms. Find a + b.
1. A. 3
2. B. 9
3. C. 15
4. D. 203
Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: C. 15

Nhận dạng: xác suất gieo xúc xắc 3 lần, dùng phần bù.
Ý tưởng: đếm trường hợp ngược lại (tích không là bội của 2) rồi lấy tất cả trừ đi.
Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 × 6 = 216.
Bước 2 (trường hợp ngược lại): cả ba lần đều ra mặt 1, 3 hoặc 5: 3 × 3 × 3 = 27.
Bước 3 (kết quả thoả): 216 − 27 = 189;
xác suất 189/216 = 7/8.
Bước 4 (tính a + b): a = 7, b = 8, a + b = 15.
Vậy a + b = 15.
Câu 125 điểm

Hai máy in được bảo dưỡng theo chu kỳ: một cái cứ 10 ngày một lần, cái kia cứ 18 ngày một lần. Lần gần nhất cả hai cùng vào thứ Năm. Lần tiếp theo cả hai cùng vào ngày thứ mấy trong tuần?
Two printers are serviced regularly: one every 10 days, the other every 18 days. The last time they coincided was a Thursday. On which day of the week will they next coincide?
1. A. thứ Tư
2. B. thứ Sáu
3. C. thứ Ba
4. D. thứ Năm
Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: A. thứ Tư

Nhận dạng: hai việc lặp lại theo chu kỳ, hỏi lần trùng nhau tiếp theo.
Ý tưởng: số ngày đến lần trùng tiếp theo là bội chung nhỏ nhất của hai chu kỳ.
Bước 1: Số ngày phải chia hết cho cả 10 và 18, nhỏ nhất nên là BCNN(10, 18).
Bước 2: BCNN(10, 18) = 2 × 3² × 5 = 90 (10 = 2 × 5, 18 = 2 × 3²: lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất).
Bước 3: 1 tuần có 7 ngày;
90 : 7 = 12 (dư 6), nên sau 12 tuần và 6 ngày.
Bước 4: Từ thứ Năm đếm thêm 6 ngày là thứ Tư.
Vậy lần tiếp theo là thứ Tư.
Câu 135 điểm

Tam giác có ba cạnh dài 11 cm, 61 cm và 60 cm. Tính diện tích tam giác.
A triangle has sides 11 cm, 61 cm and 60 cm. Find its area in cm².
1. A. 660 cm²
2. B. 335,5 cm²
3. C. 330 cm²
4. D. 1830 cm²
Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: C. 330 cm²

Nhận dạng: biết ba cạnh, thử xem có phải tam giác vuông (Pytago đảo).
Ý tưởng: nếu bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác vuông.
Bước 1: 11 × 11 + 60 × 60 = 121 + 3600 = 3721 = 61 × 61.
Bước 2: Vậy tam giác vuông, hai cạnh góc vuông là 11 cm và 60 cm.
Bước 3: Diện tích = 11 × 60 : 2 = 330 cm².
Vậy diện tích tam giác là 330 cm².
Câu 145 điểm

Cho a, b thoả mãn hai phương trình 2a + b = 1 và −4a + 4b = −8. Tính a.
Numbers a and b satisfy 2a + b = 1 and −4a + 4b = −8. Find a.
1. A. 1
2. B. −1
3. C. 2
4. D. 0
Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: A. 1

Nhận dạng: hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a, b.
Ý tưởng: nhân một phương trình để hệ số của b bằng nhau (hoặc đối nhau), rồi trừ (hoặc cộng) cho b mất đi.
Bước 1: Gọi 2a + b = 1 là (1), −4a + 4b = −8 là (2).
Nhân (1) với 4: 8a + 4b = 4 (3).
Bước 2: Hệ số của b ở (3) và (2) là 4 và 4, nên trừ (3) − (2): 12a = 12, a = 12 : 12 = 1.
Bước 3: Thay a = 1 vào (1): b = 1 − 2 × 1 = −1.
Vậy a = 1.
Câu 155 điểm

Tam giác ABC có góc A = 84°. Kéo dài cạnh BC về phía C, góc ngoài tại đỉnh C bằng 144°. Tính góc B.
Triangle ABC has angle A = 84°. Side BC is extended beyond C; the exterior angle at C is 144°. Find angle B.
1. A. 36
2. B. 60
3. C. 66
4. D. 108
Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: B. 60

Nhận dạng: biết góc ngoài của tam giác.
Ý tưởng: góc ngoài tại C và góc trong tại C cộng lại bằng 180° (kề bù).
Bước 1: Góc trong tại C = 180° − 144° = 36°.
Bước 2: Góc B = 180° − 84° − 36° = 60°.
Vậy góc B = 60°.
Mẹo: góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề nó: 84° + 60° = 144°.

