An exam has 35 questions. A correct answer scores 5 points (điểm), a wrong answer loses 2 points, a blank scores 0. Dung gets 98 points. What is the largest (lớn nhất) possible number of correct answers?

Đáp án: 24. Nhận dạng: ba loại câu (đúng, sai, bỏ trống) với tổng số điểm cho trước, hỏi số câu đúng nhiều nhất. Ý tưởng: gọi a là số câu đúng, b là số câu sai, điểm 5 × a − 2 × b = 98, b phải là số tự nhiên và a + b không vượt quá 35, rồi liệt kê. Bước 1: Gọi a, b là số câu đúng, sai: 5 × a − 2 × b = 98, suy ra b = (5 × a − 98) : 2. Bước 2: b nguyên không âm nên 5 × a ≥ 98 (a ≥ 20) và 5 × a − 98 chia hết cho 2. Thử từ a = 20: số đầu tiên thoả là a = 20 (5 × 20 − 98 = 2, chia hết cho 2). Vì 5 và 2 không có ước chung, các a thoả cách nhau 2 đơn vị: 20, 22, 24 và cứ thế tiếp tục. Bước 3: Các cặp thoả a + b ≤ 35: a = 20: b = (5 × 20 − 98) : 2 = 1, trống 14; a = 22: b = (5 × 22 − 98) : 2 = 6, trống 7; a = 24: b = (5 × 24 − 98) : 2 = 11, trống 0. Loại a = 26: b = 16 thì a + b = 42 lớn hơn 35. Bước 4: Có 3 cặp (a, b): (20, 1), (22, 6), (24, 11). Vậy số câu đúng nhiều nhất là 24.

The symbols ○ and △ are two positive integers (số nguyên dương) with ○ − △ = 5 and ○ × △ = 66. Find ○² + △².

Đáp án: 157. Nhận dạng: biết tổng (hoặc hiệu) và tích của hai số, hỏi biểu thức bậc hai hoặc bậc ba của chúng. Ý tưởng: dùng hằng đẳng thức, bình phương của hiệu cộng hai lần tích. Bước 1: Dùng (○ − △)² = ○² − 2 × ○ × △ + △², với hiệu 5, tích 66. Bước 2: Suy ra ○² + △² = (○ − △)² + 2 × ○ × △. Bước 3: ○² + △² = 5² + 2 × 66 = 25 + 132 = 157. Vậy ○² + △² = 157.

In the addition (phép cộng) MATH + TEACH = 34870, each letter is a digit (chữ số), different letters are different digits, and M and T are not 0. How many different values (giá trị) can the number MATH take?

Đáp án: 8. Nhận dạng: phép cộng chữ có số cho sẵn ở kết quả, hỏi số giá trị của số MATH. Ý tưởng: xét cột đơn vị và cột chữ số đầu để tìm H, T, rồi lần lượt các cột còn lại, đếm các cách còn khớp. Bước 1: Cột đơn vị: H + H tận cùng 0, nên H ∈ {0, 5}. Bước 2: Chữ số hàng chục nghìn của tổng là 3, nên T = 3 hoặc T = 2 (tuỳ có nhớ từ cột nghìn). Bước 3: H = 0, T = 3, cột trăm nhớ 1. Cột đơn vị: 0 + 0 = 0, không nhớ. Cột chục: 3 + C = 7, nên C = 4, không nhớ. Cột trăm: A + A = 8 + 10, nên A = 9, nhớ 1. Cột chục nghìn: 3 + nhớ = 3, nên cột nghìn không nhớ. Cột nghìn: M + E + 1 = 4, nên M + E = 3, với M, E khác các chữ số đã dùng (0, 3, 9, 4): (M, E) = (1, 2), (2, 1), có 2 cách. Bước 4: H = 0, T = 2, cột trăm nhớ 0. Cột đơn vị: 0 + 0 = 0, không nhớ. Cột chục: 2 + C = 7, nên C = 5, không nhớ. Cột trăm: A + A = 8, nên A = 4, không nhớ. Cột chục nghìn: 2 + nhớ = 3, nên cột nghìn nhớ 1. Cột nghìn: M + E = 4 + 10, nên M + E = 14, với M, E khác các chữ số đã dùng (0, 2, 4, 5): (M, E) = (6, 8), (8, 6), có 2 cách. Bước 5: H = 0, T = 2, cột trăm nhớ 1. Cột đơn vị: 0 + 0 = 0, không nhớ. Cột chục: 2 + C = 7, nên C = 5, không nhớ. Cột trăm: A + A = 8 + 10, nên A = 9, nhớ 1. Cột chục nghìn: 2 + nhớ = 3, nên cột nghìn nhớ 1. Cột nghìn: M + E + 1 = 4 + 10, nên M + E = 13, với M, E khác các chữ số đã dùng (0, 2, 9, 5): (M, E) = (6, 7), (7, 6), có 2 cách. Bước 6: H = 5, T = 2, cột trăm nhớ 1. Cột đơn vị: 5 + 5 = 10, nhớ 1. Cột chục: 2 + C + 1 = 7, nên C = 4, không nhớ. Cột trăm: A + A = 8 + 10, nên A = 9, nhớ 1. Cột chục nghìn: 2 + nhớ = 3, nên cột nghìn nhớ 1. Cột nghìn: M + E + 1 = 4 + 10, nên M + E = 13, với M, E khác các chữ số đã dùng (5, 2, 9, 4): (M, E) = (6, 7), (7, 6), có 2 cách. Bước 7: Các nhánh còn lại bị loại: H = 0, T = 3, cột trăm nhớ 0: C = 4, A = 4, mà C = 4 trùng A = 4. H = 5, T = 3, cột trăm nhớ 0: C = 3, A = 4, mà C = 3 trùng T = 3. H = 5, T = 3, cột trăm nhớ 1: C = 3, A = 9, mà C = 3 trùng T = 3. H = 5, T = 2, cột trăm nhớ 0: C = 4, A = 4, mà C = 4 trùng A = 4. Bước 8: Mỗi cách chọn cho một giá trị MATH khác nhau, tổng cộng 8 giá trị. Vậy số MATH nhận 8 giá trị khác nhau.

Here is a sequence (dãy số): 4, 14, 34, 74, 154, … Find the 8th term (số hạng) of the sequence.

Đáp án: 1274. Nhận dạng: dãy số mà mỗi số tạo từ số liền trước bằng nhân với một số rồi cộng (trừ) một số cố định. Ý tưởng: gọi k là số nhân, c là số cộng thêm (c âm nghĩa là trừ), tìm k từ hiệu liền nhau rồi tìm c từ một số hạng. Bước 1: Hiệu hai cặp số liền nhau: 14 − 4 = 10 và 34 − 14 = 20. Số cộng thêm c mất đi khi trừ, nên hiệu sau gấp k lần hiệu trước: k = 20 : 10 = 2. Bước 2: Tìm c: số thứ hai = k × số thứ nhất + c, nên c = 14 − 2 × 4 = 6. Bước 3: Kiểm tra bằng số thứ tư: 2 × 34 + 6 = 74, đúng. Bước 4: Tính tiếp: số thứ 6 = 2 × 154 + 6 = 314; số thứ 7 = 2 × 314 + 6 = 634; số thứ 8 = 2 × 634 + 6 = 1274. Vậy số cần tìm là 1274.

20 people stand in a row (hàng), numbered 1 to 20. Person k (k = 1, 2, …, 20) says: “There are exactly (đúng) k liars (người nói dối) in the row.” Each person either always tells the truth (nói thật) or always lies. How many of them are lying?

