Đề thi thử TIMO lớp 9 (vòng quốc gia) do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh (có chú thích tiếng việt cho từ khoá). Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.
Cách tính điểm: 5 câu tư duy logic × 4 điểm; 5 câu số học & đại số × 4 điểm; 5 câu lý thuyết số × 4 điểm; 5 câu hình học × 4 điểm; 5 câu tổ hợp × 4 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi TIMO.
Lịch vòng quốc gia TIMO mùa 2026–2027: thi 06/12/2026, thi tập trung; đăng ký đến 04/11/2026. Lịch có thể đổi, xem trang thi TIMO và lịch thi các cuộc thi.
Đề TIMO lớp 9 có gì đáng chú ý?
Đề gồm 25 câu làm trong 90 phút, trung bình khoảng 3,6 phút cho mỗi câu. Đề trải trên 25 dạng bài khác nhau, không dạng nào lặp lại; mảng chiếm nhiều câu nhất là số học (32%).
Mốc giải trong đề thi thử Cú Pi Math: Huy chương Vàng từ 80 điểm; Huy chương Bạc từ 60 điểm; Huy chương Đồng từ 40 điểm; Giải Khuyến khích từ 20 điểm (đề tối đa 100 điểm).
Ghi chú về đề: 5 mảng × 5 câu, chỉ ghi đáp số. Mốc giải 80/60/40/20 điểm.
So với đề lớp 8 có 25 câu, 90 phút: đề lớp 9 cùng số câu và cùng thời gian.
Trước khi làm đề, bé nên ôn các dạng bài ở Toán lớp 9. Thi xong, bố mẹ tra điểm tại trang tra cứu điểm thi TIMO. Tài khoản miễn phí được thi thử 1 lần cho mỗi vòng; các gói khác xem ở chính sách về giá.
Tải đề PDF (in được, kèm đáp án)
Phần 1: Tư duy logic (5 câu × 4 điểm)
-
Câu 14 điểm
There are 21 cards numbered 1, 2, …, 21. What is the least (ít nhất) number of cards to draw to be sure of two cards whose numbers differ by 2?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 1
Đáp án: 12
Nhận dạng: chắc chắn có hai số hơn kém nhau 2;
tìm tập lớn nhất không có cặp nào như vậy.
Ý tưởng: chia các số theo số dư khi chia cho 2;
mỗi dãy r, r + 2, r + 4, … chỉ được chọn các số không đứng cạnh nhau.
Bước 1: Có 2 dãy (số dư 0 tới 1);
hai số hơn kém 2 luôn cùng dãy và đứng cạnh nhau trong dãy.
Bước 2: Dãy L số chọn nhiều nhất (L + 1) : 2 số (bỏ phần lẻ), lấy cách một số: 1 dãy dài 11 số chọn được 6;
1 dãy dài 10 số chọn được 5.
Bước 3: Nhiều nhất chọn được 6 + 5 = 11 số mà không có cặp hơn kém 2.
Bước 4: Bốc thêm 1 thẻ thì chắc chắn có cặp: 11 + 1 = 12.
Vậy cần bốc ít nhất 12 thẻ. -
Câu 24 điểm
The numbers 1, 2, …, n are written on a board and one of them is erased. The mean (trung bình cộng) of the remaining (còn lại) numbers is 58 111/116. Which number was erased?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 2
Đáp án: 64
Nhận dạng: các số liên tiếp từ 1 đến n bị xoá một số, cho trung bình các số còn lại, tìm số bị xoá.
Ý tưởng: chặn n bằng hai trường hợp xoá số lớn nhất và nhỏ nhất, dùng mẫu số của trung bình để chọn n, rồi lấy tổng trừ đi.
Bước 1: Xoá số k thì còn n − 1 số có trung bình 58 111/116 = 6839/116.
Xoá n thì trung bình nhỏ nhất là n : 2;
xoá 1 thì lớn nhất là (n + 2) : 2.