Phần 3: Thử thách (5 câu × 7 điểm)

Câu 167 điểm

6 bạn An, Bình, Chi, Dũng, Hà, Khoa ngồi thành vòng tròn theo thứ tự đó, theo chiều kim đồng hồ. Các bạn đếm liên tiếp 1, 2, 3, … theo chiều kim đồng hồ; ai đọc số chia hết cho 4 thì ra khỏi vòng, bạn kế tiếp đọc số tiếp theo. Bạn còn lại cuối cùng thắng. Dũng muốn thắng thì phải để bạn nào đọc số 1?
6 children An, Bình, Chi, Dũng, Hà, Khoa sit in a circle in that order, clockwise. They count 1, 2, 3, … clockwise; whoever says a multiple of 4 leaves and the next child says the next number. The last one left wins. Who must say 1 so that Dũng wins?
1. A. An
2. B. Dũng
3. C. Hà
4. D. Khoa
Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: D. Khoa

Nhận dạng: vòng tròn loại người theo bội của một số.
Ý tưởng: cứ đếm thêm 4 người (bỏ qua người đã ra) thì một người ra, nên mô phỏng từng lượt.
Bước 1 (thử): cho An đọc 1, lần lượt ra: Dũng, Bình, An, Chi, Khoa;
người thắng là Hà.
Bước 2 (quay vòng): dời người đọc số 1 đi một chỗ theo chiều kim đồng hồ thì cả trò chơi dời theo, người thắng cũng dời một chỗ.
Bước 3: từ Hà đến Dũng theo chiều kim đồng hồ phải dời 5 chỗ, nên người đọc 1 là bạn cách An 5 chỗ theo chiều kim đồng hồ: Khoa.
Bước 4 (thử lại): Khoa đọc 1 thì lần lượt ra Chi, An, Khoa, Bình, Hà;
còn lại Dũng.
Vậy Khoa phải đọc số 1.
Câu 177 điểm

Đội tuyển Toán có 7 bạn. Chọn 3 bạn đi thi, trong đó có 1 bạn làm đội trưởng và 1 bạn làm đội phó. Có bao nhiêu cách chọn?
The maths team has 7 members. 3 go to a contest, with one captain and one vice-captain among them. How many ways are there?
1. A. 35
2. B. 140
3. C. 210
4. D. 245
Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: C. 210

Nhận dạng: chọn nhóm rồi chọn người giữ việc trong nhóm.
Ý tưởng: chọn nhóm trước (có thứ tự rồi chia), rồi chọn người giữ việc trong nhóm;
hai bước nối tiếp nên nhân.
Bước 1 (chọn 3 bạn đi thi): (7 × 6 × 5) : (3 × 2 × 1) = 35.
Bước 2 (chọn đội trưởng, đội phó trong 3 bạn): 3 × 2 = 6 cách.
Bước 3 (nhân): 35 × 6 = 210.
Vậy có 210 cách.
Câu 187 điểm

Cho dãy 9, 8, 17, … mà mỗi số (từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng ngay trước nó. Trong 609 số hạng đầu tiên có bao nhiêu số lẻ?
In the sequence 9, 8, 17, ... every term from the third on is the sum of the two terms before it. How many of the first 609 terms are odd?
1. A. 203
2. B. 405
3. C. 406
4. D. 407
Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: C. 406

Nhận dạng: mỗi số bằng tổng hai số liền trước, hỏi đếm số chẵn / lẻ trong rất nhiều số đầu.
Ý tưởng: không tính từng số, chỉ xét chẵn hay lẻ;
chẵn lẻ lặp lại theo nhóm.
Bước 1 (chẵn lẻ): lẻ + lẻ = chẵn, lẻ + chẵn = lẻ, chẵn + chẵn = chẵn.
Từ hai số đầu 9 và 8, bảy số đầu theo thứ tự là: lẻ, chẵn, lẻ, lẻ, chẵn, lẻ, lẻ.
Bước 2 (nhóm lặp): cứ 3 số lại lặp: (lẻ, chẵn, lẻ);
mỗi nhóm có 2 số lẻ và 1 số chẵn.
Bước 3 (chia nhóm): 609 : 3 = 203, nên có đúng 203 nhóm đủ, không còn số nào ngoài các nhóm.
Bước 4 (đếm số lẻ): 203 nhóm có 203 × 2 = 406 số lẻ.
Không còn số nào ngoài các nhóm, nên có 406 số lẻ.
Vậy có 406 số lẻ.
Câu 197 điểm