Đáp án: 19. Nhận dạng: các phát biểu tự nói về số người nói dối, hỏi số người nói dối (hoặc người nói thật). Ý tưởng: các phát biểu loại trừ nhau, đặt số người nói thật là t rồi thử từng giá trị của t. Bước 1: Hai người khác nhau nói hai số khác nhau về số người nói dối, nên nhiều nhất một người nói thật, t = 0 hoặc t = 1. Bước 2: Nếu t = 0 thì cả 20 người nói dối, nghĩa là có 20 người nói dối, và lời của người thứ 20 lại đúng, mâu thuẫn. Bước 3: Nếu t = 1 thì có 20 − 1 = 19 người nói dối, lời người thứ 19 là đúng, các lời khác sai: hợp lí. Vậy có 19 người nói dối.

Evaluate (tính) xy − 9x − 7y + 63 at x = 57, y = 39.

Đáp án: 1500. Nhận dạng: bốn hạng tử có xy, x, y và hằng số. Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc, số tròn sẽ hiện ra. Bước 1: Nhóm: (xy − 9x) + (−7y + 63) = x(y − 9) − 7(y − 9). Bước 2: = (x − 7)(y − 9). Bước 3: Tại x = 57, y = 39: x − 7 = 50, y − 9 = 30. Bước 4: 50 × 30 = 1500. Vậy giá trị bằng 1500.

Find the maximum (lớn nhất) value (giá trị) of E = √(x + 16) + √(56 − x).

Đáp án: 12. Nhận dạng: tổng hai căn bậc hai, tổng hai biểu thức dưới căn không đổi. Ý tưởng: bình phương E; dùng 2uv ≤ u² + v² (vì (u − v)² ≥ 0). Bước 1: Đặt u = √(x + 16), v = √(56 − x); u² + v² = (x + 16) + (56 − x) = 72. Bước 2: E² = u² + v² + 2uv ≤ 2(u² + v²) = 2 × 72 = 144. Bước 3: 12 × 12 = 144; E ≥ 0 (tổng các căn) và E² ≤ 144 nên E ≤ 12; dấu bằng khi u = v, tức là x + 16 = 56 − x, 2x = 40, x = 40 : 2 = 20. Vậy giá trị lớn nhất của E là 12.

Compute (1718² − 1707²) : 11 + 1.

Đáp án: 3426. Nhận dạng: hiệu hai bình phương chia cho hiệu hai cơ số. Ý tưởng: a² − b² = (a − b)(a + b). Bước 1: 1718² − 1707² = (1718 − 1707) × (1718 + 1707) = 11 × 3425. Bước 2: (1718² − 1707²) : 11 = 3425. Bước 3: 3425 + 1 = 3426. Vậy kết quả là 3426.

How many integer (số nguyên) values (giá trị) of x satisfy (thoả mãn) −15 < 4x + 3 < 33?

Đáp án: 12. Nhận dạng: bất phương trình kép (x kẹp giữa hai số), hỏi số nghiệm nguyên. Ý tưởng: làm cùng một phép ở cả ba vế để x đứng một mình (nhân, chia số âm thì đổi chiều), rồi đếm số nguyên. Bước 1: Trừ 3 ở ba vế: −18 −9/2 tức là 4x > −18: 4 × (−5) = −20 không đủ, 4 × (−4) = −16 được, nên x ≥ −4; x < 15/2 tức là 4x < 30: 4 × 7 = 28 được, 4 × 8 = 32 quá lớn, nên x ≤ 7. Bước 4: Đếm số nguyên x từ −4 đến 7: 7 − (−4) + 1 = 12. Vậy có 12 số.

Numbers a and b satisfy (thoả mãn) a − b = −7 and ab = 44. Find a² + b².

Đáp án: 137. Nhận dạng: biết a − b và tích ab, hỏi a² + b². Ý tưởng: hằng đẳng thức (a ± b)² = a² + b² ± 2ab nối ba đại lượng; biết hai tính được cái thứ ba. Bước 1: a² + b² = (a − b)² + 2ab. Bước 2: = (−7)² + 2 × 44 = 49 + 88 = 137. Vậy a² + b² = 137.

x is a whole number (số tự nhiên) such that 8 × x leaves remainder (số dư) 7 when divided (chia) by 11. Find the smallest (nhỏ nhất) three-digit (có ba chữ số) such x.

Đáp án: 104. Nhận dạng: tìm x biết 8 × x chia cho 11 dư 7. Ý tưởng: tìm số dư của x khi chia cho 11 trước: thử các số 7, 7 + 11, … tới số chia hết cho 8. Bước 1: 8 × x có dạng 11 × k + 7: thử 7, 18, 29, 40; 40 = 8 × 5 chia hết cho 8. Bước 2: x chia 11 dư 5 (từ x = 5), nên x = 11 × t + 5 (t = 0, 1, 2, …). Bước 3: x ≥ 100 nên 11 × t ≥ 100 − 5 = 95; 95 : 11 = 8 (dư 7), t nhỏ nhất là 9: x = 11 × 9 + 5 = 104. Vậy x = 104.

Find k so that P(x) = x³ + 3x² + kx + 26 is divisible (chia hết) by x + 2.

Đáp án: 15. Nhận dạng: đa thức có tham số k phải chia hết cho một nhị thức bậc nhất. Ý tưởng: định lí nhân tử: P(x) chia hết cho x − r khi và chỉ khi P(r) = 0 (vì P(x) = (x − r) × Q(x), thay x = r thì vế phải bằng 0); ở đây x + 2 = 0 khi x = −2. Bước 1: Cần P(−2) = 0. Bước 2: P(−2) = (−2)³ + 3 × (−2)² + k × (−2) + 26 = −8 + 12 − 2k + 26 = 30 − 2k. Bước 3: 30 − 2k = 0, nên −2k = −30, k = (−30) : (−2) = 15. Vậy k = 15.

Find the remainder (số dư) when 264³³⁶ is divided (chia) by 7.

Đáp án: 1. Nhận dạng: số dư khi chia một luỹ thừa có số mũ lớn. Ý tưởng: thay cơ số bằng số dư của nó khi chia 7; số dư của các luỹ thừa lặp lại theo chu kỳ. Bước 1: 264 = 7 × 37 + 5, nên 264³³⁶ chia 7 có cùng số dư với 5³³⁶. Bước 2: 5¹ chia 7 dư 5. Nhân dần với 5, chỉ giữ số dư khi chia 7: 5 × 5 = 25, chia 7 dư 4, 4 × 5 = 20, chia 7 dư 6, 6 × 5 = 30, chia 7 dư 2, 2 × 5 = 10, chia 7 dư 3, 3 × 5 = 15, chia 7 dư 1, 1 × 5 = 5, chia 7 dư 5 (lặp lại). Chu kỳ 6 số: 5, 4, 6, 2, 3, 1, là số dư của 5¹, 5², 5³, 5⁴, 5⁵, 5⁶. Bước 3: 336 : 6 = 56 (dư 0), hết trọn chu kỳ, lấy số cuối chu kỳ: 1. Vậy 264³³⁶ chia 7 dư 1.

Find the units digit (chữ số hàng đơn vị) of A = (7 + 6) + (7² + 12) + (7³ + 18) + … + (7¹⁷ + 102).