Bước 2: Nên n : 2 ≤ 6839/116 ≤ (n + 2) : 2, tức 6723/58 ≤ n ≤ 6839/58, n là một trong 116, 117.
Bước 3: Trung bình có mẫu số 116 (đã tối giản) nên n − 1 chia hết cho 116: 116 − 1 = 115 (không), 117 − 1 = 116 (chia hết).
Vậy n = 117.
Bước 4: Tổng còn lại: 6839/116 × 116 = 6839;
tổng cả dãy 1 + … + 117 = 117 × 118 : 2 = 6903.
Bước 5: Số bị xoá: 6903 − 6839 = 64.
Vậy số bị xoá là 64.
Mẹo: tổng 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2. -
Câu 34 điểm
Three different non-zero (khác 0) digits (chữ số) form 6 different three-digit (có ba chữ số) numbers (each uses all three digits). The sum (tổng) of these 6 numbers is 3996. Find the sum of the three digits.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 3
Đáp án: 18
Nhận dạng: tổng mọi số lập từ ba chữ số khác nhau, tìm tổng chữ số hay chữ số còn lại.
Ý tưởng: mỗi chữ số đứng mỗi hàng đúng 2 lần nên tổng bằng 222 nhân tổng ba chữ số.
Bước 1: Gọi ba chữ số là x, y, z.
Mỗi chữ số đứng ở hàng trăm 2 lần, hàng chục 2 lần, hàng đơn vị 2 lần trong 6 số.
Bước 2: Nên tổng bằng 2 × (100 + 10 + 1) × (x + y + z) = 222 × (x + y + z) = 3996.
Bước 3: x + y + z = 3996 : 222 = 18.
Vậy tổng ba chữ số là 18.
Mẹo: ba chữ số khác nhau, khác 0 có tổng từ 6 đến 24. -
Câu 44 điểm
Three numbers A, B, C satisfy (thoả mãn): A is 30% of B, A is 60% of C and A + B + C = 684. Find A.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 4
Đáp án: 114
Nhận dạng: các số liên hệ với nhau bằng phần trăm và biết tổng, tìm một số.
Ý tưởng: chọn A làm chuẩn, viết B và C theo A bằng cách đổi phần trăm ra phân số, rồi dùng tổng.
Bước 1: Đổi phần trăm ra phân số của A: A = 30/100 × B nên B = A × 100/30 = 10/3 × A;
A = 60/100 × C nên C = 5/3 × A.
Bước 2: Tổng: A + B + C = A × (1 + 10/3 + 5/3) = A × 6 = 684.
Bước 3: A = 684 : 6 = 114.
Bước 4: B = 10/3 × 114 = 380;
C = 5/3 × 114 = 190.
Kiểm: 114 + 380 + 190 = 684.
Vậy số A là 114.
Mẹo: p% của B nghĩa là p/100 × B, nên đừng nhầm số nào là chuẩn. -
Câu 54 điểm
A box contains 22 purple balls, 31 pink balls, 42 orange balls, 33 red balls and 45 black balls. Blindfolded, what is the least (ít nhất) number of balls to take out to be sure there is at least one purple one?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 5
Đáp án: 152
Nhận dạng: lấy ít nhất bao nhiêu để chắc chắn có ít nhất một quả bóng tím.
Ý tưởng: xấu nhất là lấy hết các vật màu khác trước.
Bước 1: Số quả bóng không phải màu tím: 31 + 42 + 33 + 45 = 151.
Bước 2: Lấy hết số đó vẫn chưa có màu tím;
thêm 1: 151 + 1 = 152.
Vậy cần lấy ít nhất 152 quả bóng.
Phần 2: Số học & Đại số (5 câu × 4 điểm)
-
Câu 64 điểm
Evaluate (tính) A = ∛(9 + 4√5) + ∛(9 − 4√5).