Tính tổng các ước dương của 495, không kể chính số 495.
Find the sum of the positive divisors of 495, not counting 495 itself.
1. A. 441
2. B. 442
3. C. 935
4. D. 936
Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: A. 441

Nhận dạng: tổng các ước của một số lớn.
Ý tưởng: phân tích ra thừa số nguyên tố, tổng các ước bằng tích các tổng luỹ thừa của từng thừa số.
Bước 1: Chia liên tiếp: 495 : 3 = 165, 165 : 3 = 55, 55 : 5 = 11, 11 : 11 = 1.
Vậy 495 = 3² × 5 × 11.
Bước 2: Mỗi ước là tích một số trong mỗi nhóm (1, 3, 9), (1, 5), (1, 11).
Bước 3: Tổng = (1 + 3 + 9) × (1 + 5) × (1 + 11) = 13 × 6 × 12 = 936.
Bỏ chính số 495: 936 − 495 = 441.
Vậy tổng cần tìm là 441.
Mẹo: nhân các ngoặc ra sẽ được mỗi ước đúng một lần, nên không sót, không lặp.
Câu 207 điểm

Có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 bạn. Tính xác suất để 2 bạn được chọn cùng là nam hoặc cùng là nữ.
There are 8 boys and 6 girls. 2 are chosen at random. Find the probability that all 2 are boys or all 2 are girls.
1. A. 43/134
2. B. 43/91
3. C. 6/13
4. D. 4/7
Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: B. 43/91

Nhận dạng: chọn ngẫu nhiên nhiều vật, xác suất theo loại.
Ý tưởng: xác suất = số cách chọn thoả : số cách chọn bất kì;
chọn không kể thứ tự (có thứ tự rồi chia).
Bước 1 (tất cả: chọn 2 trong 14): (14 × 13) : (2 × 1) = 91.
Bước 2 (cùng loại): toàn bạn nam: (8 × 7) : (2 × 1) = 28, toàn bạn nữ: (6 × 5) : (2 × 1) = 15, cộng: 28 + 15 = 43.
Bước 3 (xác suất): 43/91.
Vậy xác suất là 43/91.

Phần 4: Ngôi sao hy vọng (1 câu × 10 điểm)

Câu 2110 điểm · sai trừ 10

Phép toán ⊠ thoả mãn: a ⊠ 1 = 8 với mọi số a, và a ⊠ b = (a − 1) ⊠ (b − 1) + a + b với mọi số a, b lớn hơn 1. Tính 6 ⊠ 4.
The operation ⊠ satisfies a ⊠ 1 = 8 for every a, and a ⊠ b = (a − 1) ⊠ (b − 1) + a + b for all a, b greater than 1. Compute 6 ⊠ 4.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 32

Nhận dạng: phép toán định nghĩa lùi dần (đệ quy).
Ý tưởng: lùi từng bước cho tới khi số thứ hai bằng 1 (đã biết), rồi cộng ngược lên.
Bước 1: 6 ⊠ 4 = 5 ⊠ 3 + 6 + 4;
5 ⊠ 3 = 4 ⊠ 2 + 5 + 3;
4 ⊠ 2 = 3 ⊠ 1 + 4 + 2.
Bước 2: 3 ⊠ 1 = 8.
Bước 3: Cộng ngược lên: 4 ⊠ 2 = 8 + 6 = 14;
5 ⊠ 3 = 14 + 8 = 22;
6 ⊠ 4 = 22 + 10 = 32.
Vậy 6 ⊠ 4 = 32.

Đáp án đề thi FMO lớp 7

Câu	Đáp án
Câu 1	B. 1010
Câu 2	A. −20
Câu 3	B. 12
Câu 4	A. 10
Câu 5	C. 1050
Câu 6	C. 126
Câu 7	C. 51
Câu 8	B. 22
Câu 9	B. 5/39
Câu 10	C. 112
Câu 11	C. 15
Câu 12	A. thứ Tư
Câu 13	C. 330 cm²
Câu 14	A. 1
Câu 15	B. 60
Câu 16	D. Khoa
Câu 17	C. 210
Câu 18	C. 406
Câu 19	A. 441
Câu 20	B. 43/91
Câu 21	32

Đề thi khác

Đề FMO khối khác: Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 8 · Lớp 9

Đề lớp 7 các cuộc thi khác: TIMO · HKIMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · PIMSO · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức FMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi FMO lớp 7 có bao nhiêu câu?

Đề vòng loại FMO lớp 7 có 21 câu, làm trong 60 phút, tối đa 100 điểm.

Làm đề thi thử FMO lớp 7 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề FMO mới đúng cấu trúc, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.