Đáp án: 5. Nhận dạng: tổng các số hạng dạng 7ᵏ + 6 × k với k = 1, 2, …, 17. Ý tưởng: tách thành tổng các luỹ thừa (gom theo chu kỳ) và tổng phần cộng thêm, rồi cộng hai chữ số tận cùng. Bước 1: Phần cộng thêm: 6 + 12 + … + 102 = 6 × (1 + 2 + … + 17) = 6 × 17 × 18 : 2 = 6 × 153 = 918. Bước 2: Tổng luỹ thừa: chữ số tận cùng của 7, 7², 7³, … lặp lại chu kỳ 4 số: 7, 9, 3, 1; mỗi nhóm 4 số hạng có tổng 7 + 9 + 3 + 1 = 20, tận cùng 0. 17 = 4 × 4 + 1: 4 nhóm đủ (tận cùng 0), còn 1 số hạng cuối 7¹⁷ tận cùng 7; tổng luỹ thừa tận cùng 7. Bước 3: 918 + 7 = 925, chữ số cuối là 5. Vậy A có chữ số tận cùng là 5.

Find the sum (tổng) of the positive (dương) divisors (số chia) of 360 that are less than (ít hơn) 360.

Đáp án: 810. Nhận dạng: tổng các ước, không kể chính số đó. Ý tưởng: tính tổng tất cả các ước bằng tích các tổng luỹ thừa, rồi trừ đi chính số đó. Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 360 : 2 = 180, 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1. Vậy 360 = 2³ × 3² × 5. Bước 2: Tổng tất cả các ước = (1 + 2 + 4 + 8) × (1 + 3 + 9) × (1 + 5) = 15 × 13 × 6 = 1170. Bước 3: Bỏ ước 360: 1170 − 360 = 810. Vậy tổng cần tìm là 810.

The area (diện tích) of a triangle (hình tam giác) with sides 15, 22, 17 can be written as n√2. Find n.

Đáp án: 90. Nhận dạng: biết ba cạnh của tam giác, không có góc vuông, tính diện tích. Ý tưởng: hạ đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông chung đường cao, đặt ẩn cho một đoạn trên đáy rồi dùng Pytago hai lần. Bước 1: Gọi tam giác ABC có BC = 15, AB = 17, CA = 22. Hạ đường cao AH xuống BC, đặt BH = x thì CH = 15 − x. Bước 2: Pytago trong hai tam giác vuông ABH và ACH: AH² = 17² − x² và AH² = 22² − (15 − x)². Bước 3: 289 − x² = 484 − (225 − 30x + x²) = 484 − 225 + 30x − x². Hai vế cùng có − x², bỏ đi: 30x = 289 + 225 − 484 = 30, nên x = 30 : 30 = 1. Bước 4: AH² = 289 − 1² = 289 − 1 = 288 = 144 × 2, nên AH = 12√2. Bước 5: Diện tích S = BC × AH : 2 = 15 × 12√2 : 2 = 90√2. Vậy n = 90.

A right triangle (hình tam giác vuông) has whole-number (số tự nhiên) side lengths (cạnh) and one leg of length (chiều dài) 30. How many such right triangles are there?

Đáp án: 4. Nhận dạng: tam giác vuông cạnh nguyên, biết một cạnh góc vuông. Ý tưởng: chuyển về hiệu hai bình phương rồi tách thành tích hai số. Bước 1: Gọi b là cạnh góc vuông kia, c là cạnh huyền: c² − b² = 30 × 30, tức (c − b)(c + b) = 900. Bước 2: c − b < c + b và hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (để c, b nguyên): 2 × 450, 6 × 150, 10 × 90, 18 × 50. Bước 3: c = (c − b + c + b) : 2: (2 + 450) : 2 = 226, (6 + 150) : 2 = 78, (10 + 90) : 2 = 50, (18 + 50) : 2 = 34. Vậy có 4 tam giác vuông như vậy.

Trapezoid (hình thang) ABCD (AB ∥ CD) has AB = 10, CD = 15; its diagonals (đường chéo) meet at O. Triangle (hình tam giác) OAB has area (diện tích) 20. Find the area of the trapezoid.

Đáp án: 125. Nhận dạng: hình thang ABCD (AB ∥ CD) có hai đường chéo cắt nhau ở O, S(OAB) là diện tích tam giác OAB. Ý tưởng: AB ∥ CD nên ΔOAB ∼ ΔOCD theo tỉ số AB : CD; hai tam giác chung đường cao thì diện tích tỉ lệ với đáy. Bước 1: Tỉ số đồng dạng 10 : 15, nên S(OCD) = 20 × (15 × 15) : (10 × 10) = 45. Bước 2: ΔOAD và ΔOAB chung đường cao từ A: S(OAD) : S(OAB) = OD : OB = 15 : 10, nên S(OAD) = 20 × 15 : 10 = 30; S(OBC) = S(OAD) = 30. Bước 3: Diện tích hình thang = 20 + 45 + 30 + 30 = 125. Vậy diện tích hình thang là 125.

On the coordinate (toạ độ) plane, A(5; −8), B(−7; 3), C(−1; 8). Find the area (diện tích) of triangle (hình tam giác) ABC.

Đáp án: 63. Nhận dạng: tam giác biết toạ độ ba đỉnh. Ý tưởng: vẽ hình chữ nhật có cạnh song song hai trục bao quanh tam giác, rồi trừ phần thừa. Bước 1: Hình chữ nhật bao quanh: x từ −7 đến 5 (rộng 12), y từ −8 đến 8 (cao 16); diện tích 12 × 16 = 192. Bước 2: Phần thừa là các tam giác vuông dựng trên từng cạnh: cạnh AB: 12 × 11 : 2 = 66, cạnh BC: 6 × 5 : 2 = 15, cạnh CA: 6 × 16 : 2 = 48. Bước 3: Diện tích = 192 − (66 + 15 + 48) = 192 − 129 = 63. Vậy diện tích tam giác ABC là 63.

All 602 square (hình vuông) tiles of side 1 dm are put together, without overlaps or gaps, to form one rectangle (hình chữ nhật). What is the smallest (nhỏ nhất) possible perimeter (chu vi), in dm?

Đáp án: 114. Nhận dạng: biết diện tích hình chữ nhật (số ô vuông), xét các cặp cạnh nguyên. Ý tưởng: hai cạnh là một cặp ước có tích bằng số ô; cùng diện tích thì hai cạnh càng gần nhau, chu vi càng nhỏ. Bước 1: Diện tích 602, các cặp cạnh (rộng × dài): 1 × 602, 2 × 301, 7 × 86, 14 × 43. Bước 2: Cặp gần nhau nhất là 14 × 43. Bước 3: Chu vi = 2 × (14 + 43) = 114 (dm). Vậy chu vi nhỏ nhất là 114 dm.

Two fair dice (faces 1 to 6) are rolled. Find the probability (xác suất) that the product (tích) is a multiple (bội số) of 9. Write this probability as a fraction (phân số) a/b in lowest terms (tối giản). Find a + b.

Đáp án: 10. Nhận dạng: gieo hai xúc xắc, xác suất. Ý tưởng: lập bảng 6 × 6 kết quả (con thứ nhất theo cột, con thứ hai theo hàng), đếm các ô thoả điều kiện. Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 = 36. Bước 2 (đếm ô thoả, theo con thứ nhất → các mặt hợp của con thứ hai): 1 → không có (0); 2 → không có (0); 3 → 3, 6 (2); 4 → không có (0); 5 → không có (0); 6 → 3, 6 (2); cộng: 2 + 2 = 4. Bước 3 (xác suất): 4/36 = 1/9. Bước 4 (tính a + b): xác suất là 1/9, a = 1, b = 9; 1 + 9 = 10. Vậy a + b = 10.