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 6
Đáp án: 3
Nhận dạng: tổng hai căn bậc ba liên hợp ∛(a + √b) + ∛(a − √b).
Ý tưởng: lập phương hai vế bằng (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v);
tích uv tính được vì (a + √b)(a − √b) = a² − b.
Bước 1: Tích hai căn: ∛((9 + 4√5)(9 − 4√5)) = ∛(9² − (4√5)²) = ∛(81 − 80) = ∛(1) = 1.
Bước 2: Lập phương: A³ = (9 + 4√5) + (9 − 4√5) + 3 × 1 × A = 18 + 3A.
Bước 3: A³ − 3A − 18 = 0;
thử lần lượt A = 1, 2, 3: A = 3 thoả vì 3³ − 3 × 3 − 18 = 27 − 9 − 18 = 0.
Phân tích: (A − 3)(A² + 3A + 6) = 0;
A² + 3A + 6 có Δ = 3² − 4 × 6 = −15 < 0 nên luôn dương.
Vậy A = 3. -
Câu 74 điểm
α and β are the two roots (nghiệm) of x² − 7x + 3 = 0. Find α⁴ + β⁴.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 7
Đáp án: 1831
Nhận dạng: biểu thức đối xứng của hai nghiệm phương trình bậc hai.
Ý tưởng: không giải;
theo Viète, tổng S = −b/a, tích P = c/a, rồi viết biểu thức qua S và P.
Bước 1: Δ = (−7)² − 4 × 3 = 37 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bước 2: S = α + β = 7, P = αβ = 3.
Bước 3: α⁴ + β⁴ = (α² + β²)² − 2P² = (S² − 2P)² − 2P².
Bước 4: α⁴ + β⁴ = (43)² − 2 × 3² = 1849 − 18 = 1831.
Vậy α⁴ + β⁴ = 1831. -
Câu 84 điểm
The polynomial (đa thức) x⁴ + mx³ − 14x² + nx + 60 is divisible (chia hết) by x² − 5x + 6. Find m − n.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 8
Đáp án: 15
Nhận dạng: đa thức chia hết cho một đa thức bậc hai phân tích được thành hai nhân tử bậc nhất.
Ý tưởng: chia hết cho (x − r₁)(x − r₂) thì giá trị tại x = r₁ và x = r₂ đều bằng 0: được hệ hai ẩn m, n.
Bước 1: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), nên giá trị tại x = 2 và x = 3 bằng 0.
Bước 2: Thay x = 2: 2⁴ + m × 2³ − 14 × 2² + n × 2 + 60 = 16 + 8m − 56 + 2n + 60 = 0;
tức là 8m + 2n = −20, chia cho 2: 4m + n = −10 (1).
Bước 3: Thay x = 3: 3⁴ + m × 3³ − 14 × 3² + n × 3 + 60 = 81 + 27m − 126 + 3n + 60 = 0;
tức là 27m + 3n = −15, chia cho 3: 9m + n = −5 (2).
Bước 4: Hệ số của n là 1 và 1, đã bằng nhau;
trừ hai phương trình: −5m = −5, nên m = (−5) : (−5) = 1;
thế vào (1): 4 × 1 + n = −10, nên n = −10 − 4 = −14.
Bước 5: m − n = 1 − (−14) = 15.
Vậy m − n = 15. -
Câu 94 điểm
Find the maximum (lớn nhất) value (giá trị) of A = −9 + 18x − x².
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 9
Đáp án: 72
Nhận dạng: tam thức bậc hai có hệ số của x² là −1 < 0, hỏi giá trị lớn nhất.
Ý tưởng: gom A thành một bình phương nhân hệ số rồi cộng hằng số, vì bình phương luôn ≥ 0, từ đó đọc ra giá trị cực trị và chỗ đạt được.
Bước 1: Đặt −1 làm thừa số chung của hai hạng tử chứa x: A = −(x² − 18x) − 9.