There are 20 cards in 2 colours (red, blue); each colour has 10 cards numbered 1 to 10. Three cards are drawn at random (ngẫu nhiên) at the same time. Find the probability (xác suất) that the three numbers are three consecutive (liên tiếp) whole numbers (in any order, with no wrap-around from 10 to 1). Write this probability as a fraction (phân số) a/b in lowest terms (tối giản). Find a + b.

Đáp án: 301. Nhận dạng: rút 3 thẻ, xác suất theo số trên thẻ. Ý tưởng: chọn bộ ba số liên tiếp trước, rồi chọn chất hoặc màu cho từng số và nhân các cách lại. Bước 1 (số cách rút): chọn 3 trong 20: (20 × 19 × 18) : (3 × 2 × 1) = 1140. 20 × 19 × 18 là số cách chọn lần lượt có thứ tự; mỗi nhóm 3 vật bị đếm 3 × 2 × 1 lần (mọi thứ tự của nhóm) nên chia cho 3 × 2 × 1. Bước 2 (bộ ba số): số nhỏ nhất đi từ 1 (bộ 1, 2, 3) đến 10 − 2 = 8 (bộ 8, 9, 10): 8 bộ. Bước 3 (chọn màu): mỗi số có 2 thẻ: 2 × 2 × 2 = 8; thoả: 8 × 8 = 64. Bước 4 (xác suất): 64/1140 = 16/285. Bước 5 (tính a + b): xác suất là 16/285, a = 16, b = 285; 16 + 285 = 301. Vậy a + b = 301.

A number is called "nice" if its digit (chữ số) sum (tổng) leaves remainder (số dư) 2 when divided (chia) by 5. How many of the 4-digit (có bốn chữ số) numbers are nice?

Đáp án: 1800. Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số theo điều kiện của tổng các chữ số. Ý tưởng: chọn tự do các chữ số đầu, rồi đếm số cách chọn chữ số cuối cho đúng điều kiện. Bước 1 (các chữ số đầu): hàng nghìn 9 cách (1 đến 9), hàng trăm 10 cách, hàng chục 10 cách: 9 × 10 × 10 = 900 cách. Bước 2 (chữ số cuối): với mỗi cách, tổng các chữ số đầu đã biết; chữ số cuối phải có một số dư xác định khi chia cho 5; trong 0 đến 9 mỗi số dư có đúng 2 chữ số (như 0 và 5, 2 và 7): 2 cách. Bước 3 (nhân): 900 × 2 = 1800. Vậy có 1800 số.

Positive integers (số nguyên dương) x, y satisfy (thoả mãn) xy − 2x + 5y = 67. Find the smallest (nhỏ nhất) value (giá trị) of x + y.

Đáp án: 19. Nhận dạng: phương trình có xy, x, y với nghiệm nguyên dương, hỏi x + y. Ý tưởng: nhóm thành tích, liệt kê hết nghiệm rồi so. Bước 1: Trừ 10 hai vế: xy − 2x + 5y − 10 = 57. Bước 2: Nhóm: x(y − 2) + 5(y − 2) = (x + 5)(y − 2) = 57. Bước 3: x ≥ 1, y ≥ 1 nên x + 5 ≥ 6, y − 2 ≥ −1; các nghiệm: (14, 5) có x + y = 19; (52, 3) có x + y = 55. Vậy giá trị nhỏ nhất của x + y là 19.

In how many ways (cách) can the letters of SUMMER be arranged (meaningless strings count) so that the two letters M are together?

Đáp án: 120. Nhận dạng: xếp chữ cái có hai chữ giống nhau phải đứng cạnh nhau. Ý tưởng: gộp hai chữ cái đó thành một khối; hai chữ giống nhau nên trong khối không đổi chỗ; kí hiệu 5! là tích các số từ 1 đến 5, đọc là 5 giai thừa. Bước 1 (gộp khối): SUMMER có 6 chữ cái; gộp MM còn 6 − 1 = 5 khối, các khối đều khác nhau. Bước 2 (xếp các khối): 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cách. Bước 3 (trong khối): hai chữ M giống nhau nên chỉ 1 cách; 120 × 1 = 120. Vậy có 120 cách. Mẹo: nhân thêm 2 (đổi chỗ hai chữ M) là sai vì hai chữ M giống nhau.

Đề thi TIMO vòng quốc gia lớp 8 2026 có đáp án, thi 06/12

Q: Đề thi TIMO lớp 8 có bao nhiêu câu?

Đề vòng quốc gia (heat round) TIMO lớp 8 có 25 câu, làm trong 90 phút, tối đa 100 điểm.

Q: Làm đề thi thử TIMO lớp 8 online ở đâu?

Trên Cú Pi Math (cupimath.com/app): mỗi lần thi là một đề TIMO mới theo cấu trúc đã công bố, có bấm giờ, chấm điểm theo luật của cuộc thi và lời giải từng câu sau khi nộp bài.

Q: TIMO vòng quốc gia lớp 8 2026 thi ngày nào?

Theo lịch mùa 2026–2027, vòng quốc gia TIMO thi 06/12/2026. Ban tổ chức có thể đổi lịch, phụ huynh nên kiểm tra lại trên trang của họ.

Đề thi thử TIMO lớp 8 (vòng quốc gia) do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc đã công bố: 25 câu, làm trong 90 phút, ngôn ngữ đề: tiếng anh (có chú thích tiếng việt cho từ khoá). Mỗi câu có đáp án và lời giải chi tiết bằng tiếng Việt — bấm “Đáp án và lời giải” dưới từng câu, hoặc xem bảng đáp án cuối trang.

Cách tính điểm: 5 câu tư duy logic × 4 điểm; 5 câu số học & đại số × 4 điểm; 5 câu lý thuyết số × 4 điểm; 5 câu hình học × 4 điểm; 5 câu tổ hợp × 4 điểm. Không trừ điểm khi làm sai. Tối đa 100 điểm. Xem chi tiết cấu trúc đề và mức giải tại trang thi TIMO.

Lịch vòng quốc gia TIMO mùa 2026–2027: thi 06/12/2026, thi tập trung; đăng ký đến 04/11/2026. Lịch có thể đổi, xem trang thi TIMO và lịch thi các cuộc thi.

Đề TIMO lớp 8 có gì đáng chú ý?

Đề gồm 25 câu làm trong 90 phút, trung bình khoảng 3,6 phút cho mỗi câu. Đề trải trên 25 dạng bài khác nhau, không dạng nào lặp lại; mảng chiếm nhiều câu nhất là số học (28%).

Mốc giải trong đề thi thử Cú Pi Math: Huy chương Vàng từ 80 điểm; Huy chương Bạc từ 60 điểm; Huy chương Đồng từ 40 điểm; Giải Khuyến khích từ 20 điểm (đề tối đa 100 điểm).

Ghi chú về đề: 5 mảng × 5 câu, chỉ ghi đáp số. Mốc giải 80/60/40/20 điểm.

So với đề lớp 7 có 25 câu, 90 phút: đề lớp 8 cùng số câu và cùng thời gian.

So với đề lớp 9 có 25 câu, 90 phút: đề lớp 8 cùng số câu và cùng thời gian.

Trước khi làm đề, bé nên ôn các dạng bài ở Toán lớp 8. Thi xong, bố mẹ tra điểm tại trang tra cứu điểm thi TIMO. Tài khoản miễn phí được thi thử 1 lần cho mỗi vòng; các gói khác xem ở chính sách về giá.

Tải đề PDF (in được, kèm đáp án)

Phần 1: Tư duy logic (5 câu × 4 điểm)

Câu 14 điểm

An exam has 35 questions. A correct answer scores 5 points (điểm), a wrong answer loses 2 points, a blank scores 0. Dung gets 98 points. What is the largest (lớn nhất) possible number of correct answers?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 1

Đáp án: 24

Nhận dạng: ba loại câu (đúng, sai, bỏ trống) với tổng số điểm cho trước, hỏi số câu đúng nhiều nhất.
Ý tưởng: gọi a là số câu đúng, b là số câu sai, điểm 5 × a − 2 × b = 98, b phải là số tự nhiên và a + b không vượt quá 35, rồi liệt kê.
Bước 1: Gọi a, b là số câu đúng, sai: 5 × a − 2 × b = 98, suy ra b = (5 × a − 98) : 2.
Bước 2: b nguyên không âm nên 5 × a ≥ 98 (a ≥ 20) và 5 × a − 98 chia hết cho 2.
Thử từ a = 20: số đầu tiên thoả là a = 20 (5 × 20 − 98 = 2, chia hết cho 2).
Vì 5 và 2 không có ước chung, các a thoả cách nhau 2 đơn vị: 20, 22, 24 và cứ thế tiếp tục.
Bước 3: Các cặp thoả a + b ≤ 35: a = 20: b = (5 × 20 − 98) : 2 = 1, trống 14;
a = 22: b = (5 × 22 − 98) : 2 = 6, trống 7;
a = 24: b = (5 × 24 − 98) : 2 = 11, trống 0.
Loại a = 26: b = 16 thì a + b = 42 lớn hơn 35.
Bước 4: Có 3 cặp (a, b): (20, 1), (22, 6), (24, 11).
Vậy số câu đúng nhiều nhất là 24.
Câu 24 điểm

The symbols ○ and △ are two positive integers (số nguyên dương) with ○ − △ = 5 and ○ × △ = 66. Find ○² + △².
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 2

Đáp án: 157

Nhận dạng: biết tổng (hoặc hiệu) và tích của hai số, hỏi biểu thức bậc hai hoặc bậc ba của chúng.
Ý tưởng: dùng hằng đẳng thức, bình phương của hiệu cộng hai lần tích.
Bước 1: Dùng (○ − △)² = ○² − 2 × ○ × △ + △², với hiệu 5, tích 66.
Bước 2: Suy ra ○² + △² = (○ − △)² + 2 × ○ × △.
Bước 3: ○² + △² = 5² + 2 × 66 = 25 + 132 = 157.
Vậy ○² + △² = 157.
Câu 34 điểm

In the addition (phép cộng) MATH + TEACH = 34870, each letter is a digit (chữ số), different letters are different digits, and M and T are not 0. How many different values (giá trị) can the number MATH take?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 3

Đáp án: 8

Nhận dạng: phép cộng chữ có số cho sẵn ở kết quả, hỏi số giá trị của số MATH.
Ý tưởng: xét cột đơn vị và cột chữ số đầu để tìm H, T, rồi lần lượt các cột còn lại, đếm các cách còn khớp.
Bước 1: Cột đơn vị: H + H tận cùng 0, nên H ∈ {0, 5}.
Bước 2: Chữ số hàng chục nghìn của tổng là 3, nên T = 3 hoặc T = 2 (tuỳ có nhớ từ cột nghìn).
Bước 3: H = 0, T = 3, cột trăm nhớ 1.
Cột đơn vị: 0 + 0 = 0, không nhớ.
Cột chục: 3 + C = 7, nên C = 4, không nhớ.
Cột trăm: A + A = 8 + 10, nên A = 9, nhớ 1.
Cột chục nghìn: 3 + nhớ = 3, nên cột nghìn không nhớ.
Cột nghìn: M + E + 1 = 4, nên M + E = 3, với M, E khác các chữ số đã dùng (0, 3, 9, 4): (M, E) = (1, 2), (2, 1), có 2 cách.
Bước 4: H = 0, T = 2, cột trăm nhớ 0.
Cột đơn vị: 0 + 0 = 0, không nhớ.
Cột chục: 2 + C = 7, nên C = 5, không nhớ.
Cột trăm: A + A = 8, nên A = 4, không nhớ.
Cột chục nghìn: 2 + nhớ = 3, nên cột nghìn nhớ 1.
Cột nghìn: M + E = 4 + 10, nên M + E = 14, với M, E khác các chữ số đã dùng (0, 2, 4, 5): (M, E) = (6, 8), (8, 6), có 2 cách.
Bước 5: H = 0, T = 2, cột trăm nhớ 1.
Cột đơn vị: 0 + 0 = 0, không nhớ.
Cột chục: 2 + C = 7, nên C = 5, không nhớ.
Cột trăm: A + A = 8 + 10, nên A = 9, nhớ 1.
Cột chục nghìn: 2 + nhớ = 3, nên cột nghìn nhớ 1.
Cột nghìn: M + E + 1 = 4 + 10, nên M + E = 13, với M, E khác các chữ số đã dùng (0, 2, 9, 5): (M, E) = (6, 7), (7, 6), có 2 cách.
Bước 6: H = 5, T = 2, cột trăm nhớ 1.
Cột đơn vị: 5 + 5 = 10, nhớ 1.
Cột chục: 2 + C + 1 = 7, nên C = 4, không nhớ.
Cột trăm: A + A = 8 + 10, nên A = 9, nhớ 1.
Cột chục nghìn: 2 + nhớ = 3, nên cột nghìn nhớ 1.
Cột nghìn: M + E + 1 = 4 + 10, nên M + E = 13, với M, E khác các chữ số đã dùng (5, 2, 9, 4): (M, E) = (6, 7), (7, 6), có 2 cách.
Bước 7: Các nhánh còn lại bị loại: H = 0, T = 3, cột trăm nhớ 0: C = 4, A = 4, mà C = 4 trùng A = 4.
H = 5, T = 3, cột trăm nhớ 0: C = 3, A = 4, mà C = 3 trùng T = 3.
H = 5, T = 3, cột trăm nhớ 1: C = 3, A = 9, mà C = 3 trùng T = 3.
H = 5, T = 2, cột trăm nhớ 0: C = 4, A = 4, mà C = 4 trùng A = 4.
Bước 8: Mỗi cách chọn cho một giá trị MATH khác nhau, tổng cộng 8 giá trị.
Vậy số MATH nhận 8 giá trị khác nhau.
Câu 44 điểm

Here is a sequence (dãy số): 4, 14, 34, 74, 154, … Find the 8th term (số hạng) of the sequence.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 4

Đáp án: 1274

Nhận dạng: dãy số mà mỗi số tạo từ số liền trước bằng nhân với một số rồi cộng (trừ) một số cố định.
Ý tưởng: gọi k là số nhân, c là số cộng thêm (c âm nghĩa là trừ), tìm k từ hiệu liền nhau rồi tìm c từ một số hạng.
Bước 1: Hiệu hai cặp số liền nhau: 14 − 4 = 10 và 34 − 14 = 20.
Số cộng thêm c mất đi khi trừ, nên hiệu sau gấp k lần hiệu trước: k = 20 : 10 = 2.
Bước 2: Tìm c: số thứ hai = k × số thứ nhất + c, nên c = 14 − 2 × 4 = 6.
Bước 3: Kiểm tra bằng số thứ tư: 2 × 34 + 6 = 74, đúng.
Bước 4: Tính tiếp: số thứ 6 = 2 × 154 + 6 = 314;
số thứ 7 = 2 × 314 + 6 = 634;
số thứ 8 = 2 × 634 + 6 = 1274.
Vậy số cần tìm là 1274.
Câu 54 điểm

20 people stand in a row (hàng), numbered 1 to 20. Person k (k = 1, 2, …, 20) says: “There are exactly (đúng) k liars (người nói dối) in the row.” Each person either always tells the truth (nói thật) or always lies. How many of them are lying?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 5

Đáp án: 19

Nhận dạng: các phát biểu tự nói về số người nói dối, hỏi số người nói dối (hoặc người nói thật).
Ý tưởng: các phát biểu loại trừ nhau, đặt số người nói thật là t rồi thử từng giá trị của t.
Bước 1: Hai người khác nhau nói hai số khác nhau về số người nói dối, nên nhiều nhất một người nói thật, t = 0 hoặc t = 1.
Bước 2: Nếu t = 0 thì cả 20 người nói dối, nghĩa là có 20 người nói dối, và lời của người thứ 20 lại đúng, mâu thuẫn.
Bước 3: Nếu t = 1 thì có 20 − 1 = 19 người nói dối, lời người thứ 19 là đúng, các lời khác sai: hợp lí.
Vậy có 19 người nói dối.