Bước 2: x² − 18x = (x − 9)² − 81 (nửa hệ số của x là 18 : 2 = 9).
Nên A = −[(x − 9)² − 81] − 9 = −(x − 9)² + 81 − 9 = 72 − (x − 9)².
Bước 3: (x − 9)² ≥ 0, bằng 0 khi x − 9 = 0, tức là x = 9.
Bước 4: Nhân (x − 9)² ≥ 0 với số âm thì đổi chiều: −(x − 9)² ≤ 0, nên A ≤ 72.
Vậy giá trị lớn nhất của A là 72. -
Câu 104 điểm
Given x > 0 and x = 2 + 32/(4 + 32/(4 + 32/(4 + …))), find x.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 10
Đáp án: 6
Nhận dạng: phân số liên tục vô hạn, phần mẫu lặp lại.
Ý tưởng: thay phần lặp bằng ẩn, quy đồng ra phương trình bậc hai, chỉ lấy nghiệm dương.
Bước 1: Số đứng đầu (2) khác số trong mẫu (4), nên đặt y = x − 2 = 32/(4 + 32/(4 + …));
mẫu lặp lại 4 + y, nên y = 32/(4 + y) với y > 0.
Bước 2: Nhân chéo: y² + 4y − 32 = 0.
Bước 3: Phân tích: 32 = 4 × 8 và 8 − 4 = 4, nên (y − 4)(y + 8) = 0.
Bước 4: y > 0 nên y = 4;
x = 2 + 4 = 6.
Vậy x = 6.
Phần 3: Lý thuyết số (5 câu × 4 điểm)
-
Câu 114 điểm
How many irreducible fractions (phân số tối giản) greater than (lớn hơn) 0 and less than (ít hơn) 1 have denominator (mẫu số) 643?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 11
Đáp án: 642
Nhận dạng: đếm phân số tối giản có mẫu cho trước.
Ý tưởng: phân số a/643 (0 < a < 643) tối giản khi a và 643 không có ước chung nào lớn hơn 1.
Bước 1: 643 là số nguyên tố, vì 643 không chia hết cho số nguyên tố nào không vượt quá 25 (25² = 625 ≤ 643 < 676).
Bước 2: Mọi tử a từ 1 đến 642 đều không chia hết cho 643, nên nguyên tố cùng nhau với 643.
Vậy có 642 phân số. -
Câu 124 điểm
Given x > 0 and x² − 5x + 1 = 0, find x⁵ + 1/x⁵.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 12
Đáp án: 2525
Nhận dạng: biết x + 1/x, hỏi x⁵ + 1/x⁵.
Ý tưởng: lập phương hai vế;
hạng tử giữa là 3 × x × 1/x × (x + 1/x), tính được.
Bước 1: x ≠ 0 (thay x = 0 không thoả), chia hai vế cho x: x − 5 + 1/x = 0, tức là x + 1/x = 5.
Bước 2: (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3 × x × 1/x × (x + 1/x) = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x).
Bước 3: 5³ = x³ + 1/x³ + 3 × 5, nên x³ + 1/x³ = 125 − 15 = 110.
Bước 4: x² + 1/x² = 5² − 2 = 23;
(x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) = x⁵ + 1/x⁵ + x + 1/x, nên x⁵ + 1/x⁵ = 23 × 110 − 5 = 2525.
Vậy x⁵ + 1/x⁵ = 2525. -
Câu 134 điểm
Find the smallest (nhỏ nhất) number not less than (ít hơn) 2000 with exactly (đúng) 4 positive (dương) divisors (số chia).
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 13
Đáp án: 2005
Nhận dạng: tìm số có đúng 4 ước gần một mốc.
Ý tưởng: số ước bằng tích các (số mũ + 1), mà 4 = 4 = 2 × 2 nên số đó có dạng p³ hoặc p × q.
Bước 1: Dạng số có đúng 4 ước: p³ hoặc p × q (p, q là các số nguyên tố khác nhau).
Bước 2: Bắt đầu từ 2000 đi lên.
2000 = 2⁴ × 5³ (20 ước);
2001 = 3 × 23 × 29 (8 ước);
2002 = 2 × 7 × 11 × 13 (16 ước);
2003 là số nguyên tố (2 ước);
2004 = 2² × 3 × 167 (12 ước).
Bước 3: 2005 = 5 × 401, dạng p × q, có đúng 4 ước.
Vậy số cần tìm là 2005. -
Câu 144 điểm
48 buffaloes eat exactly (đúng) 48 bundles of hay: each standing buffalo eats 3, each lying one eats 2, and every 4 old buffaloes share 1 bundle; there is at least (ít nhất) one of each kind. How many possible distributions of the three kinds are there?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 14
Đáp án: 2
Nhận dạng: bài toán ba ẩn, hai phương trình (tổng số con và tổng số bó / tiền), nghiệm nguyên dương.
Ý tưởng: khử ẩn thứ ba được một phương trình hai ẩn, rồi thử các giá trị nguyên dương.
Bước 1: Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già là a, b, c: a + b + c = 48 (1) và 3a + 2b + c/4 = 48 (2).
Bước 2: Nhân (2) với 4: 12a + 8b + c = 192;
trừ (1): 11a + 7b = 144.
Bước 3: b = (144 − 11a)/7;
b nguyên khi a chia 7 dư 1 (thử a = 1, 2, … tới a = 1: 144 − 11 = 133 = 7 × 19; a tăng thêm 7 thì 11a tăng thêm 77 = 7 × 11, vẫn chia hết cho 7);
b ≥ 1 nên 11a ≤ 137, a ≤ 137/11: a = 1, 8.
Bước 4: Giữ các bộ có c = 48 − a − b > 0 (c = 4 × (48 − 3a − 2b) nên tự chia hết cho 4): (a, b, c) = (1, 19, 28), (8, 8, 32).
Bước 5: Có 2 cách.
Vậy có 2 cách. -
Câu 154 điểm
Find the smallest (nhỏ nhất) three-digit (có ba chữ số) number x such that 9x − 59 is divisible (chia hết) by 23.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 15
Đáp án: 119
Nhận dạng: tìm x biết 9x − 59 chia hết cho 23.
Ý tưởng: tìm số dư của x khi chia cho 23 trước (thử các số chia 23 dư 13 tới số chia hết cho 9), rồi viết x = 23 × t + số dư.
Bước 1: 59 chia 23 dư 13 (59 = 23 × 2 + 13), nên 9x chia 23 dư 13.
Số 9x có dạng 23 × k + 13: thử 13, 36;
36 = 9 × 4 chia hết cho 9.
Bước 2: Do đó x chia 23 dư 4 (từ x = 4), nên x = 23 × t + 4.
Bước 3: 23 × t + 4 ≥ 100 nên 23 × t ≥ 96;
96 : 23 = 4 (dư 4), t nhỏ nhất là 5: x = 23 × 5 + 4 = 119.
Vậy x = 119.
Phần 4: Hình học (5 câu × 4 điểm)
-
Câu 164 điểm
Find the measure of one interior angle (góc trong) of a regular (đều) polygon (đa giác) with 24 sides (cạnh).
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 16
Đáp án: 165
Nhận dạng: đa giác đều biết số cạnh, hỏi một góc trong.
Ý tưởng: đổi sang góc ngoài, vì các góc ngoài của đa giác đều bằng nhau và có tổng 360°.
Bước 1: Mỗi góc ngoài = 360° : 24 = 15°.
Bước 2: Góc trong kề bù với góc ngoài: 180° − 15° = 165°.
Vậy mỗi góc trong bằng 165°.