Phần 2: Số học & Đại số (5 câu × 4 điểm)

Câu 64 điểm

Evaluate (tính) xy − 9x − 7y + 63 at x = 57, y = 39.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 6

Đáp án: 1500

Nhận dạng: bốn hạng tử có xy, x, y và hằng số.
Ý tưởng: nhóm thành tích hai ngoặc, số tròn sẽ hiện ra.
Bước 1: Nhóm: (xy − 9x) + (−7y + 63) = x(y − 9) − 7(y − 9).
Bước 2: = (x − 7)(y − 9).
Bước 3: Tại x = 57, y = 39: x − 7 = 50, y − 9 = 30.
Bước 4: 50 × 30 = 1500.
Vậy giá trị bằng 1500.
Câu 74 điểm

Find the maximum (lớn nhất) value (giá trị) of E = √(x + 16) + √(56 − x).
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 7

Đáp án: 12

Nhận dạng: tổng hai căn bậc hai, tổng hai biểu thức dưới căn không đổi.
Ý tưởng: bình phương E;
dùng 2uv ≤ u² + v² (vì (u − v)² ≥ 0).
Bước 1: Đặt u = √(x + 16), v = √(56 − x);
u² + v² = (x + 16) + (56 − x) = 72.
Bước 2: E² = u² + v² + 2uv ≤ 2(u² + v²) = 2 × 72 = 144.
Bước 3: 12 × 12 = 144;
E ≥ 0 (tổng các căn) và E² ≤ 144 nên E ≤ 12;
dấu bằng khi u = v, tức là x + 16 = 56 − x, 2x = 40, x = 40 : 2 = 20.
Vậy giá trị lớn nhất của E là 12.
Câu 84 điểm

Compute (1718² − 1707²) : 11 + 1.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 8

Đáp án: 3426

Nhận dạng: hiệu hai bình phương chia cho hiệu hai cơ số.
Ý tưởng: a² − b² = (a − b)(a + b).
Bước 1: 1718² − 1707² = (1718 − 1707) × (1718 + 1707) = 11 × 3425.
Bước 2: (1718² − 1707²) : 11 = 3425.
Bước 3: 3425 + 1 = 3426.
Vậy kết quả là 3426.
Câu 94 điểm

How many integer (số nguyên) values (giá trị) of x satisfy (thoả mãn) −15 < 4x + 3 < 33?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 9

Đáp án: 12

Nhận dạng: bất phương trình kép (x kẹp giữa hai số), hỏi số nghiệm nguyên.
Ý tưởng: làm cùng một phép ở cả ba vế để x đứng một mình (nhân, chia số âm thì đổi chiều), rồi đếm số nguyên.
Bước 1: Trừ 3 ở ba vế: −18 < 4x < 30.
Bước 2: Chia ba vế cho 4 (số dương, giữ chiều): −9/2 < x < 15/2.
Bước 3: Cận không nguyên, x nguyên: x > −9/2 tức là 4x > −18: 4 × (−5) = −20 không đủ, 4 × (−4) = −16 được, nên x ≥ −4;
x < 15/2 tức là 4x < 30: 4 × 7 = 28 được, 4 × 8 = 32 quá lớn, nên x ≤ 7.
Bước 4: Đếm số nguyên x từ −4 đến 7: 7 − (−4) + 1 = 12.
Vậy có 12 số.
Câu 104 điểm

Numbers a and b satisfy (thoả mãn) a − b = −7 and ab = 44. Find a² + b².
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 10

Đáp án: 137

Nhận dạng: biết a − b và tích ab, hỏi a² + b².
Ý tưởng: hằng đẳng thức (a ± b)² = a² + b² ± 2ab nối ba đại lượng;
biết hai tính được cái thứ ba.
Bước 1: a² + b² = (a − b)² + 2ab.
Bước 2: = (−7)² + 2 × 44 = 49 + 88 = 137.
Vậy a² + b² = 137.

Phần 3: Lý thuyết số (5 câu × 4 điểm)

Câu 114 điểm

x is a whole number (số tự nhiên) such that 8 × x leaves remainder (số dư) 7 when divided (chia) by 11. Find the smallest (nhỏ nhất) three-digit (có ba chữ số) such x.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 11

Đáp án: 104

Nhận dạng: tìm x biết 8 × x chia cho 11 dư 7.
Ý tưởng: tìm số dư của x khi chia cho 11 trước: thử các số 7, 7 + 11, … tới số chia hết cho 8.
Bước 1: 8 × x có dạng 11 × k + 7: thử 7, 18, 29, 40;
40 = 8 × 5 chia hết cho 8.
Bước 2: x chia 11 dư 5 (từ x = 5), nên x = 11 × t + 5 (t = 0, 1, 2, …).
Bước 3: x ≥ 100 nên 11 × t ≥ 100 − 5 = 95;
95 : 11 = 8 (dư 7), t nhỏ nhất là 9: x = 11 × 9 + 5 = 104.
Vậy x = 104.
Câu 124 điểm

Find k so that P(x) = x³ + 3x² + kx + 26 is divisible (chia hết) by x + 2.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 12

Đáp án: 15

Nhận dạng: đa thức có tham số k phải chia hết cho một nhị thức bậc nhất.
Ý tưởng: định lí nhân tử: P(x) chia hết cho x − r khi và chỉ khi P(r) = 0 (vì P(x) = (x − r) × Q(x), thay x = r thì vế phải bằng 0);
ở đây x + 2 = 0 khi x = −2.
Bước 1: Cần P(−2) = 0.
Bước 2: P(−2) = (−2)³ + 3 × (−2)² + k × (−2) + 26 = −8 + 12 − 2k + 26 = 30 − 2k.
Bước 3: 30 − 2k = 0, nên −2k = −30, k = (−30) : (−2) = 15.
Vậy k = 15.
Câu 134 điểm

Find the remainder (số dư) when 264³³⁶ is divided (chia) by 7.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 13

Đáp án: 1

Nhận dạng: số dư khi chia một luỹ thừa có số mũ lớn.
Ý tưởng: thay cơ số bằng số dư của nó khi chia 7;
số dư của các luỹ thừa lặp lại theo chu kỳ.
Bước 1: 264 = 7 × 37 + 5, nên 264³³⁶ chia 7 có cùng số dư với 5³³⁶.
Bước 2: 5¹ chia 7 dư 5.
Nhân dần với 5, chỉ giữ số dư khi chia 7: 5 × 5 = 25, chia 7 dư 4, 4 × 5 = 20, chia 7 dư 6, 6 × 5 = 30, chia 7 dư 2, 2 × 5 = 10, chia 7 dư 3, 3 × 5 = 15, chia 7 dư 1, 1 × 5 = 5, chia 7 dư 5 (lặp lại).
Chu kỳ 6 số: 5, 4, 6, 2, 3, 1, là số dư của 5¹, 5², 5³, 5⁴, 5⁵, 5⁶.
Bước 3: 336 : 6 = 56 (dư 0), hết trọn chu kỳ, lấy số cuối chu kỳ: 1.
Vậy 264³³⁶ chia 7 dư 1.
Câu 144 điểm