Mẹo: thử lại bằng tổng góc trong (24 − 2) × 180° : 24 = 165°. -
Câu 174 điểm
Line d passes through A(11; −14) and has slope (hệ số góc) 2/5. Find the x-coordinate (hoành độ) of its intersection (giao điểm) with the x-axis (trục hoành).
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 17
Đáp án: 46
Nhận dạng: biết một điểm và hệ số góc của đường thẳng.
Ý tưởng: d có dạng y = ax + b với a là hệ số góc, thay toạ độ A để tìm b.
Bước 1: d có dạng y = 2/5 × x + b.
Bước 2: Thay A: −14 = 2/5 × 11 + b = 22/5 + b, nên b = −92/5.
Bước 3: Giao với Ox khi y = 0: 2/5 × x = 92/5, x = 92/5 : 2/5 = 46.
Vậy hoành độ giao điểm là 46. -
Câu 184 điểm
Quadrilateral (tứ giác) ABCD has diagonals (đường chéo) AC and BD perpendicular (vuông góc) at P. Given AB = 19, BC = 23, CD = 17, find DA.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 18
Đáp án: 11
Nhận dạng: tứ giác có hai đường chéo vuông góc, biết ba cạnh, hỏi cạnh thứ tư.
Ý tưởng: quanh P có bốn tam giác vuông, Pytago cho AB² + CD² = BC² + DA² (cùng bằng PA² + PB² + PC² + PD²).
Bước 1: AB² + CD² = 361 + 289 = 650.
Bước 2: DA² = 650 − BC² = 650 − 529 = 121.
Bước 3: DA = √121 = 11.
Vậy DA = 11. -
Câu 194 điểm
Triangle (hình tam giác) ABC has AB = 37, BC = 27, CA = 25. Given sin B : sin A = m/n in lowest terms (tối giản), find m + n.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 19
Đáp án: 52
Nhận dạng: biết ba cạnh, hỏi tỉ số sin của hai góc nhọn.
Ý tưởng: hạ đường cao từ đỉnh còn lại xuống cạnh nối hai đỉnh của hai góc cần so sánh, đường cao là cạnh góc vuông của hai tam giác vuông chứa hai góc đó.
Bước 1: Tam giác vuông CHB: sin B = CH : CB;
tam giác vuông CHA: sin A = CH : CA.
Bước 2: sin B : sin A = CA : CB = CA : BC = 25 : 27, tức m/n = 25/27.
Bước 3: m = 25, n = 27;
m + n = 25 + 27 = 52.
Vậy kết quả là 52. -
Câu 204 điểm
Find the area (diện tích) of quadrilateral (tứ giác) ABCD with A(−6; −4), B(6; 7), C(7; 6), D(−5; −9).
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 20
Đáp án: 49
Nhận dạng: tứ giác lồi cho bằng toạ độ bốn đỉnh, mỗi đỉnh nằm trên một cạnh của hình chữ nhật bao quanh.
Ý tưởng: vẽ hình chữ nhật có cạnh song song hai trục bao quanh hình, rồi trừ các tam giác vuông ở góc (phần thừa).
Bước 1: Hình chữ nhật bao quanh: x từ −6 đến 7 (rộng 13), y từ −9 đến 7 (cao 16);
diện tích 13 × 16 = 208.
Bước 2: Phần thừa là các tam giác vuông dựng trên từng cạnh: cạnh AB: 12 × 11 : 2 = 66, cạnh BC: 1 × 1 : 2 = 0,5, cạnh CD: 12 × 15 : 2 = 90, cạnh DA: 1 × 5 : 2 = 2,5.
Bước 3: Diện tích = 208 − (66 + 0,5 + 90 + 2,5) = 208 − 159 = 49.
Vậy diện tích là 49.
Phần 5: Tổ hợp (5 câu × 4 điểm)
-
Câu 214 điểm
Real numbers x, y satisfy (thoả mãn) y² + x² + 18y = −2x − 82. Find x − y.