Find the units digit (chữ số hàng đơn vị) of A = (7 + 6) + (7² + 12) + (7³ + 18) + … + (7¹⁷ + 102).
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 14

Đáp án: 5

Nhận dạng: tổng các số hạng dạng 7ᵏ + 6 × k với k = 1, 2, …, 17.
Ý tưởng: tách thành tổng các luỹ thừa (gom theo chu kỳ) và tổng phần cộng thêm, rồi cộng hai chữ số tận cùng.
Bước 1: Phần cộng thêm: 6 + 12 + … + 102 = 6 × (1 + 2 + … + 17) = 6 × 17 × 18 : 2 = 6 × 153 = 918.
Bước 2: Tổng luỹ thừa: chữ số tận cùng của 7, 7², 7³, … lặp lại chu kỳ 4 số: 7, 9, 3, 1;
mỗi nhóm 4 số hạng có tổng 7 + 9 + 3 + 1 = 20, tận cùng 0.
17 = 4 × 4 + 1: 4 nhóm đủ (tận cùng 0), còn 1 số hạng cuối 7¹⁷ tận cùng 7;
tổng luỹ thừa tận cùng 7.
Bước 3: 918 + 7 = 925, chữ số cuối là 5.
Vậy A có chữ số tận cùng là 5.
Câu 154 điểm

Find the sum (tổng) of the positive (dương) divisors (số chia) of 360 that are less than (ít hơn) 360.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 15

Đáp án: 810

Nhận dạng: tổng các ước, không kể chính số đó.
Ý tưởng: tính tổng tất cả các ước bằng tích các tổng luỹ thừa, rồi trừ đi chính số đó.
Bước 1: Chia liên tiếp cho số nguyên tố nhỏ nhất: 360 : 2 = 180, 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1.
Vậy 360 = 2³ × 3² × 5.
Bước 2: Tổng tất cả các ước = (1 + 2 + 4 + 8) × (1 + 3 + 9) × (1 + 5) = 15 × 13 × 6 = 1170.
Bước 3: Bỏ ước 360: 1170 − 360 = 810.
Vậy tổng cần tìm là 810.

Phần 4: Hình học (5 câu × 4 điểm)

Câu 164 điểm

The area (diện tích) of a triangle (hình tam giác) with sides 15, 22, 17 can be written as n√2. Find n.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 16

Đáp án: 90

Nhận dạng: biết ba cạnh của tam giác, không có góc vuông, tính diện tích.
Ý tưởng: hạ đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông chung đường cao, đặt ẩn cho một đoạn trên đáy rồi dùng Pytago hai lần.
Bước 1: Gọi tam giác ABC có BC = 15, AB = 17, CA = 22.
Hạ đường cao AH xuống BC, đặt BH = x thì CH = 15 − x.
Bước 2: Pytago trong hai tam giác vuông ABH và ACH: AH² = 17² − x² và AH² = 22² − (15 − x)².
Bước 3: 289 − x² = 484 − (225 − 30x + x²) = 484 − 225 + 30x − x².
Hai vế cùng có − x², bỏ đi: 30x = 289 + 225 − 484 = 30, nên x = 30 : 30 = 1.
Bước 4: AH² = 289 − 1² = 289 − 1 = 288 = 144 × 2, nên AH = 12√2.
Bước 5: Diện tích S = BC × AH : 2 = 15 × 12√2 : 2 = 90√2.
Vậy n = 90.
Câu 174 điểm

A right triangle (hình tam giác vuông) has whole-number (số tự nhiên) side lengths (cạnh) and one leg of length (chiều dài) 30. How many such right triangles are there?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 17

Đáp án: 4

Nhận dạng: tam giác vuông cạnh nguyên, biết một cạnh góc vuông.
Ý tưởng: chuyển về hiệu hai bình phương rồi tách thành tích hai số.
Bước 1: Gọi b là cạnh góc vuông kia, c là cạnh huyền: c² − b² = 30 × 30, tức (c − b)(c + b) = 900.
Bước 2: c − b < c + b và hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (để c, b nguyên): 2 × 450, 6 × 150, 10 × 90, 18 × 50.
Bước 3: c = (c − b + c + b) : 2: (2 + 450) : 2 = 226, (6 + 150) : 2 = 78, (10 + 90) : 2 = 50, (18 + 50) : 2 = 34.
Vậy có 4 tam giác vuông như vậy.
Câu 184 điểm

Trapezoid (hình thang) ABCD (AB ∥ CD) has AB = 10, CD = 15; its diagonals (đường chéo) meet at O. Triangle (hình tam giác) OAB has area (diện tích) 20. Find the area of the trapezoid.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 18

Đáp án: 125

Nhận dạng: hình thang ABCD (AB ∥ CD) có hai đường chéo cắt nhau ở O, S(OAB) là diện tích tam giác OAB.
Ý tưởng: AB ∥ CD nên ΔOAB ∼ ΔOCD theo tỉ số AB : CD;
hai tam giác chung đường cao thì diện tích tỉ lệ với đáy.
Bước 1: Tỉ số đồng dạng 10 : 15, nên S(OCD) = 20 × (15 × 15) : (10 × 10) = 45.
Bước 2: ΔOAD và ΔOAB chung đường cao từ A: S(OAD) : S(OAB) = OD : OB = 15 : 10, nên S(OAD) = 20 × 15 : 10 = 30;
S(OBC) = S(OAD) = 30.
Bước 3: Diện tích hình thang = 20 + 45 + 30 + 30 = 125.
Vậy diện tích hình thang là 125.
Câu 194 điểm

On the coordinate (toạ độ) plane, A(5; −8), B(−7; 3), C(−1; 8). Find the area (diện tích) of triangle (hình tam giác) ABC.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 19

Đáp án: 63

Nhận dạng: tam giác biết toạ độ ba đỉnh.
Ý tưởng: vẽ hình chữ nhật có cạnh song song hai trục bao quanh tam giác, rồi trừ phần thừa.
Bước 1: Hình chữ nhật bao quanh: x từ −7 đến 5 (rộng 12), y từ −8 đến 8 (cao 16);
diện tích 12 × 16 = 192.
Bước 2: Phần thừa là các tam giác vuông dựng trên từng cạnh: cạnh AB: 12 × 11 : 2 = 66, cạnh BC: 6 × 5 : 2 = 15, cạnh CA: 6 × 16 : 2 = 48.
Bước 3: Diện tích = 192 − (66 + 15 + 48) = 192 − 129 = 63.
Vậy diện tích tam giác ABC là 63.
Câu 204 điểm

All 602 square (hình vuông) tiles of side 1 dm are put together, without overlaps or gaps, to form one rectangle (hình chữ nhật). What is the smallest (nhỏ nhất) possible perimeter (chu vi), in dm?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 20

Đáp án: 114

Nhận dạng: biết diện tích hình chữ nhật (số ô vuông), xét các cặp cạnh nguyên.
Ý tưởng: hai cạnh là một cặp ước có tích bằng số ô;
cùng diện tích thì hai cạnh càng gần nhau, chu vi càng nhỏ.
Bước 1: Diện tích 602, các cặp cạnh (rộng × dài): 1 × 602, 2 × 301, 7 × 86, 14 × 43.
Bước 2: Cặp gần nhau nhất là 14 × 43.
Bước 3: Chu vi = 2 × (14 + 43) = 114 (dm).
Vậy chu vi nhỏ nhất là 114 dm.