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 21
Đáp án: 8
Nhận dạng: phương trình có hai ẩn, có x² và y², gom được thành tổng hai bình phương bằng 0.
Ý tưởng: tổng các số không âm bằng 0 thì từng số bằng 0.
Bước 1: Chuyển hết sang vế trái: x² + 2x + y² + 18y + 82 = 0.
Bước 2: Nửa hệ số của x là 2 : 2 = 1, nửa hệ số của y là 18 : 2 = 9;
tách 82 = 1² + 9² = 1 + 81.
Gom: (x² + 2x + 1) + (y² + 18y + 81) = 0, tức là (x + 1)² + (y + 9)² = 0.
Bước 3: Hai bình phương đều ≥ 0, tổng bằng 0 nên x + 1 = 0 và y + 9 = 0: x = −1, y = −9.
Bước 4: x − y = −1 − (−9) = 8.
Vậy x − y = 8. -
Câu 224 điểm
There are 4 orange flags, 3 purple flags and 4 white flags; items of the same colour are identical. In how many ways (cách) can all of them be put in a row (hàng)?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 22
Đáp án: 11550
Nhận dạng: xếp hàng các vật, vật cùng màu giống nhau.
Ý tưởng: chọn chỗ cho từng màu (màu ít trước), chỗ còn lại cho màu cuối, rồi nhân.
Bước 1: Có 4 + 3 + 4 = 11 chỗ trong hàng.
Bước 2: Chọn 3 chỗ trong 11 chỗ cho lá cờ tím: (11 × 10 × 9) : (3 × 2 × 1) = 165 cách.
11 × 10 × 9 là chọn lần lượt 3 chỗ có thứ tự;
thứ tự chọn không quan trọng nên chia cho 3 × 2 × 1.
Bước 3: Chọn 4 chỗ trong 8 chỗ còn lại cho lá cờ cam: (8 × 7 × 6 × 5) : (4 × 3 × 2 × 1) = 70 cách.
Bước 4: 4 chỗ còn lại cho lá cờ trắng: 1 cách.
Nhân: 165 × 70 = 11550.
Vậy có 11550 cách.
Mẹo: cũng bằng 11! : (4! × 3! × 4!), chia cho số cách đổi chỗ các vật cùng màu. -
Câu 234 điểm
Count the 4-digit (có bốn chữ số) numbers that have digit (chữ số) sum (tổng) 3. How many are there?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 23
Đáp án: 10
Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số mà tổng các chữ số bằng 3.
Ý tưởng: hạ hàng đầu đi 1 để mọi chữ số đều ≥ 0, rồi coi như chia bi: xếp bi và vách ngăn thành hàng.
Bước 1: Gọi các chữ số là a, b, c, d (a ≥ 1): a + b + c + d = 3.
Đặt a = 1 + f (f ≥ 0): f + b + c + d = 3 − 1 = 2.
Bước 2: Mỗi bộ số ứng với một cách xếp 2 viên bi và 3 vách thành hàng 2 + 3 = 5 chỗ (số bi giữa hai vách là một chữ số).
Mọi chữ số đều không quá 3 < 10 nên bộ nào cũng hợp lệ.
Bước 3: Chọn 3 chỗ đặt vách trong 5 chỗ: (5 × 4) : (2 × 1) = 10.
Vậy có 10 số. -
Câu 244 điểm
How many ordered 4-tuples of integers (a, b, c, d), each greater than (lớn hơn) 2, satisfy (thoả mãn) a + b + c + d = 15?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 24
Đáp án: 20
Nhận dạng: đếm bộ 4 số (có thứ tự) có tổng cho trước, mỗi số lớn hơn một số cho trước.
Ý tưởng: bớt trước phần bắt buộc để đưa về bộ 4 số nguyên dương, rồi đặt vách vào khe.
Bước 1: Mỗi số lớn hơn 2 nghĩa là mỗi số ≥ 3.
Đặt số mới bằng số cũ trừ 2 (vd a' = a − 2), số mới nào cũng ≥ 1.
Bước 2: Tổng các số mới: 15 − 4 × 2 = 7.
Coi mỗi đơn vị là một viên bi.
Bước 3: Xếp 7 viên bi thành hàng: có 7 − 1 = 6 khe giữa hai viên bi liền nhau.
Đặt 4 − 1 = 3 vách vào 3 khe khác nhau thì được 4 phần, phần nào cũng có ít nhất 1.
Bước 4: Chọn 3 khe trong 6 khe: (6 × 5 × 4) : (3 × 2 × 1) = 20 cách.
Vậy có 20 bộ. -
Câu 254 điểm
Roll a six-sided die (xúc xắc) 3 times (lần) in a row. How many ordered outcomes (kết quả) are there in which the product (tích) of the three numbers is at least (ít nhất) 150?
Điền đáp số: ……
Đáp án và lời giải câu 25
Đáp án: 7
Nhận dạng: đếm kết quả gieo ba xúc xắc có tích lớn.
Ý tưởng: liệt kê bộ không kể thứ tự (x ≥ y ≥ z) có tích đủ lớn, rồi đếm số cách đổi thứ tự của mỗi bộ.
Bước 1: Có 6 × 6 × 6 = 216 kết quả.
Bước 2: Bộ ba số giống nhau có 1 thứ tự, hai số giống nhau có 3, ba số khác nhau có 3 × 2 × 1 = 6.
Bước 3: x = 6, y = 6 cần 6 × 6 × z ≥ 150, nên z từ 5 tới 6: (6, 6, 6) có 1 cách, (6, 6, 5) có 3 cách.
Bước 4: x = 6, y = 5 cần 6 × 5 × z ≥ 150, nên z = 5: (6, 5, 5) có 3 cách.
Bước 5: Cộng lại: 1 + 3 + 3 = 7.
Vậy có 7 kết quả.
Đáp án đề thi TIMO lớp 9
| Câu | Đáp án |
|---|---|
| Câu 1 | 12 |
| Câu 2 | 64 |
| Câu 3 | 18 |
| Câu 4 | 114 |
| Câu 5 | 152 |
| Câu 6 | 3 |
| Câu 7 | 1831 |
| Câu 8 | 15 |
| Câu 9 | 72 |
| Câu 10 | 6 |
| Câu 11 | 642 |
| Câu 12 | 2525 |
| Câu 13 | 2005 |
| Câu 14 | 2 |
| Câu 15 | 119 |
| Câu 16 | 165 |
| Câu 17 | 46 |
| Câu 18 | 11 |
| Câu 19 | 52 |
| Câu 20 | 49 |
| Câu 21 | 8 |
| Câu 22 | 11550 |
| Câu 23 | 10 |
| Câu 24 | 20 |
| Câu 25 | 7 |
Đề thi khác
Cùng cuộc thi TIMO, lớp khác: Mầm non · Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 8
Vòng đầu của TIMO lớp 9: đề thi thử TIMO lớp 9.
Đề cùng lớp 9 của cuộc thi khác: HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · PIMSO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC
Ngày thi và hạn đăng ký: lịch thi TIMO · lịch thi Toán quốc tế các cuộc thi.
Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức TIMO.
Câu hỏi thường gặp
Đề thi TIMO lớp 9 có bao nhiêu câu?
Đề vòng quốc gia (heat round) TIMO lớp 9 có 25 câu, làm trong 90 phút, tối đa 100 điểm.
Làm đề thi thử TIMO lớp 9 online ở đâu?
Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề TIMO mới theo cấu trúc đã công bố, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.
TIMO vòng quốc gia lớp 9 2026 thi ngày nào?
Theo lịch mùa 2026–2027, vòng quốc gia TIMO thi 06/12/2026. Ban tổ chức có thể đổi lịch, phụ huynh nên kiểm tra lại trên trang của họ.