Phần 5: Tổ hợp (5 câu × 4 điểm)

Câu 214 điểm

Two fair dice (faces 1 to 6) are rolled. Find the probability (xác suất) that the product (tích) is a multiple (bội số) of 9. Write this probability as a fraction (phân số) a/b in lowest terms (tối giản). Find a + b.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 21

Đáp án: 10

Nhận dạng: gieo hai xúc xắc, xác suất.
Ý tưởng: lập bảng 6 × 6 kết quả (con thứ nhất theo cột, con thứ hai theo hàng), đếm các ô thoả điều kiện.
Bước 1 (số kết quả có thể): 6 × 6 = 36.
Bước 2 (đếm ô thoả, theo con thứ nhất → các mặt hợp của con thứ hai): 1 → không có (0);
2 → không có (0);
3 → 3, 6 (2);
4 → không có (0);
5 → không có (0);
6 → 3, 6 (2);
cộng: 2 + 2 = 4.
Bước 3 (xác suất): 4/36 = 1/9.
Bước 4 (tính a + b): xác suất là 1/9, a = 1, b = 9;
1 + 9 = 10.
Vậy a + b = 10.
Câu 224 điểm

There are 20 cards in 2 colours (red, blue); each colour has 10 cards numbered 1 to 10. Three cards are drawn at random (ngẫu nhiên) at the same time. Find the probability (xác suất) that the three numbers are three consecutive (liên tiếp) whole numbers (in any order, with no wrap-around from 10 to 1). Write this probability as a fraction (phân số) a/b in lowest terms (tối giản). Find a + b.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 22

Đáp án: 301

Nhận dạng: rút 3 thẻ, xác suất theo số trên thẻ.
Ý tưởng: chọn bộ ba số liên tiếp trước, rồi chọn chất hoặc màu cho từng số và nhân các cách lại.
Bước 1 (số cách rút): chọn 3 trong 20: (20 × 19 × 18) : (3 × 2 × 1) = 1140.
20 × 19 × 18 là số cách chọn lần lượt có thứ tự;
mỗi nhóm 3 vật bị đếm 3 × 2 × 1 lần (mọi thứ tự của nhóm) nên chia cho 3 × 2 × 1.
Bước 2 (bộ ba số): số nhỏ nhất đi từ 1 (bộ 1, 2, 3) đến 10 − 2 = 8 (bộ 8, 9, 10): 8 bộ.
Bước 3 (chọn màu): mỗi số có 2 thẻ: 2 × 2 × 2 = 8;
thoả: 8 × 8 = 64.
Bước 4 (xác suất): 64/1140 = 16/285.
Bước 5 (tính a + b): xác suất là 16/285, a = 16, b = 285;
16 + 285 = 301.
Vậy a + b = 301.
Câu 234 điểm

A number is called "nice" if its digit (chữ số) sum (tổng) leaves remainder (số dư) 2 when divided (chia) by 5. How many of the 4-digit (có bốn chữ số) numbers are nice?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 23

Đáp án: 1800

Nhận dạng: đếm số có 4 chữ số theo điều kiện của tổng các chữ số.
Ý tưởng: chọn tự do các chữ số đầu, rồi đếm số cách chọn chữ số cuối cho đúng điều kiện.
Bước 1 (các chữ số đầu): hàng nghìn 9 cách (1 đến 9), hàng trăm 10 cách, hàng chục 10 cách: 9 × 10 × 10 = 900 cách.
Bước 2 (chữ số cuối): với mỗi cách, tổng các chữ số đầu đã biết;
chữ số cuối phải có một số dư xác định khi chia cho 5;
trong 0 đến 9 mỗi số dư có đúng 2 chữ số (như 0 và 5, 2 và 7): 2 cách.
Bước 3 (nhân): 900 × 2 = 1800.
Vậy có 1800 số.
Câu 244 điểm

Positive integers (số nguyên dương) x, y satisfy (thoả mãn) xy − 2x + 5y = 67. Find the smallest (nhỏ nhất) value (giá trị) of x + y.
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 24

Đáp án: 19

Nhận dạng: phương trình có xy, x, y với nghiệm nguyên dương, hỏi x + y.
Ý tưởng: nhóm thành tích, liệt kê hết nghiệm rồi so.
Bước 1: Trừ 10 hai vế: xy − 2x + 5y − 10 = 57.
Bước 2: Nhóm: x(y − 2) + 5(y − 2) = (x + 5)(y − 2) = 57.
Bước 3: x ≥ 1, y ≥ 1 nên x + 5 ≥ 6, y − 2 ≥ −1;
các nghiệm: (14, 5) có x + y = 19;
(52, 3) có x + y = 55.
Vậy giá trị nhỏ nhất của x + y là 19.
Câu 254 điểm

In how many ways (cách) can the letters of SUMMER be arranged (meaningless strings count) so that the two letters M are together?
Điền đáp số: ……

Đáp án và lời giải câu 25

Đáp án: 120

Nhận dạng: xếp chữ cái có hai chữ giống nhau phải đứng cạnh nhau.
Ý tưởng: gộp hai chữ cái đó thành một khối;
hai chữ giống nhau nên trong khối không đổi chỗ;
kí hiệu 5! là tích các số từ 1 đến 5, đọc là 5 giai thừa.
Bước 1 (gộp khối): SUMMER có 6 chữ cái;
gộp MM còn 6 − 1 = 5 khối, các khối đều khác nhau.
Bước 2 (xếp các khối): 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cách.
Bước 3 (trong khối): hai chữ M giống nhau nên chỉ 1 cách;
120 × 1 = 120.
Vậy có 120 cách.
Mẹo: nhân thêm 2 (đổi chỗ hai chữ M) là sai vì hai chữ M giống nhau.

Đáp án đề thi TIMO lớp 8

Câu	Đáp án
Câu 1	24
Câu 2	157
Câu 3	8
Câu 4	1274
Câu 5	19
Câu 6	1500
Câu 7	12
Câu 8	3426
Câu 9	12
Câu 10	137
Câu 11	104
Câu 12	15
Câu 13	1
Câu 14	5
Câu 15	810
Câu 16	90
Câu 17	4
Câu 18	125
Câu 19	63
Câu 20	114
Câu 21	10
Câu 22	301
Câu 23	1800
Câu 24	19
Câu 25	120

Đề thi khác

Cùng cuộc thi TIMO, lớp khác: Mầm non · Lớp 1 · Lớp 2 · Lớp 3 · Lớp 4 · Lớp 5 · Lớp 6 · Lớp 7 · Lớp 9

Vòng đầu của TIMO lớp 8: đề thi thử TIMO lớp 8.

Đề cùng lớp 8 của cuộc thi khác: HKIMO · FMO · Big Bay Bei (BBB) · ASMO · AIMO · IMAS · PIMSO · Kangaroo (IKMC) · SEAMO · VIAMC · IMEC · CREST (CMO) · SiL MSC (Toán) · SASMO · AMO · ITMC

Ngày thi và hạn đăng ký: lịch thi TIMO · lịch thi Toán quốc tế các cuộc thi.

Đề thi thử do Cú Pi Math biên soạn theo cấu trúc công bố của cuộc thi, không phải đề thi chính thức; Cú Pi Math không liên kết với ban tổ chức TIMO.

Câu hỏi thường gặp

Đề thi TIMO lớp 8 có bao nhiêu câu?